123振動與波動合成

1、vibration and wave vibration and wave 簡諧振動的動力學與運動學方程簡諧振動的動力學與運動學方程簡諧振動的特征量簡諧振動的特征量 矢量圖示法矢量圖示法簡諧振動的能量特點簡諧振動的能量特點阻尼振動、受迫振動的特點阻尼振動、受迫振動的特點 振動的合成振動的合成重點：簡諧振動 同頻率簡諧振動的合成 難點：振動有關的相關量計算 任何一個物理量任何一個物理量( (如位移、電流等如位移、電流等) )在某一數(shù)在某一數(shù)值附近作周期性的變化，稱為振動。值附近作周期性的變化，稱為振動。振動定義振動定義振動分類振動分類物物 理理 量量機械振動機械振動電磁振動電磁振動周周 期期 性

2、性周期振動周期振動非周期振動非周期振動外界影響外界影響阻尼振動阻尼振動受迫振動受迫振動振動規(guī)律振動規(guī)律簡諧振動簡諧振動非簡諧振動非簡諧振動研究簡諧機械振動的運動特點及規(guī)律研究簡諧機械振動的運動特點及規(guī)律l 定義定義)()(0tacost x（simple harmonic motion，shm） 物體振動時，位移隨時間依余弦或正弦函數(shù)規(guī)物體振動時，位移隨時間依余弦或正弦函數(shù)規(guī)律變化，稱為簡諧振動。律變化，稱為簡諧振動。1.1.運動學運動學（表象描述）（表象描述）l 表達式表達式)()(0tasintx或或一、簡諧振動的描述一、簡諧振動的描述l 速度、加速度速度、加速度速速 度度)(dd0tas

3、intxv)(02tacos加速度加速度)(dd0tacostxa222)(cos0mata)(0mvvtcos)(0tacos2xa2運動學特征運動學特征)2()(0tacostv)()(0tacosta2t)()(0tacost xl 水平方向受力水平方向受力l 牛頓第二定律牛頓第二定律mk22ddtxmmakxf0dd22xmktx2.2.動力學動力學（揭示本質）（揭示本質）kxf)()(0tacostx0dd222xtx動力學特征動力學特征kxfxa2) cos(taxl 受力角度受力角度 動力學特征動力學特征l 加速度角度加速度角度運動學特征運動學特征l 位移角度位移角度 運動學特征

4、運動學特征二、簡諧振動特征量二、簡諧振動特征量 （三要素）（三要素）1. 周期周期t （period）物體完成一次全振動所需的時間物體完成一次全振動所需的時間。物體在單位時間內完成振動的次數(shù)。物體在單位時間內完成振動的次數(shù)。頻率頻率 ( frequency）t1 角頻率角頻率(angular frequency )22t物體在物體在2 秒秒內振動次數(shù)或單位時間相位改變。內振動次數(shù)或單位時間相位改變。固有頻率固有頻率 mk（彈簧振子）（彈簧振子）lg（單擺）（單擺）2. 振幅振幅 a （amplitude）物體離開平衡位置最大位移的絕對值。物體離開平衡位置最大位移的絕對值。決定簡諧振動物體運動狀

5、態(tài)的物理量。決定簡諧振動物體運動狀態(tài)的物理量。l - t 時刻的相位時刻的相位0t0l - 時刻的相位時刻的相位0t03. 相位相位 （phase）0t 4. 振幅和初相位振幅和初相位 0（由初始條件決定）（由初始條件決定）)(0tacosx)(0tasinv0acosx000asinv22020vxa)(arctan000 xv三、簡諧振動的研究方法三、簡諧振動的研究方法1.1.解析法解析法)()(0tacostx已已 知知 解解 析析 式式比較比較已知已知0、a解析式解析式代入代入2.2.曲線法曲線法已知曲線已知曲線曲線曲線已知已知0、a-5512x(m)t(s)0、a0、a3.3.旋轉矢

6、量法旋轉矢量法a00ta0ttt oxx)()(0tacostx 初初始時刻與始時刻與x軸的夾角軸的夾角-初相初相a0的模的模 振幅振幅aa 與與x 軸的夾角軸的夾角 相位相位a0t 的角速度的角速度 角頻率角頻率a作坐標軸作坐標軸 , 自原點作自原點作aox作圖方法作圖方法一放置在光滑桌面上的彈簧振子，振幅一放置在光滑桌面上的彈簧振子，振幅 a = 2.010-2 m ，周期，周期 t =0. 50s 。當。當 t = 0 時，求下列情況下的初時，求下列情況下的初相位。（相位。（1）物體在平衡位置，向負方向運動；）物體在平衡位置，向負方向運動； （2）物體在）物體在 x = 1.010-2

7、m 處，向正方向處，向正方向 運動。運動。 分析：分析： 解析法：解析法：依據(jù)初始條件依據(jù)初始條件 x = x0 和和 v0 的方向確定的方向確定 0 值；值； 旋轉矢量法旋轉矢量法：根據(jù)質點在：根據(jù)質點在ox 軸上的初始位置軸上的初始位置 x0 以及速以及速 度的方向與確定度的方向與確定 0值。值。1. 解析法：解析法：)cos(0tax設諧振動方程設諧振動方程 00cosax 00sinav當當 t = 0 時，時，（1）物體在平衡位置，向負方向運動；）物體在平衡位置，向負方向運動；0cos0cos101010ax210210010v（2）物體在）物體在 處，向正方向運動。處，向正方向運動

8、。 m 100 . 12x21cos2cos102020aax320020v)32(34202102. 旋轉矢量法：旋轉矢量法： 3220（1）在平衡位置，向負方向運動；）在平衡位置，向負方向運動；（2）在）在 處，向正方向運動。處，向正方向運動。 m 100 . 12xox22a121ox)sin(0tav221vmek)(sin21022tka)cos(0tax221kxep)(cos21022tka1.1.動能動能2.2.勢能勢能3.3.總能量總能量keakaeeepk2212四、簡諧振動的能量四、簡諧振動的能量振幅隨時間減小的振動稱為阻尼振動。振幅隨時間減小的振動稱為阻尼振動。1.1.

9、阻尼振動阻尼振動（damped vibration）22ddddtxmtxkxmmk220，令令0dd2dd2022xtxtx固有角頻率固有角頻率阻尼常數(shù)阻尼常數(shù)彈性力彈性力阻尼阻尼 力力l 欠阻尼欠阻尼0l 過阻尼過阻尼00l 臨界阻尼臨界阻尼條件條件阻尼阻尼曲線曲線xottxotxo特點特點振幅指數(shù)衰減，振幅指數(shù)衰減，近似簡諧振動。近似簡諧振動。t阻尼振動阻尼振動 t固有周期固有周期物體剛好不作周物體剛好不作周期運動，很快回期運動，很快回到平衡位置。到平衡位置。非周期振動，非周期振動，系統(tǒng)緩慢回到系統(tǒng)緩慢回到平衡位置。平衡位置。2.2.受迫振動受迫振動（forced v vibration

10、）系統(tǒng)在周期性策動力作用下所發(fā)生的振動。系統(tǒng)在周期性策動力作用下所發(fā)生的振動。thkxtxmpcosdd022vmhhmmk0202，令動力學方程動力學方程:thxtxtxpcosdd2dd2022阻尼阻尼 力力周期性外力周期性外力彈性力彈性力)cos()cos()(02200tateatxpt在阻尼較小的情況下，微分方程的解為：在阻尼較小的情況下，微分方程的解為：穩(wěn)定振動的頻率等于驅動力的頻率。穩(wěn)定振動的頻率等于驅動力的頻率。2222204)(ppha2202arctanpp阻尼振動阻尼振動等幅振動等幅振動xottox受迫振動otx3.3.共振（共振（resonance）04dddd2222

11、20ppppha2222204)(ppha2202har2202rp較小較小較大較大 當驅動力頻率接近系統(tǒng)固有頻率時，受迫振動當驅動力頻率接近系統(tǒng)固有頻率時，受迫振動的振幅急劇增大，這種現(xiàn)象稱為的振幅急劇增大，這種現(xiàn)象稱為共振共振。 4.4.共振應用與危害共振應用與危害l 應用應用-微波爐加熱微波爐加熱l 應用應用-調諧接收調諧接收l 應用應用-樂器共鳴樂器共鳴l 應用應用-核磁共振核磁共振l 危害危害 1831 1831年，一隊騎兵通過曼徹斯特附近的一座便年，一隊騎兵通過曼徹斯特附近的一座便橋時，由于馬蹄節(jié)奏整齊，橋梁發(fā)生共振而斷裂。橋時，由于馬蹄節(jié)奏整齊，橋梁發(fā)生共振而斷裂。 1940.

12、1940.11.7.11.7.全長全長860m860m塔科瑪塔科瑪(tacoma)(tacoma)大橋因大大橋因大風引起共振而斷塌風引起共振而斷塌( (風速風速19m/s)19m/s)。問題：一個質點同時參與多個簡諧振動？問題：一個質點同時參與多個簡諧振動？迭加原理：迭加原理：合振動的位移等于各個分振動位移的合振動的位移等于各個分振動位移的矢量和。矢量和。一、兩個同振動方向、同頻率諧振動的合成一、兩個同振動方向、同頻率諧振動的合成) cos()(111tatx) cos()(222tatx分振動分振動: :)cos(21taxxx合振動合振動: :1.1.應用解析法應用解析法12xxx2.2.

13、應用旋轉矢量法應用旋轉矢量法)cos(212212221aaaaa22112211coscossinsinaaaatg) cos(tax11sina22sinaxyo1a12a2a11cosa22cosa3.3.討論討論), 2 , 1 , 0( 212kk21aaa合振幅最大合振幅最大l 兩分振動同相兩分振動同相當當 ，干涉相長干涉相長21aa 12aa21(21) (0,1,2,)kk 12aaa合振幅最小合振幅最小當當 ，干涉相消，干涉相消21aa 0a l 兩分振動反相兩分振動反相1a2aa|2121aaaaak12l 一般情況一般情況兩個同方向同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為兩個同

14、方向同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為20cm，與第一簡諧振動的相位差為與第一簡諧振動的相位差為 1 =/6，若第一個簡諧振動的振幅為若第一個簡諧振動的振幅為 。cm310求（求（1 1）第二個諧振動的振幅；）第二個諧振動的振幅； （2）第一、二兩個諧振動的相位差）第一、二兩個諧振動的相位差。 30a1a2a20310cmaaaaa10)cos(211221222221aaa2/1212aa分析：分析：解：解：二、兩個同振動方向、不同頻率諧振動的合成二、兩個同振動方向、不同頻率諧振動的合成把把這種合振動忽強忽弱的現(xiàn)象稱為拍這種合振動忽強忽弱的現(xiàn)象稱為拍。)cos(1111tax)cos(222

15、2tax合振動合振動21xxx假設假設1212,aaa)2cos()2cos(21212ttax21當當 時時, ,且且1221)2cos()2cos(21212ttax周期性慢變的振幅)(ta頻率相對較高的簡諧振動)cos(t)cos()(ttax合振動可看作是振幅緩變的簡諧振動合振動可看作是振幅緩變的簡諧振動212112()22vvvxtt拍的應用：拍的應用：l校準樂器校準樂器l信號調制信號調制l測量信號的頻率測量信號的頻率385 hz383 hz聽到的音頻384 hz強度節(jié)拍性變化2 hz三、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成三、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成 某質點同時參與兩個同頻

16、率的互相垂直方向的簡某質點同時參與兩個同頻率的互相垂直方向的簡諧運動。諧運動。) cos(11 tax) cos(22 tay合振動的軌跡方程為合振動的軌跡方程為 1221221222212sincos2 aaxyayax橢圓方程，具體形狀由相位差決定。橢圓方程，具體形狀由相位差決定。續(xù)上或李薩如圖形李薩如圖形振動的頻率成整數(shù)比振動的頻率成整數(shù)比yxxynnto0 xto1xto3xto5xtxoto5310 xxxxxx四、頻譜分析四、頻譜分析1. 諧振分析諧振分析 把一個復雜的周期振把一個復雜的周期振動分解為一系列簡諧振動動分解為一系列簡諧振動之和的方法，稱為諧振分之和的方法，稱為諧振分析

17、。析。10sincos2)(nnntbtnaatxtttttxta00d)(20tttnttntxta00dcos)(2tttntttxtb00dsin)(2 把組成復雜振動的各個諧振動的把組成復雜振動的各個諧振動的頻率頻率和振幅找和振幅找出來，并為出來，并為橫坐標橫坐標，振幅振幅為為縱坐標縱坐標的方法，稱為諧的方法，稱為諧頻譜分析。頻譜分析。2. 頻譜分析頻譜分析xot鋸齒波鋸齒波a 03 05 0鋸齒波頻譜圖鋸齒波頻譜圖l 頻譜分析應用頻譜分析應用1.1.便于研究振動系統(tǒng)各頻率成分之間的相互關系；便于研究振動系統(tǒng)各頻率成分之間的相互關系；2.2.利用腦電、心電、神經(jīng)信號的頻譜關系，便于對利用腦電、心電、神經(jīng)信號的頻譜關系，便于對 疾病進行診斷；疾病進行診斷；頻譜分析儀頻譜分析儀快速傅立葉變換處理機快