二次根式的概念及性質

1、學習必備歡迎下載卓越教育 VIP 個性化教案學生姓名王曉佛年級八學科數(shù)學授課時間教師姓名鐘旭課時3教學課題二次根式的概念及性質1.知道二次根式與數(shù)的開平方運算之間的聯(lián)系，理解二次根式的概念，并利用a（a0）的教學目標意義解答具體題目；2.了解最簡二次根式和同類二次根式，掌握二次根式化成最簡二次根式.二次根式a的內涵；確定二次根式中字母的取值范圍；a是一個非負數(shù)；教學重、難點（ a 0）（a0）( a) 2 =、 a 2=（ ）及其運用a（a0）aa 0【教學過程】一、復習引入1、什么叫平方根？開平方？2、平方根如何表示？3、求下列各數(shù)的平方根：9（ 1） 24； （2） 0.16； （ 3）.

2、254、求下列各數(shù)的正平方根：（ 1） 225;16（ 2） 0.0001； （3）.815、根據下圖所示的直角三角形、正方形和等邊三角形的條件，完成以下填空：2cma cmS=(b 3)cm2S3cm2=2直角三角形的斜邊長是_；正方形的邊長是 _ ；等邊三角形的邊長是 _。問：你認為所得的各代數(shù)式的共同特點是什么？二、探索新知1二次根式的定義 :很明顯 5 題中上述得數(shù)都是一些正數(shù)的算術平方根像這樣表示的算術平方根，且二次根號內含有字母的代數(shù)式叫做二次根式。因此，一般地，我們把形如a (a 0)的代數(shù)式叫做二次根式. “”稱為二次根號2. 二次根式有意義的條件 ：被開方數(shù)大于或等于零 .注

3、意：二次根式都含有二次根號“”； 在二次根式中，被開方數(shù)a 必須滿足 a0 ，當 a0 時，根式無意義； 在二次根式中，a 可以是數(shù)也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式； 二次根式 a (a0) 是 a 的算術平方根，所以a0.例 1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2 、 33 、1 、x （ x>0 ）、0、42、-2 、x學習必備 歡迎下載2 、 b(b0)、 1、x y （ x 0， y 0）xy 二次根式應滿足兩個條件：第一，有二次根號“”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0： a1 是不是二次根式？a 1 呢？a1 這類代數(shù)式只能稱為含有二次根式的代數(shù)式，不能稱之為二次根式；

4、而2x223 這類代x數(shù)式，應把2, 3 這些二次根式看作系數(shù)或常數(shù)項，整個代數(shù)式仍看作整式.例 2. 求下列二次根式中字母a 的取值范圍：（ 1）a 1 ；（ 2）1；（ 3）1 ；（ 4）(a 3)2 .1 2a3a 求二次根式中字母的取值范圍的基本依據：被開方數(shù)大于或等于零；分母中有字母時，要保證分母不為零.例 3. 已知 x 滿足 2013 xx 2014x ，那么 x20132 的值為（）A 2012B 2013C 2014D 20153. 二次根式的性質 :(1) (a )2a( a0);文字語言敘述為：一個非負數(shù)的算術平方根的平方等于這個非負數(shù).(2)a2aa( a0)文字語言敘

5、述為：一個數(shù)的平方的算術平方根等于這個數(shù)的絕對值.(0)a a 注意：（ 1）二次根式的性質公式（）是逆用平方根的定義得出的結論. 上面的公式也可以反過來應用：若，則，如：，.（ 2）中的 a 的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論a 取何值，一定有意義；（ 3）a 2 不是等于 a，而是等于a ，再根據 a 的正、負來進行化簡 .:(a)2 與 a2 有區(qū)別嗎？（ 1）不同點： 與 表示的意義是不同的， 表示一個正數(shù) a 的算術平方根的平方，而示一個實數(shù) a 的平方的算術平方根；在 中 ，而 中 a 可以是正實數(shù)， 0，負實數(shù)。但表與都是非負數(shù)，即，。因而它的運算的結果是有差別的，而.（ 2）相同

6、點：當被開方數(shù)都是非負數(shù)，即時，=；時，無意義，而.例4.已知x2，則x 24x4的結果是_學習必備歡迎下載.根號外的a移到根號內，得()例 5 將A.B. C. D.4. 最簡二次根式：必須同時滿足下列條件：被開方數(shù)中不含開方開得盡的因數(shù)或因式；被開方數(shù)中不含分母；分母中不含根式.例 6. 在下列二次根式，中最簡二次根式有_例 7. 已知，則化為最簡二次根式是（）A.B.C.D.5. 同類二次根式：（ 1）定義：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫同類二次根式。注：判斷幾個二次根式是否為同類二次根式，關鍵是先把二次根式準確地化成最簡二次根式，再觀察它們的被開方數(shù)

7、是否相同 .（ 2）合并同類二次根式：合并同類二次根式的方法與合并同類項的方法類似，系數(shù)相加減，二次根號及被開方數(shù)不變 .例8.最簡二次根式與是同類二次根式，則x 等于（）A. 0B.1C.2D. 3例9.與（ a>0， b>0）不是同類二次根式的是（）A.B.C.D.6. 二次根式的運算：（ 1）因式的外移和內移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術根代替而移到根號外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面（ 2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二

8、次根式（一化，二找，三合并）（ 3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除） ，將被開方數(shù)相乘（除） ，所得的積（商）仍作積（商）的被開方數(shù)并將運算結果化為最簡二次根式ab =a ·b（ a0， b0）；bb（ b0， a>0）a a（ 4）二次根式的混合運算：二次根式的混合運算可以說是二次根式乘法、除法、加、減法則的綜合應用，在進行二次根式的混合運算時應注意以下幾點： 觀察式子的結構，選擇合理的運算順序，二次根式的混合運算與實數(shù)的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號先算括號內的。 在運算過程中，每個根式可以看作是一個“單項式”，多個不同類的二次根式的和可以看作是“多項式

9、”。學習必備歡迎下載 觀察式中二次根式的特點，合理使用運算律和運算性質，在實數(shù)和整式中的運算律和運算性質，在二次根式的運算中都可以應用。三、課堂練習1. 求出下列代數(shù)式中字母的取值范圍：（ 1） a22a 3 ；（ 2）1； (3)1a2. 求式子x15x有意義時x 的取值范圍 .1；（ 4） 2x 3 + 1.x 53 xx13. 根式 1) a2b2 ;2)x ;3) x2xy ;4)27abc ，最簡二次根式是（）5A1) 2)B 3) 4)C 1) 3)D 1) 4)y1 8x8 x 11 , 求代數(shù)式xy2xy2的值。4.已知：2yxyx15. 把（ ab） a b 化成最簡二次根式

10、.6. 計算：7. 先化簡，再求值：11b，其中 a=5 1 ， b=5 1 a bba(a b)228.如圖，實數(shù)a 、 b 在數(shù)軸上的位置，化簡：a2b2(ab) 2 .9. 化簡下列各式：（1）423（2）526學習必備歡迎下載10.已知 a>b>0， a+b=6ab ，則ab 的值為（）abA 2C 21B 2D 2211.甲、乙兩個同學化簡時，分別作了如下變形：甲：=；乙：=. 其中，（）A. 甲、乙都正確B. 甲、乙都不正確C. 只有甲正確D. 只有乙正確四、課后作業(yè)一、填空題：1、212的平方根是；49 的算術平方根是；3216 的立方根是；812、當 a時，3a2

11、無意義；2x 有意義的條件是。23 x3、如果a 的平方根是± 2，那么 a 。4、最簡二次根式4a3b 與 b 1 2ab6 是同類二次根式，則a ， b 。5、如果a 2b2ab2b3(ba)b ，則 a 、 b 應滿足。6、把根號外的因式移到根號內：3a；當 b 0 時，b； (a1)1x。x1a7、若 m0.04 ，則2mm2。8、若 m 0，化簡： 2mmm23 m3。二、選擇題：1、如果一個數(shù)的平方根與它的立方根相同，那么這個數(shù)是（）A、±1B 、0C 、 1D、0和 12、在16x 3 、2、0.5 、a 、 3 25 中，最簡二次根式的個數(shù)是（）3xA 、

12、1B 、 2C 、 3D 、43、下列說法正確的是（）A 、0 沒有平方根B 、 1 的平方根是 1C、4 的平方根是 2D 、3 2的算術平方根是34、416 的算術平方根是（）A 、6B 、6C 、 6D 、65、對于任意實數(shù)a ，下列等式成立的是（）A 、a 2aB 、a 2aC、a 2a D 、a 4a 26、設7的小數(shù)部分為 b ，則 b(b4) 的值是（）A 、1B 、是一個無理數(shù)C、 3D 、無法確定學習必備歡迎下載7、若 x11，則 x 22 x1 的值是（）2A 、2B 、 22C、 2D、2 18 、如果 1 a 2 ，則a 22a 1 a2 的值是（）A 、 6 aB 、

13、 6 aC、 aD 、 19 、二次根式：9 x 2；(a b)(ab) ；a22a 1 ；1 ；0.75 中最簡二次根式是x（ ）A 、B、C、D、只有三、計算題：1、0.01219；252、 372122；1011。3、23 220251四、若 a 、 b 為實數(shù)，且 b a22a2，化簡：2b24b 42a 。13 的小數(shù)部分是 a ， 1 的小數(shù)部分是b五、如果b ，試求 b 的值。a六、已知 A4 a b3 a 2 是 a 2 的算術平方根，B3 a 2b9 2 b 是 2b 的立方根，求A B 的 n 次方根。七、已知正數(shù)a 和b ，有下列命題：（ 1）若 a b2 ，則ab 1；（ 2）若 a b3 ，則 ab 3 ；2（ 3）若 a b6 ，則 a