廣義逆矩陣PPT課件

1、11rIBXQPCD其中 分別是任意 矩陣。證明：把形如(3)的矩陣以及(2)式代入矩陣方程(1)，得到：, ,B C D(),rsr(),nrr(3)11000000rrrIIBIPQQP PQCD左邊()()nrsr第1頁/共40頁00000000000000rrrrrrIIBIPQCDIBIPQIPQA右邊第2頁/共40頁所以形如(3)的每一個矩陣都是矩陣方程(1)的解。 為了說明(3)是矩陣方程(1)的通解，現在任取(1)的一個解 ，則由(1)和(2)得因為 可逆，所以從上式得XG000000000rrrIIIPQGPQPQ,P Q000000000rrrIIIQGP(4)第3頁/共4

2、0頁把矩陣 分塊，設代入(4)式得即QGPHBQGPCD000000000rrrIHBIICD000000rHI(5)第4頁/共40頁由此得出， ，代入(5)式便得出這證明了矩陣方程(1)得任意一個解都能表示成(3)的形式，所以公式(3)是矩陣方程(1)的通解.定義：設 是一個 矩陣，矩陣方程 的通解稱為 的廣義逆矩陣，簡稱為 的廣義逆。我們用記號 表示 的一個廣義逆。rHI11rIBGQPCDAsnAXAAAAAA第5頁/共40頁定理(非齊次線性方程組的相容性定理)：非齊次線性方程組 有解的充分必要條件是證明：必要性。設 有解 ，則 。因為 ，所以充分性。設 ，則取 得所以 是 的解。AXA

3、AAXXAAAA AAAA AAAAAA()AA AAAX第6頁/共40頁定理(非齊次線性方程組解的結構定理)：設非齊次線性方程組 有解，則它的一般解(通解）為其中 是 的任意一個廣義逆。證明：任取 的一個廣義逆 ，我們來證 是方程組 的解：已知 有解，根據前一個定理得：這表明 是 的一個解。AXXAAAAAAXXAAX()AAA AAXA第7頁/共40頁反之，對于 的任意一個解 ，我們要證存在 的一個廣義逆 ，使得 。設 是 矩陣，它的秩為 ，且AXAAAAsnr000rIAPQ其中 與 分別是 階、 階可逆矩陣。由于 的廣義逆具有形式(3)，因此我們要找矩陣 ，使PQsnA, ,B C D

4、11rIBQPCD第8頁/共40頁即先分析 與 之間的關系。因為 ,所以有分別把 分塊，設1rIBQPCDQ1PA1000rIQP1,QP12YrQYnr行行(6)第9頁/共40頁112ZrPZsr行行1122000rYZIYZ則(6)式成為所以 ，因為 ，所以 ，從而 。設 ，且設 。 取112,0YZ Z10P010Z 11( ,)rZkk 0ik 120,0,(0,0,0,0)iBDCk Y第10頁/共40頁則于是從而只要取則11111200000rrZYIIZPQCZYCC1100rIQPC1100rIAQPCA第11頁/共40頁定理(齊次線性方程組解的結構定理)：數域 上 元齊次線性

5、方程組 的通解為其中 是 的任意給定的一個廣義逆， 取遍 中任意列向量。證明：任取 ，我們有所以 是方程組 的解。Kn0AX ()n nXIA A ZAAZnKnZK() ()00n nA IA A ZAAA A ZZ()n nXIA A Z0AX 第12頁/共40頁反之，設 是方程組 的解，要證存在 ，使得 。取 我們有所以 是方程組 的通解。利用上述定理，可以得到非齊次線性方程組的另一種形式的通解。0AX nZK()n nIA A ZZ()()0n nIA AA AAA()n nXIA A Z0AX 第13頁/共40頁推論：設數域 是 元非齊次線性方程組 有解，則它的通解為其中 是 的任意

6、給定的一個廣義逆， 取遍 中任意列向量。證明：我們已經知道 是非齊次線性方程組 的一個解，又知道 是導出組 的通解，所以 是 的通解。KnAX()n nXAIA A ZAAZnKAAX()n nIA A Z0AX ()n nXAIA A ZAX第14頁/共40頁定義：設 ，若 ，且同時有則稱 是 的偽逆矩陣。上述條件稱為Moore Penrose 方程。例： 設 ，那么m nACn mAC,(),()HHAA AAA AAAAAAAA AA AAA1100A102102A 第15頁/共40頁 設 ，那么設 ，其中 是可逆矩陣，則如果 是一個可逆矩陣，那么11A 1212ABOAOOB1BOAO

7、OA1AA第16頁/共40頁下面我們討論偽逆矩陣的求法定理：設 是 的一個滿秩分解，則是 的偽逆矩陣。例1 ：設求 。解：利用滿秩分解公式可得,m nACABC11() ()HHHHXCCCB BBAA101202AA第17頁/共40頁11012ABC從而 的偽逆矩陣是A11() ()HHHHACCCB BB1111101 01 01 21 2211 1121101 2001010112 第18頁/共40頁例2 ：設求 。解：由滿秩分解公式可得于是其偽逆矩陣為1122AA11 12ABC 第19頁/共40頁1111() ()111( 1 1) ( 12)12112112111211210101

8、110511105HHHHACCCB BB 第20頁/共40頁推論：若 ，則若 ，則定理：偽逆矩陣 唯一。證明：設 都是 的偽逆矩陣，則m rrAC1()HHAA AAr nrAC1()HHAAAAAA,X Y第21頁/共40頁() ()()()() ()()()HHHHHHHHXXAXXAYAXX AYAXX AXAYX AYXAYXAYAYXAYAYYAXAYYAYYAYY根據此定理知，若 ，則 。n nnAC1AA第22頁/共40頁定理：設 ，則證明：容易驗證(1)，(2)，現在只證(3)。設 是 的滿秩分解，則 的滿秩分解可以寫成m nAC(1)()(2)()()()()()()(3)

9、()()HHHHHHHHHHAAAAAAAAA AAAAAAAAAA AAAHA AABC()HHHA ACB BC第23頁/共40頁其中 是列滿秩， 為行滿秩，故由式 得因此同理可證：HCHB BC11() ()HHHHXCCCB BB111111111()() () ()() () () () ()() () ()HHHHHHHHHHHHHHHHHHA AB BCB BCC B BCCCCB BB BCCB BCCCCCCB BCCC11111()() () ()() ()HHHHHHHHHHHHA AACCCB BCCCC BCCCB BBA()HHAA AA第24頁/共40頁例：設 ，

10、則 是正定或半正定Hermite矩陣，故存在 ，使得證明解：因為m nrACHA An nUC12diag(,)HHHnA AUUUU HHAUU A12diag(,)HHnU A AU 第25頁/共40頁1212,0,0rrrn 不妨設則10HHrA AUU第26頁/共40頁111100rnrHrrnHHUUUU 第27頁/共40頁其中故于是110r 11111,HHrrr r 第28頁/共40頁令由 ，知11,n rHHr nrrBUCCUC 11() ()HHHHXCCCB BB11111111111111111()() ()() ()110HHHHHHHHHHHHHrn nA AUU

11、UU UUUUUUUU 第29頁/共40頁因此由得例：已知求 。解： 的特征值的特征向量為()()HHHHAAAAA AA()HHHHAA AAUU A101202AAHA A123110,0,10111(,0,)22TX 第30頁/共40頁2311(,0,)22(0,1,0)TTXX230 的特征向量為故1101022001 ,0110022U 第31頁/共40頁1/1000 代入 得： HHAUU A111050011105HHAUU A第32頁/共40頁練習1 ：已知求其奇異值分解與 。練習2 ：設100110AA102101A第33頁/共40頁求 。答案： （1）奇異值分解式為A112

12、0221001001011101022oA第34頁/共40頁11022100102010010101102211022010A （2）其偽逆矩陣為111333511366A第35頁/共40頁 不相容線性方程組 的解問題定義：設 ， ，如果 維向量 對于任何一個 維向量 ，都有則稱 是方程組 的一個最小二乘解。若 是最小二乘解，如果對于任一個最小二乘解 都有不等式則稱 是最佳最小二乘解。AXbm nACmbCnn0 xx220AxbAxb0 xAxbu0uxu第36頁/共40頁定理：設 ，則 是方程組 的最佳最小二乘解。例1 ：求不相容方程組的最佳最小二乘解。,m nmACbCxA bAxb123122