中考二次函數(shù)綜合題訓(xùn)練及答案

1、二次函數(shù)中考綜合題1、如圖，拋物線 ya( x 3)( x 1) 與x軸相交于A、11B 兩點（點 A 在點 B 右側(cè)），過點 A 的直線交拋物線于另一點 C，點 C 的坐標(biāo)為（ -2， 6） .(1)求 a 的值及直線AC 的函數(shù)關(guān)系式；(2)P 是線段 AC 上一動點， 過點 P 作 y 軸的平行線， 交拋物線于點M ，交x 軸于點N.求線段PM長度的最大值；在拋物線上是否存在這樣的點M ，使得 CMP與 APN相似？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點M 的坐標(biāo)（不必寫解答過程） ；如果不存在，請說明理由解：（ 1）由題意得 6=a(-2+3)(-2-1) a=-21 分拋物線的函數(shù)解析

2、式為 y=-2(x+3)(x-1) 與 x 軸交于 A （1，0）.B（ -3，0）、設(shè)直線AC為 y=kx+b ，則有0=k+b6=-2k+b 解得 k=-2b=2直線 AC 為 y=-2x+2（ 2）設(shè) P 的橫坐標(biāo)為 a(-2 a 1)，則 P（ a,-2a+2）， M （ a,-2a2-4a+6）4 分 PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92=-2a+122+92當(dāng) a=-12 時， PM 的最大值為92 M1 （0，6）M2 （ -14， 678）2、如圖9，已知拋物線y= 1x22x 1 的頂點為P， A 為拋物線與y 軸的交點，過A

3、 與y 軸2垂直的直線與拋物線的另一交點為B，與拋物線對稱軸交于點O，過點 B 和 P 的直線 l 交 y 軸于點 C，連結(jié) OC，將 ACO沿 OC 翻折后，點 A 落在點 D 的位置(1) (3 分 ) 求直線 l 的函數(shù)解析式；(2) (3 分) 求點 D 的坐標(biāo)；(3)(3 分)拋物線上是否存在點 Q，使得 S DQC = SDPB? 若存在，求出所有符合條件的點Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖 9(1) 配方 ,得 y=1(x2)2 1，拋物線的對稱軸為直線x=2，頂點2為 P(2， 1) ·······

4、3;·········································1 分取 x=0 代入 y= 1 x2 2x 1，得 y=1，點 A 的坐標(biāo)是 (0，1) 由拋物線的對

5、稱性知，點2A(0， 1)與點 B 關(guān)于直線 x=2 對稱，點 B 的坐標(biāo)是 (4， 1) ···················2 分設(shè)直線 l的解析式為y=kx b(k0)，將 B、P 的坐標(biāo)代入，有14kb,k1,12k解得b直線 l 的解析式為 y=x3 ············&

6、#183;·······3b,3.分(2) 連結(jié) AD 交 OC 于點 E， 點 D 由點 A 沿 OC 翻折后得到，OC 垂直平分 AD由 (1)知，點 C 的坐標(biāo)為 (0， 3)， 在 Rt AOC 中， OA=2 ， AC=4， OC=2 5 據(jù)面積關(guān)系，有1 ×OC×AE= 1 ×OA×CA， AE= 45 ， AD=2AE= 8 5 2255作 DF AB 于 F ，易證 Rt ADF Rt COA， AFDFAD ，ACO AO C AF= AD ·AC= 16

7、， DF = AD·OA= 8 ， ·····························5O C5O C5分又 OA=1，點 D 的縱坐標(biāo)為831631= ， 點D的坐標(biāo)為 (5， )·······6555分(3) 顯然，

8、OP AC，且 O為 AB 的中點， 點 P 是線段 BC 的中點，SDPC= SDPB 故要使 S DQC= SDPB，只需 S DQC =SDPC ···································7 分過 P 作直線 m 與

9、 CD 平行，則直線m 上的任意一點與CD 構(gòu)成的三角形的面積都等于 S DPC ，故 m 與拋物線的交點即符合條件的 Q點容易求得過點C(0， 3)、 D( 16， 3) 的直線的解析式為55y=3x3，4據(jù)直線 m 的作法，可以求得直線m 的解析式為 y= 3x5 42令 1 x22x 1= 3 x5 ，解得 x1=2， x2= 7 ，代入 y=3 x5 ，得 y1= 1，y2= 1 ，2422428因此，拋物線上存在兩點Q7， 1DPB ···91(2， 1)( 即點 P)和 Q2(8)，使得 SDQC= S2分(僅求出一個符合條件的點Q 的坐標(biāo)，扣1 分

10、)3AOBC包括端點），作 AEF = 90 ，使 EF 交矩形的外角平分線BF 于點EOBF ，設(shè) C（m， n）（ 1）若m = n 時，如圖，求證：EF = AE；（ 2）若m n 時，如圖，試問邊OB 上是否還存在點E，使得EF = AE？若存在，請求出點 E 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（ 3）若 m = tn（ t 1）時，試探究點 E 在邊 OB 的何處時， 使得 EF =（t + 1）AE 成立？并求出點 E 的坐標(biāo)yyyFFACACACFOE BxOEBxO EBx（ 1）由題意得 m = n 時， AOBC 是正方形如圖，在 OA 上取點 C，使 AG = BE，則 OG

11、= OE EGO = 45 ，從而 AGE = 135 由 BF 是外角平分線，得 EBF = 135， AGE =EBF AEF = 90 ，F(xiàn)EB + AEO = 90 在 RtAEO 中， EAO + AEO = 90 ， EAO =FEB，AGE EBF， EF = AE（ 2）假設(shè)存在點 E，使 EF = AE設(shè) E（ a， 0）作 FH x 軸于 H，如圖由（ 1）知 EAO = FEH ，于是 RtAOE Rt EHF FH = OE，EH = OA 點 F 的縱坐標(biāo)為a，即FH = ay由 BF 是外角平分線，知FBH = 45 ，BH = FH = a又由 C（ m， n）有

12、 OB = m，BE = OBOE = m a， EH = ma + a = m又 EH = OA = n， m = n，這與已知 m n 相矛盾因此在邊 OB 上不存在點 E，使 EF = AE 成立（ 3）如（ 2）圖，設(shè) E（ a， 0）， FH = h，則 EH = OH OE = h + m a由 AEF = 90 ， EAO = FEH ，得 AOE EHF ， EF =（t + 1） AE 等價于 FH =（ t + 1） OE，即 h =（ t + 1 ） a，且 AOOE ，即na ，ACGFOEBxEHFHhmah整理得2，ama2a(ma)nh = ah + am aha

13、nan把 h =（ t + 1） a 代入得a( ma)1)a ，n(tya即 m a =（ t + 1 ）（ n a）而 m = tn，因此tn a =（t + 1 ）（ n a）A化簡得 ta = n，解得 antO E t 1， n n m，故 E 在 OB 邊上t當(dāng) E 在 OB 邊上且離原點距離為n 處時滿足條件，此時E（ n ，0）tt4 、已知：直線y1 x 1 與 y 軸交于A，與 x 軸交于 D ，拋物線1 x22ybxc 與直線交于 A、E 兩點，與 x 軸交于 B、C 兩點，且2FCBHxyEB 點坐標(biāo)為（ 1，0）（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）動點 P 在 x 軸上

14、移動，當(dāng) PAE 是直角三角形時，求點 P 的坐標(biāo)（ 3）在拋物線的對稱軸上找一點M，使 | AMMC |的值最大，求出點ADO BCxM 的坐標(biāo)（ 1）將 A（0， 1）、 B（ 1， 0）坐標(biāo)代入 y1 x2bx c 得21 cb31解得2b c0c 12拋物線的解折式為y1 x23 x 1 ·························（

15、 2 分）221 m23 m（ 2）設(shè)點 E 的橫坐標(biāo)為 m，則它的縱坐標(biāo)為122則 E（ m ， 1 m23 m 1）22又點 E 在直線 y1 x1上，y2E 1 m23 m 11 m 1 222A解得 m10（舍去）， m24 E 的坐標(biāo)為（ 4， 3） ···········（ 4 分）D1 BC3xO PPF P2M（）當(dāng) A 為直角頂點時過A作APDE交x軸于 P 點，設(shè) P (a，0) 111易知 D 點坐標(biāo)為（2，0）由 Rt AOD Rt POA 得DOOA 即21，

16、 a1 OAOP1a2P1 ， ············································（ 5 分）012（）同理，當(dāng)E 為直角

17、頂點時， P2 點坐標(biāo)為（11 ， 0） ·············（ 6 分）2（）當(dāng) P 為直角頂點時，過E 作 EF x 軸于 F ，設(shè) P3 (b，0) 由 OPAFPE90°，得OPAFEP Rt AOP Rt PFE 由 AOOP 得1bb PFEF43解得 b1 1， b3 2此時的點 P3 的坐標(biāo)為（ 1，0）或（ 3，0） ·········

18、3;·········（ 8 分）綜上所述，滿足條件的點P 的坐標(biāo)為（1 ， 0）或（ 1， 0）或（ 3， 0）或（ 11 ， 0）322（）拋物線的對稱軸為x ····························（ 9 分

19、）2 B、 C 關(guān)于 x3 對稱，2 MC MB要使|AMMC |最大，即是使 | AMMB |最大由三角形兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)A、B、M 在同一直線上時 | AMMB |的值最大··································

20、3;···················（10 分）易知直線 AB 的解折式為yx1yx13x31由3得2 M（，）·············（ 11 分）22x2y125 、 在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系xOy 中， 已 知 拋 物 線yy= a( x1)2c(a0) 與

21、x 軸交于 A、B 兩點 ( 點 A在點 B 的左側(cè) ) ，與 y 軸交于點C，其頂點為M,若直線 MC 的函數(shù)表達(dá)式為ykx3 , 與 x 軸的交點為N，且 COSBCO 3 10 。110O 1x(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在此拋物線上是否存在異于點C 的點 P，使以 N、P、C 為頂點的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點P 的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；(3)過點 A 作 x 軸的垂線，交直線MC于點 Q.若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點，則拋物線向上最多可平移多少個單位長度 ?向下最多可平移多少個單位長度?6、已知：拋物線yax2b

22、xc 與 x 軸交于 A、 B 兩點，與 y 軸交于點 C 其中點 A 在 x軸的負(fù)半軸上，點C 在 y 軸的負(fù)半軸上，線段OA、 OC的長（ OA<OC ）是方程x25x40的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x1 （ 1）求 A、B、 C 三點的坐標(biāo)；y（ 2）求此拋物線的解析式；（ 3）若點 D 是線段 AB 上的一個動點（與點A、B 不重合），ODB過點 D 作 DE BC 交 AC 于點 E，連結(jié) CD ，設(shè) BD 的長為Axm， CDE 的面積為 S，求 S 與 m 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 m 的取值范圍 S 是否存在最大值？若存在，求出最E大值并求此時 D 點坐標(biāo)；若不存在

23、，請說明理由解：（ 1） OA、 OC 的長是 x2 5x+4=0 的根， OA<OCC OA=1， OC=4 點 A 在 x 軸的負(fù)半軸，點 C 在 y 軸的負(fù)半軸 A（ 1，0） C（ 0， 4）拋物線 y ax2bxc 的對稱軸為 x1由對稱性可得 B 點坐標(biāo)為（ 3， 0） A、 B、C 三點坐標(biāo)分別是：A（ 1， 0）， B（ 3， 0）， C（ 0， 4）（ 2）點 C（ 0， 4）在拋物線 yax2bxc圖象上 c4將 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）代入 yax2bx 4a b40得3b4解之得9a04a38b3 所求拋物線解析式為：y4x28x433（ 3）根據(jù)題意

24、， BDm ，則 AD4m在 RtOBC 中， BC= OB2OC 2=5 DE BC ， ADE ABC DEADBCAB·5(4 m) 205m DEAD BCAB4y4過 點 E作 EFAB于 點 F ， 則 sin EDF =sin OC4AFODBCBA=5xBC EF4EDE544205mCEF=DE=4=4 m55 SCDE =S ADC S ADE= 1 （ 4m）× 4 1 （ 4 m）（ 4 m）22= 1 m2+2m（0<m<4 ）2 S=1 （ m 2） 2+2， a= 1 <022當(dāng) m=2 時， S 有最大值2.點 D 的坐標(biāo)為

25、（ 1， 0） .7、如圖9，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A(3，3) （ 1）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（ 2）把直線 OA 向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點yB(6， m) ，求 m 的值和這個一次函數(shù)的解析式；A3（ 3）第（ 2）問中的一次函數(shù)的圖象與x 軸、 y 軸分別交于 C、D ，B求過 A、B、 D 三點的二次函數(shù)的解析式；O3C6（ 4）在第（ 3）問的條件下，二次函數(shù)的圖象上是否存在點E，x使四邊形OECD 的面積 S 與四邊形OABD 的面積S 滿足：1S12 S ？若存在，求點E 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由D3解：（ 1）設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y

26、k1 x( k1 0) ，因為 yk1 x 的圖象過點 A(3，3)，所以33k1 ，解得 k1 1這個正比例函數(shù)的解析式為yx ·····························（ 1 分）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為yk2 (k20) x因為 yk2 的圖象過點 A(3，3) ，所以x3k2 ，解得 k

27、2 9 39這個反比例函數(shù)的解析式為y ·····························（ 2 分）9x（ 2）因為點 B(6， m) 在 y的圖象上，所以xm9336，則點 B 6， ·········

28、83;························（ 3 分）22設(shè)一次函數(shù)解析式為yk3 xb(k30) 因為 yk3 xb 的圖象是由yx 平移得到的，所以 k31，即 yxb 又因為 yxb 的圖象過點 B36，所以23b ，解得 b96，22一次函數(shù)的解析式為y9x ······

29、3;························（ 4 分）2（ 3）因為 yx9的圖象交 y 軸于點 D ，所以 D 的坐標(biāo)為0，9 22設(shè)二次函數(shù)的解析式為yax2bxc(a0) 因為 y2bxc 的圖象過點A(3，3) 、 B3、和 D0，9，ax6，229a3bc，a1，323所以36a6b c····&#

30、183;····（ 5 分）解得b，2，499 .cc2 .2這個二次函數(shù)的解析式為y1 x24x9 ························（ 6 分）22（ 4）yx9，點 C 的坐標(biāo)是9， ，交 x 軸于點 C022如圖所示， S1561661331 332222245189981424y2 S81227

31、假設(shè)存在點 E( x0，y0 ) ，使 S1A34323B四邊形 CDOE 的頂點 E 只能在 x 軸上方，y00 ，ES1SOCDS OCEO3C 6xD199192222281 9 y0 8 4y0819 y027，y03 ·······························

32、··（ 7 分）8422E( x0，y0 ) 在二次函數(shù)的圖象上，12932x04x022解得 x02 或 x06 當(dāng) x6時，點 E3CDOE 不是四邊形，故x6 舍去，6， 與點 B 重合，這時0203點 E 的坐標(biāo)為2， ·····························&#

33、183;·····（ 8 分）28、如圖，已知拋物線y x2bxc經(jīng)過 A(1，0) ， B(0，2) 兩點，y頂點為 D（ 1）求拋物線的解析式；B（ 2）將 OAB 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點 B 落到點 C 的位置，將拋物線沿y 軸平移后經(jīng)過點C ，求平移后所得圖象的函數(shù)關(guān)系式；OA Dx（ 3）設(shè)（ 2）中平移后，所得拋物線與y 軸的交點為 B1 ，y（第 26 題）頂點為 D1 ，若點 N 在平移后的拋物線上， 且滿足 NBB1C的面積是 NDD面積的 2 倍，求點 N 的坐標(biāo)l1解：（ 1）已知拋物線 yx2 bxc

34、 經(jīng)過 A(10)， B(0，2) ，P01bcb3OBx200c解得2Dc所求拋物線的解析式為yx23x2 圖（ 16）分······························2（ 2）A(10)， ， B(0，2) ，OA1， OB2可得旋轉(zhuǎn)后C 點的坐標(biāo)為 (31)，·

35、3;···································3 分當(dāng) x3時，由 yx23x2 得 y 2，可知拋物線 yx23x2 過點 (3，2)將原拋物線沿y 軸向下平移1 個單位后過點 C 平移后的拋物線解析式為：yx23x 1

36、 ···························5 分（ 3）點 N 在 yx23x1上，可設(shè) N 點坐標(biāo)為 (x0， x023x0 1)25 ， 其對稱軸為將 yx23x1 配方得 yx3x3 ··········

37、83;···6 分242當(dāng) 0x03時，如圖，y2S NBB2SNDD11113B1x21x20220B1ACx01ODxND1此時 x023x011圖N 點的坐標(biāo)為 (1， 1) ································&#

38、183;·····8 分當(dāng) x03時，如圖2同理可得 11x021x03222x03y此時 x023x011B點 N 的坐標(biāo)為 (31)， NB1AC綜上，點 N 的坐標(biāo)為 (1， 1) 或 (31)， -10 分ODxD 1圖9、如圖（ 16），在平面直角坐標(biāo)系中， 開口向上的拋物線與x 軸交于 A、B 兩點， D 為拋物線的頂點，O 為坐標(biāo)原點若OA、 OB（ OAOB）的長分別是方程 x24x3 0 的兩根，且DAB45°（ 1）求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式；（2）過點 A作 ACAD 交拋物線于點 C ，求點 C 的坐標(biāo)；（

39、3）在（ 2）的條件下，過點A任作直線l交線段CD于點求到直線l的距離分別P，C、 D為 d1、d2 ，試求 d1 +d2 的最大值解：（ 1）解方程 x24 x 30 得x 1或 x 3，而 OA OB，則點 A 的坐標(biāo)為 (1，0) ，點 B 的坐標(biāo)為 (3，0)···························

40、3;····1 分過點作xD1， D1ABDDD1軸于為的中點則D1 的坐標(biāo)為 (10)，又因為DAB45°， AD1DD12D 的坐標(biāo)為 (1， 2)·································&

41、#183;············2 分令拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式為ya( x 1)22拋物線過點 A(1，0)，則 0 4a2，得 a12113故拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式為y(x 1)22（或?qū)懗?yx2x） ·······4 分CA222（ 2）·············

42、··························5 分AD， DAC 90°又DAB 45°， CAD1 45°令點 C 的坐標(biāo)為 (m，n)，則有 m1n············

43、83;·····················6 分點C在拋物線上，12n(m1)272·························

44、········ 分化簡得2解得 m5， m1（舍去）m 4m 50故點 C 的坐標(biāo)為 (5，6)···································&

45、#183;··········8 分（ 3）由（ 2）知 AC 6 2，而 AD 2 2，DCAD2AC24 5································&#

46、183;········9 分過 A作 AMCD11ACADDCAM，22AM246 5······················4 55S ADCS APDS APC，1ACAD1 APd11 APd2 ·········222d1d224 242454 5APAM6 5圖 12即此時 dd2的最大值為 45 ··············