常微分方程課件12后面一些以后再看

1、1.2 基本概念基本概念定義定義1 1 聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或微（或微分）的關(guān)系式稱為微分方程分）的關(guān)系式稱為微分方程. ; 2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd; sin35 )4(2244txdtxddtxd; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu例1：下列關(guān)系式都是微分方程下列關(guān)系式都是微分方程一、常微分方程與偏微分方程一、常微分方程與偏微分方程 如果在一個微分方程中，自變量的個數(shù)只有一如果在一個微分方程中，自變量的個數(shù)只有一個，則這樣的微分方程稱為個，則這樣的微

2、分方程稱為常微分方程常微分方程.;2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd;sin35 )4(2244txdtxddtxd都是常微分方程。都是常微分方程。1 常微分方程常微分方程如如 如果在一個微分方程中,自變量的個數(shù)為兩個或兩個以上,稱為偏微分方程偏微分方程.; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu 注: 本課程主要研究常微分方程. 同時把常微分方程簡稱為微分方程或方程. 2 偏微分方程偏微分方程如都是偏微分方程.定義定義2 2：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的微分的階

3、數(shù)階數(shù)稱為微分方程的階數(shù)稱為微分方程的階數(shù). . 2 ) 1 (xdxdy是一階微分方程； 0 (2) ydxxdy是二階微分方程； 0 )3(322xdtdxtxdtxd是四階微分方程是四階微分方程. sin35 )4(2244txdtxddtxd二、微分方程的階二、微分方程的階如:( , ,)0(1)nndyd yF x ydxdxn階微分方程的一般形式為( , ,)0, ,.nnnnnndyd ydyd yF x yx ydxdxdxdxd yyxdx這里是的已知函數(shù)而且一定含有是未知函數(shù)是自變量 2 ) 1 (xdxdy 是線性微分方程是線性微分方程. 0 (2) ydxxdy sin

4、35 )4(2244txdtxddtxd三、 線性和非線性( , ,)0nndyd yF x ydxdx如如,.nndyd yydxdxn的左端為 及的一次有理式則稱其為 階線性方程1.如果方程 是非線性微分方程是非線性微分方程. . 如如 0 )3(322xdtdxtxdtxd2. n階線性微分方程的一般形式111( )( )( )(2)nnnnnd ydya xax yf xdxdx.)(),(),(1的已知函數(shù)是這里xxfxaxan不是線性方程的方程稱為非線性方程四、 微分方程的解定義4:,),(滿足條件如果函數(shù)Ixxy;)() 1 (階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有直到在nIxy, 0)(),(),(

5、,(:)2(xxxxFIxn有對( )( , ,)0.ndyd yyxF x yndxdxI則稱為方程在 上的一個解例2sin ,cos0(,).yx yxyy 驗(yàn)證都是微分方程在上的一個解證明:sin ,yx對由于cos ,sinyx yx (,),x 故對有 yyxsin0 xsinsin0(,).yxyy 故是微分方程在上的一個解cos0(,).yxyy 同理是微分方程在上的一個解1 顯式解與隱式解( , )0y(x),F( , ,)0,( , )0nnx yxIdyd yx ydxdxx y如果關(guān)系式所確定的隱函數(shù)為方程的解 則稱是方程的一個相應(yīng)定義4所定義的解為方程的一個顯式解.隱式

6、解.注:顯式解與隱式解統(tǒng)稱為微分方程的解.例如yxdxdy對一階微分方程有顯式解:2211.yxyx 和和隱式解:. 122 yx2 2 通解與特解通解與特解定義5 如果微分方程的解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該方程的通解.例如:為任常數(shù)2121,ccosx,sinxyccc.0y的通解是微分方程 yn階微分方程通解的一般形式為),(1nccxy.,1為相互獨(dú)立的任常數(shù)其中ncc 注1:使得行列式的某一鄰域存在是指個獨(dú)立常數(shù)含有稱函數(shù),),(,),(11nnccxnccxy0),(),()1(2)1(1)1(212121)1(nnnnnn

7、nncccccccccccc.)(kkkdxd表示其中例例3.62y2y3cy2321的通解是微分方程驗(yàn)證yyececexxxxxxecece23212cy證明: 由于,4cy2321 xxxececexxxecece2321 8cy故yy2y2y)2(c2321xxxecece)8(c2321xxxecece)4(c22321xxxecece)32(c2321xxxecece6xe )c2cc2c (1111xecccc)22(-2222xecccc23333)228(8621233226.xxxyc ec ec eyyyy故是微分方程的通解又由于3 3 1 321321ccccccccc2

8、222264xxxxxxxxxxeeeeeeeeee 021233226.xxxyc ec ec eyyyy故是微分方程的解注2:.),(,0),(),(11該微分方程的所有解包含了并不表示的通解是微分方程的nnnnccxydxyddxdyyxFccxy注3: 類似可定義方程的隱式通解, 如果微分方程的隱式解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該方程的隱式通解.以后不區(qū)分顯式通解和隱式通解,統(tǒng)稱為方程的通解. 在通解中給任意常數(shù)以確定的值而得到的解稱為方程的特解.例如sin ,cos0.yx yxyy都是方程的特解12sincosycxcx可在通

9、解中分別取:, 0, 1c21得到c:, 1, 0c21得到csin ,yxcos .yx定義63 定解條件 為了從通解中得到合乎要求的特解,必須根據(jù)實(shí)際問題給微分方程附加一定的條件,稱為定解條件.求滿足定解條件的求解問題稱為定解問題. 常見的定解條件是初始條件和邊值條件（見附錄I）,n階微分方程的初始條件是指如下的n個條件:)1(01)1()1(000,xxnnnydxydydxdyyy時當(dāng).1,)1(0)1 (000個常數(shù)是給定的這里nyyyxn當(dāng)定解條件是初始條件時,相應(yīng)的定解問題稱為初值問題.注1: n n階微分方程的初始條件有時也可寫為)1(010)1()1(0000)(,)(,)(

10、nnnydxxydydxxdyyxy通常記為問題的解的初值問題也稱滿足條件階微分方程求,)(,)(,)(, 0),(:)1(010)1()1(0000CauchyydxxydydxxdyyxydxyddxdyyxFnnnnnn注2:0),(nndxyddxdyyxF)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy例4.1020,045421的特解并求滿足初始條件的通解是方程驗(yàn)證)(,y)y(yyyececyx-xyy45y-4x21)ec (cex)e16c (-4x21cex0-4x21)ec (5cex)ec (4-4x21cex)e4c (5-4x21

11、cex)ec (4-4x21cex解且xxxxeeee4442121cccc0.045421的通解是方程故yyyececyx-x有由初始條件1)0(, 2)0(yy221cc1421cc解以上方程組得1, 321cc的特解為滿足初始條件故方程1)0(, 2)0(045yyyyyx-xeey43五、積分曲線和方向場1 積分曲線一階微分方程( , )dyf x ydx( ),yxxy的解所表示平面上的一條曲線稱為微分方程的積分曲線.( , ),.yx cxy 而其通解對應(yīng)平面上的一族曲線稱這族曲線為積分曲線族2 方向場( , ),( , ),( , ),( , ),( , )f x yDDx yf

12、 x yx ydyDf x ydx 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)樵?內(nèi)每一點(diǎn)處 都畫上一個以的值為斜率 中心在點(diǎn)的線段 稱帶有這種直線段的區(qū)域 為方程在方向場中,方向相同的點(diǎn)的幾何軌跡稱為等斜線.所規(guī)定的方向場.( , )( , ),.dyf x yf x ykkdx方程的等斜線為其中 為參數(shù)例5.dyyxdx研究方程的方向場 積分曲線的每一點(diǎn)(x,y)上的切線斜率 為f(x,y)。dydx若方向場已描繪好，求微分方程經(jīng)過點(diǎn)(x0,y0)的一條積分曲線就是在區(qū)域D內(nèi)求一條曲線經(jīng)過(x0,y0)，并使得其上每一點(diǎn)處的切線向量與方向場在該點(diǎn)的方向向量共線。例6( , )|2,2.Dx yxydyydx 在區(qū)域

13、內(nèi)畫出方程的方向場和積分曲線積分曲線積分曲線方向場方向場積分曲線積分曲線y=y（x）的極值點(diǎn)與拐點(diǎn)應(yīng)滿足的極值點(diǎn)與拐點(diǎn)應(yīng)滿足220000dyf ( x,y ),dxd yf ( x,y )f ( x,y )f ( x,y )dxxydyfx , ydx方向場示意圖方向場示意圖 積分曲線積分曲線 例7.dxdy2的方向場和積分曲線研究方程yx xy-2-1012-2-1012vprogram main1vIMPLICIT REAL*8 (A-H, O-Z)vdimension x(0:100), y(0:100),t(2,0:100,0:100)vvopen(600,file=ex.dat)vw

14、rite(600,*)variables=x,y,u1,u2 v write(600,*) zone i=,33 ,j=,33,F=POINT v v do i=0,32v do j=0,32v x(i)=-2.0+4.0*dble(i)/dble(32)v y(j)=-2.0+4.0*dble(j)/dble(32)v t(1,i,j)=1.0v t(2,i,j)=x(i)*2-y(j)v write(600,*) x(i),y(j),t(1,i,j),t(2,i,j)v end dovend dovclose(600)vend注意：n階微分方程可化為一階微分方程方程組。如 1, , ,1.

15、48nnzg t z zz1211.51,nnyz yzyz取取變換則可可用用下下列列一一階方方程程組代代替替：六、六、微分方程組微分方程組n,nnny,yt,ygdtdyydtdyydtdyydtdy2113221,.,n,i,y,yt,yfdtdyn,ii2121程程組組因因此此以以后后僅僅考考慮慮一一階階方方向量形式為向量形式為)491., (t;dtdyfy其中其中nnnnnyyytfyyytfyyytftyyy,.,.,.,.,.2121221121yfy（7）駐定與非駐定方程）駐定與非駐定方程如果方程組右端不含自變量t, ,1.50ndDdtfyyyR則稱為駐定（自治）的。駐定（自

16、治）的。右端含t的微分方程(1.49)稱為非非駐定（自治）的駐定（自治）的,（8）相空間、奇點(diǎn)和軌線）相空間、奇點(diǎn)和軌線不含自變量、僅含有未知函數(shù)組成的空間稱為相空間相空間。積分曲線在相空間的投影稱為軌線軌線。 0 的解，f yy = y tyy為平衡解平衡解(駐定解、常數(shù)解),又稱為奇點(diǎn)奇點(diǎn)(平衡點(diǎn)).對駐定方程組(1.50),方程組表示為相空間的點(diǎn), 它滿足微分方程,故稱。是方程的顯然，的1.51稱為,的點(diǎn)解駐定奇點(diǎn)y yy y, ,x xx xy y, ,x x0 0y yx x, ,Y Y0 0, ,y yx x, ,X X同時滿足)51.(1 1yx,Ydtdyyx,Xdtdx自治系

17、統(tǒng)（或駐定方程組）：自治系統(tǒng)（或駐定方程組）：右端不顯含t相平面是相平面是xy平面平面例例 1 xdtdyydtdx.sintycost,xy)x,(t,方程組有特解它在的積分曲線是一條螺旋線(如圖 (a),三維空間中)Asin(ty)Acos(tx,A為了畫出方程組在相平面上的相圖,我們求出方程組通解通解 其中,于是, 方程組的軌線就是圓族(圖 (b).為任意常數(shù)。(a)（b）A=1=0 ，時，相平面上的相平面上的 所有軌線所有軌線v1、求通解（一階微分方程）v2、求定解（初值問題），分析論證解的存在唯一性，及微分方程解析理論。v3、龐加萊定性理論，分析解的大范圍性態(tài)分布、周期性等。v4.

18、李雅普諾夫穩(wěn)定性理論。v5.解的動力系統(tǒng)理論、非線性系統(tǒng)震動理論等。v6、最新進(jìn)展：研究特殊的解和方程，如混沌、孤立子和分形。1.2.3常微分方程的發(fā)展歷史 學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)常微分方程常微分方程的目的是用微積分的思想，結(jié)合線性代的目的是用微積分的思想，結(jié)合線性代數(shù)，解析幾何等的知識，來解決數(shù)學(xué)理論本身和其它學(xué)科中出數(shù)，解析幾何等的知識，來解決數(shù)學(xué)理論本身和其它學(xué)科中出現(xiàn)的若干最重要也是最基本的微分方程問題，學(xué)會和掌握常微現(xiàn)的若干最重要也是最基本的微分方程問題，學(xué)會和掌握常微分方程的基礎(chǔ)理論和方法，分方程的基礎(chǔ)理論和方法，為學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)理論，如數(shù)理方程為學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)理論，如數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析、非線性系統(tǒng)理論等后續(xù)課程打下基礎(chǔ)、微分幾何、泛函分析、非線性系統(tǒng)理論等后續(xù)課程打下基礎(chǔ)；同時，通過這門課本身的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的一些同時，通過這門課本身的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的一些基本方法，初步了解當(dāng)今自然科學(xué)和社會科學(xué)中的一些非線性基本方法，