2020-2021學年蘇教版必修五簡單的線性規(guī)劃問題學案

1、第1課時簡單的線性規(guī)劃問1. 了解線性規(guī)劃的意義.2.掌握簡單的二元線性規(guī)劃問題的解法.研讀思考嘗試學生用書 P551)線性規(guī)劃的有關概念名稱定義約朿條件由變量 x, y 組成的不等式(方程)組線性約束條件由變量 y 組成的一次不等式(方程)組目標函數(shù)關于 x, y 的函數(shù)解析式線性目標函數(shù)關于 x, y 的一次函數(shù)解析式可行解滿足線性約朿條件的解( y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題統(tǒng)稱線性規(guī)劃問題1. 判斷下列命題是否正確.(正確的打“ J”，錯誤的打X”)(1) 可行域是一個封閉的區(qū)域.(

2、)(2) 在線性約束條件下，最優(yōu)解是唯一的.()(3) 最優(yōu)解一定是可行解，但可行解不一泄是最優(yōu)解.()(4) 線性規(guī)劃問題一上存在最優(yōu)解.()解析：(1)錯誤.可行域是約束條件表示的平而區(qū)域，不一上是封閉的.(2) 錯誤.在線性約束條件下，最優(yōu)解可能有一個或多個，也可能有無數(shù)個，也可能無最優(yōu)解, 故該說法錯誤.(3) 正確滿足線性約朿條件的解稱為可行解，但不一泄是最優(yōu)解，只有使目標函數(shù)取得最大 值或最小值的可行解，才是最優(yōu)解，所以最優(yōu)解一定是可行解.(4) 錯誤.線性規(guī)劃問題不一左存在可行解，存在可行解也不一泄存在最優(yōu)解，故該說法是錯 誤的.答案：X X V X40,2. 若 舜 0,則z=

3、xy的最大值為_.x+yWl,解析：根據(jù)題意作出不等式組所表示的可行域如圖陰影部分所示.令 z=0,作直線：y-v=0.當直線 向下平移時，所對應的 z=.Y-y 的函數(shù)值隨之增大，當直線經過可行域的頂點 M 時，z=.Y-y 取 北+卩=1,得最大值.頂點是直線 x+y=l 與直線 y=0 的交點，解方程組最大值等于_ .解析：如圖所示，線性區(qū)域為圖中陰影部分，丹指線性區(qū)域內的點到原點的距離，所以最短為仔匚？=住，最長為 7+3=血.答案：2 V10法一：(通性通法)作出可行域，如圖中陰影部分所示，由 z=.r-2y 得尸芬 作直線 y =$并平移，觀察可知，當直線經過點月(3, 4)時，總

4、=32X4=-5.法二：(光速解法)因為可行域為封閉區(qū)域，所以線性目標函數(shù)的最值只可能在邊界點處取得， 易求得邊界點分別為(3, 4), (1,2),(3. 0),依次代入目標函數(shù)可求得c=-5.【答案】(1)4(2)-5解線性規(guī)劃問題的基本步驟(1) 畫：畫出線性約束條件所表示的可行域.(2) 移：在線性目標函數(shù)所表示的一族平行線中，用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截 距最大或最小的直線.(3) 求：通過解方程組求出最優(yōu)解.(4) 答：根據(jù)所求得的最優(yōu)解得岀答案.%+2y8W0,1已知 x, y 滿足x-4y+4W0,求 z=3x+y 的最大值和最小值.解：作出已知不等式組所表示的平而區(qū)

5、域，如圖中的陰影部分所示.由于目標函數(shù)為 z=3x+y.令3x+y=0,作直線厶：3x+y=0解感探究突破(1)若y 滿足求線性目標函數(shù)的最大(小)值學生用書 P552-v卄応 3,則 2 卄 y 的最大值為_ .(2)若y 滿足約束條件 Sxy+lO,x+ y 3 2 0,則Z=x2y 的最小值為.一 3W0,【解析】(1)不等式組 s2.Yx+)W3,表示的可行域如圖中陰影部分所示(含邊界), Q0故當目標函數(shù) z=2 龍+y 經過點川 1,2)時，Z 取得最大值，茲=2X1+ 2 = 4.平行移動直線厶至直線厶從圖形中不難發(fā)現(xiàn)，當直線經過平而區(qū)域內的點方時，直線所對 應的 Z值最?。划斨?/p>

6、線 2 經過平而區(qū)域內的點月時，直線所對應的 z 值最大.x4y+4=0,解方程組)A得點萬的坐標為(0, 1),k+2y8=0,所以 s=3X0+l = l 解方程組丿1.A得點的坐標為(4, 2),所以 益=3X4+21*一 4 卄 4 = 0,= 14.故滿足條件的Z的最大值為 14,最小值為 1.求非線性目標函數(shù)的最值學生用書 P56設實數(shù)y 滿足 L+2y-4M0,求乂的最大值.x.2y3W0,【解】如圖，畫岀不等式組表示的平面區(qū)域ABC，令其幾何意義是可行域遊內任一點(弘 y)與原點相連的直線1的斜率為 S 則 u=h由圖形可知，當直線么經過可行域內的點 Q 時，u 最大,非線性目

7、標函數(shù)最值問題的求解方法解決非線性目標函數(shù)最值問題，要充分理解非線性目標函數(shù)的幾何意義，諸如兩點間的距 離(或平方)，點到直線的距離，過已知兩點的直線的斜率等，充分利用數(shù)形結合知識解題，能起到 事半功倍的效果.(2)常見代數(shù)式的幾何意義主要有:1Qf+卩表示點(*, y)與原點(0, 0)的距離：yj(.Ya):+ (yZ):表示點(ASy)與點(a, b)的距離.2乂表示點(x, y)與原點(0, 0)連線的斜率：口表示點 y)與點 Q, b)連線的斜率.這些xx a代數(shù)式的幾何意義能使所求問題得以轉化，往往是解決問題的關鍵.y+220,2已知+尸一 4 鼻 0,求：2x5W0.(1)z=x

8、+y 10y+25 的最小值；解：作岀可行域如圖陰影部分所示，并求出頂點的坐標川 1, 3)、5(3, 1). C(7, 9).(1) z=Y4-(y-5)2表示可行域內任一點 Fbr, y)到定點 M(0, 5)的距離的平方爐，過作直9線 EC 的垂線，易知垂足 A在線段/1C 上，故 z 的最小值是.IA?=|.廠(-(A(2) z=2：_i)表示可行域內任一點 Pg y)與泄點一計連線的斜率曲的兩倍,723 7因為屆=$妬=，故 Z 的范用為- -.已知目標函數(shù)的最值求參數(shù)問題學生用書 P56宀，設分 1,在約朿條件”妙，下，目標函數(shù) z=x+5y 的最大值為 4,則加的值為_ .x+y

9、Wl3所以山：=夕所以 g)-vmax32*(2) z=2y+lx+l的范亂x+2y4 = 0,2 卩一 3=0,【解析】作岀可行域.把目標函數(shù)化為 y=-|x+|顯然只有尸一$+學在 y 軸上的截距最大時 z 值最大，根據(jù)圖y=mx,flm15 加形，目標函數(shù)在點乂處取得最大值，叫 + =得彳匸口，幣訃 代入目標函數(shù)，即7；+ =4,解得 20=3.【答案】3根據(jù)目標函數(shù)的最值求參數(shù)的解題思路采用數(shù)形結合法，先畫岀可行域，根據(jù)目標函數(shù)表示的意義，畫出目標函數(shù)取得最值的直線， 它與相應直線的交點就是最優(yōu)解， 再將所求出的最優(yōu)解代入含有參數(shù)的約束條件， 即可求出參數(shù)的 值或范圍.0 x+)W4,

10、3.已知變量0)僅在點(3,2Wx)W2.1)處取得最大值，求實數(shù)曰的取值范圍.解：由約朿條件畫出可行域，如圖所示，點 C 的坐標為(3, 1).因為目標函數(shù)僅在點 C(3, 1)處取得最大值，所以一 a，即一 a 1.所以實數(shù) a 的取值范用是(1, +8).1. 準確理解線性規(guī)劃的有關概念(1) 線性約束條件包括兩點：一是關于變量 x, y 的不等式(或等式)，二是次數(shù)為 1.(2) 目標函數(shù)與線性目標函數(shù)的概念不同，線性目標函數(shù)在變量的次數(shù)上作了嚴格的限定： 一次解析式，即目標函數(shù)包括線性目標函數(shù)和非線性目標函數(shù).(3) 可行解必須使約束條件成立，而可行域是所有的可行解組成的平而區(qū)域(或

11、其內部一些點)， 可以是封閉的多邊形，也可以是一側開放的無窮大的區(qū)域.2. b 的符號對目標函數(shù)z=ax+by(bQ)函數(shù)值的變化趨勢的影響將函數(shù) z=”+(bH0)變形為 y=-jr+|,它表示斜率為一務在 y 軸上的截距為自并隨 z 變化的一族平行直線.(1)把直線幾：ax+by=0 向上平移時，在 y 軸上的截距彳逐漸增大.當 40 時，z 的值逐漸增大；當從 0 時，z 的值逐漸減小.(2)把直線厶：ax+by=0 向下平移時，在 y 軸上的截距鼻逐漸減小.當 40 時，z 的值逐漸減??；當從 0 時，z 的值逐漸增大.設實數(shù) X, y 滿足不等式組(1) 畫岀點(X, y)所在平而區(qū)

12、域：(2) 設 0 1,在(1)所求的區(qū)域內，求函數(shù)的最大值和最小值.解(1)已知不等式組等價于 y+222y3,或 y+223 2x,2x-30,2-Y3一 1,所以當直線過頂點 C 時，z 最大.因為 C 點的坐標為(一 3, 7).所以 z 的最大值為 7 + 3a.如果一：KaW2,那么當直線過頂點 J(2, 一 1)時，z 最小，最小值為一 l-2a.如果 a2,那 么當直線2 過頂點 5(3, 1)時，z 最小，最小值為 1 一 3a.去掉絕對值號時，容易漏掉加一 3一 1 時，在求 z=y-ax 的最 值時，不去進一步討論，導致失分.(2)求解參數(shù)與斜率有關的問題時，可先作岀線性

13、約束條件所表示的平而區(qū)域，充分利用斜率 的特征加以轉化，一般情況下需分類討論，如本題中可將條件 a-l 分為一 l2 兩種情 況分別求目標函數(shù)的最小值，經討論求解的結果才是完整的答案.1. 若 0WxWl, 0WyW2,且 2y-xMl,則z=2y-2x+4 的最小值為_.解析：畫出可行域(圖略)，易知 z=2y-2 卄 4 的最小值在點(1, 1)處取到,盛=4.答案：4x+yN2,2. 已知實數(shù) x, y 滿足0,解析：可行域（如圖所示）是四邊形沁及英內部的區(qū)域.作出厶：6 卄 8 尸 0 即 3x+4y=0, 平移直線厶到/的位豊，由圖形知，當 2 過點 CO, 5）時，z 取得最大值.

14、答案：（0, 5）x+y21,5.若 x,y 滿足約朿條件*一卩 2 1，目標函數(shù) z=ax+2y 僅在點（1, 0）處取得最小值，則 a的取值范圍是_ .解析：作出可行域（圖略），宜線 n+2y=z 僅在點（1, 0）處取得最小值，由圖象可知一 1一號2,即一 4a),則其表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，其中月 G，另，求 a+b 的最大值轉化為在約束條件下，目標函數(shù)z=a+b的最值的線性規(guī)劃問題，作直線a+b=Q.并且平移使它通 過可行域內的*點,L此時z=a+b取得最大值為芻LB 能力提升+炸 2,1.若變虹，卩滿足忖一 3 応 9,則 Y+y 的最大值是_.解析：不等式組表示的平而區(qū)域

15、如圖中陰影部分所示，其中川 0, 3),5(3, -1), CO, 2),顯然在點萬處空+F 取得最大值 10.答案：102._ 若變雖x, y 滿足約束條件 x +pW4,且z=2x+y的最小值為一 6,貝 9 ：=_.yPk,解：因為 1 在0, 1上恒成立，所以b叫 2a+b - 2W0,將 a.解析：作岀不等式組表示的平而區(qū)域，如圖中陰影部分所示，z=2x+y,則y=-2x+z.易知當直線 y=-2x+zil 點幻時，z=2x+y 取得最小值， 即 3=6,所以k=-2.答案：-2&一 2y+4$0,3._ 已知實數(shù) x, y 滿足*x+y-220,則+的取值范圍是_ .3x-y-3W0,解析：不等式組所表示的平而區(qū)域是以點(0, 2), (L 0), (2, 3)為頂點的三角形及其內部,94如圖所示.因為原點到直線 2x+y-2 = 0 的距離為書