4第二章1從位移、速、力到向量學(xué)案

1、§1從位移、速度、力到向量錄前門(mén)上學(xué)習(xí)，基稔才能樓高預(yù)習(xí)課本P7375,思考并完成以下問(wèn)題1 .向量的定義是什么？2 .向量的表示方法有哪些?3 .相等向量定義是什么?4 .什么是共線向量?新知初探1 .向量的概念及表示方法(1)向量的定義既有大小又有方向的量統(tǒng)稱為向量.(2)向量的表示方法具有方向和長(zhǎng)度的線段,叫作有向線段.以 A為起點(diǎn)，以B為終點(diǎn)的有向線段記作 AuB，線段AB的長(zhǎng)度也叫作有向線段 ABu的長(zhǎng)度,記作| AB|.向量可以用有向線段來(lái)表示.有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，即長(zhǎng)度(也稱模).箭頭所指的方向表示向量的方向.r r r向量也可以用黑體小寫(xiě)字母如a, b, c

2、,來(lái)表示，書(shū)寫(xiě)用 a, b, c,來(lái)表示.點(diǎn)睛用有向線段來(lái)表示向量，顯示了圖形的直觀性，應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，并不是說(shuō)向量就是有向線段.向量是規(guī)定了大小和方向的量，有向線段是規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn)的線段.2.與向量有關(guān)的概念名稱定義記法零向量長(zhǎng)度為塞勺向量稱為零向量0單位向量長(zhǎng)度為單位1的向量叫作單位向量i _ 相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量，叫作相等向量向量a與b相等，記作a= b共線向量(平行向量)如果表示兩個(gè)向量的有向線段所在的直線 平行或重合，則稱這兩個(gè)向量平行或共 線.規(guī)定零向量與任一向量平行_a與b平行或共線，記作 a / b點(diǎn)睛(1)定義中的零向量和單位向量都是只限制大小

3、，沒(méi)有確定方向.我們規(guī)定零向量的方向是任意的；單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同.(2)共線向量?jī)H僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同.小試身手1.判斷下列命題是否正確.(正確的打，錯(cuò)誤的打"X”)(1)a>0(2)長(zhǎng)度為1的向量是單位向量，它們一定是共線向量(3) 共 線 向()答案：(1)x (2)x (3)x2 .下列各量中不是向量的是B.風(fēng)速D.路程A.浮力C.位移解析：選D 路程沒(méi)有方向.3 .下列說(shuō)法正確的是A.零向量是長(zhǎng)度為 0、沒(méi)有方向的向量B.任意兩個(gè)單位向量長(zhǎng)度相等、方向相同C.平行向量方向相同D.兩個(gè)相等的向量起點(diǎn)不同時(shí)終點(diǎn)一

4、定不同解析：選D 零向量是長(zhǎng)度為 0、方向任意的向量,A不正確；任意兩個(gè)單位向量長(zhǎng)度相等，但方向不確定， B不正確；平行向量方向相同或相反，C不正確；相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同，當(dāng)且僅當(dāng)起點(diǎn)相同時(shí)，終點(diǎn)相同， D正確.4 .如果對(duì)于任意的向量 a,均有a/b,則b為.答案：0吟或啄啟Z舒殿堂講練設(shè)計(jì),舉一能通類題飛豆注向量有關(guān)概念的辨析典例給出下列六個(gè)命題：若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；若同=|b|,則a=b;uuu uur若AB = CD ,則四邊形 ABCD為平行四邊形； uuu uuu在？ABCD中，一定有 AB = CD ；若 a / b, b/ c,貝U a/ c.其中

5、不正確的命題的個(gè)數(shù)是()A. 2B. 3C. 4D. 5解析若兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則這兩個(gè)向量相等，但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)，故不正確；|a|=|b|,由于a與b方向不確定，所以 a, b不一定uuu uuu相等，故不正確； AB = CD可能有A, B, C, D四點(diǎn)在一條直線上的情況，所以不正確；零向量與任一向量平行，故當(dāng)a/b, b/c時(shí)，若b=0,則a與c不一定平行，故不正確.所以不正確的是，正確的是 答案C向量概念辨析的兩個(gè)注意點(diǎn):(1)要準(zhǔn)確理解平面向量的相關(guān)概念，掌握否定命題的方法，如舉反例等.(2)注意零向量的特殊性.活學(xué)活用下 列 命 題 是 真 命

6、題 的 是()A.若 a / b,則 a= bB.若 |a|< |b|,則 av bC.若 |a|=0,則 a=0D.若a=b,則a, b是共線向量解析：選D 對(duì)于A, ab說(shuō)明a與b的方向相同或相反，也不一定有|a|=|b|,故A不正確；對(duì)于B,向量不能比較大小，故 B不正確；對(duì)于 C,零向量與數(shù)字 0是兩個(gè)不同的概念，零向量不等于數(shù)字 0,故C不正確；D正確，相等向量是共線向量向量的表不典例在如圖所示的坐標(biāo)紙中，用直尺與圓規(guī)畫(huà)出下列向量.uuu(1)|OA| = 3,點(diǎn)A在點(diǎn)O的正東方向.uuu(2)|OB| = 3,點(diǎn)B在點(diǎn)O的正西方向.解如圖所示:?一題多變1 .變?cè)O(shè)問(wèn)本題的前提

7、條件不變，試畫(huà)出滿足下列條件的向量.uuu(1)|OC| = 442,點(diǎn)C在點(diǎn)O的東北方向.uuu(2)|OD|=2,點(diǎn)D在點(diǎn)O的西南方向.解：如圖所示:uuu2 .變條件若將“ |OA|=3”變?yōu)閡uu解：JVI0AIV2, 點(diǎn)A在以O(shè)為圓心，半徑為 2的圓內(nèi)且在以 O為圓心半徑為1的圓外.故點(diǎn) A構(gòu)成的圖形是一個(gè)圓環(huán).用“四定一標(biāo)”法來(lái)表示向量(1)所謂“四定”，即定向量長(zhǎng)度、定向量的起點(diǎn)、定向量方向及終點(diǎn).(2)所謂“一標(biāo)”，即用箭頭標(biāo)明向量的方向性.注意任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的 起點(diǎn)無(wú)關(guān).共線向量或相等向量與ABDE是平行四邊形.典例如圖所示

8、，四邊形 ABCDuuu找出與向量AB共線的向量；uuu(2)找出與向量AB相等的向量.uuruuu解(1)依據(jù)圖形可知DC , EDuuuEC與uuuurn方向相反，所以與向量 AB共線的向量為BA,uuuAb方向相同，uurBA,uurCD ,uuuDE ,uuu uuuCE 與 BAuuuuuruuuuuuuuuuuuCD ,DC ,ED ,DE ,EC ,CE .(2)由四邊形 ABCD與ABDE是平行四邊形,uuu uuu uuu知DC , ED與AB長(zhǎng)度相等且方向相同,uuuuur uuu所以與向量AB相等的向量為DC和ED .尋找共線向量或相等向量的方法(1)尋找共線向量：先找與

9、表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.(2)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量，再確定哪些是同向共線.活學(xué)活用如圖，在？ABCD中，點(diǎn)E, F分別是 AB, CD的中點(diǎn), uuu圖中與AE平行的向量有()A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)解析：選CD. 4個(gè)uuu根據(jù)向量的基本概念可知與 AE平行的向量有uuu uuu uuuBE , FD , FD ,共3個(gè).課后層級(jí)訓(xùn)練，步布提升能力層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1 .下列說(shuō)法正確的是（）uuu uurA.向量AB與CD是共線向量，則 A,

10、B, C, D必在同一直線上B.向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反 uuuurnC.向量AB與向量BA是兩平行向量D.單位向量都相等解析：選C A項(xiàng)考查的是有向線段共線與向量共線的區(qū)別.事實(shí)上，有向線段共線要求線段必須在同一直線上.而向量共線時(shí)，表示向量的有向線段可以在兩條平行直線上,不一定在同一直線上.故 A項(xiàng)錯(cuò)誤.由于零向量與任一向量平行， 因此，若a, b中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不確定的.故B項(xiàng)錯(cuò)誤.uuu uuu由于向量AB與BA方向相反，所以二者是平行向量.故 C項(xiàng)正確.單位向量的長(zhǎng)度都相等， 方向任意，而向量相等不僅需要長(zhǎng)度相等，還要求方向相同.故D項(xiàng)錯(cuò)誤.2 .正n邊形

11、有n條邊，它們對(duì)應(yīng)的向量依次為ai, a2, a3,，an,則這n個(gè)向量 （）A.都相等B,都共線C.都不共線D .模都相等解析：選D 正n邊形n條邊相等，故這n個(gè)向量的模都相等.3 .如圖所示，梯形 ABCD中，對(duì)角線 AC與BD交于點(diǎn)P,點(diǎn)E,工 口F分別在兩腰 AD, BC上，EF過(guò)點(diǎn)P,且EF /AB ,則下列等式成立的是（）uuu uuuuuu uuuA. AD = BCB. AC = BDuuiu uuuuuu uuuC. PE = PFD. EP = PE解析：選D 根據(jù)相等向量的定義，分析可得：A中，uuuuuuuuuuuuAD與BC方1可不向，故AD =BC錯(cuò)誤;B中，uuu

12、uuuuuuuuuAC與BD方1可不向，故AC =BD錯(cuò)誤;uuuuuuuuuuuuC中，PE與PF方1可相反，故PE =PF錯(cuò)誤；uuu uuuEF長(zhǎng)度的一半，故 EP = PF正確.4.如圖，在圓O中，向量uuiu uuu uuuOB , OC , AO 是A.有公共起點(diǎn)的向量B.單位向量C.模相等的向量D.相等向量uuu解析：選C 向量OBuuuOC有公共起點(diǎn)O,不與uuuAO有公共起點(diǎn)，因而 A錯(cuò)；圓。未uuu必是單位圓，故OB ,uuu uuuOC , AO未必是單位向量,uuiu uuuB 錯(cuò)；OB , OC ,uuuAO方向不相同,不是相等向量，D錯(cuò).5.某人先向正東方向走了4

13、km,然后他向右轉(zhuǎn) 90°,向新的方向走了 3km,此時(shí)他距離占八、()A. 3 kmB.2 3 kmC. 3 kmD.5 km解析：選D 設(shè)他距離出發(fā)點(diǎn)的距離為x km,由題意，知 x2= 42+ 32,解得 x= 5uuu uuuD中，EP與PF方向相同，且長(zhǎng)度都等于線段（負(fù)值舍去）.6 .給出下列四個(gè)條件：a=b;|a|=|b|;a與b方向相反； 同=0或|b|= 0.其中能使a / b成立的條件是 （填序號(hào)）.解析：若a= b,則a與b大小相等且方向相同，所以 ab;若|a|=|b|,則a與b的大小相等，而方向不確定，因此不一定有ab;方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若

14、a與b方向相反，則有ab;零向量與任意向量平行，所以若 |a|= 0或|b|= 0,則a b.答案：7 .如圖，B,C是線段AD的三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，最多可以寫(xiě)出 個(gè)互不相等的非零向量.AftCDIliIuuu uuiruuu解析：模為1個(gè)單位的向量有 2個(gè)，如AB , DC ；模為2個(gè)單位的向量有 2個(gè)，如AC , uuuuuu uuuDB；模為3個(gè)單位的向量有2個(gè)，如AD, DA,故共有6個(gè).答案：6uuu uuu uuu uuu8 .四邊形 ABCD滿足AD = BC ,且| AC |= |BD |,則四邊形 ABCD是（填四邊形ABCD的形狀).uuu uuuuuu

15、uuu解析： AD = BC , . AD BC且| AD | = | BD |, 四邊形 ABCD是平行四邊形.又uuu uuu| AC | = | BD |知該平行四邊形對(duì)角線相等，故四邊形 ABCD是矩形.答案：矩形uuu urn uuu uuu9 .已知在四邊形 ABCD中，AB / CD ,求AD與BC分別滿足什么條件時(shí)，四邊形 ABCD滿足下列情況.(1)四邊形ABCD是等腰梯形；(2)四邊形ABCD是平行四邊形.uuu uuu uuu uuu解：(1)1 AD|=|BC |,且 AD 與 BC 不平行.uuu uuuAB /CD，四邊形ABCD為梯形或平行四邊形.uuu uuu若

16、四邊形ABCD為等腰梯形，則|AD|=|BC|,同時(shí)兩向量不共線.(2)uuu uuu uuu uuuAD = BC (或 AD /BC ).uuu uuu若 AD = BC ,即四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，此時(shí)四邊形ABCD為平行四邊形.10.如圖，D, E, F分別是 ABC各邊上的中點(diǎn)，四邊形BCGF是平行四邊形，試分別寫(xiě)出與uuuFE共線及相等的向量.解:uuuuuu與FE共線的向量有：FGuuuEGuuu uuuGF , GEuuuBDE Guuu uuir uuuDB , DC , CDuuuBC ,uuu uuuCB , EF .uuu(2)與FE相等的向量有:uuu uuu u

17、uirEG , BD , DC .層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1.下列說(shuō)法正確的是uuuCD所在的直線uuu uuu uuuA.向量AB / CD就是AB所在的直線平行于B.長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量C.若 a=b, b= c,則 a=cD.共線向量是在一條直線上的向量uuu uur uuuuuu解析：選C 向量AB /CD包含AB所在的直線與 CD所在的直線平行和重合兩種情B錯(cuò)；C顯然正確;況，故A錯(cuò)；相等向量不僅要求長(zhǎng)度相等，還要求方向相同，故共線向量可以是在一條直線上的向量，也可以是所在直線互相平行的向量，故D錯(cuò).uuu2 .已知D為平行四邊形 ABPC兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則 邛窯|的值為 |AD|

18、A.B 1B. 3D. 2C. 1解析：選C 因?yàn)樗倪呅?ABPC是平行四邊形，D為對(duì)角線BC與AP的交點(diǎn)，所以Duuu為PA的中點(diǎn)，所以|puu1的值為1.|AD|uuu uuuuuu3 .向量AB與向量BC共線，下列關(guān)于向量 AC的說(shuō)法中，正確的為（）uuu uuuA.向量AC與向量AB 一定同向uuu uuu uuuB.向量AC ,向量AB ,向量BC 一定共線 uuu uuuC.向量AC與向量BC 一定相等D.以上說(shuō)法都不正確uuu uuu uuu解析：選B 根據(jù)共線向量定義，可知 AB , BC , AC這三個(gè)向量一定為共線向量，故選B.uuu uuu uuu uuu4 .若| AB |= | AD|且BA= CD，則四邊形ABCD的形狀為A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.等腰梯形uuu uuu解析：選C 由BA = CD知AB=CD且ABqD,即四邊形 ABCD為平行四邊形.又由uuu uuu| AB|=| AD |知四邊形為菱形.uuuuuu5 .已知A, B, C是不共線的三點(diǎn)，向量 m與向量AB是平行向量，與 BC是共線向量,則 m=. uuu uuu解析：平行向量又叫做共線向量，而與不共線向量AB , BC都共線的向量只能是零向量.答案：06 .設(shè)a0, E是單位向量，則下列結(jié)論中正確的是 （填