北京市西城區(qū)北區(qū)高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題北師大版

1、北京市西城區(qū)（北區(qū)）20122013學(xué)年下學(xué)期高一期末考試數(shù)學(xué)試卷試卷滿分：150分 考試時間：120分鐘一、本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1. 在數(shù)列中，且，則等于（ ）（a）8 （b）6 （c）9 （d）72. 將一根長為3m的繩子在任意位置剪斷，則剪得兩段的長都不小于1m的概率是（ ）（a） （b） （c） （d）3. 在abc中，若，則abc的形狀是（ ）（a）銳角三角形 （b）直角三角形 （c）鈍角三角形 （d）不能確定4. 若，則下列不等式中成立的是（ ）（a） （b） （c） （d）5. 若實數(shù)x，y滿足則的最小值是（ ）

2、（a） （b）0 （c）1 （d）16. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出s的值為（ ）（a）2（b）（c）3（d）7. 已知100件產(chǎn)品中有5件次品，從中任意取出3件產(chǎn)品，設(shè)a表示事件“3件產(chǎn)品全不是次品”，b表示事件“3件產(chǎn)品全是次品”，c表示事件“3件產(chǎn)品中至少有1件次品”，則下列結(jié)論正確的是（ ）（a）b與c互斥 （b）a與c互斥（c）任意兩個事件均互斥 （d）任意兩個事件均不互斥8. 口袋中裝有三個編號分別為1，2，3的小球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取球，每次取一個球，確定編號后放回，連續(xù)取球兩次。則“兩次取球中有3號球”的概率為（ ）（a） （b） （c） （d）9. 設(shè)o為坐標(biāo)原點，點a（4，3

3、），b是x正半軸上一點，則oab中的最大值為（ ）（a） （b） （c） （d）10. 對于項數(shù)為m的數(shù)列和，記bk為中的最小值。給出下列判斷：若數(shù)列的前5項是5，5，3，3，1，則；若數(shù)列是遞減數(shù)列，則數(shù)列也一定是遞減數(shù)列；數(shù)列可能是先減后增數(shù)列；若，c為常數(shù)，則。其中，正確判斷的序號是（ ）（a） （b） （c） （d）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。11. 不等式的解集為_。12. 在abc中，則a=_。13. 某校高一年級三個班共有學(xué)生120名，這三個班的男、女生人數(shù)如下表。已知在全年級學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2。則x=_；現(xiàn)

4、用分層抽樣的方法在全年級抽取30名學(xué)生，則應(yīng)在三班抽取的學(xué)生人數(shù)為_。一班二班三班女生人數(shù)20xy男生人數(shù)2020z14. 甲、乙兩人各參加了5次測試，將他們在各次測試中的得分繪制成如圖所示的莖葉圖。已知甲、乙二人得分的平均數(shù)相等，則m=_；乙得分的方差等于_。15. 設(shè)是等差數(shù)列，sn為其前n項的和。若，則_；當(dāng)sn取得最小值時，n=_。16. 當(dāng)x1，9時，不等式恒成立，則k的取值范圍是_。三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17. （本小題滿分13分）在等比數(shù)列中，。（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)是等差數(shù)列，且b2 =a2，b4=a4。求數(shù)列的公差

5、，并計算的值。18. （本小題滿分13分）某市某年一個月中30天對空氣質(zhì)量指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下：61 76 70 56 81 91 55 91 75 8188 67 101 103 57 91 77 86 81 8382 82 64 79 86 85 75 71 49 45（）完成下面的頻率分布表；（）完成下面的頻率分布直方圖，并寫出頻率分布直方圖中a的值；（）在本月空氣質(zhì)量指數(shù)大于等于91的這些天中隨機(jī)選取兩天，求這兩天中至少有一天空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間101，111）內(nèi)的概率。分組頻數(shù)頻率41，51）251，61）361，71）471，81）681，91）91，101）101，111）219.

6、（本小題滿分13分）在abc中，a，b，c分別為角a，b，c所對的邊，已知c=3，。（）若sinb=2sina，求a，b的值；（）求a2+b2的最大值。20. （本小題滿分14分）已知函數(shù)。（）當(dāng)a=1時，求在區(qū)間1，2上的值域；（）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求a的取值范圍；（）解關(guān)于x的不等式。21. （本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前n項和為sn，且。（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)數(shù)列。（i）求數(shù)列的前n項和tn；（ii）求bn的最大值。22. （本小題滿分13分）對于數(shù)列a：a1，a2，a3（ain，i=1，2，3），定義“t變換”：t將數(shù)列a變換成數(shù)列b：b1，b2，b3，其中，且。這種“t變

7、換”記作b=t（a），繼續(xù)對數(shù)列b進(jìn)行“t變換”，得到數(shù)列c：cl，c2，c3，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項均為0時變換結(jié)束。（）寫出數(shù)列a：2，6，4經(jīng)過5次“t變換”后得到的數(shù)列；（）若a1，a2，a3不全相等，判斷數(shù)列a：a1，a2，a3經(jīng)過不斷的“t變換”是否會結(jié)束，并說明理由；（）設(shè)數(shù)列a：400，2，403經(jīng)過k次“t變換”得到的數(shù)列各項之和最小，求k的最小值?！驹囶}答案】一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。1. d 2. b 3. c 4. c 5. a 6. d 7. b 8. a 9. b 10. b二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，11. 12

8、. 13. 24 914. 6，8.4 15. 11，6 16. 注：一題兩空的試題，第一空2分，第二空3分：三、解答題：本大題共3小題，共36分，17. 解：（）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知， 2分兩式相除，得q=2。 4分所以a1=2， 6分所以數(shù)列的通項公式。 7分（）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則 9分解得11分12分13分18. 解：（）如下圖所示。 4分（）如下圖所示。6分由己知，空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間71，81）的頻率為，所以a= 0.02。8分分組頻數(shù)頻率81，91）1091，101）3（）設(shè)a表示事件“在本月空氣質(zhì)量指數(shù)大于等于91的這些天中隨機(jī)選取兩天，這兩天中至少有一天空氣質(zhì)量指數(shù)

9、在區(qū)間101，111）內(nèi)”，由己知，質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間91，101）內(nèi)的有3天，記這三天分別為a，b，c，質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間101，111）內(nèi)的有2天，記這兩天分別為d，e，則選取的所有可能結(jié)果為：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）?；臼录?shù)為10。10分事件“至少有一天空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間101，111）內(nèi)”的可能結(jié)果為：（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）?；臼录?shù)為7， 12分所以 13分19. 解：（）因為sin b=2sina，由正弦定理可得b=2a，3分由余弦

10、定理c2= a2 +b2 2abcosc， 5分得9=a2 +4a2 2a2， 7分解得a2=3， 8分所以 9分（）由余弦定理c2= a2 +b2 2abcosc，得ab=a2+b29，10分又a2 +b22ab， 11分所以a2+b218，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。 12分所以a2+b2的最大值為18。 13分20. 解：（）當(dāng)a=l時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增所以，在區(qū)間上的最小值為2分又。所以在區(qū)間上的最大值為3分在區(qū)間上的值域為4分（）當(dāng)a=0時，在區(qū)間上是減函數(shù)，符合題意5分當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則，且， 7分所以1a<0， 9分所以a的取值范圍是1，

11、0（）由已知，解不等式。當(dāng)a=0時，x>1。 10分當(dāng)a>0時，解得 11分當(dāng)a<0時，若，即時，； 12分若，即時，或 13分若，即時，或 14分綜上，當(dāng)a>0時，不等式的解集為;當(dāng)a=0時，不等式的解集為；當(dāng)1<a<0時，不等式的解集為;當(dāng)a =1時，不等式的解集為當(dāng)a<1時，不等式的解集為21. 解：（）由已知，當(dāng)n=1時，。1分當(dāng)時， 2分 3分綜上， 4分（）（i）所以5分 6分兩式相減，得8分所以 10分（ii）因為11分令，得 12分所以，且，即最大， 13分又。所以，的最大值為 14分22. 解：（）依題意，5次變換后得到的數(shù)列依次為4

12、，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，23分所以，數(shù)列a：2，6，4經(jīng)過5次“t變換”后得到的數(shù)列為2，0，2，4分（）數(shù)列a經(jīng)過不斷的“t變換”不可能結(jié)束設(shè)數(shù)列d：d1，d2，d3，e：e1，e2，e3，f：o，0，0，且t（d）=e，t（e）=f依題意，所以即非零常數(shù)列才能通過“t變換”結(jié)束。6分設(shè)（e為非零自然數(shù)）。為變換得到數(shù)列e的前兩項，數(shù)列d只有四種可能而任何一種可能中，數(shù)列e的笫三項是o或2e。即不存在數(shù)列d，使得其經(jīng)過“t變換”成為非零常數(shù)列。8分由得，數(shù)列a經(jīng)過不斷的“t變換”不可能結(jié)束。（）數(shù)列a經(jīng)過一次“t變換”后得到數(shù)列b：398，401，3，其結(jié)構(gòu)為a，a+3，3。數(shù)列b經(jīng)過6次“t變換”得到的數(shù)列分別為：3，a，a3；a3，3，a6：a6，a9，3;3，a12，a9;a15，3，a12;a18，a15，3。所以，經(jīng)過6次“t變換”后得到的數(shù)列也是形如“a，a+3，3”的數(shù)列，變化的是，除了3之外的兩項均減小18。 10分因為398 =18×