matlab課程設計

1、現(xiàn)代控制理論基礎題 目 單倒置擺控制系統(tǒng)的空間狀態(tài)仿真 姓 名 張吉春 學 號 P091812834 專業(yè)班級 09級電氣一班 學 院 電氣工程學院 指導教師 刁晨 倒置擺控制系統(tǒng)狀態(tài)的狀態(tài)空間設計（一）背景單級倒立擺系統(tǒng)是一個典型的多變量、存在嚴重非線性的非自治不穩(wěn)定性系統(tǒng),對它的研究可歸結對多變量非線性系統(tǒng)的研究，是學習和研究現(xiàn)代控制理論最為合適的實驗裝置。倒立擺的控制是控制理論應用的一個典型范例,一個穩(wěn)定的倒立擺系統(tǒng)對于證實狀態(tài)空間理論的實用性是非常有用的。許多抽象的控制概念如系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、收斂速度、抗干擾能力等,都可以通過倒立擺直觀的表現(xiàn)出來具有重要的理論價值。從工程應用角度看，

2、其結構和飛機著陸、起重機械的穩(wěn)鉤裝置以及機器人的關節(jié)運動和機器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等有很多相似之處。所以，對倒立擺系統(tǒng)的控制研究具有重要的工程背景和實際意義,單級倒立擺系統(tǒng)作為一個實驗裝置，形象直觀，結構簡單，構件組成參數和形狀易于改變，成本低廉；作為一個被控對象，它又相當復雜，就其本身而言，是一個高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性、強耦合系統(tǒng)，只有采取行之有效的控制方法方能使之穩(wěn)定。倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定效果非常明了，可以通過擺動角度、位移和穩(wěn)定時間直接度量、控制好壞一目了然。本文通過對單級倒立擺系統(tǒng)設計一種狀態(tài)空間控制器,用MATLAB仿真方法研究系統(tǒng)的

3、穩(wěn)定性，不僅使我們對倒立擺系統(tǒng)有了一個全面的認識,還加深了線性控制理論的了解。本文采用了系統(tǒng)的綜合算法，簡單地用極點配置的方法使系統(tǒng)的控制過程滿足生產工藝所規(guī)定的性能指標,計算方便而且控制器設計簡單，容易達到控制要求，實驗效果比較明顯。（二）系統(tǒng)模型本文的系統(tǒng)模型也是采用書上的傳統(tǒng)經典模型其原理圖如圖（1）所示，(1) 擺桿為剛體，忽略擺桿質量; (2) 忽略靜摩擦力,以及擺軸、輪軸、輪于接觸面之間的摩擦力及風力; (3) 忽略電動機電感和電動機慣性假設系統(tǒng)的相關參數定義如下：M 小車質量 m 擺桿質量 b小車摩擦系數 L擺桿轉動軸心到桿質心的長度 I擺桿慣量u加在小車上的力z小車位置擺桿與垂

4、直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）（三）抽象出研究對象為簡化問題，工程上可以忽略一些次要因素。在本例中，我們?yōu)榱撕喕瘑栴}，方便研究系統(tǒng)空間的設計問題，忽略了擺桿質量、執(zhí)行電動機慣性以及擺軸、輪軸、輪與接觸面之間的摩擦及風力。設小車的瞬時位置為z，倒置擺出現(xiàn)的偏角為，則擺心瞬時位置為。在控制力u的作用下，小車及擺均產生加速運動，根據牛頓第二定律，在水平直線運動方向的慣性力應與控制力u平衡，則有 即 (1)由于繞擺旋轉運動的慣性力矩應與重力矩平衡，因而有 即 （2） 式（1）、式（2）兩個方程都是非線性方程，需作線性化處理。由于控制的目的是保持倒置擺直立，因此，在施加合適u的條件下，

5、可以認為、均接近于零，此時，,且可以忽略項，于是有 （3） （4）連聯(lián)立求解式（3）、式（4），可得 （5） （6） 消去中間變量，可得輸入量為u、輸出量為z的微分方程為 （7）綜合上述的分析，可抽象出系統(tǒng)的研究對象為：位移z、小車的速度、擺的角速度及其角速度的。系統(tǒng)的研究對象抽象成這四個變量后，接下來就可以根據前面的方程為這四個變量建立空間狀態(tài)方程，并分析被控對象的特性。（四）建立倒置擺的狀態(tài)空間模型在上一步中，我們已經選取了四個研究對象作為狀態(tài)變量，它們分別為：位移z、小車的速度、擺的角速度及其角速度的。Z為輸出變量，在考慮，以及式（5）、（6）、（7），可列出倒置擺的狀態(tài)空間模型表達式為

6、： （8） (9) 式中 為方便研究，假定系統(tǒng)的參數M=1kg,m=0.1kg,l=1m,則系統(tǒng)狀態(tài)方程中參數矩陣為： ,， （10）（五）被控對象特性分析.該系統(tǒng)控制的目的是使系統(tǒng)動態(tài)穩(wěn)定，即保持倒擺在垂直的位置，使小車在外力作用下其位移以較小的誤差跟隨輸入的變化。由于系統(tǒng)的動態(tài)響應主要是由它的極點位置決定的，而假如系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則可通過狀態(tài)矩陣的選取實現(xiàn)極點的任意配置，即可使系統(tǒng)得到良好的動態(tài)性能。本文即采用此方法來設計控制器，并將MATLAB 軟件應用于該系統(tǒng)的分析和設計中。1. 能控性分析作為被控制的單級倒立擺，當它向左或者向右傾倒時，能否通過控制作用使它回復到原來直立的位置？

7、這須首先進行其能控性的分析。根據能控性的秩判據，并將式（10）的有關數據帶入該判據，可得 （11） 因此，單倒置擺的運動狀態(tài)是可控的。換句話說，這意味著總存在一控制作用u,將非零狀態(tài)轉移到零 在MATLAB中運行如下程序，判別倒立擺系統(tǒng)的能觀性A=0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;B=0;1;0;-1;C=1,0,0,0;0,0,1,0;D=0;0;n=size(A)To=obsv(A,C);no=rank(To)n = 4 4no = 4從運行結果可知，系統(tǒng)的階次為4，能控性判別矩陣的秩也為4，因此系統(tǒng)是能控的。2. 穩(wěn)定性分析 在MATLAB中運行如下程序

8、，判別倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性A=0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;p=poly(A);roots(p)ans = 0 0 3.3166 -3.3166從運行結果可知，4個特征值中存在一個正根，兩個零根，這說明倒立擺系統(tǒng)，即被控系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。（六）.倒立擺系統(tǒng)的綜合由上面的分析可知倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，所以必須對其進行反饋綜合，使4個特征值全部位于S平面的左半邊的合適位置，以滿足系統(tǒng)的各項性能指標。本文采用全狀態(tài)反饋，取狀態(tài)變量、為反饋信號，狀態(tài)反饋控制規(guī)律為 u=v-kx （11）設 k=(k0 k1 k2 k3)式中，k0k3分別為，反饋到參考輸入v的增益。則

9、閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 =(A-bk)x+bv （12）其特征多項式為=4+（k1-k3）3+（k0-k1-11）2-10k1-10k0 （13）采用極點配置的綜合方法，設置希望閉環(huán)極點位置為-1，-2，-1±j，則閉環(huán)控制系統(tǒng)的期望特征多項式為(+1)(+2)(+1-j)(+1+j)=4+53+102+10+4 （14）令式(6-12)與式(6-13)右邊同次項的系數相等，可求得k0=-0.4，k1=-1，k2=-21.4，k3=-6仿真：代碼：A=0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;b=0;1;0;-1;c=1,0,0,0;d=0;N=size

10、(A);n=N(1);sys0=ss(A,b,c,d);P_s=-1,-2,-1+i,-1-i;k=acker(A,b,P_s) A1=A-b*k;sys=ss(A1,b,c,d); t=0:0.01:5;y,t,x=step(sys,t);>> subplot(2,2,1);plot(t,x(:,1);gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('z');subplot(2,2,2);plot(t,x(:,2);grid;xlabel('t(s)');ylabel('x(t

11、)');title('z的微分');subplot(2,2,3);plot(t,x(:,3);gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('theta')subplot(2,2,4);plot(t,x(:,4);gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('theta的微分')>> t=0:0.01:10;y,t,x=step(sys,t);subplot(2,2,1);plot(t,x(:,

12、1);gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('z');subplot(2,2,2);plot(t,x(:,2);grid;xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('z的微分');subplot(2,2,3);plot(t,x(:,3);gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('theta')subplot(2,2,4);plot(t,x(:

13、,4);gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('theta的微分')結果：k = -0.4000 -1.0000 -21.4000 -6.0000圖二：仿真模型圖圖四圖五圖六圖七：Matlab仿真圖全反饋狀態(tài)為穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)，當參考輸入v為零時，狀態(tài)向量在初始擾動作用下的響應將漸近地衰減至零，這時擺桿和小車都會回到它的初始位置，即=0，=0。如果不把4個狀態(tài)變量全用作反饋，該系統(tǒng)則不能夠穩(wěn)定，例如令k0k3的任何一個系數為零時，式(6-12)所示特征多項式或是缺項，或是系數值小于零，由穩(wěn)定的代數判據可以看出

14、，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性的必要條件。由上面兩個方面對系統(tǒng)模型進行分析，可知被控系統(tǒng)是具有能控性的，但是被控系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，需對被控系統(tǒng)進行反饋綜合，使四個特征值全部位于根平面S左半平面的適當位置，以滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定工作已達到良好、靜態(tài)性能的要求。因此我們需要設計兩種控制器方案來使系統(tǒng)到達控制的目的，分別為：全維狀態(tài)觀測器的設計和降維觀測器的設計。一：全維觀測器的設計為實現(xiàn)單倒置擺控制系統(tǒng)的全狀態(tài)反饋，必須獲取系統(tǒng)的全部狀態(tài)，即z、的信息。因此，需要設置z、的四個傳感器。在實際的工程系統(tǒng)中往往并不是所有的狀態(tài)信息都是能檢測到的，或者，雖有些可以檢測，但也可能由于檢測裝置昂貴或安裝上的困難造成難于獲取信息

15、，從而使狀態(tài)反饋在實際中難于實現(xiàn)，甚至不能實現(xiàn)。在這種情況下設計全維狀態(tài)觀測器，解決全維狀態(tài)反饋的實現(xiàn)問題。（1）判定系統(tǒng)狀態(tài)的能觀測性將式（9）中的數值代入能觀測性秩判據，得： （15）或者由matlab中的obsv(A,c)命令來求秩，可得秩為4（見仿真）。可見被控系統(tǒng)的4個狀態(tài)均是可觀測的，即意味著其狀態(tài)可由一個全維（四維）狀態(tài)觀測器給出估值。 其中，全維觀測器的運動方程為 （16） 式中 （17）全維觀測器已G配置極點，決定狀態(tài)向量估計誤差衰減的速率。 設置狀態(tài)觀察器的期望閉環(huán)極點為-2，-3，-2+i,-2-i。由于最靠近虛軸的希望閉環(huán)極點為-2，這意味著任一狀態(tài)變量估計值至少以規(guī)律

16、衰減。由matlab可求的出G： =9，=42，=-148，=-492 （18）根據計算值可畫出結構圖圖八 全維狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋的結構圖其波形圖如下：（1） 圖九 狀態(tài)反饋下的狀態(tài)變量的階躍響應曲線注：“”表示z的階躍響應； “”表示的階躍響應 “”表示的階躍響應； “”表示的階躍響應；。（2）圖十 帶全維觀測器的狀態(tài)反饋下的狀態(tài)變量的階躍響應曲線圖十一 系統(tǒng)狀態(tài)與全維觀測器得到的估計狀態(tài)之間的誤差曲線 由上圖可知，全維狀態(tài)觀測器觀測到的4個變量的階躍響應曲線與全狀態(tài)反饋時的階躍響應曲線基本相似，但是二者還是有誤差的，只不過誤差很小（如系統(tǒng)狀態(tài)與全維觀測器得到的估計狀態(tài)之間的誤差曲線圖十

17、一所示，它們的誤差都在級別的，很?。?，全維狀態(tài)觀測器所得的性能基本滿足要求（系統(tǒng)能控且穩(wěn)定），但是由于觀測器的數目多，導致中間過程的損耗也大。實際上，本系統(tǒng)中的小車位移z，可由輸出傳感器獲得，因而無需估計，可以設計降維觀測器，這樣可減小誤差）。 二：降維觀測器的設計 為了實現(xiàn)由于單倒置擺控制系統(tǒng)中的小車位移，可由輸出傳感器測量，因而無需估計，可以設計降維（3維）狀態(tài)的觀測器。通過重新排列被控系統(tǒng)狀態(tài)變量的次序，把需由降維狀態(tài)觀測器估計變量與輸出傳感器測得的狀態(tài)變量分開，也就是說，將z作為第四個狀態(tài)變量，則按照被控系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出方程可變換為： （19） 簡記為 （20）式中 ，, ,故單倒置擺

18、三維子系統(tǒng)動態(tài)方程為 （21） 使用matlab對其的觀測性檢查，結果是客觀的。 因為降維狀態(tài)觀測器動態(tài)方程的一般形式為 （22） （23）式中，。使用matlab可求出降維狀態(tài)觀測器特征多項式為 （24）設期望的觀測器閉環(huán)極點為-3，則由matlab 仿真可得，期望特征多項式為 （25）由matlab可得，=7，=-28， =-92所以由matlab的仿真可得降維觀測器的動態(tài)方程為 （26） 使用降維狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋的的單倒置擺系統(tǒng)結構圖simulink連接的仿真圖所示。圖十二 使用MATLAB中simulink連接的仿真圖（1）降維狀態(tài)觀測器時，變量z以及變量的階躍響應曲線（2）降維

19、狀態(tài)觀測器時，變量以及變量的階躍響應曲線觀察上面的仿真圖可知，在給系統(tǒng)狀態(tài)全反饋加上降維觀測器之后，單位階躍的作用下，小車的位移z逐漸趨于一個常數，而倒置擺出現(xiàn)的偏角也逐漸趨于0, 可見帶降維觀測器的系統(tǒng)是一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，同時在性能方面符合空間的設計要求。 這個結果是符合理論事實的，因為我們設置的四個變量z、中的變量小車的位移z是可由輸出傳感器測量，而不用使用觀測器去估計的，因此可以不使用全維觀測器來估計全部的變量，而使用降維觀測器來估計其余的變量（三維）。單倒置擺的狀態(tài)反饋系統(tǒng)使用全維狀態(tài)觀測器時，相對于降維觀測器時的精度肯定下降的，因此單倒置擺的狀態(tài)反饋系統(tǒng)使用降狀態(tài)觀測器時，變量曲線的精

20、確性會高于使用全維狀態(tài)觀測器時的曲線。（七）結論1.分析兩種狀態(tài)觀測器下的單倒置擺全狀態(tài)反饋系統(tǒng)的變量的單位階躍響應，狀態(tài)反饋系統(tǒng)為穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)，狀態(tài)向量在初始擾動下的響應將漸漸的衰減至零，這時擺桿和小車都會回到它的初始位置. 上述分析設計基于小擾動假設，即當，均很小時，在被控對象線性化條件下進行的?？紤]到施加控制后，通?？蓾M足上述條件，故該設計是行之有效的。狀態(tài)反饋系統(tǒng)的主要優(yōu)點是極點的任意配置，無論開環(huán)極點和零點在什么位置，都可以任意配置期望的閉環(huán)極點。這為我們提供了控制系統(tǒng)的手段，假如系統(tǒng)的所有狀態(tài)都可以被測量和反饋的話，狀態(tài)反饋可以提供簡單而適用的設計可知降維狀態(tài)觀測器下的變量單位階躍響應曲線的動態(tài)性能比全維狀態(tài)