(新課標(biāo))高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十三章選考內(nèi)容13.1幾何證明選講習(xí)題理

1、13.1 幾何證明選講1平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段推論 1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必 推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線 2平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 （ 或兩邊的延長線） 所得的對(duì)應(yīng)線段3相似三角形的判定定理判定定理1：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡述為：兩角對(duì)應(yīng) ，兩三角形相似判定定理2：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角

2、相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡述為：兩邊對(duì)應(yīng)成且夾角，兩三角形相似判定定理 3：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似簡述為：三邊對(duì)應(yīng) ，兩三角形相似注意：與一般三角形相比，直角三角形有一個(gè)角為直角，三邊長滿足勾股定理等這種關(guān)系可以使判定兩個(gè)直角三角形相似的條件得到簡化4相似三角形的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1 ：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于性質(zhì)定理2 ：相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于性質(zhì)定理3 ：相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于5射影定理直角三角形斜邊上的高是 的比例中項(xiàng)；兩直角邊分

3、別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的 6圓周角、圓心角和弦切角定理圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的 的一半.圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì) 的度數(shù).推論 1 ：同弧或等弧所對(duì)的圓周角 ；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧推論 2 ： 半 圓 ( 或 直 徑) 所 對(duì) 的 圓 周 角 是 ； 90 ° 的 圓 周 角 所對(duì) 的 弦 是弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的 .7圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理(1) 性質(zhì)定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角 推論：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的 的對(duì)角(2) 判 定 定 理 ： 如 果 一 個(gè) 四 邊 形 的 對(duì) 角 互 補(bǔ) ， 那 么 這 個(gè)

4、 四 邊 形 的 四 個(gè) 頂 點(diǎn)推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)8圓的切線的性質(zhì)與判定定理性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的 推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過 推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過 判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的 9相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦， 的積相等10 (1) 割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到 的兩條線段長的積相等(2) 切 割 線 定 理 ： 從 圓 外 一 點(diǎn) 引 圓 的 切 線 和 割 線 ， 切 線 長 是 這 點(diǎn) 到 的比例中項(xiàng)(3) 切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們

5、的切線長 ，圓心和這一點(diǎn)的連線平分 的夾角且切點(diǎn)弦自查自糾1也相等平分第三邊平分另一腰2成比例成比例3相等 比例 相等 成比例4相似比相似比相似比的平方5兩直角邊在斜邊上射影比例中項(xiàng)直角 直徑6.圓心角 弧相等也相等圓周角7 (1) 互補(bǔ) 內(nèi)角 (2) 共圓 共圓8半徑切點(diǎn) 圓心 切線9被交點(diǎn)分成的兩條線段長10 (1) 每條割線與圓的交點(diǎn)(2) 割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(3) 相等 兩條切線垂直平分如圖， 在 ABC中，AE= ED= DC FEM MD BC FD的延長線交 BC的延長線于點(diǎn) N,且EF= 1,則BN=()3 / 337/33D. 6C. 4B. 3A. 2解：-FE/ M

6、D/ BCEF AE 1AE= ED= DCEF ED= -= ' = 1BC AC 3，CN DC 1，EF EF 1 EF= CN := =一,EF CN|BN BO CN 4,.BN= 4E已 4.故選 C.BE交AD于點(diǎn)F,貝U AF：尸口為（）如圖AD是 ABC的中線，E是CA邊靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn),B. 3 ： 1D. 5 ： 1A. 2 ： 1C. 4 ： 11解：過 D作 DG/AC交 BE于 G,則 DG=EC,又 AE=2EG ADGIAAEF 故 AF：FD=1AE： DG=2EC： -EG=4 ： 1.故選 C如圖，/ ACEB= 90° , CDLAB

7、 于點(diǎn)D,以BD為直徑的圓與 BC交于點(diǎn) 日則（A. CE- CB= AD- DBA.B. CE- CB= AD- AB C. AD- AB= CD D. CE- EB= CD 解：在AACB中，因?yàn)?ACB= 90° , CDLAB于點(diǎn)D,所以CD= AD-DB又由切割線定 理得CD= CE- CB所以CE-CB= AD-DB故選如圖，過點(diǎn) D作圓的切線切圓于B點(diǎn)，作割線交圓于 A C兩點(diǎn)，其中BD= 3, AD= 4, AB= 2,則BC=2 一，一 9解：由切割線定理得：BD2= CD AQ得CD= 4.又 / A= / DBC Z D= / D,BD AB-3-3.ABDoB

8、CDkM.解得 BC=3故填；.CD BC22（2015 重慶）如圖，圓O的弦AB, CD相交于點(diǎn) E,過點(diǎn) A作圓O的切線與 DC的延長線交于點(diǎn) P,若PA 6, AE= 9, PC= 3,CE： ED= 2 ： 1,則 BE=.解：由切割線定理，知PA=PC PD 即62=3PQ 解得 PD= 12,，CD= PD- PC= 9,. CE= 6, ED= 3.由相交弦定理，知 AE- BE= CE- ED 即 9BE= 6X3,解得 BE= 2.故填 2.37 / 33類型一 平行線分線段成比例定理的應(yīng)用如圖，在 ABC 中，EF/ CD Z AFE=/ B, AE= 6, ED= 3,

9、AF= 8.(1)求AC的長；,CD2(2)求百不加值.BC2解:AE AF(1) -EF/ CD-ATAC- AE= 6, ED= 3, AF= 8,. AC= 12.(2) EF/ DC / AFE= / ACD又/ AFE= / B,/ ACD= / B.又/A= /A, .ACS ABC,CD AD 6+3 3 CD2 9bcT AcT _12"=4, bc? 76.【點(diǎn)撥】求長度或比值考慮相似，有時(shí)圖形中沒有平行線，要添加輔助線，構(gòu)造相關(guān)圖形，即創(chuàng)造可以形成比例式的條件，從而達(dá)到計(jì)算或證明的目的.如圖所示，在 ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，AD交BE于G,求證：

10、AG= 2GD證明：作CH/ EB交AD的延長線于點(diǎn) H, AE= EC, CH EB,，A8 GH又.BD= DCBD年 CDHAB BDAC= DC. GD= DH . .AO 2GD(2)在ABC43, AD為/BAC勺平分線，求證:證明：如圖，過 C作CE/ AQ交BA延長線于E,BA BDAD" CE玩. AM分 / BAC/ BAD= / DAC由 AD/ CE知 / BAD= / E,/ DAC= / ACE ./ ACE= / E,即 AE= ACAB_BDACT DC-類型二相似三角形的判定及性質(zhì)如圖所示，已知在 ABC中，/ BAC= 90° , ADL

11、 BC E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長線于 F,求證:AB_DFACT AF證明：. / BAC= 90 , ADL BC AB及 CADAB BD =-" AC AD又£是AC的中點(diǎn)，.二DE= EC，/4=/3=/ ACB= /1,而/ AFD為公共角,BD DF ADT AF ,FBE FDA由可得翁嘉【點(diǎn)撥】（1）判定兩個(gè)三角形相似要注意結(jié)合圖形性質(zhì)靈活選擇判定定理，特別要注意對(duì)應(yīng)角和應(yīng)邊.（2）相似三角形的性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等，也可用來間接證明線段相等或計(jì)算線段長度.（2014中原名校聯(lián)考）如圖，三角形ABC勺角平分線AD的延長線交它的外接圓于點(diǎn)E(

12、1)證明： AB呼 ADC4_ 1,，一，(2)若三角形 ABC勺面積S= 2AD- AE求/BAC勺大小.解：(1)證明：由已知條件，可得/ BA2 / CAD因?yàn)? AEB與/ ACB是同弧所對(duì)的圓周角，所以/ AEEB= /ACD AB& ADC一.,AB AE(2)因?yàn)?ABa ADC所以一仄入 冰AD AC1-1,，一又 S= 2AB AC sin / BAG!. S= AD- AE 故 AB- AC sin / BA。AD- AE 由可知AEB- AC= AD- AE 則 sin Z BAG= 1,又/ BACJABCW內(nèi)角，所以/ BAG= 90 .類型三射影定理的應(yīng)用如

13、圖所示，已知在邊長為1的正方 .1形ABCD勺一邊上取一點(diǎn) E,使AE= 4AD過AB的中點(diǎn)F作HF, EC于H求證：FH= FA(2)求EH： HC的值.解：(1)證明：連結(jié)EF, FC,在正方形ABCDLAD= AB= BC / A= Z B= 90° .1. AE= A。F為AB的中點(diǎn)，.ae_fb _1后 BC =2.EAH FBC / AEF= / BFC / EFA= / BCF又/ A= / B= 90° , ./ EFC= 90E AE_AE_1，F(xiàn)CT BF= AF= 2.又/ EFC= /A= 90° ,EF6 EAF ./ AEF= / HE

14、F又 EF= EF, RtA EA陣 RtA EHF，F(xiàn)H= FA（2）由知 EFC是直角三角形，F(xiàn)H是斜邊EC上的高，由射影定理可得 eF=EH EC fC=CHCE 于是EH： HC= EF2 ： FC= 1 ： 4.【點(diǎn)撥】 一般四邊形問題須轉(zhuǎn)化為三角形（最好是 母）問題研究，故自然要連結(jié)EF, FG第（1）問也可由勾股定理求出 FH的長來證；圖中有 2對(duì)全等三角形，8對(duì)相似三角形，能洞察這些，解此題會(huì)游刃有余；第 （2）問由EH： HC= AE： BC求，更簡潔.如圖所示，AD, BE是 ABC的兩條高，DFL AB,垂足為F,直線FD交BE于點(diǎn)G 交AC的延長線于 H,求證：DU=G

15、F- HF證明：.一/ H+ / BAC90 , /GBFH Z BAC= 90 , ./ H= / GBF. / AFH= / GFB= 90° ,.AF+AGFB hafBF= GFAF- BF= GF- HF因?yàn)樵?RtAABD , FD±AR .DF = AF- BF,dF= GF- HF類型四圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及判定定理的應(yīng)用(2015 哈三中一模)如圖，AB是。O的直徑，CBW。相切于B, E為線段CB上一點(diǎn)，連接 AC AE,分別交。O于D, G兩點(diǎn)， 連接DG并延長交CB于點(diǎn)F.(1)求證：C, D, G, E四點(diǎn)共圓；(2)若F為EB的靠近點(diǎn)E的三等分點(diǎn)，

16、EG= 1, GA= 3,求線段CE的長.解：(1)證明： 連接 BD,則 / AGD= / ABD / AB濟(jì) / DAB= 90 , / C+/ CAB=90° ,所以/ C= /AGD 所以/ C+ Z DGE= 180° ,所以 C, D, G E 四點(diǎn)共圓.24(2)因?yàn)镋G-EA= E民 所以EB= 2,又F為EB的三等分點(diǎn)，所以EF=-, FB=-, 33一，一一 q 一，一 8 一又因?yàn)?FG- FD= FE- FC= F氏 所以 FC=-, CE= 2.3【點(diǎn)撥】直徑所對(duì)圓周角為直角，故考慮連BD，證明四點(diǎn)共圓，即證明這四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形對(duì)角互補(bǔ)；已知條件為

17、EG及GA的長度，自然考慮計(jì)算EB,從而求得FG- FD再af算EC即可.(2014 新課標(biāo)I )如圖，四邊形ABC醫(yī)。的內(nèi)接四邊形，AB的延長線與 DC勺延長線交于點(diǎn) E,且CB= CE(1)證明：/ 4 / E;(2)設(shè)AD不是O O的直徑，AD的中點(diǎn)為 M 且MB= MC證明： AD曰等邊三角形.證明：(1)由題設(shè)知 A B, C, D四點(diǎn)共圓，所以/ D= / CBE由已知 CB= CE得/ CBE=/ E,故 / D= / E. 如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為N,連結(jié) MN則由MB= M東口 MNL BG 故O在直線 MN±.又AD不是。O的直徑， 曬 AD的中點(diǎn)，故 OM_ AQ即

18、MNLAD 所以 AD/ BC 故 / A= / CBE又/ CBE= / E,故/ A= / E,由（1）知，Z D= / E, 所以 ADE等邊三角形.類型五 圓的切線及與圓有關(guān)的比例線段（2015 陜西）如圖，AB切。O于點(diǎn)B,直線 AO交。于D, E兩點(diǎn)，BCL DE垂足為 C(1)證明：/ CB母 / DBA(2)若AD= 3DC BC=山，求。O的直徑.解：(1)證明：.DE為。O的直徑，則/ BEDF Z EDB= 90° , 又 BCL DE / CBID- Z EDB= 90 , 從而/ CBD= / BED又AB切。O于點(diǎn)B,得/ DBA= / BED / CBD

19、= / DBA(2)由(1)知 BM分/ CBAlrBA AD，一則薪號(hào)3,又BC="從而AB= 3/2,BC CD .AC= 1AB2 BC2= 4,.AA 3. .一 AB2由切割線定理得 ABU AD- AE即AE=nr=6,D故DE= AE-AD= 3,即。O的直徑為3.【點(diǎn)撥】與切線有關(guān)的角的證明問題，一般都要用到弦切角定理；計(jì)算與圓相關(guān) 的線段長度問題，一般都要用到圓哥定理；注意三角形內(nèi)角平分線定理的靈活應(yīng)用.(2015 吉林長春調(diào)研)如圖，圓M與圓N交于A, B兩點(diǎn)，以A為切點(diǎn)作兩圓的切線分別交圓M和圓N于C, D兩點(diǎn)，延長 DB交圓M于點(diǎn)E,延長CB交圓N于點(diǎn)F.已知

20、BC= 5, BD= 10.(1)求AB的長;(2)求CFDE解：(1)根據(jù)弦切角定理,知/ BAC= / BDA / ACB= / DABAB BC .ABC-ADBA 則森DB BA故 A戌=BC BD= 50, AB= 5/2.(2)根據(jù)切割線定理知 CA= CB- CR DA = DB- DECA2 CB CF兩式相除,得DA2= DB' DE,/口 AC AB 5 22 CA2 1由AB6ADBA 得DAT DBT 10 = 2，DA2=力CB 51=.DB 10 2'1 .用添加平行輔助線的方法構(gòu)造平行線，是創(chuàng)造應(yīng)用平行線等分線段定理與平行線分線段成比例定理的條件.

21、在使用平行線分線段成比例定理及推論時(shí)，一定要注意線段與邊的對(duì)應(yīng).2 .在證明兩個(gè)或兩個(gè)以上的比例式相等時(shí)，往往需要找第三個(gè)比例式與它們都相等， 這時(shí)可考慮利用平行線分線段成比例定理或推論，或考慮用線段代換，由相等的傳遞性得出結(jié)論.3 .證兩個(gè)三角形相似，在已具備一角對(duì)應(yīng)相等的條件時(shí)，往往先探求是否有另一角對(duì)應(yīng)相等，當(dāng)此思路不通時(shí)，再探求等角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.4,等積式的證明是一種常見題型，其證題思路一般是化等積式為比例式，再由三角形相似或平行線分線段成比例定理證明.5.注意在證明圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，添加輔助線的目的是為了打通 已知與未知的通道，構(gòu)造需要的邊、角、三角形，如構(gòu)造直

22、徑所對(duì)的圓周角，以便利用直 徑所對(duì)的圓周角是直角這一性質(zhì).要證明某直線是圓的切線，如果已知直線過圓上某一 點(diǎn)，那么連接這點(diǎn)和圓心，證明該直線垂直于半徑；如果不知直線和圓是否有公共點(diǎn)，則 過圓心作直線的垂線，證明圓心到直線的距離等于半徑.已知某直線是圓的切線時(shí)，切點(diǎn)的位置一般是確定的，輔助線常常是連接圓心和切點(diǎn).6.證明多點(diǎn)共圓的常用方法(1)證明幾個(gè)點(diǎn)到某個(gè)定點(diǎn)距離相等.(2) 如果某兩點(diǎn)在某條線段的同旁，證明這兩點(diǎn)對(duì)這條線段的張角相等( 例：如圖，若/ACB= /ADB= 90° ,則 A, B, D, C 四點(diǎn)共圓).(3) 證明凸四邊形內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)( 或外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角 )

23、 7相交弦定理、切割線定理和割線定理常與圓周角、弦切角定理聯(lián)合運(yùn)用，要注意在題中找相等的角，找相似三角形，從而得到線段的比或比例式1.如圖，在 ABO43, / AED= / B, DE= 6, AB= 10, AE= 8,則 BC的長為（）24D.y15C.萬B. 715AN解：由已知條件/AED/B, /A為公共角，所以AD曰AACB則有D|= AB 從而BC AB6X10 15BC=.故選822 .如圖，半徑為 2的。O中，/ AOB= 90° , D為OB的中點(diǎn)，AD的延長線交。O于點(diǎn) E,則線段DE的長為（3 D.萬C” C. 5B. 5AV解：延長BO交。于點(diǎn)F,由相交弦

24、定理可知：BD-DF= AD-DE又由題知 BD- 1, DFC.=3, AD-木,因此DE= 355.故選3 .如圖，O O與。P相交于 A B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在OO上，O O的弦BC切。P于點(diǎn)B, CP及其延長線交。P于D, E兩點(diǎn)，過點(diǎn) E作EF，CE交CB延長線于點(diǎn) F.若CD= 2, CB=電則EF的長為（）D. 2 2C. 2B. 2A. 1解：連結(jié) PB BC切。P于點(diǎn) B, PB1BC CD= 2, CB= 2*,由切割線定理得 CB=CD- CE CE= 4, DE= 2, BP 1,又 EF，CEzhEF CE /口 .CP%ACFE 得而 =去 解得 EF= J2.PB CB4

25、 .如圖，AD AE, B-別與圓O切于點(diǎn)故選B.D, E, F,延長AF與圓O交于另一點(diǎn)G給出下列三個(gè)結(jié)論： AN AE= AB+ BO CAAF-AG= AD-AE AF即 ADG其中正確結(jié)論的序號(hào)是()A.B . C . D .解：. CF= CE BF= BQ . - BC= CE+ BDAB+ BO CA= (AB+ BD + (AO CE = AD+ AE 故結(jié)論正確.由切割線定理知 aD= AF- AG 又 AE= AQ.AD AE= AF - AG 故結(jié)論正確.容易判斷結(jié)論不正確.故選 A5. （2015 天津）如圖，在圓O中，M N是弦AB的三等分點(diǎn)，弦CD CE分別經(jīng)過點(diǎn)M

26、 N若CM= 2, MD= 4, CN= 3,則線段NE的長為（）5D.310C.yB. 38A.38，rr-8 ,解：由題意可得 CMK MD= AMK MB= ANK NB= CNK NE 即 2X4 = 3NE 解得 NE= 4.故選3A.6. （2014天津）如圖，AABC是圓的內(nèi)接三角形，/ BAC的平分線交圓于點(diǎn) D,交BC 于點(diǎn)E,過點(diǎn)B的圓的切線與 AD的延長線交于點(diǎn) F.在上述條件下,給出下列四個(gè)結(jié)論：BM分/ CBF由=FD FAAE CE= BE- DEAF BD= AB- BF則所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A. B . C . D .一，r一一 BF解：由弦切角定理得 /

27、FBD= / EAC= / BAE又/BFD=/AFB 故BFM AFB故而FBDAB即AF- BD= AB- BF,對(duì)，否定A, C.顯然正確.故選7. （2014 重慶）過圓外一點(diǎn)P作圓的切線PAA為切點(diǎn)），再作割線PBC依次分別交圓于 B, C,若 PA= 6, AC= 8, BC= 9,則 AB=解:如圖，.22由 PA=PB- PC得 6 =PBPB+ 9),解得 PB= 3.再由 /C= / BAP及/ P為公共角得AB四 CAPAB_BPCAT靠.AB= 4.故填 4.1 215 ,22- - =2 由于 / DCP=8. （2015 廣東）如圖，已知AB是圓O的直徑，AB= 4

28、, EC是圓O的切線，切點(diǎn)為C, BC= 1,過圓心O作BC的平行線，分別交 EC AC于點(diǎn)D和點(diǎn)P,則OD=是 PA= CP=11解：由題意得OP= 2BC= 2, OA= 2,于15-PD PC r 15 15 15 1/B=/POA DCPo AAOP 于是雙 pO PD= 丁 乂 22=1>,那么。>"2 + 2=8.故填28.9. (2015湖南)如圖，在。O中，相交于點(diǎn)E的兩弦AR CD的中點(diǎn)分別是 M N,直 線MOW直線CD1交于點(diǎn)F.證明：(1) / MEN / NOM180 ;(2) FE- FN= FM- FO證明：如圖所示，: M N分別是弦 AB, CD的中點(diǎn)，OM_ AB ONL CD即/ OME =Z ENO= 90 ,故/ MEN- Z NOIVt 180 .(2)由知，Q M E, N四點(diǎn)共圓，故由割線定理即得 FE- FN= FM- FO10.如圖所示，PA為圓O的切線，A為切點(diǎn)，PO交圓O于B, C兩點(diǎn)，PA= 20, PB=10, / BAC勺角平分線與 BC和圓O分別交于點(diǎn) D和E(1)求證：AB PC= PA AC(2)求ADAE的值.解：（1）證明：.PA為圓O的切線,.Z PAB= / ACP又/ P為公共角,AB- PC= PA- ACAB PA .PAB-APCA