寒假專題三角形中的常用輔助線

1、課程解讀一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：歸納、掌握三角形中的常見輔助線二、重點、難點：1、全等三角形的常見輔助線的添加方法。2、掌握全等三角形的輔助線的添加方法并提高解決實際問題的能力。 三、考點分析：全等三角形是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是今后學(xué)習(xí)其他知識的基礎(chǔ)。判斷三角形全等的公理有sas、asa、aas、sss和hl，如果所給條件充足，則可直接根據(jù)相應(yīng)的公理證明，但是如果給出的條件不全，就需要根據(jù)已知的條件結(jié)合相應(yīng)的公理進(jìn)行分析，先推導(dǎo)出所缺的條件然后再證明。一些較難的證明題要構(gòu)造合適的全等三角形，把條件相對集中起來，再進(jìn)行等量代換，就可以化難為易了。典型例題人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添

2、？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。全等三角形輔助線找全等三角形的方法：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：延長中線構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形；引平行線構(gòu)造全等三角形；作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“

3、對折”。例1：如圖，abc是等腰直角三角形，bac=90°，bd平分abc交ac于點d，ce垂直于bd，交bd的延長線于點e。求證：bd=2ce。思路分析：1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用2）解題思路：要求證bd=2ce，可用加倍法，延長短邊，又因為有bd平分abc的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。解答過程：證明：延長ba，ce交于點f，在bef和bec中，1=2，be=be，bef=bec=90°，befbec，ef=ec，從而cf=2ce。又1+f=3+f=90°，故1=3。在abd和acf中，1=3，ab=ac，bad=ca

4、f=90°，abdacf，bd=cf，bd=2ce。解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng)用不但可以提高解題的能力，而且還加強了相關(guān)知識點和不同知識領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問題的關(guān)鍵。（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。例2：如圖，已知abc中，ad是bac的平分線，ad又是bc邊上的中線。求證：abc是等腰三角形。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。2）解題思路：在證明三角

5、形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了ad又是bc邊上的中線這一條件，而且要求證ab=ac，可倍長ad得全等三角形，從而問題得證。解答過程：證明：延長ad到e，使de=ad，連接be。又因為ad是bc邊上的中線，bd=dc又bde=cdabedcad，故eb=ac，e=2，ad是bac的平分線1=2，1=e，ab=eb，從而ab=ac，即abc是等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形

6、全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。例3：已知，如圖，ac平分bad，cd=cb，ab>ad。求證：b+adc=180°。思路分析：1）題意分析：本題考查角平分線定理的應(yīng)用。2）解題思路：因為ac是bad的平分線，所以可過點c作bad的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。解答過程：證明：作ceab于e，cfad于f。ac平分bad，ce=cf。在rtcbe和rtcdf中，ce=cf，cb=cd，rtcbertcdf，b=cdf，cdf+adc=180°，b+adc=180°。解題后的思考：關(guān)于角平行線的問題，

7、常用兩種輔助線；見中點即聯(lián)想到中位線。（4）過圖形上某一點作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”例4：如圖，abc中，ab=ac，e是ab上一點，f是ac延長線上一點，連ef交bc于d，若eb=cf。 求證：de=df。 思路分析：1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2）解題思路：因為de、df所在的兩個三角形deb與dfc不可能全等，又知eb=cf，所以需通過添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換：過e作eg/cf，構(gòu)造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。 解答過程：證明：過e作eg/ac交bc于g，

8、則egb=acb， 又ab=ac，b=acb， b=egb，egd=dcf，eb=eg=cf， edb=cdf，dgedcf， de=df。解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：例5：abc中，bac=60°，c=40°，ap平分bac交bc于p，bq平分abc交ac于q，求證：ab+bp=bq+aq。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2）解題思路：本題要證明的是ab+bp=bq+aq。形勢較為復(fù)雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^o作bc的平行線。得adoaqo。得到od=oq，ad=

9、aq，只要再證出bd=od就可以了。解答過程：證明：如圖（1），過o作odbc交ab于d，ado=abc=180°60°40°=80°，又aqo=c+qbc=80°， ado=aqo， 又dao=qao，oa=ao， adoaqo， od=oq，ad=aq， 又odbp， pbo=dob， 又pbo=dbo， dbo=dob，bd=od，又bpa=c+pac=70°， bop=oba+bao=70°，bop=bpo，bp=ob， ab+bp=ad+db+bp=aq+oq+bo=aq+bq。 解題后的思考：（1）本題也可以在a

10、b上截取ad=aq，連od，構(gòu)造全等三角形，即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖（2），過o作odbc交ac于d，則adoabo從而得以解決。如圖（3），過o作debc交ab于d，交ac于e，則adoaqo，aboaeo從而得以解決。如圖（4），過p作pdbq交ab的延長線于d，則apdapc從而得以解決。如圖（5），過p作pdbq交ac于d，則abpadp從而得以解決。小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是

11、作平行線還是倍長中線，實質(zhì)都是對三角形作了一個以中點為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。（5）截長法與補短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例6：如圖甲，adbc，點e在線段ab上，ade=cde，dce=ecb。求證：cd=ad+bc。思路分析：1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。2）解題思路：結(jié)論是cd=ad+bc，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在cd上截取cf=cb，只要再證df=da即可，這就轉(zhuǎn)化為

12、證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡化問題的目的。解答過程：證明：在cd上截取cf=bc，如圖乙在fce與bce中，fcebce（sas），2=1。又adbc，adc+bcd=180°，dce+cde=90°，2+3=90°，1+4=90°，3=4。在fde與ade中，fdeade（asa），df=da，cd=df+cf，cd=ad+bc。解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長法或補短法：截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線

13、段。1）對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明。2） 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證明不出來，可連接兩點或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明。小結(jié)：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。

14、預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)下一講我們就要進(jìn)入八下的學(xué)習(xí)了，八下的第一章是分式。 請同學(xué)們預(yù)習(xí)課本，并思考以下問題。1、分式的概念是什么？2、分式的乘除法的運算法則是什么？同步練習(xí)（答題時間：90分鐘）這幾道題一定要認(rèn)真思考啊，都是要添加輔助線的，開動腦筋好好想一想吧！加油！你一定行！1、已知，如圖1，在四邊形abcd中，bcab，ad=dc，bd平分abc。求證：bad+bcd=180°。2、已知，如圖2，1=2，p為bn上一點，且pdbc于點d，ab+bc=2bd。求證：bap+bcp=180°。3、已知，如圖3，在abc中，c2b，12。求證：ab=ac+cd。4、已知，如圖4，d、e為

15、abc內(nèi)兩點，求證：ab+ac>bd+de+ce。5、如圖5，ad為abc的中線，求證：ab+ac>2ad。6、如圖6所示，ad是abc的中線，be交ac于e，交ad于f，且ae=ef。求證：ac=bf。試題答案1、分析：因為平角等于180°，因而應(yīng)考慮把兩個不在一起的角通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長法或補短法”來實現(xiàn)。證明：過點d作de垂直ba的延長線于點e，作dfbc于點f，如圖1-2bd平分abc，de=df，在rtade與rtcdf中，rtadertcdf(hl)，dae=dcf。又bad+dae=180

16、°，bad+dcf=180°，即bad+bcd=180°2、分析：與1相類似，證兩個角的和是180°，可把它們移到一起，讓它們成為鄰補角，即證明bcp=eap，因而此題適用“補短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造。證明：過點p作pe垂直ba的延長線于點e，如圖2-21=2，且pdbc，pe=pd，在rtbpe與rtbpd中，rtbpertbpd(hl)，be=bd。ab+bc=2bd，ab+bd+dc=bd+be，ab+dc=be即dc=be-ab=ae。在rtape與rtcpd中，rtapertcpd(sas)，pae=pcd又bap+pae=180°。

17、bap+bcp=180°3、分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補短”都可實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長ac至e使ce=cd，或在ab上截取af=ac。證明：方法一（補短法）延長ac到e，使dc=ce，則cdeced，如圖3-2acb2e，acb2b，be，在abd與aed中，abdaed（aas），ab=ae。又ae=ac+ce=ac+dc，ab=ac+dc。方法二（截長法）在ab上截取af=ac，如圖3-3在afd與acd中，afdacd（sas），df=dc，afdacd。又acb2b，fdbb，fd=fb。ab=af+fb=ac+fd，ab=ac+cd。4、證明：（方法一）將de兩邊延長分

18、別交ab、ac于m、n，在amn中，am+an>md+de+ne；在bdm中，mb+md>bd；在cen中，cn+ne>ce；由+得：am+an+mb+md+cn+ne>md+de+ne+bd+ceab+ac>bd+de+ec（方法二：圖4-2）延長bd交ac于f，延長ce交bf于g，在abf、gfc和gde中有：ab+af>bd+dg+gf gf+fc>ge+cedg+ge>de由+得：ab+af+gf+fc+dg+ge>bd+dg+gf+ge+ce+deab+ac>bd+de+ec。5、分析：要證ab+ac>2ad，由圖想到

19、：ab+bd>ad，ac+cd>ad，所以有ab+ac+bd+cd>ad+ad=2ad，左邊比要證結(jié)論多bd+cd，故不能直接證出此題，而由2ad想到要構(gòu)造2ad，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去證明：延長ad至e，使de=ad，連接be，cead為abc的中線（已知）bd=cd（中線定義）在acd和ebd中acdebd（sas）be=ca（全等三角形對應(yīng)邊相等）在abe中有：ab+be>ae（三角形兩邊之和大于第三邊）ab+ac>2ad。6、分析：欲證ac=bf，只需證ac、bf所在兩個三角形全等，顯然圖中沒有含有ac、bf的兩個全等三角形，而根據(jù)題目條件去構(gòu)