第一章運(yùn)動微分方程

1、動力學(xué)緒論動力學(xué)緒論1 動力學(xué)的研究對象動力學(xué)的研究對象 動力學(xué)的研究對象：動力學(xué)的研究對象：質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)和和質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系。 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)是指幾何尺寸可以忽略不計，但具有一定質(zhì)量的物體。 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系是由幾個或無限個相互聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。剛體剛體是質(zhì)點(diǎn)系的一種特殊情形。 2 動力學(xué)的研究內(nèi)容動力學(xué)的研究內(nèi)容是研究物體的機(jī)械運(yùn)動與作用力之間的關(guān)系。 已知運(yùn)動求力已知運(yùn)動求力 已知力求運(yùn)動已知力求運(yùn)動 既有未知的運(yùn)動量既有未知的運(yùn)動量, ,又有未知力又有未知力. . 4 動力學(xué)的理論基礎(chǔ)動力學(xué)的理論基礎(chǔ) 牛頓定律的適用范圍：牛頓定律的適用范圍： 慣性坐標(biāo)系；慣性坐標(biāo)系； 速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光速；速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于

2、光速； 宏觀物體宏觀物體; ; 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)( (平動剛體平動剛體) )動力學(xué)理論有著廣泛的應(yīng)用。動力學(xué)理論有著廣泛的應(yīng)用。航天航空航天航空中的動力學(xué)計中的動力學(xué)計算算、結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)的動荷響應(yīng)動荷響應(yīng)、高速轉(zhuǎn)動機(jī)械高速轉(zhuǎn)動機(jī)械的動力學(xué)行為分的動力學(xué)行為分析析等都需要有動力學(xué)的知識作為基礎(chǔ)。等都需要有動力學(xué)的知識作為基礎(chǔ)。3 解決動力學(xué)問題的基本方法解決動力學(xué)問題的基本方法u 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程-質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)u 動力學(xué)普遍定理動力學(xué)普遍定理( (三大動力學(xué)定理三大動力學(xué)定理+ +達(dá)朗伯原理達(dá)朗伯原理) ) - -質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系u 分析力學(xué)方法分析力學(xué)方法虛位移原理虛位移原理第一章第一章 11

3、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程12 質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類問題質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類問題13 質(zhì)點(diǎn)相對運(yùn)動基本方程質(zhì)點(diǎn)相對運(yùn)動基本方程不受力（平衡力系）作用的質(zhì)點(diǎn)將永遠(yuǎn)保不受力（平衡力系）作用的質(zhì)點(diǎn)將永遠(yuǎn)保持靜止或作勻速直線運(yùn)動。又稱持靜止或作勻速直線運(yùn)動。又稱。 兩個基本概念：質(zhì)點(diǎn)都有兩個基本概念：質(zhì)點(diǎn)都有慣性慣性，即保持原來運(yùn)，即保持原來運(yùn)動狀態(tài)的性質(zhì)；動狀態(tài)的性質(zhì)；力是改變質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)的原因力是改變質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)的原因。（定性定性）質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。即即fa m1

4、1 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程1 動動力學(xué)基本定律力學(xué)基本定律牛頓三定律牛頓三定律此式即此式即。 此定律給出：物體的受力與物體運(yùn)動狀態(tài)的此定律給出：物體的受力與物體運(yùn)動狀態(tài)的改變之間定量關(guān)系改變之間定量關(guān)系 （定量定量）。）。fa m 力使物體產(chǎn)生沿其方向的加速度 f作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力(共點(diǎn)力系的合力) a質(zhì)點(diǎn)相對慣性系的加速度(絕對加速度) 瞬時運(yùn)動量的關(guān)系 適用范圍(質(zhì)點(diǎn), 平動剛體)niifma1(1)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程在直角坐標(biāo)軸上投影質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程在直角坐標(biāo)軸上投影niziniyinixifdtzdmfdtydmfdtxdm122122122,2運(yùn)動微分方程運(yùn)動微分方程fr22

5、dtdm(2) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程在自然軸上投影質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程在自然軸上投影nininiifvmfdtdvm1,21(3) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程的復(fù)合運(yùn)動形式質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程的復(fù)合運(yùn)動形式creaaaaafaaamcre)(一是已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，求作用于質(zhì)點(diǎn)的力一是已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，求作用于質(zhì)點(diǎn)的力。 求解這類問題時，只需根據(jù)已知的運(yùn)動規(guī)律，求解這類問題時，只需根據(jù)已知的運(yùn)動規(guī)律，通過微分運(yùn)算或通過復(fù)合運(yùn)動求出質(zhì)點(diǎn)的加速度；通過微分運(yùn)算或通過復(fù)合運(yùn)動求出質(zhì)點(diǎn)的加速度；從而按質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程式求出未知力。從而按質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程式求出未知力。二是已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動二是已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力，求質(zhì)

6、點(diǎn)的運(yùn)動。 這類問題一般比較繁瑣。求解這類問題時，首這類問題一般比較繁瑣。求解這類問題時，首先要列出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程式，然后進(jìn)行積分，同先要列出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程式，然后進(jìn)行積分，同時利用運(yùn)動的初始條件確定積分常數(shù)，求出質(zhì)點(diǎn)的時利用運(yùn)動的初始條件確定積分常數(shù)，求出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律。運(yùn)動規(guī)律。12 質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類問題質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類問題具體求解步驟具體求解步驟: :1.1. 明確研究對象明確研究對象2.2. 分析受力分析受力-全部外力全部外力 分析運(yùn)動分析運(yùn)動-一般位置一般位置( (運(yùn)動描述的方法運(yùn)動描述的方法) )3. 3. 建立方程并求解建立方程并求解例例：小球m的重量為g，設(shè)以勻速vr沿直管

7、oa運(yùn)動，同時管oa以勻角速度w 繞鉛直軸z轉(zhuǎn)動。求小球?qū)鼙诘乃綁毫?。zwaomgzn已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，求作用于質(zhì)點(diǎn)的力已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，求作用于質(zhì)點(diǎn)的力。解解：研究小球aonmcawfeacreaaaarcrevaaomaww202nmacreaaaacaarcvggmanw2例例一質(zhì)量為3kg的小球連于繩的一端，可以在鉛垂面內(nèi)擺動，繩長l=0.8m。已知當(dāng)q=60時繩的張力為25n,求此瞬時小球的速度和加速度。解解qltmgana根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程,研究小球30cos30sinmgmamgtman解得：an=3.33m/s2 a 8.66m/s2再根據(jù)an =v2/l,可求v=1.632m

8、/s已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動例例 圖示質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)o帶有電荷e，如已知質(zhì)點(diǎn)在均勻電場中所受力f=esinkt, k為常數(shù)。又質(zhì)點(diǎn)的初速為v0,與x軸夾角為q,且取坐標(biāo)原點(diǎn)為起始位置。如不計重力影響，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程。解解根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程：ktefdtdvmmadtdvmmayyxxsin0已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度初始條件為：qqsincos0000vvvvyx)cos1 (sincos00ktmkevdtdyvvdtdxvyxqq位置初始條件為：0000yxqqsin)sin(cos00tvkkttmkey

9、tvx彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，物塊的質(zhì)量為m ，彈簧的剛度系數(shù)為k，物塊自平衡位置的初始速度為v0。求物塊的運(yùn)動方程。0kxxm mk20wtmkkmvx0sinl0kmgxkxm)(st mgksttmkkmvx0sin1. 重力重力mg只改變了系統(tǒng)的平衡位置，對只改變了系統(tǒng)的平衡位置，對運(yùn)動規(guī)律并無影響。運(yùn)動規(guī)律并無影響。 2. 物塊垂直懸掛時，物塊垂直懸掛時，坐標(biāo)原點(diǎn)選擇不同對運(yùn)動微分方程的影響坐標(biāo)原點(diǎn)選擇不同對運(yùn)動微分方程的影響這一問題請同學(xué)們自己研究。這一問題請同學(xué)們自己研究。 取坐標(biāo)軸 x 鉛直向下，原點(diǎn)在物體的初始位置。寫出物體 m 的運(yùn)動微分方程例題 質(zhì)量是m的物體m在均勻重力場中沿鉛直

10、線由靜止下落，受到空氣阻力的作用。假定阻力f與速度平方成比例，即f=v2 ，阻力系數(shù)單位取kg/m，數(shù)值由試驗測定。試求物體的運(yùn)動規(guī)律。解解: :加速度為零時2vmgt dvdmumgvxx)vu(ugt dvd222tugvuvutvdd0022)3(11)/()/()/()/()/2()/2(tugtugtugtugtugtugeeeeueeuv于是物體速度隨時間而變化的規(guī)律為th 是雙曲正切是雙曲正切。)(thtuguv tugtugtugtugtxeeeegux)/()/()/()/(020dd物體的運(yùn)動方程為)(ch22)()(2ugtlngueelnguxu/gtu/gt分析例分析

11、例 神州6號載人飛船回收過程中的動力學(xué)問題。假設(shè)回收艙重為p, 回收艙在距離地面h處打開阻力傘，此時速度為v0，回收艙受到的空氣阻力與速度成正比：f=cv，c為常數(shù)。求回收艙到達(dá)地面時的速度和加速度。 例題粉碎機(jī)滾筒半徑為r，繞通過中心的水平勻速轉(zhuǎn)動，筒內(nèi)鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。為了使鐵球獲得粉碎礦石的能量，鐵球應(yīng)在=0時（如圖）才掉下來。求滾筒每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n。 視鐵球為質(zhì)點(diǎn)。鐵球被旋轉(zhuǎn)的滾筒帶著沿圓弧向上運(yùn)動，當(dāng)鐵球到達(dá)某一高度時，會脫離筒壁而沿拋物線下落。 f = maq cosn2mgfrvm鐵球在未離開筒壁前的速度，等于筒壁上與其重合點(diǎn)的速度。即 rrv30nw21n) cos(3

12、0qmgfmrrn當(dāng)當(dāng)=0 時鐵球?qū)⒙湎拢@時時鐵球?qū)⒙湎?，這時fn =0，于是得滾筒轉(zhuǎn)速于是得滾筒轉(zhuǎn)速0 cos549. 9qrgn 2 . 當(dāng)當(dāng)q0=0時，鐵球就會緊貼筒壁轉(zhuǎn)過時，鐵球就會緊貼筒壁轉(zhuǎn)過最高點(diǎn)而不脫離筒壁落下，起不到粉碎最高點(diǎn)而不脫離筒壁落下，起不到粉碎礦石的作用。礦石的作用。 1. 顯然，顯然，q0 越小，要求越小，要求n 越大。越大。 討論討論q cosn2mgfrvmrrv30nw13 非慣性系中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程非慣性系中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程fa mcaaaaercermmmaafaegeamfgcgermfffa 牽連慣性力牽連慣性力cgcamf 科氏慣性力科氏慣性力 質(zhì)

13、點(diǎn)相對運(yùn)動微分方程質(zhì)點(diǎn)相對運(yùn)動微分方程aaaraeac 例例 設(shè)車廂以勻加速度設(shè)車廂以勻加速度a沿水平直線軌道向右行駛。求沿水平直線軌道向右行駛。求由車廂棚頂由車廂棚頂m0處自由落下的質(zhì)點(diǎn)處自由落下的質(zhì)點(diǎn)m的相對運(yùn)動。的相對運(yùn)動。分析質(zhì)點(diǎn)m，取動坐標(biāo)系 o1x1y1z1 ,固連于車廂。mar = f + fe + fc mar = w + fefe = maemgzmmaymxm111, 0 00111111zyxvvv , hz ,yx當(dāng) t = 0 時,2121121,21,0gthzatyx11yaghzocormw wq q例題 一質(zhì)量是m的小環(huán)m套在半徑是r的光滑圓環(huán)上，并可沿大圓環(huán)

14、滑動，而大圓環(huán)在水平面內(nèi)以勻角速度w繞通過點(diǎn)o的鉛垂軸轉(zhuǎn)動。在初瞬時，q = 0， = 2 w ，試寫出小環(huán)m相對于大圓環(huán)的運(yùn)動微分方程，并求出大圓環(huán)對小環(huán)m的約束力。q解: 分析小環(huán)。取動坐標(biāo)系與大圓環(huán)固連，小環(huán)m相對于大圓環(huán)的位置用弧坐標(biāo) s = rq 表示。作用于小環(huán)m的力有大圓環(huán)的約束力fn。為了寫出小環(huán)的相對運(yùn)動微分方程，還要加上相應(yīng)的牽連慣性力fe和科氏慣性力fc。 222wqcosmrmafeeqwwrmvmmaf22rcc受力分析受力分析運(yùn)動分析運(yùn)動分析fefnfcocormw wq q這就是小環(huán)這就是小環(huán) m m 相對于大圓環(huán)的運(yùn)動微分方程。相對于大圓環(huán)的運(yùn)動微分方程。) 1 ( 2sineqqfmr ) 2( 2cosecn2qqfffmr)a (sin2qwq 應(yīng)用循環(huán)變換 ，將式( a )的變量分離并代入初始條件進(jìn)行積分qqqqdd mar = w + fn + fe+ fc由相對運(yùn)動動力學(xué)基本方程2cos2sin2qqqmrmr 222wqcosmrmafeeqwwrmvmmaf22rccocormq qfefnfc由式(1)得大圓環(huán)對小環(huán)的約束力為qqwqqwqq022dsind)cos1 (222qwq2cos)cos1 (2ec2nqqw