二重積分的 性質(zhì)課概念

1、三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì) 第一節(jié)一、引例一、引例 二、二重積分的定義與可積性二、二重積分的定義與可積性 四、曲頂柱體體積的計(jì)算四、曲頂柱體體積的計(jì)算 二重積分的概念與性質(zhì) 第12章 解法解法: 類似定積分解決問題的思想:一、引例一、引例1.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:0),(yxfz底：底： xoy 面上的閉區(qū)域 D頂頂: 連續(xù)曲面?zhèn)让妫簜?cè)面：以 D 的邊界為準(zhǔn)線 , 母線平行于 z 軸的柱面求其體積.“大化小, 常代變, 近似和, 求 極限” D),(yxfz D),(yxfz 1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個(gè)區(qū)域n,21以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個(gè)2

2、)“常代變”在每個(gè)k, ),(kk3)“近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體k),(kk4)“取極限”的直徑為定義kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk2. 平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量 有一個(gè)平面薄片, 在 xoy 平面上占有區(qū)域 D ,),(Cyx計(jì)算該薄片的質(zhì)量 M .度為),(),(常數(shù)若yx設(shè)D 的面積為 , 則M若),(yx非常數(shù) , 仍可用其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求 極限” 解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分

3、D 為 n 個(gè)小區(qū)域,21n相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 .Dyx2)“常代變”中任取一點(diǎn)k在每個(gè)),(kk3)“近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取極限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk則第 k 小塊的質(zhì)量yx兩個(gè)問題的共性共性：(1) 解決問題的步驟相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小, 常代變, 近似和,取極限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 二、二重積分的定義及可積性二、二重積分的定義及可積性定義定義:),(yxf設(shè)將區(qū)域 D 任意分成 n 個(gè)小區(qū)域),2,1

4、(nkk任取一點(diǎn),),(kkk若存在一個(gè)常數(shù) I , 使nkkkkfI10),(lim可積可積 , ),(yxf則稱Dyxfd),(),(yxfI為稱在D上的二重積分二重積分.稱為積分變量yx,積分和Dyxfd),(積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , DyxfVd),(引例1中曲頂柱體體積:DyxMd),(引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果 在D上可積,),(yxf也常d,ddyx二重積分記作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 這時(shí)分區(qū)域D , 因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃 記作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(二重積分存在定理二重積分存在定理

5、:若函數(shù)),(yxf),(yxf定理2.),(yxf上可在則Dyxf),(證明略)定理1.在D上可積可積.限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都連續(xù) ,積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù), 則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在D :10 x10 y上二重積分存在 ;yxyxf1),(但在D 上 y1xo1D二重積分不存在 . 三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)Dyxfkd),(. 1( k 為常數(shù))Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 為D 的面積, 則 ),(2121無公

6、共內(nèi)點(diǎn)DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(特別, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(則Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 設(shè)),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面積為 ,MyxfmDd),(則有7.(二重積分的中值定理),(yxf設(shè)函數(shù),),(D),(),(fdyxfD證證: 由性質(zhì)6 可知,MyxfmDd),(1由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點(diǎn)D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此例例1. 比較下列積

7、分的大小 類似題P420-3d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解解: 積分域 D 的邊界為圓周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它與 x 軸交于點(diǎn) (1,0) ,.1相切與直線 yx而域 D 位, 1 yx從而d)(d)(32DDyxyx于直線的上方, 故在 D 上 1y2xo1D例例2. 判斷積分yxyxyxdd1432222的正負(fù)號.解解: 分積分域?yàn)?321DDD則原式 =yxyxDdd11322yxyxDdd12322yxyxDdd133221ddDyxyxDdd1333)34(2323D32D11Dyxo0)21 (3舍去此項(xiàng)例例3.

8、 估計(jì)下列積分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: D 的面積為200)210(2由于yx22coscos1001積分性質(zhì)5100200I102200即: 1.96 I 210101010D10011021xyoxyo D8. 設(shè)函數(shù)),(yxfD 位于 x 軸上方的部分為D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時(shí), 仍1D在 D 上d),(21Dyxf在閉區(qū)域上連續(xù), 域D 關(guān)于x 軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分, 則有1:,221 yxDD

9、 為圓域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0 xbad 四、曲頂柱體體積的計(jì)算四、曲頂柱體體積的計(jì)算設(shè)曲頂柱的底為bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲頂柱體體積為DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面積為yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱體的)(2xy)(1xyzxyoab0 xDydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd)

10、,()()(21dcyd例例4. 求兩個(gè)底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積.xyzRRo解解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為,222Ryx利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 二重積分的定義Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重積分的性質(zhì) (與定積分性質(zhì)相似)3. 曲頂柱體體積的計(jì)算二次積分法被積函數(shù)相同, 且非負(fù), 思考與練習(xí)思考與練習(xí)yxyxIyxdd1122

11、yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解: 321,III由它們的積分域范圍可知312III11xyo1. 比較下列積分值的大小關(guān)系:2. 設(shè)D 是第二象限的一個(gè)有界閉域 , 且 0 y 1, 則,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小順序?yàn)?( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示: 因 0 y 1, 故;212yyyD故在D上有, 03x又因323321xyxyxyyox1D3. 計(jì)算.dd)(sin2200yxyxI解解:)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind2200024. 證明:, 2d)cossin(122Dyx其中D 為.10, 10yx解解: 利用題中 x , y 位置的對稱性, 有d)cossin(22Dyxd)cossin(d)cossin(222221DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(22Dxxd)sin(242Dx,1)sin(,1042212xx又 D 的面積為 1 , 故結(jié)論成立 .yox1D15 . 04 . 0I備用題備用題1. 估計(jì) 的值, 其中 D 為DxyyxI162d22. 20, 10yx解解: 被積函數(shù)16)