數(shù)理方程課件：4_3格林函數(shù)的應(yīng)用

1、14.3 4.3 格林函數(shù)的應(yīng)用格林函數(shù)的應(yīng)用由公式由公式分表示出來(lái)。分表示出來(lái)。則在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，則在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，可知，對(duì)于一個(gè)由曲面可知，對(duì)于一個(gè)由曲面普拉斯方程普拉斯方程的的狄利克雷問題狄利克雷問題的解就可以用此積的解就可以用此積源像法源像法( (鏡像法鏡像法) )求得。求得。拉拉它的格林函數(shù)可用它的格林函數(shù)可用靜電靜電對(duì)于某些特殊區(qū)域，對(duì)于某些特殊區(qū)域，只要求出它的只要求出它的格林函數(shù)格林函數(shù)，來(lái)說(shuō)，來(lái)說(shuō)，圍成的區(qū)域圍成的區(qū)域dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)24.3 4.3 格林函數(shù)的應(yīng)用格林函數(shù)的應(yīng)用由公式由公式關(guān)于關(guān)于的的像點(diǎn)像

2、點(diǎn)( (對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)) )所謂所謂鏡像法鏡像法，處放置處放置適當(dāng)?shù)呢?fù)電荷，適當(dāng)?shù)呢?fù)電荷，此時(shí)二者形成電場(chǎng)在此時(shí)二者形成電場(chǎng)在然后在這個(gè)像點(diǎn)然后在這個(gè)像點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)由它所產(chǎn)生的由它所產(chǎn)生的負(fù)電位負(fù)電位與與0M邊界邊界外外找出點(diǎn)找出點(diǎn)就是就是在區(qū)域在區(qū)域dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)內(nèi)內(nèi)的電位，的電位，, 1M1M處的處的單位正電荷單位正電荷所產(chǎn)生的所產(chǎn)生的正電位正電位在曲面在曲面0M上上互相抵消，互相抵消，就相當(dāng)于所要求的就相當(dāng)于所要求的格林函數(shù)格林函數(shù)。3dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)

3、4.3.1 4.3.1 半空間的格林函數(shù)半空間的格林函數(shù)及狄利克雷問題及狄利克雷問題求解上半空間求解上半空間,),(|0yxyxfuz ),0(0zuuuzzyyxx ),(0000zyxM0z0z內(nèi)的狄利克雷問題內(nèi)的狄利克雷問題(23)(23)(22)(22)先求出格林函數(shù)先求出格林函數(shù)).,(0MMG為此，為此，在上半空間在上半空間的點(diǎn)的點(diǎn)處放置一處放置一單位正電荷單位正電荷， 在點(diǎn)在點(diǎn)),(0001zyxM0M的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)0z關(guān)于平面關(guān)于平面處放置一處放置一單位負(fù)電荷單位負(fù)電荷。4dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)4.3.1 4.

4、3.1 半空間的格林函數(shù)及狄利克雷問題半空間的格林函數(shù)及狄利克雷問題求解上半空間求解上半空間,),(|0yxyxfuz ),0(0zuuuzzyyxx 0z內(nèi)的狄利克雷問題內(nèi)的狄利克雷問題(23)(23)(22)(22)由它們所形成的靜電場(chǎng)的電位由它們所形成的靜電場(chǎng)的電位在平面在平面上上因此，因此，上半空間的格林函數(shù)上半空間的格林函數(shù)為為0z恰好為恰好為0 0. .,1141),(100MMMMrrMMG(24)(24)5dSnGMfMu)()(0(20)(20)為了求得問題為了求得問題(22)(23)(22)(23)的解，需要計(jì)算的解，需要計(jì)算由于在平面由于在平面00|zzzGnG.|0zn

5、G0z上的外法線方向是上的外法線方向是向，因此，向，因此，oz軸的負(fù)軸的負(fù),1141),(100MMMMrrMMG(24)(24)202020)()()(141zzyyxxz0202020)()()(1zzzyyxxz6dSnGMfMu)()(0(20)(20)為了求得問題為了求得問題(22)(23)(22)(23)的解，需要計(jì)算的解，需要計(jì)算由于在平面由于在平面00|zzzGnG.|0znG0z上的外法線方向是上的外法線方向是向，因此，向，因此，oz軸的負(fù)軸的負(fù),1141),(100MMMMrrMMG(24)(24)2/32020200)()()(41zzyyxxzz0202020)()()

6、(1zzzyyxxz7dSnGMfMu)()(0(20)(20)為了求得問題為了求得問題(22)(23)(22)(23)的解，需要計(jì)算的解，需要計(jì)算由于在平面由于在平面00|zzzGnG.|0znG0z上的外法線方向是上的外法線方向是向，因此，向，因此，oz軸的負(fù)軸的負(fù),1141),(100MMMMrrMMG(24)(24)2/32020200)()()(41zzyyxxzz02/32020200)()()(zzzyyxxzz8dSnGMfMu)()(0(20)(20)為了求得問題為了求得問題(22)(23)(22)(23)的解，需要計(jì)算的解，需要計(jì)算由于在平面由于在平面0|znG.|0znG

7、0z上的外法線方向是上的外法線方向是向，因此，向，因此，oz軸的負(fù)軸的負(fù),1141),(100MMMMrrMMG(24)(24),)()(212/32020200zyyxxz(25)(25)將將(25)(25)代入代入(20)(20)中，得到定解問題中，得到定解問題(22)(23)(22)(23)的解的解)(0Mu.)()(),(212/32020200 zyyxxdxdyzyxf(26)(26)9補(bǔ)充補(bǔ)充4 4 半平面的格林函數(shù)及狄利克雷問題半平面的格林函數(shù)及狄利克雷問題CdSnGyxfMu.),()(0(20(20) ),1ln21),(00vrMMGMM(17(17) )求解上半平面求解

8、上半平面,),(|0 xxfuy ),0(0yuuyyxx ),(000yxM0y0y內(nèi)的狄利克雷問題內(nèi)的狄利克雷問題(23(23) )(22(22) )先求出格林函數(shù)先求出格林函數(shù)).,(0MMG為此，為此，在上半平面在上半平面的點(diǎn)的點(diǎn)處放置一處放置一單位正電荷單位正電荷，在點(diǎn)在點(diǎn)),(001yxM0M的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)0y關(guān)于邊界關(guān)于邊界處放置一處放置一單位負(fù)電荷單位負(fù)電荷。10由它們所形成的靜電場(chǎng)的電位由它們所形成的靜電場(chǎng)的電位在邊界在邊界上上因此，因此，上半平面的格林函數(shù)上半平面的格林函數(shù)為為0y恰好為恰好為0 0. .,1ln1ln21),(100MMMMrrMMG(24(24) )補(bǔ)

9、充補(bǔ)充4 4 半平面的格林函數(shù)及狄利克雷問題半平面的格林函數(shù)及狄利克雷問題CdSnGyxfMu.),()(0(20(20) ),1ln21),(00vrMMGMM(17(17) )求解上半平面求解上半平面,),(|0 xxfuy ),0(0yuuyyxx 0y內(nèi)的狄利克雷問題內(nèi)的狄利克雷問題(23(23) )(22(22) )11為了求得問題為了求得問題(22(22)(23)(23) )的解，需要計(jì)算的解，需要計(jì)算由于在邊界由于在邊界00|yyyGnG.|0ynG0y上的外法線方向是上的外法線方向是向，因此，向，因此，oy軸的負(fù)軸的負(fù)2020)()(1ln21yyxxy02020)()(1ln

10、yyyxxyCdSnGyxfMu.),()(0(20(20) ),1ln1ln21),(100MMMMrrMMG(24(24) )122020021)()(yyxxyy02020)()(1yyyxxy為了求得問題為了求得問題(22(22)(23)(23) )的解，需要計(jì)算的解，需要計(jì)算由于在邊界由于在邊界00|yyyGnG.|0ynG0y上的外法線方向是上的外法線方向是向，因此，向，因此，oy軸的負(fù)軸的負(fù)CdSnGyxfMu.),()(0(20(20) ),1ln1ln21),(100MMMMrrMMG(24(24) )13020200yyyxxyy)()(2020021)()(yyxxyy為

11、了求得問題為了求得問題(22(22)(23)(23) )的解，需要計(jì)算的解，需要計(jì)算由于在邊界由于在邊界00|yyyGnG.|0ynG0y上的外法線方向是上的外法線方向是向，因此，向，因此，oy軸的負(fù)軸的負(fù)CdSnGyxfMu.),()(0(20(20) ),1ln1ln21),(100MMMMrrMMG(24(24) )140|ynG,)(202001yxxy(25(25) )將將(25(25) )代入代入(20(20) )中，可得中，可得半平面拉普拉斯方程半平面拉普拉斯方程.)()()(2020001yxxdxyxfMu(26(26) )因此，因此，CdSnGyxfMu.),()(0(20

12、(20) ),),(|0 xxfuy ),0(0yuuyyxx (23(23) )(22(22) )解的積分表達(dá)式解的積分表達(dá)式狄利克雷問題狄利克雷問題15dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)4.3.2 4.3.2 球域的格林函數(shù)及狄利克雷問題球域的格林函數(shù)及狄利克雷問題求解求解球域上球域上的狄利克雷問題：的狄利克雷問題：).,(|zyxfu,),(0zyxuuuzzyyxx ),(0000zyxMo(28)(28)(27)(27)其中其中是以是以邊界為邊界為為心，為心，現(xiàn)在利用現(xiàn)在利用靜電源像法靜電源像法求球的求球的格林函數(shù)格林函數(shù)。 為此

13、，為此，0oMR在半射線在半射線.為半徑的球域，為半徑的球域，上截取上截取在球內(nèi)任取一點(diǎn)在球內(nèi)任取一點(diǎn), 1oM線段線段.210RrrOMOM使使(29)(29)16dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17),44110PMPMrqr0M點(diǎn)點(diǎn)1M稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)的的反演點(diǎn)或?qū)ΨQ點(diǎn)反演點(diǎn)或?qū)ΨQ點(diǎn)。關(guān)于球面關(guān)于球面要適當(dāng)選取要適當(dāng)選取電位電位在球面在球面上正好抵消上正好抵消。則應(yīng)有則應(yīng)有滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式P設(shè)設(shè).210RrrOMOM是球面上任一點(diǎn)，是球面上任一點(diǎn)，(29)(29)0M為求出格林函數(shù)為求出格林函數(shù)),(0MMG在點(diǎn)在點(diǎn)處放置處放置單位單位正

14、電荷正電荷，我們我們的值，的值，q使得這兩個(gè)點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的使得這兩個(gè)點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的1M在點(diǎn)在點(diǎn)處放置處放置q單位的負(fù)電荷單位的負(fù)電荷，.01PMPMrrq 17dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17),001OMPMPMrRrrO與與1OPM在點(diǎn)在點(diǎn)而夾此角而夾此角有公共角，有公共角，三角形相似。三角形相似。也就是說(shuō)我們必須在點(diǎn)也就是說(shuō)我們必須在點(diǎn)電荷電荷。0/rR處放置處放置由于由于POM0單位的負(fù)單位的負(fù).14110MMOMrrRv1M的相應(yīng)兩邊按的相應(yīng)兩邊按(29)(29)式是成比例的，式是成比例的，從而有從而有因此這兩個(gè)因此這兩個(gè).01P

15、MPMrrq ,0OMrRq 由此得由此得18dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)那么，以那么，以記記則則(30)(30)式變形為式變形為0OM的夾角，的夾角，.1141),(1000MMOMMMrrRrMMG為球面的為球面的球域的格林函數(shù)球域的格林函數(shù)就是就是是是(30)(30)OM和和cos2141),(02200rrrrMMGcos2112210rrrrrR,1010OMOMOMrrrrrr19dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)利用關(guān)系式利用關(guān)系式(29)(29)cos2141),(

16、02200rrrrMMGcos2112210rrrrrR,210RrrOMOM則可得則可得cos2141),(02200rrrrMMG.cos2402202RrrRrrR為了求解原問題為了求解原問題(27)(28)(27)(28)的解，還需算的解，還需算出出.|nG20dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)在球面在球面上，上，cos2141),(02200rrrrMMG.cos2402202RrrRrrRRrrGnG|2/302200cos2cos41rrrrrrRrRrrRrrRrRrr2/34022020220cos2cos21dSnGMf

17、Mu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)在球面在球面上，上，cos2141),(02200rrrrMMG.cos2402202RrrRrrRRrrGnG|2/30202202cos241RrrRrRR因此，由因此，由(20)(20)得問題得問題(27)(28)(27)(28)的解的表達(dá)式為的解的表達(dá)式為.cos2),(41)(2/302022020dSRrrRrRzyxfRMu(31)(31)22dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)因此，由因此，由(20)(20)得問題得問題(27)(28)(27)(28)的解的表達(dá)式為的解的表達(dá)式為.cos2),(41)(2/302022020dSRrrRrRzyxfRMu(31)(31)在在球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中，表達(dá)式中，表達(dá)式(31)(31)變?yōu)樽優(yōu)?200000),(4),(RfRru(32)(32),sincos22/30202202ddRrrRrR公式公式(31)(31)或或(32)(32)稱為稱為球域上的泊松公式球域上的泊松公式23 200000),(4),(RfRru(32)(32)