2020版第2章第10節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

1、第十節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算考綱傳真1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景 2通過(guò)函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾1何意義.3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y= c(c為常數(shù))，y= x, y=x, y=x2, y= x3, y= ,'x的導(dǎo)數(shù).4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單 函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1. 導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x)在x= xo處的導(dǎo)數(shù)：定義：稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在x= xo處的瞬時(shí)變化率/(.v 4- ax ) -/(x )a vlhh&二lim ”為函數(shù)y= f(x)在x= xo處的導(dǎo)數(shù)，記作f' (xo)y)一心)axo±t*0 ar或 y' |

2、x =xo，即 f'(xo)m 學(xué)jv 7 jkt a.v幾何意義：函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)f' (xo)的幾何意義是曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn) (xo, f(xo»處的切線(xiàn)斜率.相應(yīng)地，切線(xiàn)方程為y_ f(xo) = f' (xo)(x_xo).(2)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)：稱(chēng)函數(shù)f' (x) =li閒人忑十吉i 一/(玄)嚴(yán)'山為f(x)的導(dǎo)函數(shù).2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x) = c(c為常數(shù))f' (x) = 0f(x) = xn(n q*)f' (x) = nxn 1f(x) = sin xf'

3、; (x) = cos xf(x) = cos xf' (x)= sin xf(x) = axf' (x) = axln a(a> 0)f(x) = exf' (x) = exf(x) = logaxf (x)二 xln af(x)= ln xf' (x)=-' 1 x3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1) f(x) ±(x) f'(x)±' (x)；(2) f(x) g(x)，= f' (x)g(x) + f(x)g' (x);f' xgx fxgx(g(x)工 0).常用結(jié)論1. 曲線(xiàn)y= f(x)

4、 “在點(diǎn)p(xo, yo)處的切線(xiàn)”與“過(guò)點(diǎn)p(xo, yo)的切線(xiàn)”的區(qū) 別：前者p(xo, yo)為切點(diǎn)，而后者p(xo, yo)不一定為切點(diǎn).2. 直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)(圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn))相切只有一個(gè)公共點(diǎn)；直 線(xiàn)與非二次曲線(xiàn)相切，公共點(diǎn)不一定只有一個(gè).3. 函數(shù)y= f(x)的導(dǎo)數(shù)f' (x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映 了變化的方向，其大小f (x)|反映了變化的快慢，(x)|越大，曲線(xiàn)在這點(diǎn)處的 切線(xiàn)越“陡”.基礎(chǔ)自測(cè)1. (思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“v”，錯(cuò)誤的打“x” )(1) f' (xo)與 (f(xo)'表示的意

5、義相同.()求f' (xo)時(shí)，可先求f(xo)再求f' (xo).()(3)曲線(xiàn)的切線(xiàn)與曲線(xiàn)不一定只有一個(gè)公共點(diǎn).()若 f(a) = a3 + 2ax x2,則 f' (a) = 3a2 + 2x.()答案x x vv2. (教材改編)有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為s(t) = t2+3(t是時(shí)間，s是位移)，則該機(jī)器人在時(shí)刻t= 2時(shí)的瞬時(shí)速度為(19ard 由題意知，機(jī)器人的速度方程為3v(t) = s' (t)= 2t 孑，故當(dāng) t= 2 時(shí)，機(jī)313器人的瞬時(shí)速度為v(2)= 2x 2護(hù)=才3 .函數(shù)y= xcos x sin x的導(dǎo)數(shù)為()a. xsin

6、x b. xsin xc. xcos x d . xcos xb y' = cos x xsin x cos x= xsin x，故選 b.4. 若 f(x) = xex,貝u f' (1) =.2e f' (x) = ex+ xex，貝u f' (1)= e1 + e2e.5. 曲線(xiàn)y=在點(diǎn)m( n 0)處的切線(xiàn)方程為 .xxcos x sin xn cos nin n 1x+nn= 0y' =x，貝»y'|x= n=n = n，貝»切線(xiàn)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1. f(x) = x(2 018+ in x)，若 f (xo) = 2 0

7、19,則 xo 等于()a.e2 b. 1c. in 2d. ebf(x) = 2 018+ inx+ 1 = 2 019+ inx,則f (xo) = 2019+in xo= 2 019,解得x0= 1，故選b.2. 已知 f(x) = x2 + 2xf' (1)，貝u f' (0) =.4 f' (x) = 2x+ 2f' (1),貝u f' (1) = 2 + 2f' (1)，解得 f' (1)= 2所以 f' (x) = 2x 4,則 f' (0)= 4.3. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=讐；x x(2) y=x

8、sin qcos ?；2 x 1(3) y=x e.sin x+ cos xxx解(1)y'cos xe cos x ex2e1 , 1(2) v y= x qsin x,二 y = 1 qcos x.(3) v y= e_ 1x2ex,二 y' = e 1(2x ex+ x2ex)= ex 1(x2 + 2x).規(guī)律方法導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的常見(jiàn)形式及其求解方法連乘積形式先展開(kāi)化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)公式形式觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)， 再求導(dǎo)對(duì)數(shù)形式先化為和、差的形式，再求導(dǎo)根式形式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式，再求導(dǎo)三角形式先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，

9、再求導(dǎo)含待疋系數(shù)如含f' (x0), a, b等的形式，先將待定系數(shù)看成常數(shù)，再求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的幾何意義?考法1求切線(xiàn)方程【例1】(1)(2018全國(guó)卷i )設(shè)函數(shù)f(x) = x3+ (a 1)x2+ ax.若f(x)為奇函數(shù), 則曲線(xiàn)y= f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程為()a. y= 2xb. y= xc. y= 2xd . y=x(2)已知函數(shù)f(x) = xln x，若直線(xiàn)i過(guò)點(diǎn)(0, 1),并且與曲線(xiàn)y=f(x)相切， 則直線(xiàn)l的方程為.(1)d(2)x y 1 = 0 (1)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f( x)= f(x),由此可得 a= 1,故 f(x) = x3 + x

10、, f' (x) = 3x2 + 1, f' (0)= 1,所以曲線(xiàn) y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程為y=x.(2)v 點(diǎn)(0, 1)不在曲線(xiàn) f(x) = xln x 上，設(shè)切點(diǎn)為(xo, yo).又:f' (x) = 1 + in x, 直線(xiàn) i 的方程為 y+ 1 = (1 + in xo)x.yo= xoln xo,由yo+ 1 = 1 + ln xo xo,解得 xo= 1 , yo= o.直線(xiàn) l 的方程為 y=x1,即 x y 1= o.?考法 2 求切點(diǎn)坐標(biāo)【例2】設(shè)函數(shù)f(x) = x3 + ax2.若曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)p(xo, f(xo)

11、處的切線(xiàn)方程為x+ y= o,則點(diǎn)p的坐標(biāo)為()a(o,o)b(1,1)c. ( 1,1)d . (1, 1)或(一1,1)d 由 f(x)= x3+ ax2 得 f' (x)= 3x2+ 2ax, 記 yo= f(xo),x3 + axo= yo,由題意可得 xo+ yo = o,3x2 + 2axo= 1.由可得 x3 + ax2= xo, 即卩 xo(xo+ axo+ 1)= o.由可得3x2 + 2axo+ 1= o.由可得xomo,所以式可化為x2+ axo+ 1 = o.由可得xo=±，代入式得xo= 1 ,xo= 1 ,或yo= 1yo= 1.即 p(1, 1)

12、或 p( 1,1).故選 d.?考法 3 求參數(shù)的值【例3】已知函數(shù)f(x)= (x規(guī)律方法導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用類(lèi)型及求解思路1已知切點(diǎn)axo, fxo求斜率k,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：k=f' xo.2若求過(guò)點(diǎn)p x0 , y0的切線(xiàn)方程，可設(shè)切點(diǎn)為x1 , y1 ,由+ ax1)ex(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a r),若f(x)在(0, f(0)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x+ y1 = 0垂直，則a=()a. 1b 1c. 2d 211(2)已知直線(xiàn)y= qx+ b與曲線(xiàn)y= qx+ inx相切，則b的值為()a. 2b .1c. 2d .1(1)c (2)b(1f (x) = (x2 + ax 1

13、)' ex + (x2 + ax 1)(ex)'=(2x+ a)ex+ (x2 + ax 1)ex=x2 + (a + 2)x+ (a 1)ex,故 f' (0) = 02 + (a + 2)x 0+ (a 1)e0 = a 1.因?yàn)閒(x)在(0, f(0)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x+ y 1 = 0垂直，故f' (0)= 1,即a 1=1，解得 a= 2.（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（xo, yo）,1 1=一+ 一2+ x，11 111 1貝u y' |x= xo= 2 + 亦，由一2+ x0= 2得 x0= 1,切點(diǎn)坐標(biāo)為 1, 2，又切1 1 1 1卩寸（訃&qu

14、ot;沖（-叩求解即可.點(diǎn)1， 2在直線(xiàn)y= 2x+ b上，故2= 2+ b,得b= 1，故選b.3已知斜率k,求切點(diǎn)ax1, fx1，即解方程f' x1 = k.4函數(shù)圖象在每一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況，由切線(xiàn)的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢若曲線(xiàn)y=xln x上點(diǎn)p處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)2xy+ 1= 0,則點(diǎn)p的坐標(biāo)是.(2)直線(xiàn)y= kx+ 1與曲線(xiàn)y=x3 + ax+ b相切于點(diǎn)a(1,3)，則2a + b的值等于(1)(e, e) (2)1由題意得y' = in x+ 1,直線(xiàn)2xy+ 1= 0的斜率為2.設(shè)p(m, n)，則1 +

15、 in m= 2,解得m= e,所以n = eln e= e,即點(diǎn)p的坐標(biāo)為(e,e).護(hù) + a+ b= 3,(2)依題意知，y' = 3x2 + a,貝u 3x 12+ a= k,k+ 1 = 3,a=1,由此解得b= 3,k= 2,所以 2a + b= 1.1. (2018全國(guó)卷u)曲線(xiàn)y= 2ln x在點(diǎn)(1,0)處的切線(xiàn)方程為 .2y= 2x-2 由題意知，y' = x,所以曲線(xiàn)在點(diǎn)(1,0)處的切線(xiàn)斜率k=丫 q1 入=2,故所求切線(xiàn)方程為y 0 = 2(x- 1)，即y = 2x- 2.2. (2015全國(guó)卷i )已知函數(shù)f(x) = ax (2016全國(guó)卷川)已

16、知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x< 0時(shí)，f(x)= e"-x,則曲線(xiàn)y= f(x)在點(diǎn)(1,2 )處的切線(xiàn)方程是.2x-y= 0 設(shè) x>0,則一xv 0, f(-x) = ex-1 + x. f(x)為偶函數(shù)，a f( - x) = f(x), a f(x) = ex-1 + x. + x+ 1的圖象在點(diǎn)(1, f(1)處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2,7),貝u a=.1先用“導(dǎo)數(shù)法”求出切線(xiàn)方程，然后代入點(diǎn)(2,7)求出a的值. f' (x)= 3ax2 + 1, f' (1)= 3a + 1.又 f(1)= a+ 2,切線(xiàn)方程為 y (a + 2)= (3a + 1)(

17、x-1).切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2,7), a 7- (a + 2) = 3a + 1,解得 a= 1.當(dāng) x> 0 時(shí)，f' (x)= ex -1+ 1, f' (1)= e1-1+ 1 = 1 + 1= 2.曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線(xiàn)方程為y 2 = 2(x- 1),即 2x-y= 0.4. (2015全國(guó)卷u)已知曲線(xiàn)y=x+ in x在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)y= ax2 + (a+ 2)x+ 1 相切，貝u a =.18 法一：/ y= x+ in x,二 y' = 1 + -, y' x= 1 = 2.入曲線(xiàn)y=x+ in x在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)方程為y- 1 = 2(x- 1),即卩 y= 2x- 1.t y= 2x- 1 與曲線(xiàn) y= ax2 + (a+2)x+1 相切，am0(當(dāng)a = 0時(shí)曲線(xiàn)變?yōu)閥=