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文檔簡(jiǎn)介
1、第 30 題傳染病傳播 的數(shù)學(xué)模型由于人體的疾病難以控制和變化莫測(cè), 醫(yī)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型也是較為復(fù)雜的。 在研究傳染病傳播問題時(shí), 人們發(fā)現(xiàn)傳染病傳播所涉及的因素很多, 例如,傳染病人的多少,易受感染者的多少, 免疫者 (或感染后痊愈者 )的多少等。在將某一地區(qū),某種傳染病的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析后,人們發(fā)現(xiàn)了以下的規(guī)律性:設(shè) S 表示在開始觀察傳染病之后第 k 天易受感染者的 k 人數(shù), H 表示在開始觀察后第 k 天傳染病人的人數(shù), I 表 kk 示在開始觀察后第 k 天免疫者 (或感染后痊愈者 ) 的人數(shù),那么S+1=S-0.01S(1) kkk (2)H+1=H -0.2H0.01S k
2、kkk I+1=I+0.2H(3) kkk 其中 (1)式表示從第 k 天到第 k1 天有 1的易受感染者得天的傳 k+1 式表示在第 (2)病而離開了易受感染者的人群;染病人的人數(shù)是第 k 天的傳染病人的人數(shù)減去痊愈的人數(shù) 0.2H(假設(shè)該病的患病期為 5 k(3)式表示在第 k 1 天免疫者的人數(shù)是第 k 天免疫者的人數(shù)加上第 k 天后病人痊愈的人數(shù)。將 (1),(2)和(3)式化簡(jiǎn)得如果已知 S,H,I 的值,利用上式可以求得 S, H,10001I 的值,將這組值再代入上式,又可求得 S,H,I 的值, 2221 這樣做下去,我們可以逐個(gè)地,遞推地求出各組 S,H, kkI 的值。因此
3、,我們把 S,H, I 和 S,H,I 之間 kkkkk+1k+11k 的關(guān)系式叫做遞推關(guān)系式?,F(xiàn)在假設(shè)開始觀察時(shí)易受感染者,傳染病人和免疫者的人數(shù)分別為將上述數(shù)據(jù) (5)代入 (4) 式右邊得利用遞推關(guān)系式 (4)反復(fù)計(jì)算得表 30-1。在建立上述數(shù)學(xué)模型的過程中, 如果還要考慮該地區(qū)人員的遷入和遷出, 人口的出生和死亡所引起的總?cè)藬?shù)的變化等因素, 那么傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型變得非常復(fù)雜。所以必須舍去次要因素,抓住主要因素,把問題簡(jiǎn)化,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。如果將由該數(shù)學(xué)模型計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際比較后, 與傳染病傳播的情況大致吻合,那么我們就可可以預(yù)例如,以利用該模型對(duì)得病人數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)和估計(jì)。 測(cè)若
4、干天后傳染病人的人數(shù)等等,便于有關(guān)的醫(yī)療衛(wèi)生部門作出相應(yīng)的決策。在上述模型中,易受感染者每天的發(fā)病率是 1,它只與易受感染者的人數(shù) S 有關(guān)。對(duì)于有些傳染病,情形更 k 為復(fù)雜,它不僅與易受感染者的人數(shù)有關(guān),也與傳染病人的人數(shù) H 有關(guān),因?yàn)閭魅静∪说娜藬?shù)越多, 傳染病的發(fā)病 k 率也就越高。這樣,就必須將由 (1), (2)和(3)式所給出的模型加以修改。這里,我們假設(shè)該地區(qū)人口總數(shù)為 N,是一個(gè)常數(shù)。于是,S=N-(H I)(7) kkk 其中 I 為在開始觀察后第 k 天免疫者 (或感染后痊愈者 )的 k 人數(shù)。設(shè)傳染病人每天的痊愈率為,則I+1=I+ H(8) kkk 最后,假設(shè)每天發(fā)
5、病人數(shù)與易受感染者的人數(shù)S 和傳染病 k 人的人數(shù) H 均成正比,且其比例因子為,那么k H=H+ SH- H(9) kk+1kkk 將(7),(8)和(9)組合起來,就得到關(guān)于 S,H,I 的遞 kkk推關(guān)系式:如果已知 N,和,并給定 S, H 和 I,那么利用 000 上式就可以計(jì)算 H 和 I,利用 H 和 I ,由 (7)式,可以計(jì)算 1111S,然后計(jì)算 H 和 I,再計(jì)算 S,這樣,(10)式就給 2212 出了關(guān)于傳染病傳播的第 2 個(gè)數(shù)學(xué)模式。利用數(shù)學(xué)模型 (4)或(10)式可以對(duì)該傳染病傳播的情形作一些定性的分析。設(shè) S=S-S 表示從第 k 天到第 k+1 天易受感染者人
6、 kk1k 數(shù)的變化, I=I -I 表示從第 k 天到第 k1 天免疫者 (或 kk+1k 感染后痊愈者 )人數(shù)的變化。從數(shù)學(xué)模型 (4)式可以看到S=-0.01S0 kkI=0.2H0 kk 所以易受感染者人數(shù)只可能減少不會(huì)增加,而免疫者人數(shù)只可能增加不會(huì)減少。 現(xiàn)問對(duì)數(shù)學(xué)模型 (10)式來說,易受感染者的人數(shù),免疫者的人數(shù)以及傳染病人的人數(shù)各有什么變化規(guī)律?分析:類似于數(shù)學(xué)模式 (4)式的情形,分別計(jì)算 S,k I 與 H(=H -H),然后加以分析。 kkk+1k 解 由(10)式得:S=N-(H I) -N -(H+I) kk+1kk+1k =(I -I)+(H -H) k+1k+1
7、kk =- H-SH+ H kkkk =- SH kk 所以 S 0,k=1, 2,即易受感染者人數(shù)只可能減 k 少不會(huì)增加。因?yàn)镮=I+ H-I kkkk =H k 所以 I0,k=1, 2,即免疫者人數(shù)只可能增加不 k 會(huì)減少?,F(xiàn)在設(shè) H=H-H 表示從第 k 天到第 k1 天傳染病 kkk+1 人的人數(shù)的變化,則由 (10) 式得H=SH- H kkkk =(S-)H , kk 所以當(dāng) (S- )0 時(shí),傳染病人的人數(shù)第 k 1 天比第 k 天 k 增加;當(dāng) (S-) 0 時(shí),傳染病人的人數(shù)相應(yīng)地減少, k 也就是說,當(dāng)易受感染者人數(shù) S“大”時(shí),可使 ( S-)kk 0,從而傳染病人的
8、人數(shù)增加;當(dāng)易受感染者的人數(shù) Sk“小”時(shí),可使 (S-)0,從而傳染病人的人數(shù)減少。k 解一元一次不等式 S- 0(或 Sk 0) - k 得如,打預(yù)防針等 ),那么可以降低發(fā)病率從而降低值。如果發(fā)明了一種好的藥品可以縮短患病期,那么就可以提高傳染病人每天的痊愈率。現(xiàn)在有這樣的一個(gè)實(shí)際問題, 有一個(gè)藥物研究小組提出需要100 萬元的科研經(jīng)費(fèi)在一年內(nèi)試制某種預(yù)防針劑,可使發(fā)病率降低從而使值降低 25,而另一個(gè)藥物研究小組提出需要 100 萬元的科研經(jīng)費(fèi)在一年內(nèi)試制某種藥品, 可使痊愈率提高 30%。如果僅有一筆 100 萬元的科研基金可供申請(qǐng), 那么這筆基金應(yīng)提供給哪一個(gè)小組?對(duì)于用藥物的方法
9、, =(1+30%), =,所以 22由于 CC,所以這筆基金應(yīng)提供給試制預(yù)防針劑的21 小組。注:從傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型的研究過程中,可以看到建立數(shù)學(xué)模型的一般過程。一般說來,建立數(shù)學(xué)模型有如下6 個(gè)步驟:第一步:模型準(zhǔn)備明要深入了解該問題的實(shí)際背景,根據(jù)提出的問題,確建立模型的目的, 掌握所研究對(duì)象的各種信息, 如統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等, 弄清實(shí)際對(duì)象的特征。總之,要做好建立模型的一切準(zhǔn)備工作。在本題中,研究者通過對(duì)某地區(qū)某種傳染病傳播情況的觀察,積累一定的數(shù)據(jù),例如,記錄一段時(shí)期內(nèi)每天傳染病人,易受感染者以及免疫者 (或感染后痊愈者 ) 的人數(shù)等等, 也就是說,按要求統(tǒng)計(jì)必要的數(shù)據(jù), 目的是建立傳染
10、病傳播的數(shù)學(xué)模型,以了解傳染病人的人數(shù)變化的趨勢(shì), 使有關(guān)醫(yī)療衛(wèi)生部門能及時(shí)采取措施,將傳播病加以有效的防治。第二步:模型假設(shè)實(shí)際問題中往往因素很多, 十分復(fù)雜。因此,必須根據(jù)實(shí)際研究對(duì)象的特征和建立模型的目的, 較確切地去辨別問題的主要方面和次要方面, 抓住主要因素, 暫不考慮次要因素,將問題理想化、簡(jiǎn)單化。不同的簡(jiǎn)化和假設(shè), 會(huì)得到不同的模型。 假設(shè)做得不合理或過分簡(jiǎn)單, 會(huì)導(dǎo)致模型的失敗或部分失敗, 于是應(yīng)該加以修正; 假設(shè)做得過于詳細(xì), 試圖把復(fù)雜的實(shí)際現(xiàn)象的各個(gè)因素都考慮進(jìn)去,將難于發(fā)現(xiàn)規(guī)律和建立模型。在本題中,我們只考慮上述三種人數(shù):S, H 和 I 的 kkk 變化情況,對(duì)人口的
11、遷入和遷出,出生和死亡等因素暫不考慮。第三步:模型建立建立數(shù)學(xué)模型, 通常要根據(jù)所做的假設(shè), 利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具, 建立各量之間的等式或不等式關(guān)系, 列出表格,畫出圖象等表達(dá)式, 用以描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建模時(shí),首先要考慮合理性, 并盡量使用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具,簡(jiǎn)單工具不能解決問題時(shí),要選用較復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具。在本題中是設(shè)法建立一個(gè)與實(shí)際數(shù)據(jù)比較吻合的關(guān)于S, H 和 I 的遞推關(guān)系式。例如,在建立數(shù)學(xué)模型 (4)式 kkk 時(shí),研究者通過對(duì)觀察數(shù)據(jù)的分析,發(fā)現(xiàn)每天有1%的易受感染者得病,而病人的患病期為5 天,和 (3)以描述易受感染者, 傳染病人和免疫者 (或感染后痊愈者
12、)的人數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。第四步:模型求解建立數(shù)學(xué)模型后,實(shí)際問題已歸結(jié)為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。 接著,需要求解數(shù)學(xué)問題,解出結(jié)果。在本題中,利用數(shù)學(xué)模式(4)式,通過直接計(jì)算,就能得到表30-1 所列的結(jié)果。如果借助于計(jì)算機(jī),我們還能得到更多的數(shù)據(jù)。本題的模型求解過程特別簡(jiǎn)單。對(duì)于有些問題, 有時(shí)需要用到許多數(shù)學(xué)方法,甚至現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些方法; 有時(shí)需要借助于計(jì)算機(jī), 利用算法語言, 編出計(jì)算機(jī)程序,做出計(jì)算機(jī)軟件等幫助求解。第五步:模型檢驗(yàn)把模型求解的結(jié)果,經(jīng)“翻譯”再回到實(shí)際對(duì)象中,用實(shí)際現(xiàn)象,數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)P偷暮侠硇院瓦m用性。 如果檢驗(yàn)結(jié)果不符合或部分不符合實(shí)際情況, 并且肯定在模型建立和求解過程
13、中沒有失誤的話,那么應(yīng)該修改假設(shè),重新建模。在本題中,我們可以檢驗(yàn)由 (4)式計(jì)算出來的理論數(shù)值與實(shí)際統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)是否吻合。如果比較吻合,則模型是成功的;如果差別太大,則模型是失敗的;如果部分吻合,則可找原因,發(fā)現(xiàn)問題,修改模型。例如,當(dāng)某種傳染病每天的發(fā)病人數(shù)既與易受感染者人數(shù)有關(guān)又與傳染病人的人數(shù)有關(guān)時(shí), 那么必須把原數(shù)學(xué)模型中的 (2)式加以修改,假設(shè)傳染病人的人數(shù)符合 (10)式,建立新的數(shù)學(xué)模型 (10)式,然后對(duì)新的數(shù)學(xué)模型加以檢驗(yàn),直到檢驗(yàn)結(jié)果令人滿意為止。第六步:模型應(yīng)用應(yīng)用的方式因問題的性質(zhì)和建模的目的而不同。 例如,利用計(jì)算結(jié)果做出某些決策進(jìn)行管理與控制或預(yù)測(cè)未來的情況等,
14、實(shí)際上,所建模型的意義大小就是由它的應(yīng)用前景來決定的。在本題中,利用數(shù)學(xué)模型, 可以預(yù)測(cè)傳染病人傳播的趨勢(shì), 及時(shí)采取預(yù)防和治療措施,將病情加以控制。利用數(shù)學(xué)模型 (10)式,還可以值或者降低值的重要性,便于有關(guān)醫(yī)療衛(wèi)生部門進(jìn)行決策和管理。應(yīng)該指出,并非所有建模過程都要經(jīng)過這些步驟, 有時(shí)各個(gè)步驟之間的界限也并不那么分明。 但是,通過建模一般過程的介紹, 可以對(duì)建模的意義和方法有進(jìn)一步的理解。一般說來,所謂數(shù)學(xué)模型,是指對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對(duì)象, 為了某個(gè)特定目的,做出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè), 運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具, 得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 它或者能解釋特定現(xiàn)象和現(xiàn)實(shí)性態(tài); 或者能預(yù)測(cè)對(duì)象的未來狀況;
15、 或者能提供處理對(duì)象的最優(yōu)決策或控制。對(duì)于利用數(shù)學(xué)模型經(jīng)過演繹、推理、計(jì)算,給出數(shù)學(xué)上的分析、預(yù)報(bào)、決策或控制,必須經(jīng)過實(shí)踐的檢驗(yàn)。 對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果正確, 或基本正確的,就可以肯定下來,用來指導(dǎo)實(shí)際;對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果懸殊較大;或基本錯(cuò)誤的,必須修改模型。目前數(shù)學(xué)模型已經(jīng)形成一門創(chuàng)造性很強(qiáng)的新興學(xué)科, 它的應(yīng)用已擴(kuò)展到各個(gè)領(lǐng)域,有人口模型、交通模型、生態(tài)模型、生理模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會(huì)模型等等,氣象工作者根據(jù)關(guān)于氣壓、雨量、風(fēng)速、的數(shù)學(xué)模型,來預(yù)報(bào)天氣;發(fā)電廠運(yùn)用發(fā)電過程的數(shù)學(xué)模型, 來實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)自動(dòng)控制; 在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的兩個(gè)數(shù)學(xué)模型, 純交換經(jīng)濟(jì)的平衡價(jià)格和投入產(chǎn)出模型, 均獲得了諾貝爾獎(jiǎng)金。 科學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究,已獲得了很多成果,對(duì)生產(chǎn)力的發(fā)展起了巨大的作用。練習(xí) 301科學(xué)家將某種異體單細(xì)胞注入一個(gè)白鼠體內(nèi)做實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)一天之后,白鼠體內(nèi)該種細(xì)胞有 4 個(gè),二天之后,有 16 個(gè),如表 30-2 所示:假設(shè)白鼠體內(nèi)的該種細(xì)胞超過1000000 個(gè)將死亡,而注射某種藥物可殺死白鼠體內(nèi) 96的該種細(xì)胞。按你的分析,試問 (1)為了維持白鼠的生命,最遲什么時(shí)候必須注射該種藥物? (2)如果白鼠體內(nèi)的該種細(xì)胞達(dá)到 1000000 個(gè)時(shí),第 1 次注射該種藥物
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