第四章線性系統(tǒng)的可控性和可觀性2

1、§4-5 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性一、可觀測性的定義定義4.4（可觀測性定義）：設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為，如果對于任一給定的輸入，存在一有限觀測時間，使得在期間測量到的，能唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)，則稱此狀態(tài)是可觀測的。若系統(tǒng)的每一個狀態(tài)都是可觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全可觀測的，簡稱系統(tǒng)是可觀測的。說明：在定義中之所以把可觀測性規(guī)定為對初始狀態(tài)的確定，這是因為一旦確定了初始狀態(tài)，便可根據(jù)給定輸入，利用狀態(tài)方程的解 就可以求出各個瞬間狀態(tài)。二、線性定常連續(xù)系統(tǒng)可觀測性的判別準則定理4.6：（可觀測性判別準則） 線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其狀態(tài)完全可觀測的充分必要條件是：由A、

2、C構(gòu)成的可觀測性判別矩陣 滿秩，即 【例4.5.1】判別可觀測性（1），（2），（3），解：（1），故系統(tǒng)是不可觀測的。 （2），故系統(tǒng)是可觀測的。 （3），故系統(tǒng)是不可觀測的。定理4.7：（可觀測性判別準則）設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)，A陣具有互不相同的特征值，則其狀態(tài)完全可觀測的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角標準型 ， 中的矩陣中不含元素全為零的列?！纠?.5.2】判別可觀測性（1），解：系統(tǒng)可觀測。（2），解：系統(tǒng)不可觀測。特別說明： 當為對角陣但含有相同元素時，上述判據(jù)不適用，可根據(jù)可觀測性判別矩陣的秩來判別。定理4.8：（可觀測性判別準則 ）設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)，A陣具有重特征值，且每

3、一個特征值只對應(yīng)一個獨立特征向量，則系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的約當標準型 ， 中的矩陣中與每個約當小塊首列相對應(yīng)的那些列的元素不全為零?！纠?.5.3】判別可觀測性（1）， 解：（1）系統(tǒng)狀態(tài)可觀測。（2）， 解：（2）系統(tǒng)狀態(tài)不可觀測。（3）， 解：（3）可觀測。（4）， 解：（4）可觀測。三、可觀測標準型一個可觀測系統(tǒng)，當A、C陣不具有可觀測標準型時，可選擇適當?shù)淖儞Q化為可觀測標準型。動態(tài)方程中，A、C陣具有如下形式，稱為可觀測標準型。 ，§4-6 線性定常離散系統(tǒng)的可觀測性一、離散系統(tǒng)可觀測性定義定義4.5（線性定常離散系統(tǒng)可觀測性定義）：對于線性定

4、常離散系統(tǒng) ，若能夠根據(jù)輸入向量及在有限采樣周期內(nèi)測量到的輸出向量序列，可以唯一地確定出系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全可觀測的，簡稱系統(tǒng)是可觀測的。二、離散系統(tǒng)可觀測性判據(jù)定理4.9：（離散系統(tǒng)可觀測性判據(jù)）線性定常離散系統(tǒng) ，其狀態(tài)完全可觀測的充分必要條件是：可觀測性判別矩陣 滿秩，即 【例4.6.1】設(shè)離散系統(tǒng)G、C為 ， 試判別其可觀測性。解：可觀測性判別矩陣為 ，故系統(tǒng)是可觀測的?！纠?.6.2】已知線性定常離散系統(tǒng)的動態(tài)方程為 試判斷系統(tǒng)的可觀測性，并討論可觀測性的物理解釋。解：可觀測性判別矩陣 ，故系統(tǒng)是可觀測的。由輸出方程，有，即在第k步便可由輸出確定狀態(tài)變量。由于 故可

5、在第(k+1)步確定。由于 故可在第(k+2)步確定。【例4.6.3】已知線性定常離散系統(tǒng)的動態(tài)方程為 試判斷系統(tǒng)的可觀測性，并討論可觀測性的物理解釋。解：可觀測性判別矩陣 ，故系統(tǒng)是不可觀測的。由輸出方程及動態(tài)方程，有 可以看出，三步的輸出測量值中，始終不含，故是不可觀測的狀態(tài)變量。只要有一個狀態(tài)變量是不可觀測的，系統(tǒng)就是不可觀測的。§4-7 采樣周期對離散化系統(tǒng)可控性和可觀測性的影響 一個線性定常連續(xù)系統(tǒng)在其離散化后，可控性和可觀測性是否發(fā)生改變，真是在設(shè)計計算機控制系統(tǒng)時需要考慮的一個基本問題?！纠?.7.1】已知線性定常連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)方程為 ，分析：，所以系統(tǒng)可控。 ，所以系

6、統(tǒng)可觀測。取采樣周期為T，將連續(xù)系統(tǒng)離散化： 于是離散化后的可控、可觀測性判別矩陣分別為： 取兩個判別矩陣的行列式： 若，則，。故欲使離散系統(tǒng)是可控和可觀測的，采樣周期T應(yīng)滿足： ，結(jié) 論： （1）如果線性定常連續(xù)系統(tǒng)是不可控（不可觀測）的，則其離散化后的系統(tǒng)也必是不可控（不可觀測）的。 （2）如果線性定常連續(xù)系統(tǒng)是可控（可觀測）的，則其離散化后的系統(tǒng)不一定是可控（可觀測）的。 （3）離散化后的系統(tǒng)能否保持可控性（可觀測性），將取決于采樣周期T的選取。§4-8 線性系統(tǒng)可控性與可觀測性的對偶關(guān)系 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性不是兩個相互獨立的概念，它們之間存在著一種內(nèi)在的聯(lián)系。定義4.

7、6（線性定常系統(tǒng)的對偶關(guān)系） 對于線性定常系統(tǒng)和，其狀態(tài)空間表達式為： ： ：若滿足下列關(guān)系：，則稱和是互為對偶的。定理4.10（對偶原理）： 設(shè)和是互為對偶的兩個系統(tǒng)，則的可控性等價于的可觀測性。或者說，若是狀態(tài)完全可控的（完全可觀測的），則是狀態(tài)完全可觀測的（完全可控的）。利用對偶原理，可以把可觀測的SISO系統(tǒng)化為可觀測標準型的問題轉(zhuǎn)化為將其對偶系統(tǒng)化為可控標準型的問題。若一個系統(tǒng)可觀測，但A、C不是可觀測標準型，其對偶系統(tǒng)一定可控，但不具有可控標準型?？衫靡阎幕癁榭煽貥藴市偷脑砗筒襟E，先將化為可控標準型，再根據(jù)對偶原理，便可獲得的可觀測標準型。具體步驟如下：（1）寫出對偶系統(tǒng)的可

8、控性判別矩陣 （2）求，設(shè)一般形式為 （3）取的最后一行，構(gòu)成，并構(gòu)造。 （4）求的逆陣。陣便是把化為可控標準型的變換陣。 （5）對再利用對偶原理，便可將化為可觀測標準型。 【例4.8.1】已知線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程為 ， 試判別可觀測性。如可觀測，寫出可觀測標準型。解：（1），故系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測。（2）求可觀測標準型列寫其對偶系統(tǒng)的可控性判別矩陣 ， 求 構(gòu)造 求 可觀測標準型為 其中：，即 ，§4-9 可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系一、傳遞函數(shù)矩陣定義4.7（傳遞函數(shù)矩陣的定義）： 設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為，在初始條件為零時，輸出向量的拉氏變換式與輸入向量的拉氏變換式之間的傳遞關(guān)

9、系，稱為傳遞函數(shù)矩陣，簡稱傳遞矩陣。 【例4.9.1】已知線性系統(tǒng)動態(tài)方程中各矩陣如下，試求傳遞函數(shù)矩陣。 ，解： MIMO系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖二、MIMO系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣和閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣其中：U、E、Y、Z分別為輸入向量、偏差向量、輸出向量和反饋向量。1、開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣：輸入向量至反饋向量之間的傳遞函數(shù)矩陣。 2、閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣：輸入向量至輸出向量之間的傳遞函數(shù)矩陣。 3、偏差傳遞函數(shù)矩陣：輸入向量至偏差向量之間的傳遞函數(shù)矩陣。 三、傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)問題定義4.8（傳遞矩陣的實現(xiàn)） 給定一傳遞函數(shù)矩陣，若有一狀態(tài)空間表達式 使成立，則稱此狀態(tài)空間表達式為傳遞函數(shù)矩陣的一個實現(xiàn)。說 明：（

10、1）并不是任意一個傳遞函數(shù)矩陣都可以找到其實現(xiàn)，通常它必須滿足物理可實現(xiàn)條件。即： 傳遞函數(shù)矩陣中的每一個元（，）的分子分母多項式系數(shù)均為實常數(shù)。 傳遞函數(shù)矩陣中的每一個元均為s的有理真分式函數(shù)。（2）對應(yīng)某一傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)是不唯一的。 由于傳遞函數(shù)矩陣只能反映系統(tǒng)中可控且可觀測的子系統(tǒng)的動力學行為。因而，對于某一傳遞函數(shù)矩陣有任意維數(shù)的狀態(tài)空間表達式與之對應(yīng)。 由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，選擇不同的狀態(tài)變量時，其狀態(tài)空間表達式也隨之不同。1、SISO系統(tǒng)的可控標準型實現(xiàn)和可觀測標準型實現(xiàn)可控標準型實現(xiàn)：，可觀測標準型實現(xiàn)：，并且有 【例4.9.2】已知線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 試寫出系統(tǒng)可控標準型實現(xiàn)和可觀測標準型實現(xiàn)。解：可控標準型實現(xiàn) ， 可觀測標準型實現(xiàn) ，2、MIMO系統(tǒng)的可控標準型實現(xiàn)和可觀測標準型實現(xiàn)設(shè)MIMO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為維，并有如下形式： 式中：均為維實數(shù)矩陣，分母多項式為該傳遞函數(shù)矩陣的特征多項式。（m 輸出變量的維數(shù)；r 輸入變量的維數(shù)）可控標準型實現(xiàn) ， ，式中：和分別表示階零矩陣和單位矩陣，n為分母多項式的階數(shù)。可