托馬斯微積分課件63 Derivatives of inverse trigonometric functions and integrals

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Chapter 6 Transcendental Functions and Differential Equations6.3 Derivatives of Inverse Trigonometric Functions; Integrals6.1 Logarithms6.2 Exponential Functions 6.4 First-Order Separable Differential Equations6.5 Linear First-Order Differential Equations6.6 Eulers Method; Population

2、Models6.7 Hyperbolic Functions目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6.3Derivatives of Inverse Trigonometric Functions; Integrals(反三角函數(shù)的導數(shù)與積分)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6.3.1 Derivatives of the Arcsine6.3.2 Derivatives of the Arctangent6.3.3 Derivatives of the Other Two6.3.4 Integration Formulas目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6.3.1Derivatives of the A

3、rcsine(反正弦函數(shù)求導)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Consider the function defined by Its inverse function ,denoted by 1sinarcsin ,yxxsin ,yx2,2 .x 1,1 .x 1sinyxLet us find the derivative. x2,2y cos1y y222sincos1cos1 sinyyyy 1sinsin sinyx1 cosyy21x2cos1 sinyy211x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 If u is a differentiable function of x with |

4、u|1, we apply the Chain rule to get 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6.3.2Derivatives of the Arctangent(反正切函數(shù)求導)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Consider the function defined by Its inverse function ,denoted by 1tanarctan ,yxxtan ,yx2,2 .x .x1tanyxLet us find the derivative. x2sec1y y21 1tan y1tantan tanyx21 secyy21 1x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 I

5、f u is a differentiable function of x, we apply the Chain rule to get 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6.3.3Derivatives of the Other Two(其他兩個反三角函數(shù)的導數(shù))目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Consider the function defined by Its inverse function ,denoted by 1cosarccos ,yxxcos ,yx0,.x1,1 .x 1cosyxLet us find the derivative. x0,ysin1y y222sincos

6、1sin1 cosyyyy 1coscos cosyx1 sinyy 21x2sin1 cosyy211x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 If u is a differentiable function of x, we apply the Chain rule to get 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Note that We have 12sin11,xx12cos11,xx11sincos0,xxthat is to say 11sincos0.xx1,1 .x 11sincos,xxC11sincos2,xxAccording to the Lagrange Mean Value

7、Theorem furthermore, it is easy to deduce1,1 .x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 In fact,Thus, the derivative of the Arccotangent11cot2tanxx21 1 x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 To sum up, we give the following table目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Example 1. Find the derivative211ln4tan2cos1yxxxx211ln4tan2cos1yxxxx214x2xSolution. 1tan2xx 2114x122111

8、x21x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6.3.4Integration Formula(積分公式)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 22d,.uuaau222dd1uuauau a2d1u au a1sinuCaSolution. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 22d,0.uaau2222dd1uuauau a2d11u aau a11tanuCaaSolution. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Example 2. Evaluate the definite integralln 320d1xxexeln 320d1xxe xeln 3201d1xxexe ln 3201d1xx

9、exeSolution. ln 3201d1xxeeln 30arctanxe12目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Example 3-1. Evaluate the indefinite integral2d2xxx2d2xxxd2xx x111d22xxxSolution. 1dd22xxxx1ln2ln2xxC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Example 3-2. Evaluate the indefinite integral2d21xxx2d21xxx2d1xx2d11xxSolution. 11Cx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Example 3-3. Evaluate the in

10、definite integral2d22xxx2d22xxx22d11xx22d111xxSolution. arctan1xC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Example 4-1. Evaluate the indefinite integral2d4xx2d4xx2d21212xx1arcsin22xCSolution. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Example 4-2. Evaluate the indefinite integral2d4xxx2d4xxx2d444xxx2d 242xxSolution. 1arcsin 222xC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Example 5. Solve the Initial Value Problem (IVP) 2d11,01.d1yyxx2d11d1yxx 21