從課本的一道例題談起

1、從課本的一道例題談起青島市嶗山區(qū)第三中學(xué) 王昌濤1.寫在前面親愛的同學(xué)們，在學(xué)習(xí)本節(jié)課時(shí)相信大家對(duì)例題的印象是非常深刻的，原因在哪里呢？讓我們?cè)賮砘仡櫛竟?jié)課的例題.圖1例1 如圖1，四邊形abcd是邊長(zhǎng)為13cm的菱形，其中對(duì)角線bd長(zhǎng)為10cm.求：(1)對(duì)角線ac的長(zhǎng)度；(2)菱形abcd的面積.解：(1)四邊形abcd是菱形，acbd,即aed=90°，de=bd×10=5（cm）在rtade中，由勾股定理可得：ac=2ae=2×12=24(cm).（2）s菱形abcd= sabd+ scbd=2×sabd=2××bd×

2、;ae= bd×ae=10×12=120(cm2).2.一類四邊形面積求解的方法相信同學(xué)們完成例題后都會(huì)對(duì)菱形面積的處理感覺非常妙，對(duì)于這種解題的技巧你是一笑而過，還是讓你陷入了沉思呢？今天就讓我們一起深入探討一類圖形的面積求解問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)我們知道菱形的面積不僅可以用底乘以高來求，而且知道菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半.即如圖1所示：s菱形abcd=ac×bd.仔細(xì)分析上述的證明過程我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷娘L(fēng)箏的形狀即“箏形”也是可以用這種方法求解的.圖2例2如圖2，四邊形abcd是我們常見的風(fēng)箏的圖案，其中對(duì)角線bd長(zhǎng)為20cm，ac長(zhǎng)為40c

3、m，ac垂直平分bd，垂足為e，求箏形abcd的面積. 解析：由已知：s四邊形abcd= sabd+ scbd=×bd×ae+×bd×ce= ×bd×(ae+ce)= ×bd×ac.我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論對(duì)于箏形依然成立.那么到底滿足什么條件的圖形可以通過這種方法求面積呢？仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，只要四邊形的對(duì)角線互相垂直我們就可以利用這一結(jié)論求解.圖3例3 如圖3，四邊形abcd的對(duì)角線ac、bd互相垂直，其中對(duì)角線bd長(zhǎng)為20cm，ac長(zhǎng)為15cm，垂足為e，求四邊形abcd的面積. 解析：通過上述求解過程，同學(xué)們應(yīng)該能求

4、出結(jié)果為150cm².研究到這里，我們可以得出一個(gè)結(jié)論：結(jié)論1：對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半.3.普通四邊形面積求解的拓展通過結(jié)論1的研究對(duì)于普通的對(duì)角線不垂直的四邊形的面積的求解能不能有什么啟示呢？下面讓我們一起來研究.如圖4所示四邊形abcd的對(duì)角線bd長(zhǎng)為20cm，根據(jù)前面三個(gè)例題的求解方式只要我們知道ae與cf的長(zhǎng)度即可求出四邊形的面積，仿照上面寫出如下算式：s四邊形abcd= sabd+ scbd=×bd×ae+×bd×cf=×bd×(ae+cf).圖4通過這個(gè)算式我們發(fā)現(xiàn)我們剛開始猜想的知道ae與cf的長(zhǎng)度即可求出四邊形的面積，這一條件可以簡(jiǎn)化為知道ae+cf即可求出四邊形的面積。于是我們就得出了第二條結(jié)論：結(jié)論2：任意四邊形的面積等于一條對(duì)角線與其余兩頂點(diǎn)到這條對(duì)角線距離和的乘積的一半.以上的研究就是從課本的一道例題想到的，同學(xué)們對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，我們不能僅僅滿足于一個(gè)個(gè)的題目會(huì)解，更要學(xué)會(huì)反思研究，思考每一個(gè)結(jié)論，每一個(gè)題目背后的本質(zhì).下面就讓我們進(jìn)入小試牛刀環(huán)節(jié)，來體驗(yàn)研究的成果吧.4.若有所思之后的小試牛刀：圖6圖5(1)如圖5，矩形abcd中，ad=6cm，ab=4cm，efad,點(diǎn)g、h分別是ad、bc上任一點(diǎn)，則四邊形egfh的面積等于 cm².(2)