矩陣的初等變換的若干應(yīng)用(初稿)

1、湖南師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文摘 要在數(shù)學(xué)中矩陣最早來源于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣，現(xiàn)在矩陣是線性代數(shù)最基本也是最重要的概念之一。在線性代數(shù)及其許多的問題中都能看到矩陣的身影，它能把抽象的問題用矩陣表示出來，通過對(duì)矩陣進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果。作為矩陣的基礎(chǔ)及核心，矩陣的初等變換及應(yīng)用是非常重要的，它能夠把各種復(fù)雜的矩陣轉(zhuǎn)化成我們需要的矩陣形式，從而使計(jì)算變得更加的簡便。本文總結(jié)了線性變換在線性代數(shù)和初等數(shù)論方面的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：矩陣；初等變換；標(biāo)準(zhǔn)型；逆矩陣；標(biāo)準(zhǔn)型；秩；方程組ABSTRACTMatrix derived from the first phalanx of the coefficie

2、nts and constants of the equations in mathematics, now matrix is the most fundamental and important concepts of linear algebra, in linear algebra and many other questions can be seen the figure of the matrix, It can abstract the matrix representation, then matrix calculated results. As the foundatio

3、n and core of the matrix, the elementary transformation matrix and its application is very important, it can conversion a variety of complex matrix into a matrix form we need, then the calculation becomes more simple. This paper summarizes the application of linear algebra, elementary number theory,

4、 communications, and economic, biological heredity.Key words: Matrix; Elementary transformation; standard; inverse matrix; standard; rank; equations;目 錄1 矩陣的初等變換與初等矩陣的基本概念12 矩陣初等變換的應(yīng)用12.1 在線性代數(shù)中的應(yīng)用12.1.1 將矩陣化簡為階梯型和等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型12.1.2 矩陣的分塊和分塊矩陣的初等變換22.1.3 求伴隨矩陣和逆矩陣32.1.4 求矩陣的秩5 2.1.5判斷矩陣是否可逆及求逆矩陣6 2.16判斷線性方

5、程組解的情況 92.1.7 求矩陣的特征值和特征向量102.1.8 解線性方程組112.1.9 求解矩陣方程122.1.10 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型132.1.11 判斷向量組的線性相關(guān)性，求極大線性無關(guān)組142.2 在數(shù)論中的應(yīng)用15總結(jié)17參考文獻(xiàn)1730矩陣的初等變換的若干應(yīng)用在線性方程組的討論中我們看到，線性方程組的一些重要性質(zhì)反映在它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質(zhì)上，并且解方程組的過程也表現(xiàn)為對(duì)這些矩陣的轉(zhuǎn)化過程，除方程組之外，還有很多方面的問題也都涉及矩陣的概念及其應(yīng)用，這些問題的研究常常轉(zhuǎn)化為對(duì)矩陣的研究，甚至于有些性質(zhì)完全不同的、表面上完全沒有聯(lián)系的問題，歸結(jié)成矩陣問題以后卻是相同的。這

6、就使矩陣成為數(shù)學(xué)中一個(gè)應(yīng)用廣泛的概念，而作為矩陣的一種運(yùn)算方法，初等變換在矩陣的研究中具有很重要的意義。1 矩陣的初等變換與初等矩陣的基本概念 我們來看看有關(guān)矩陣初等變換和初等矩陣的相關(guān)知識(shí):定義：(1)矩陣的初等變換: 所謂數(shù)域P上矩陣的初等行變換是指下列三種變換：(i) 以P中一個(gè)非零的數(shù)乘矩陣的某一行；(ii) 把矩陣的某一行的c倍加到另一行，這里c是P中任意一個(gè)數(shù)；(iii)互換矩陣中兩行的位置。同樣地定義初等列變換，即：(i) 以P中一個(gè)非零的數(shù)乘矩陣的某一列；(ii) 把矩陣的某一列的c倍加到另一列，這里c是P中任意一個(gè)數(shù)；(iii)互換矩陣中兩列的位置。矩陣的初等行變換與初等列變

7、換統(tǒng)稱為初等變換(2) 矩陣的初等變換用如下形式表示: (i) 交換矩陣的第行(列)與第行(列): 或;(ii) 非零常數(shù)乘矩陣的第行(列): 或; (iii) 矩陣的第行(列)加上第行(列)的倍: 或.(3) 初等矩陣由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣, 根據(jù)初等變換的劃分標(biāo)準(zhǔn)也可分為三類:(i)交換的第列與第列(或第行與第行)得到的初等矩陣;(ii)（或）用數(shù)域中的非零數(shù)乘的第列(或第行)得到的初等矩陣;(iii)把的第列的倍加到第列(或第行的倍加到行)得到的初等矩陣.2 矩陣初等變換的應(yīng)用矩陣的初等變換在各個(gè)方面有著廣泛的應(yīng)用，本分總結(jié)了其在線性代數(shù)和數(shù)論中的應(yīng)用。2.1

8、在線性代數(shù)中的應(yīng)用矩陣的初等變換在矩陣的計(jì)算中是必不可少的。在矩陣計(jì)算中，第一步是將其進(jìn)行初等變換，化成簡單的單位矩陣，階梯形矩陣等，使得計(jì)算簡便。2.1.1 將矩陣化簡為階梯型和等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型若矩陣A滿足兩條件：（1） 零行（元素全為0的行）在最下方；（2）非零首元（即非零行的第一個(gè)不為零的元素）的列標(biāo)號(hào)隨行標(biāo)號(hào)的增加而嚴(yán)格遞增，則稱此矩陣A為階梯形矩陣。階梯形矩陣的基本特征 ：如果所給矩陣為階梯形矩陣則矩陣中每一行的第一個(gè)不為零的元素的左邊及其所在列以下全為零。對(duì)于任何矩陣，總可以通過有限次初等變換把矩陣化為階梯形矩陣。任意一個(gè)矩陣，總可以經(jīng)過初等變換把它化為標(biāo)準(zhǔn)形：若和等價(jià)，稱為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形

9、，主對(duì)角線上1的個(gè)數(shù)等于的秩（1的個(gè)數(shù)可以是零）。例 用初等變換將下列矩陣化為階梯形和標(biāo)準(zhǔn)形，解：應(yīng)用初等變換（高等代數(shù)第三版）矩陣是階梯形，矩陣是標(biāo)準(zhǔn)形。2.1.2 矩陣的分塊和分塊矩陣的初等變換（高等帶式第三版）將分塊乘法與初等變換結(jié)合就成為矩陣運(yùn)算中重要的手段?，F(xiàn)設(shè)某個(gè)單位矩陣如下進(jìn)行分塊：對(duì)它進(jìn)行兩行(列)對(duì)換；某一行(列)左乘(右乘)一個(gè)矩陣；一行(列)加上另一行(列)的 (矩陣)倍數(shù)，就可得到如下類型的一些矩陣：和初等矩陣與初等變換的關(guān)系一樣，用這些矩陣左乘任一個(gè)分塊矩陣,只要分塊乘法能夠進(jìn)行，其結(jié)果就是對(duì)它進(jìn)行相應(yīng)的變換：, (1), (2) 。 (3)同樣，用它們右乘任一矩陣，

10、進(jìn)行分塊乘法時(shí)也有相應(yīng)的結(jié)果。在(3)中，適當(dāng)選擇，可使。例如可逆時(shí)，選，則。于是(3)的右端成為這種形狀的矩陣在求行列式、逆矩陣和解決其它問題時(shí)是比較方便的，因此(3)中的運(yùn)算非常有用。例 設(shè)?？赡?，求。解：所以，.2.1.3 求伴隨矩陣和逆矩陣 矩陣中的元素都用它們?cè)谛辛惺街械拇鷶?shù)余子式替換后得到的矩陣再轉(zhuǎn)置，得到的這個(gè)矩陣叫的伴隨矩陣。如：方陣的行列式的各元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下方陣，稱為方陣的伴隨陣，且。例 求的伴隨矩陣。解：先求代數(shù)余子式，,同理可求得 所以。逆矩陣是矩陣中單獨(dú)的一個(gè)分支，但是其求解等各種方法與矩陣基本方法規(guī)律相同。下面是矩陣的逆矩陣的定義： 定義2.1設(shè)A為n方

11、陣，若存在你階方陣B，使AB=BA=E則稱A為可逆矩陣或A是可逆的，并且稱B為A的逆矩陣?？赡婢仃嚲哂形ㄒ恍?，即A若可逆，其可逆矩陣是唯一的。關(guān)于可逆矩陣的求法，大致三種方法：(1)特殊的矩陣。1）矩陣為對(duì)角陣或者分塊都為對(duì)角陣，可用特殊的方法求解。若矩陣為對(duì)角陣，逆矩陣就是每一個(gè)元素分別求倒數(shù)放到原來位置。若矩陣分塊都為對(duì)角陣，可將每個(gè)小塊分別求逆矩陣，然后將逆矩陣放到原來的位置即可。 2）矩陣為兩階的矩陣，可運(yùn)用公式求解（公式根據(jù)逆矩陣的定義推出）若ad-bc0，則矩陣 可逆，且逆矩陣為(2) 運(yùn)用矩陣的初等變換求矩陣的逆矩陣。其原理如下：若A為n階可逆矩陣，其逆也是n階可逆矩陣，故A可表

12、示為初等矩陣的乘積，即存在初等矩陣，使得。由逆矩陣定義，有即即有若擺放方式不同也可以將A，E豎放在經(jīng)過初等列變換可得逆矩陣與單位矩陣。與第一個(gè)問題相關(guān)的是，變換前后兩個(gè)矩陣等價(jià)。根據(jù)公式，可知A的逆矩陣為.這個(gè)公式在使用時(shí)十分復(fù)雜，但是若用于理論及電腦計(jì)算就有較大優(yōu)勢。關(guān)于實(shí)際應(yīng)用，下面舉一個(gè)密碼方面的例子：將26個(gè)英文字母按順序逐一與數(shù)字對(duì)應(yīng)后，“send money”編碼為19,5,14,13,15,14,5,25，如果直接發(fā)出編碼，很容易被人破譯，顯然這是不可取的，如何進(jìn)行加密呢，可將式子表示為一個(gè)三階方陣，乘以一個(gè)三階方陣后密碼的破譯難度就大多了，問題是如何解密呢？根據(jù)式子AB=C，知

13、B=A（-1） C.可知破譯方式，即將得到的信息乘以逆矩陣就可以了。明文SEND MONEY對(duì)應(yīng)的9個(gè)數(shù)值按3列被排成以下矩陣: 矩陣乘積：對(duì)應(yīng)密文編碼為： 81,77,93,62,73,79,38,32,44。合法用戶用密鑰乘上述矩陣即可解密得到明文最后得到的序列對(duì)應(yīng)寫出明文即可。 這是實(shí)際問題的簡化模型，只是闡述了其原理，具體實(shí)際上運(yùn)用需要用到的工具和理論遠(yuǎn)多于這個(gè)。 2.1.4 求矩陣的秩由于初等變換不改變矩陣的秩，如果我們要求一個(gè)矩陣的秩，可以先利用行初等變換將其化為行階梯形矩陣。行階梯形矩陣的秩等于它的非零行數(shù)，行階梯形矩陣的秩就是原矩陣的秩。這樣我們就可以求出原矩陣的秩。定義1：在

14、mn矩陣A中，任取k行k列（km，kn），位于這些行列交叉處的個(gè)元素，不改變它們?cè)贏中所處的位置次序二而得到的k階行列式，稱為A的k階子式。定義2：矩陣A的非零子式的最高階數(shù)，稱為矩陣A的秩，記作r（A），并規(guī)定零矩陣的秩等于零。定理1：初等變換不改變矩陣的秩。推論1：若A是一個(gè)的矩陣，經(jīng)過初等變換可以得到一個(gè)行階梯形矩陣B，顯然B與A等價(jià)，有r（A）=r（B）。例1 求矩陣A的秩，A=。解：A=。所以由推論得：A的秩為3。例2 求矩陣A=的秩r（A）。解：A=B所以r（B）=2，r（A）=r（B）=2。矩陣的秩是矩陣的一個(gè)重要數(shù)字特征，矩陣的許多重要性質(zhì)都可以通過它來反映，如矩陣非零子式的最

15、高階數(shù)，矩陣行（列）向量組的線性相關(guān)性等。2.1.5判斷矩陣是否可逆及求逆矩陣 可逆矩陣在線性代數(shù)中具有很重要的地位，但若是用伴隨矩陣的方式來求一個(gè)矩陣的逆矩陣工作量非常大。然而根據(jù)可逆矩陣與初等矩陣之間的關(guān)系，矩陣求逆的問題可以通過初等變換很輕松的解決。利用初等變換判定矩陣為可逆陣的方法有：1） 滿秩法：n階矩陣A為可逆陣的充要條件是r（A）=n。2） 初等變換法：n階矩陣A為可逆陣的充要條件是可通過對(duì)A作有限次行（或列）初等變換后化為單位陣。定理1：矩陣A為可逆矩陣的充分必要條件是A可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積。例1 判定矩陣A=是否可逆。解：1）滿秩法：A=， 所以r（A）=3，即矩陣

16、A為滿秩，故矩陣A可逆。2） 初等變換法：A=，所以矩陣A可逆。一種求逆的方法：將分塊矩陣進(jìn)行行初等變換，當(dāng)前面一塊變成單位矩陣時(shí)，后面一塊就是。例2 設(shè)A=，求。解：因?yàn)锳=有所以=。另一種求逆方法：將分塊矩陣進(jìn)行列初等變換，當(dāng)上面一塊變成單位矩陣時(shí)，下面一塊就是。例3 已知矩陣A= 可逆，用列初等變換法求。解：=，從而得到：A-1=。在用初等變換法求逆的過程中，或從始至終只作行的初等變換，或從始至終只作列初等變換。絕不能同時(shí)作行與列的初等變換。2.1.6判斷線性方程組解的狀況齊次線性方程組有個(gè)明顯的零解x=0，稱其為平凡解。于是，對(duì)于齊次線性方程組，只需研究其在何種情況下有非零解（非平凡解

17、）。定理1：n元齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分且必要條件為它的系數(shù)矩陣的秩r（A） <n;它只有零解的充分必要條件是r（A）=n。定理2：n元非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的秩等于增廣解陣的秩。判斷線性方程組解的狀況就是先求出線性方程組的系數(shù)矩陣的秩r（A）與增廣矩陣的秩r（B），然后比較r（A）與r（B）。當(dāng)r（A）小于r（B）時(shí)，方程組無解；當(dāng)r（A）等于r（B）等于未知量的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)r（A）等于r（B）并小于未知量的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組有無窮多解。例1 已知齊次線性方程組有非平凡解，求的值。解：齊次線性方程組有非平凡解，必有系數(shù)矩陣A的秩r（

18、A）<3.而A= 為了使r（A）<3，必須+8=0，即=-8時(shí)齊次線性方程組有非平凡解。例2 判斷線性方程組是否有解？解：對(duì)相應(yīng)的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換B=則r（A）=2，r（B）=3，r（A）r(B),所以，原線性方程組無解。例3 討論取何值時(shí)方程組有唯一解、無窮多解、無解。解：對(duì)增廣矩陣實(shí)施初等行變換B= 當(dāng)=1時(shí)，r（A）=r（B）=1<3，方程組有無窮多解；當(dāng)1時(shí)，繼續(xù)變換 所以，當(dāng)1并且-2時(shí)，r（A）=r(B)=3,方程組有唯一解。當(dāng)=-2時(shí)，r（A）=2<r（B）=3，方程組無解。在判定含有參量的線性方程組有沒有解及有多少解的問題時(shí)，需要注意的是：由于所含

19、的參數(shù)是不確定的數(shù)值，所以在對(duì)增廣矩陣施行行初等變換的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)考慮作變換時(shí)所用的“數(shù)”（如果它是含參量的一個(gè)代數(shù)式）是否可能為零（對(duì)某參量的取值），是否有意義，即（無論參量的取值如何）分母是否為零等，以決定所作的變換是否可施行。2.1.7 求矩陣的特征值和特征向量（1）矩陣的特征值與特征向量的概念設(shè)是階矩陣，若存在數(shù)及非零的維列向量，使得成立，則稱是矩陣的特征值，稱非零向量是矩陣屬于特征值的特征向量。（2）矩陣的特征多項(xiàng)式與特征方程的概念行列式稱為矩陣的特征多項(xiàng)式。稱為矩陣的特征方程。特征方程是的次方程，它的個(gè)根就是矩陣的個(gè)特征值。（3）特征值和特征向量的求法先由特征方程求出矩陣的全部特征值

20、，其中可能有重根。然后對(duì)每個(gè)不同的特征值，分別解齊次方程組。設(shè)，如果求出方程組的基礎(chǔ)解系（即矩陣關(guān)于特征值的線性無關(guān)的特征向量），則矩陣屬于特征值的全部特征向量為，其中是不全為零的任意常數(shù)。例 求的特征值與特征向量。解： 當(dāng)=7時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的特征值是，相應(yīng)的特征向量分別是，其中2.1.8 解線性方程組（1）線性方程組的各種表達(dá)形式及相關(guān)概念線性方程組可用矩陣乘法表示為：，其中，如果維向量滿足方程組，即，則稱是的一個(gè)解向量。（2）基礎(chǔ)解系的概念齊次方程組恒有解（必有零解）。當(dāng)有非零解時(shí)，根據(jù)齊次方程組解的性質(zhì)，解向量的任意線性組合仍是該齊次方程組的解。稱是的基礎(chǔ)解系，即是的解，線性無關(guān)，的任一

21、解都可由線性表出。所謂基礎(chǔ)解系，其實(shí)就是的解向量的一個(gè)極大無關(guān)組。（3）基礎(chǔ)解系的求法求基礎(chǔ)解系時(shí)，可對(duì)作初等行變換化為階梯形矩陣，通常稱每個(gè)非零行中第一個(gè)非零系數(shù)所代表的未知數(shù)是主元（共有個(gè)主元），那么剩余的其他未知數(shù)就是自由變量（共有個(gè)），當(dāng)然也可在加減消元后找出秩為的行列式，那么其它各列的未知數(shù)就是自由變量，對(duì)自由變量按階梯形賦值后，再代入求解就可得到基礎(chǔ)解系（4）齊次方程組有非零解的判定設(shè)是矩陣，齊次方程組有非零解的充要條件是，亦即的列向量線性相關(guān)。特別地：如果是階矩陣，有非零解的充要條件是；有非零解的充分條件是（即方程個(gè)數(shù)<未知數(shù)個(gè)數(shù)）。（5）非齊次線性方程組有解的判定設(shè)是矩陣

22、，線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，即；唯一解無窮多解無解（6）非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)如果元線性方程組有解，設(shè)是相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，是的某個(gè)已知解，則是的通解。例 解齊次方程組解：對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換化為階梯形矩陣由，基礎(chǔ)解系由2個(gè)向量組成，每個(gè)解中有2個(gè)自由變量。于是得到。例 解方程組解：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等變換化為階梯形由，方程組有解，有1個(gè)自由變量。先求相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，所以齊次方程組的通解是。再求非齊次線性方程組的特解，令，解得，所以特解為。所以，方程組的通解是：。2.1.9 求解矩陣方程有解的每列可由的列向量線性表出 。解題思路：解矩

23、陣方程的基本方法：若可逆，則,可以先求出,再作乘法求出，也可以用行變換直接求出，即。同理，方程，若可逆，則。對(duì)于，若,均可逆，則。例 設(shè),求使得。解：由,知可逆。于是則2.1.10 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型（1）二次型及其矩陣表示含有個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式（即每項(xiàng)都是二次的多項(xiàng)式），稱為元二次型。令，則二次型可用矩陣乘法表示為，其中是階實(shí)對(duì)稱矩陣（）,稱為二次型的矩陣。矩陣的秩稱為二次型的秩，記作。（2）二次型的標(biāo)準(zhǔn)型如果二次型中只含有變量的平方項(xiàng)，所有混合項(xiàng)的系數(shù)全是零，即其中為實(shí)數(shù)，則稱這樣的二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。對(duì)任意二次型一定存在可逆非退化線性替換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形，即為對(duì)稱矩陣找一個(gè)可逆矩陣，使得為對(duì)

24、角矩陣，而可逆矩陣可以寫成若干個(gè)初等矩陣的乘積，所以存在初等矩陣有，從而有是一個(gè)對(duì)角矩陣。由上式可得到用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟如下：首先，寫出二次型的矩陣，構(gòu)造矩陣，然后對(duì)矩陣每進(jìn)行一次行初等變換后，就對(duì)進(jìn)行一次同樣的列初等變換，當(dāng)矩陣化為對(duì)角矩陣時(shí)，單位矩陣將化為可逆矩陣，此時(shí)，最后得到可逆矩陣和非退化線性變換，在這個(gè)變換下二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。例 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的非退化線性替換。 解： 題中二次型的矩陣為，由上面的初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟可知：=,從而非退化線性替換為，原二次型化為。在運(yùn)用矩陣初等變換來化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的關(guān)鍵：對(duì)矩陣進(jìn)行的行初等變換和列初等變換必

25、須是一致的。2.1.11 判斷向量組的線性相關(guān)性，求極大線性無關(guān)組定義：設(shè)向量組為，以為列構(gòu)成矩陣，對(duì)施行初等行變換，將它化成行階梯形矩陣，求出其秩，若，則線性無關(guān)，若，則線性相關(guān)。例 判斷下列向量組的線性相關(guān)性。解：把行向量組成矩陣，用初等變換化成階梯形，有 所以向量組的秩是2，可見向量組線性相關(guān)，極大線性無關(guān)組是。2.2 在數(shù)論中的應(yīng)用兩個(gè)實(shí)數(shù)域上的一元多項(xiàng)式的最大公因式可以用矩陣的行初等變換來求解。（1）最大公因式概念定義 設(shè)，是中兩個(gè)多項(xiàng)式。中多項(xiàng)式稱為，的一個(gè)最大公因式，如果它滿足下面兩個(gè)條件：1）是，的一個(gè)公因式；2），的公因式全是的因式。定理：對(duì)于中任意兩個(gè)多項(xiàng)式，在中存在一個(gè)最

26、大公因式，且可以表成，的一個(gè)組合，即有中多項(xiàng)式，使引理1：數(shù)域上所有次數(shù)不大于的多項(xiàng)式連同零多項(xiàng)式構(gòu)成的多項(xiàng)式空間與所有的元有序數(shù)組構(gòu)成的向量空間同構(gòu)。事實(shí)上，在與之間存在同構(gòu)映射：。，可見，可用表示。引理2： （1）（2）（3）（4） （5）設(shè)，證明：（1）、（2），顯然可證；（3）設(shè),則，又令作為與的任一公因式，則，于是，進(jìn)而有，命題得證。（4）證明同（3）（5）設(shè)且是與的任一公因式，注意到，于是，故。推廣此式可。定理：用表示多項(xiàng)式與的待求最大公因式，則對(duì)施行初等行變換，兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式不變。當(dāng)時(shí)，即，所表示的最大公因式相等。證明：由引理2中（1）、（2）、（3），即得定理的第一部分

27、，由引理2中的（4）、（5），即得定理的第二部分（注：由引理知與是相等關(guān)系）化簡方法：按照以上方法將多項(xiàng)式降階，依此化簡下去，最終可得最大公因式。利用上面的結(jié)論，對(duì)于多項(xiàng)式的最大公因式，可以用矩陣的行初等變換來求得，步驟如下：第一，將系數(shù)組成矩陣的形式；第二，通過初等變換，按照方法，使兩個(gè)多項(xiàng)式都降一個(gè)階。按照此法類推下去，當(dāng)階數(shù)降到一定的階數(shù)時(shí)，便可以得到最大公因式。例 設(shè)，求。解： 所以?？偨Y(jié)矩陣是線性代數(shù)的重要研究對(duì)象，而初等變換是矩陣計(jì)算中的重要工具，其應(yīng)用遍及許多領(lǐng)域，除了本文總結(jié)的以上應(yīng)用外，矩陣的初等變換還在運(yùn)籌學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等方面有著廣泛的應(yīng)用，由此可知，對(duì)矩陣及其初等變換的研究是

28、有重要意義的。參考文獻(xiàn)1 錢吉林，線性代數(shù)概論M. 武漢: 華中師范大學(xué)出版社, 2000.2 王品超，高等代數(shù)新方法M.濟(jì)南:山東教育出版社, 1989.12.3 李永樂，研究生入學(xué)考試指導(dǎo)叢書線性代數(shù)，北京大學(xué)出版社，2001.4.4 高等代數(shù)，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編，高等教育出版社.5 杜漢玲，高等函授學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版 2004 第4期N 求逆矩陣的方法與解析.6 張國勇，大學(xué)數(shù)學(xué) 2003 第6期N 利用矩陣初等行變換直接求得矩陣方程的通解.7 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)，第五版M,北京：高等教育出版社，2003.8 謝芳，昭通師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào) 2004 第2

29、期N矩陣的初等變換的若干應(yīng)用.9 李小剛、劉吉定等，21世紀(jì)高等院校創(chuàng)新教材線性代數(shù)及其應(yīng)用，科學(xué)出版社，2006.10 夏利民，承德民族師專學(xué)報(bào)第22卷第2期J 矩陣的初等變換在整數(shù)和多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用，2002.6.11 馬玲，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究利用矩陣的初等變換把矩陣A對(duì)角化 2011.17.12 王燕華，考試周刊2011年第30期J矩陣初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用.13 趙立新，曾文才大學(xué)數(shù)學(xué)2004第3期J利用矩陣的初等變換求方陣地特征值，2004.6.14 倪臣敏，孫遜四川教育學(xué)院學(xué)報(bào)第24卷第7期J 矩陣初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用，2008.7.15 李秀英，通化師院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)）1

30、998第1期J矩陣的初等變換在初等數(shù)論中的應(yīng)用，1998.16 王艷娥，產(chǎn)業(yè)與科技論壇2011第10卷第12期J矩陣初等變換的若干應(yīng)用及注意事項(xiàng).17 劉顯鳳，高校講壇2010第13期J矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用.18 張賢達(dá)，矩陣分析及應(yīng)用，清華大學(xué)出版社，2004.9.19 河北科技大學(xué)數(shù)學(xué)系編線性代數(shù)，中國標(biāo)準(zhǔn)出版社20 歸行茂，曹冬孫，李重華，線性代數(shù)的應(yīng)用，上?？茖W(xué)普及出版社，1994.11.21 郭文獻(xiàn)，最大公因式的初等變換求法，中圖分類號(hào)O11.1， 文章編號(hào)1671-5330(2005)05-0028-0222 Abraham R,maralen JE,Ratiu T.m

31、anifild,Tensor Analysis and its Applications.New York:Springer-Verlag,1988.23 MA ZhaoFeng&MA JiPu<Science in China Series A:Mathematies>zhe smooth banach submanifold in.Nov.2009,Vol.52.24 Arnold V I.Geometrical methcds in theory of onlinary differential equations.New York:springer-verlag,1

32、988 .25 Feng Tian-xiang <journal of Chongqing three gorges university >Re-discussing Applications of Elementary Transformation in Matrix computation.Vol.24 No.110.有 。5.4 Cauchy收斂原理>有限覆蓋定理證：用反證法.若沒有有限覆蓋，對(duì)采用二等分方法構(gòu)造數(shù)列和，得沒有有限覆蓋，和為柯西列，從而收斂且 則 由極限的局部保號(hào)性及的構(gòu)造推出矛盾.5.5 Cauchy收斂原理>Bolzano致密性定理 證：設(shè)數(shù)

33、集非空，且是的上界，不是的上界，用 ，的中點(diǎn)二等分，如果不是的上界，則取，用二等分，若是的上界，則取， 按此方法繼續(xù)下去的數(shù)列，,滿足 ，不是的上界，是的上界且的極限為 0。下證是柯西列。因?yàn)榈臉O限為 0，即，有 .又 ，從而對(duì)任意的正整數(shù)， ，所以是柯西列，得收斂，設(shè)的極限為，下證。又因?yàn)椴皇堑纳辖?，故?duì)任意的，使 。由的極限為 ，則 ，有 ，所以。以上就是我們對(duì)于等價(jià)性的全部論證過程，在實(shí)際問題證明中，這些定理各有各的特點(diǎn)，出發(fā)點(diǎn)不一樣，其難易程度也不一樣，所以我們要了解定理的實(shí)質(zhì)，才能做到事半功倍。6.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的實(shí)質(zhì)就是函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)

34、性質(zhì)：有界性，取極值性，零點(diǎn)存在性，介值定理，一致連續(xù)性。它們都是實(shí)數(shù)連續(xù)性的反映，因此它們的證明可以借助實(shí)數(shù)連續(xù)性定理來實(shí)現(xiàn)。6.1有界性定理有界性定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在上有界。證明：(區(qū)間套定理)反證法。設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，反設(shè) 在上無界。將區(qū)間二等分，取中點(diǎn)，則在，中至少有一個(gè)區(qū)間使得無界。(若都無界，則任取其一)，記該區(qū)間為，且它滿足。再將二等分，同樣得到至少在一個(gè)子區(qū)間上無界，記為，有 ，。重復(fù)上述步驟，可得到一個(gè)閉區(qū)間套，每個(gè)區(qū)間滿足1：，2：:， 3：在上無界。由區(qū)間套定理可知，存在一點(diǎn)，且 。又在連續(xù)，則有對(duì),當(dāng)時(shí)，即 。令，則。由的任意性及，可知當(dāng)充分大時(shí)有 ，

35、即在閉區(qū)間上有界，與反設(shè)矛盾。 故在閉區(qū)間上有界。6.2最值定理最值定理：在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值最小值證明：(應(yīng)用確界原理同教材) 我們已證在上是有界的，由確界原理得的值域有上確界，記為。下證：存在，使。反設(shè)，對(duì)，都有令.易見在上連續(xù)，故在有上界設(shè)是的一個(gè)上界，則 從而推得.但這與反設(shè)為的上確界矛盾故必存在，使，即函數(shù)在上有最大值同理可證在上有最大值6.3零點(diǎn)存在定理零點(diǎn)存在定理：若在閉區(qū)間上連續(xù)，且0,則至少存在一點(diǎn)，使0。證（確界定理） 設(shè)，因有界，由確界定理得有下確界，設(shè),顯然，現(xiàn)證明0。反設(shè)0，不妨設(shè)0，由在點(diǎn)連續(xù)的局部保號(hào)性，則存在的領(lǐng)域，對(duì)一切，有0。，則與相矛盾，故0。

36、6.4介值定理介值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且。若為介于與之間的任何實(shí)數(shù)，則存在，使得 證明：(確界原理) 不妨設(shè)。令 =，則也是上的連續(xù)函數(shù)，且于是定理可轉(zhuǎn)化為：存在，使得。這是零點(diǎn)存在性定理的證明問題，證明過程同上。6.5一致連續(xù)性定理一直連續(xù)性定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù)。證明：有限覆蓋定理 由在上的連續(xù)性，在連續(xù)（若，考慮右連續(xù)，若，考慮左連續(xù)），使得當(dāng)，即當(dāng)有。（中有無限多個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)無限多個(gè)正數(shù)，無限多個(gè)正數(shù)未必有最小值，不能取公共的）考慮開區(qū)間集， 顯然是的一個(gè)無限開覆蓋。由有限覆蓋定理，存在的一個(gè)有限子集 覆蓋了。記，這個(gè)僅與有關(guān)與無關(guān)，下證此就是一致連續(xù)定義中的

37、。對(duì)任何必屬于中某開區(qū)間，設(shè)即。此時(shí)有 故由(2)式同時(shí)有 和由此得所以在上一致連續(xù)6.6其他應(yīng)用例1 ：設(shè)在上連續(xù)，若對(duì)數(shù)列，存在極限，證明必存在使得。證明：依題意可知數(shù)列有界，則由致密性定理得存在收斂子列，使得 ，又由在上連續(xù)，可知，又有，可得，又因?yàn)闃O限的唯一性可知。例2 函數(shù)在閉區(qū)間上處處局部有界，則在上有界。證法一：有限覆蓋定理由在上處處局部有界，即，存在的某一領(lǐng)域和常數(shù)使得 顯然開區(qū)間族，覆蓋了閉區(qū)間，由有限覆蓋定理得有限開區(qū)間 覆蓋，取，則，證畢。證法二：致密性定理，反證法假設(shè)在上無界，則對(duì)，存在相應(yīng)的，使得，則有致密性定理，有界數(shù)列存在收斂子列，記，由在點(diǎn)局部有界，即存在，當(dāng)時(shí)

38、，有， 當(dāng)充分大時(shí)，必有，且，這與矛盾，證畢。例3 ：設(shè)連續(xù)函數(shù)在上單調(diào)增加，且有，證明存在，使，即在上有不動(dòng)點(diǎn)。證明：1、若或，則結(jié)論已成立。 2、設(shè)，且。記，若，則結(jié)論已證，假設(shè)，記，否則記，如此進(jìn)行下去得到閉區(qū)間套具有性質(zhì) ， 若在這過程中有，則問題已證，否則有區(qū)間套定理知存在。下證 ，且單調(diào)增加，則有，且有，對(duì)上式取極限，應(yīng)用夾逼定理知例4：證明不存在。證明：根據(jù) Cauchy 準(zhǔn)則，要證不存在，即證： 當(dāng)時(shí)，有使得。取 ，,則有 這表明發(fā)散，即不存在。總結(jié)實(shí)數(shù)基本定理是數(shù)學(xué)分析學(xué)中的重要組成部分，它們具有很高的理論價(jià)值，是許多定理命題證明的重要依據(jù)，在論證中有很廣泛的應(yīng)用，本文通過對(duì)

39、相關(guān)資料的查閱和指導(dǎo)老師的指導(dǎo)和建議下，對(duì)實(shí)數(shù)基本定理及簡單應(yīng)用進(jìn)行了歸納總結(jié)。給出了這些定理循環(huán)證明的另一種手段，即可以從柯西收斂原理開始循環(huán)，緊接著為了更好地說明定理的等價(jià)性，又分別推導(dǎo)了其他定理的證明，最后給出了定理的簡單應(yīng)用，突出了它們的理論意義。實(shí)數(shù)基本理論已是一個(gè)比較完備的系統(tǒng)，但在其他方面的應(yīng)用值得進(jìn)一步探索。參考文獻(xiàn)1歐陽光中.數(shù)學(xué)分析第三版（上）M.高等教育出版社. 2007.2郎風(fēng)華.實(shí)數(shù)完備性相關(guān)定理的新證法D.重慶郵電學(xué)院. 2002.3王政，宋元平.數(shù)學(xué)分析（下）M.科學(xué)出版社.2008.145-1634包丙寅.實(shí)數(shù)基本定理的等價(jià)證明J.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），

40、7期，26卷，2010年,6-11.5鄧衛(wèi)兵.五大實(shí)數(shù)基本定理的一種證明方法及應(yīng)用J.廣州輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào).1期，4卷，2005年，9-12.6劉三陽，于力，李廣民.數(shù)學(xué)分析選講M.科學(xué)出版社. 2007.7袁文俊.實(shí)數(shù)基本定理的相互證明D.廣州數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院. 2012.9李勝宏.數(shù)學(xué)分析M.浙江大學(xué)出版社. 2009.10 劉利剛.實(shí)數(shù)系基本定理等價(jià)性的完全互證J.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，24期，38卷，2008年，246-252.11 Botsko MW. A unified trestment of various theorems in elementary analysis, A

41、merJ. Math, Monthly, 1987(94):450-452. 12范秋君，馬祖良.關(guān)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明J.數(shù)學(xué)通報(bào)， 10期，1985年. 13丁宣浩，楊宜平.區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與構(gòu)造證明法J.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），4期，28卷，2011年，410-416.摘要：實(shí)數(shù)系六大基本理論為確界原理，單調(diào)有界原理，區(qū)間套定理，致密性定理，有限覆蓋定理，柯西收斂原理，它們是刻畫實(shí)數(shù)完備性的主要等價(jià)命題，也是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，掌握這些理論能為今后學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。本文主要闡述了實(shí)數(shù)六大基本理論的等價(jià)關(guān)系，我們首先選擇柯西收斂原理為出發(fā)點(diǎn)采取了循環(huán)論證的方式證明其他定理的

42、正確性，其次運(yùn)用柯西收斂原理對(duì)其他命題分別進(jìn)行論證，進(jìn)一步證明了定理間的等價(jià)關(guān)系，最后給出了定理在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)證明的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：柯西收斂原理；實(shí)數(shù)基本定理；完備性；實(shí)數(shù)1Abstract: The six fundamental theorems of real number include supremum and infimum principle, monotonic convergence principle, theorem of nested intervals , the compactness theorem , the finite covering theorem

43、 and Cauchy convergence principle. They are main equivalent propositions to portray the completeness of the real number, as well as the basis of mathematical analysis. Mastering these theories lays a solid foundation for future learning.This article focuses on the relationship between the equivalenc

44、e of this six theorems. At first , choosing the Cauchy convergence principle as the starting point, we proved the validity of the other theorems by the circular reasoning method. And then we prove the other propositions by Cauchy convergence principle respectively, and come to a further conclusion t

45、hat there is a equivalence relation between theorem. Finally, the application of the theorems on continuous function in a closed interval is given.Keyword：Cauchy convergence principle; Fundamental theorem of real numbers; Completeness; Real Numbers1.引言學(xué)好數(shù)學(xué)分析是學(xué)習(xí)后繼課程如復(fù)變函數(shù)，泛函分析，微分幾何，概率統(tǒng)計(jì)等各不同學(xué)科的重要基礎(chǔ)，實(shí)數(shù)基

46、本理論是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)內(nèi)容，因此實(shí)數(shù)基本理論的學(xué)習(xí)顯得尤為重要。眾所周知實(shí)，數(shù)系基本定理是數(shù)學(xué)分析中理論性最強(qiáng)的一部分。自法國著名數(shù)學(xué)家柯西給出柯西收斂定理以來，科學(xué)家們相繼提出了其他定理，從不同角度出發(fā)但都描寫了實(shí)數(shù)連續(xù)性這一事實(shí)，實(shí)數(shù)理論的建立, 給數(shù)學(xué)分析注入了嚴(yán)密性。 目前，國內(nèi)外研究主要集中在定理的循環(huán)證明以及應(yīng)用上，不同的教材都有各自不同的處理方法， 1987年，Botsko提出了一種統(tǒng)一處理這部分內(nèi)容的新方法完全覆蓋法. 另外，定理的應(yīng)用也是研究的主要方向之一，它們是論證其它一些重要定理和規(guī)則的依據(jù)，如閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最大最小值定理，一致連續(xù)性定理等. 除此之外，實(shí)數(shù)基本理論考察

47、了學(xué)生的基本功和論證能力，很得考研出題者的喜愛。實(shí)數(shù)的六大基本定理（確界原理，單調(diào)有界原理，區(qū)間套定理，致密性定理，有限覆蓋定理，柯西收斂原理）從不同方面刻畫了實(shí)數(shù)的完備性。在多數(shù)教材中，這些定理的證明都是從不加證明的默認(rèn)確界原理正確的情況下出發(fā)，對(duì)其他定理采取循環(huán)論證的方式，從而證明它們是等價(jià)的。但實(shí)數(shù)基本定理可以從其中任一定理出發(fā)，證明其余定理的正確性，經(jīng)過前人的不懈努力已形成一個(gè)相當(dāng)完備的系統(tǒng)，因此本文的主要目的是對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整理與綜合，拓寬知識(shí)面。7同時(shí)我們將從柯西收斂原理出發(fā)，采用不同于教材中的證明方式循環(huán)論證其他定理的正確性，及運(yùn)用柯西收斂原理分別證明其他定理。接著對(duì)這些定理的

48、應(yīng)用做出分析及舉例。2.實(shí)數(shù)基本定理的預(yù)備知識(shí)定義1（子列）：在數(shù)列中，保持原來次序自左至右任意選取無窮多各項(xiàng)，構(gòu)成新的數(shù)列，就稱為的子列，記為。子列的極限和原數(shù)列的極限的關(guān)系定理11：若，則的任何子列都收斂，并且它的極限也等于。推論11：若對(duì)任何：都有收斂，那么在的極限存在。性質(zhì)1：若是一個(gè)無界數(shù)列，則存在子列趨近于無窮大。定義2（上確界）：數(shù)集的最小上界稱為數(shù)集的上確界，記作。上確界的等價(jià)定義1：需滿足()()使得。上確界的等價(jià)定義2：需滿足()(),使得。定義3（下確界）：數(shù)集的最大下界稱為數(shù)集的下確界，記作。下確界等價(jià)定義：滿足()()使得。下確界的等價(jià)定義2：需滿足()(),使得。定

49、理21：設(shè)數(shù)集有上（下）確界，則這個(gè)上（下）確界是唯一的。定義3（區(qū)間套）：無窮區(qū)間列合適下面兩個(gè)條件：1）后一區(qū)間在前一區(qū)間之內(nèi)，即對(duì)任一正整數(shù)，有；2）當(dāng)時(shí),的長度所成數(shù)列收斂于零。定義4（開覆蓋）：若是為數(shù)軸上的點(diǎn)集,為開區(qū)間集合，若中的任何一點(diǎn)都含在中至少一個(gè)開區(qū)間內(nèi)，則稱為的一個(gè)開覆蓋，或稱覆蓋。若中開區(qū)間的個(gè)數(shù)是無限（有限）的，則稱為的一個(gè)無限開覆蓋（有限開覆蓋）。3.實(shí)數(shù)基本定理 實(shí)數(shù)基本定理包括六大定理，分別是確界原理，單調(diào)有界原理，區(qū)間套定理，有限覆蓋定理，致密性定理以及柯西收斂準(zhǔn)則。下面我將對(duì)這些定理及主要作用作相關(guān)說明。定理1(確界原理)1 確界原理：非空有上(下)界數(shù)集

50、，必有上(下)確界。確界原理的作用是確定一個(gè)數(shù)，在某些問題的證明中，要找到具有特定性質(zhì)的數(shù)時(shí)可以考慮用確界原理。定理2(單調(diào)有界原理)1 單調(diào)有界原理：任何單調(diào)有界數(shù)列必有極限。 單調(diào)有界定理還可描述為：若是單調(diào)增加的有界數(shù)列，則必有極限，且。 若是單調(diào)減少的有界數(shù)列，則必有極限，且。 若是一單調(diào)增加的無界數(shù)列，則規(guī)定,否則若是一單調(diào)減少的無界數(shù)列，則規(guī)定,定理3( Cantor區(qū)間套定理)1 區(qū)間套定理：若是一個(gè)區(qū)間套, 則存在唯一一點(diǎn)，使得。 利用區(qū)間套定理證明某些結(jié)論時(shí)，對(duì)具體問題中，所構(gòu)造的區(qū)間套一定是具有某種特殊性質(zhì)的，且在構(gòu)造過程中要一直保持這個(gè)性質(zhì)，然后再運(yùn)用定理把這種特性聚到一

51、個(gè)點(diǎn)上，如在利用區(qū)間套證明有限覆蓋定理時(shí)，區(qū)間套具有不能被有限個(gè)開區(qū)間覆蓋的特性，當(dāng)凝聚到特定的點(diǎn)時(shí)，就導(dǎo)出了矛盾。定理4(Heine-Borel有限覆蓋定理)1 有限覆蓋定理：設(shè)是一個(gè)閉區(qū)間，為上的一個(gè)開覆蓋，則在中存在有限個(gè)開區(qū)間，它構(gòu)成上的一個(gè)覆蓋。 有限覆蓋定理的另一種描述：設(shè)是有界閉區(qū)間，是一族開區(qū)間，使得(這個(gè)開區(qū)間族一般稱為是的一個(gè)開覆蓋)，則可從中選出有限個(gè)開區(qū)間，使得(這有限個(gè)開區(qū)間稱為原來開覆蓋的有限子覆蓋)有限覆蓋定理的作用是從覆蓋閉區(qū)間的無限個(gè)開區(qū)間里選出有限個(gè)開區(qū)間也覆蓋這個(gè)閉區(qū)間，由無限轉(zhuǎn)化為有限，從局部到整體，但它的著眼點(diǎn)是閉區(qū)間整體，而其他定理都注重一點(diǎn)的局部，這是它們?cè)谛问缴系膮^(qū)別。它對(duì)證明函數(shù)的某些性質(zhì)很有作用，如閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在每點(diǎn)都局部有界則它在區(qū)間上有界。定理5（Bolzano致密性定理）1 致密性定理：有界無窮數(shù)列必有收斂子列。在某些需要得到收斂數(shù)列問題中，我們可以先構(gòu)造一個(gè)有界數(shù)列，再利用致密性定理得到一個(gè)收斂子列，用這種方法可以在無序中找到秩序。定理6(Cauchy收斂準(zhǔn)則)1 Cauchy收斂準(zhǔn)則：數(shù)列收斂對(duì)任給的正數(shù)，總存在某一個(gè)自然數(shù)，使得時(shí)，都有。 Cauch