高等數(shù)學(xué)方向?qū)?shù)與梯度經(jīng)典實(shí)用

1、1l p xyo 0p9.8 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度9.8.1 定義定義9.5 (方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)) 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)p0(x0, y0)的某一鄰域的某一鄰域內(nèi)有定義內(nèi)有定義, l 是以是以p0(x0, y0) 為起點(diǎn)的射線為起點(diǎn)的射線,)cos,(cos l為其方向向量為其方向向量. 如果極限如果極限tyxftytxft),()cos,cos(lim00000 2存在存在, 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)p0(x0, y0)記為記為,0plf 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x, y)在區(qū)域在區(qū)域d內(nèi)任何一點(diǎn)內(nèi)任何一點(diǎn)(x,

2、 y)處沿方向處沿方向.),(00lyxf 或或l的方向?qū)?shù)都存在的方向?qū)?shù)都存在,注注: 方向?qū)?shù)是函數(shù)沿半直線方向的變化率方向?qū)?shù)是函數(shù)沿半直線方向的變化率.則則 為為d內(nèi)的一個(gè)函數(shù)內(nèi)的一個(gè)函數(shù), lf 稱為稱為f (x, y)沿方向沿方向 的方向?qū)Ш瘮?shù)的方向?qū)Ш瘮?shù)(簡(jiǎn)稱方向?qū)?shù)簡(jiǎn)稱方向?qū)?shù)). l處沿方向處沿方向 的的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù),l3t一定為正一定為正!xyxfyxxfxfx ),(),(lim0是函數(shù)在某點(diǎn)沿是函數(shù)在某點(diǎn)沿任何方向任何方向的變化率的變化率.方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)yyxfyyxfyfy ),(),(lim0 分別是函數(shù)在某點(diǎn)沿分別是函數(shù)在某點(diǎn)沿平行于坐標(biāo)軸平行

3、于坐標(biāo)軸的直線的直線x、y可正可負(fù)可正可負(fù)！的變化率的變化率.tyxftytxflft),()cos,cos(lim0 4xyxfyxxfifx ),(),(lim0 ),(yxfx 的方向?qū)?shù)存在的方向?qū)?shù)存在,yyxfyyxfjfy ),(),(lim0 ),(yxfy ),(yxf軸軸正正向向沿沿在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xyxpyxf),(),()0 , 1( 1e.xf 且且值值為為同理同理, 函數(shù)函數(shù)軸軸正正向向沿沿在在點(diǎn)點(diǎn)yyxpyxf),(),(2e)1 , 0( 的方向?qū)?shù)存在的方向?qū)?shù)存在,.yf 且值為且值為yxffyxp ,),(的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)存在時(shí)存在時(shí),當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)

4、5xyxfyxxfifx ),(),(lim)(0yyxfyyxfjfy ),(),(lim)(0),(yxfx )1, 0( ),(yxfy 軸負(fù)向軸負(fù)向沿沿在點(diǎn)在點(diǎn)xyxpyxf),(),()0 , 1( 軸軸負(fù)負(fù)向向沿沿在在點(diǎn)點(diǎn)yyxpyxf),(),(函數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)6類似類似, 可定義三元函數(shù)的方向?qū)?shù)可定義三元函數(shù)的方向?qū)?shù)對(duì)于三元函數(shù)對(duì)于三元函數(shù)),(zyxfu 它在空間一點(diǎn)它在空間一點(diǎn)lzyxp沿著方向沿著方向),(000的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù), 定義為定義為.,的的方方向向角角為為l lzyxf),(000其中其中tzyxftztytxft),()cos,cos,cos(lim

5、0000000 7定理定理9.12),(),(000yxpyxfz在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果 ,的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在在在該該點(diǎn)點(diǎn)沿沿任任意意方方向向 l處處可微可微,則函數(shù)則函數(shù)且且.cos,cos的的方方向向余余弦弦為為l coscos000pppyfxflf 其中其中類似地類似地, 如果三元函數(shù)如果三元函數(shù)),(),(0000zyxpzyxfu在在點(diǎn)點(diǎn) 處可微處可微,的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在則則在在該該點(diǎn)點(diǎn)沿沿任任意意方方向向 l且且.cos,cos,cos的的方方向向余余弦弦為為l coscoscos0000ppppzfyfxflf 其中其中8注注 coscosyfxflf ,

6、cos,cos方方向向的的方方向向余余弦弦為為其其中中l(wèi) ,的的單單位位向向量量l即為即為(1)(2)計(jì)算方向?qū)?shù)只需知道計(jì)算方向?qū)?shù)只需知道l 的方向及函數(shù)的的方向及函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù).在定點(diǎn)在定點(diǎn)),(000yxp的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為(3).coscos000 pppyfxflf (4) 關(guān)系關(guān)系方向?qū)?shù)存在方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在可微可微.0的方向角的方向角是是，、l 9解解 令令, 632),(222 zyxzyxf, 44 ppxxf, 66 ppyyf22 ppzzf故故pzyxfffn),( ),2, 6, 4( ,142264222 n其方向余弦為其方向余弦為zyx

7、u2286 例例 設(shè)設(shè).的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)處處沿沿方方向向在在np,142cos ,143cos 141cos )1 , 1 , 1(632222pzyxn在在點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲面面 處指向外側(cè)的法向量處指向外側(cè)的法向量, 求函數(shù)求函數(shù)10,142cos ,143cos 141cos ppyxzxxu22866 146 ppyxzyyu22868 148 ppzyxzu22286 14 ppzuyuxunu coscoscos.711 故故zyxu2286 函函數(shù)數(shù))1 , 1 , 1(p11解解 )1 , 1(lf sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1(xyyx (1) 最大值

8、最大值; (2) 最小值最小值; (3) 等于零等于零?并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有沿沿與與在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 1(),(22yxyxyxf 例例 求求函數(shù)函數(shù).的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)的的方方向向射射線線軸軸方方向向夾夾角角為為lx sin)1 , 1(cos)1 , 1(yxff sincos 4sin2 cos)1 , 1(cos)1 , 1(yxff 12故故 (1) sincos 4sin2 )1 , 1(lf方向?qū)?shù)達(dá)到最大值方向?qū)?shù)達(dá)到最大值;2方向?qū)?shù)達(dá)到最小值方向?qū)?shù)達(dá)到最小值;2 43 當(dāng)當(dāng),47時(shí)時(shí) 方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于 0.,4時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,

9、45時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 和和(1) 最大值最大值;(2) 最小值最小值;(3) 等于零等于零?問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有(2)(3)13 考慮函數(shù)考慮函數(shù) 定點(diǎn)定點(diǎn) p0(3,1), p1(2,3). 解解 54203 pyx,23yxz 0pxz,273022 pyx 0pyz5|10 pp,51cos 52cos 0plz58152545127 ),2 , 1( 10pp求函數(shù)在求函數(shù)在 p0 沿沿 方向的方向?qū)?shù)方向的方向?qū)?shù).10pp14練習(xí)練習(xí)求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處沿處沿222zyxxu 解解切線方向的方向向量切線方向的方向向量,91cos ,94cos ,9

10、8cos ,278 mxu.24316 422,2,tztytx )2, 2 , 1( m)8, 4 , 1( t,272 myu272 mzu mlu coscoscoszfyfxflf 在此點(diǎn)的切線方向上在此點(diǎn)的切線方向上曲線曲線的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).9)8(4122 t15指指向向點(diǎn)點(diǎn)沿沿點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù))1 , 0 , 1()ln(22azyxu ).()2 , 2, 3(方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)為為 b21解解 此方向的方向向量為此方向的方向向量為).1 , 2, 2( ,32cos ,32cos ,31cos ,21 axu, 0 ayu,21 azu alu.coscoscos

11、zfyfxflf .2121310)32(2132 16方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) coscosyfxflf , yfxfg).,cos(|),cos(|lgglglglf 最大最大或或最小最小?. 1),cos,(cos ll 9.8.2 梯度的概念梯度的概念問題問題: 函數(shù)函數(shù) 沿什么方向的方向?qū)?shù)為沿什么方向的方向?qū)?shù)為),(yxfz 方向?qū)?shù)取最大值方向?qū)?shù)取最大值 max,glf .glf min方向?qū)?shù)取最小值方向?qū)?shù)取最小值其中其中, lg 而而方向一致時(shí)方向一致時(shí), ,gl與與當(dāng)當(dāng)gl與與當(dāng)當(dāng)方向相反時(shí)方向相反時(shí), ,17定義定義9.6. jyfixf 記作記作).,(adrgyxf即即

12、 ),(adrgyxf yfxf,處的處的梯度梯度,),(yxp在在點(diǎn)點(diǎn)則梯度又可記為則梯度又可記為 為函數(shù)為函數(shù)稱向量稱向量),(yxfz yfxfg,引用記號(hào)引用記號(hào), yx稱為奈布拉算子稱為奈布拉算子, 或稱為或稱為向量微分算子或哈密爾頓算子向量微分算子或哈密爾頓算子,fyfxfyxf ,),(adrg18結(jié)論結(jié)論:22| ),(grad| yfxfyxf函數(shù)在某點(diǎn)的函數(shù)在某點(diǎn)的梯度梯度是這樣一個(gè)是這樣一個(gè)向量向量,它的它的方向方向與取得與取得最大方向?qū)?shù)最大方向?qū)?shù)的方向一致的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值而它的模為方向?qū)?shù)的最大值. 梯度的模為梯度的模為沿著沿著 方向方向, 函

13、數(shù)減少得最快函數(shù)減少得最快. yfxf,fgradfgrad p :g方向：方向：模：模： f 變化率最大的方向變化率最大的方向f的最大變化率之值的最大變化率之值19),(yxfz 在幾何上在幾何上被平面被平面cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影是一條平面曲線面上投影是一條平面曲線稱為稱為曲面曲面的的等高線等高線),(gradyxf表示一個(gè)曲面表示一個(gè)曲面,所截得所截得, lcyxf ),(xyo1),(cyxf 2),(cyxf l p等高線等高線cyxf ),(兩端微分兩端微分, 得得0dd yyfxxf0)d,d(, yxyfxf即即20 法線的斜率法線的斜率為

14、為: xydd1 yxff1,xyff yfxf,所以所以梯度梯度 為等高線上點(diǎn)為等高線上點(diǎn)p 處的處的法向量法向量.由于等高線由于等高線cyxf ),(上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)處處的的),(yxpcyxf ),(等高線等高線xyo1),(cyxf 2),(cyxf l p),(gradyxf)(21cc xfyfyfxf，梯度方向梯度方向1/,21梯度與等高線的關(guān)系：梯度與等高線的關(guān)系：),(),(yxpyxfz在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù) ),(gradyxf在同一直線上在同一直線上, 且從數(shù)值較低且從數(shù)值較低的的等高線等高線指向數(shù)值較指向數(shù)值較高高的的等高等高線線.在這點(diǎn)的法線在這點(diǎn)的法線線線cyxf ),

15、(的梯度的方向與點(diǎn)的梯度的方向與點(diǎn)p的的等高等高22kzfjyfixffzyxf ),(grad此梯度也是一個(gè)向量此梯度也是一個(gè)向量, 其方向與取得最大方其方向與取得最大方梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)的梯度為則函數(shù)在該點(diǎn)的梯度為 zfyfxf,設(shè)三元函數(shù)設(shè)三元函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)p處可微分處可微分, ),(zyxfu 向?qū)?shù)的方向一致向?qū)?shù)的方向一致, 其模為方向?qū)?shù)的最大值其模為方向?qū)?shù)的最大值.23解解kzujyuixuzyxu ),(gradkzjyix6)24()32( 故故.1225)2 , 1 , 1(gradkjiu 0 ,21,230p可得可得

16、, 在在 處梯度為處梯度為. 0令令, 06)24()32( kzjyix)2 , 1 , 1(例例 求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)處的梯度處的梯度, 并問在哪些點(diǎn)處梯度為零并問在哪些點(diǎn)處梯度為零?yxzyxu2332222 24處處在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù))2, 2 , 1()ln(222 mzyxu).(dgra mu的的梯梯度度)2, 2 , 1(92 解解mmzuyuxuu ,dgramzyxzzyxyzyxx 2222222222,2,2).2, 2 , 1(92 25解解 因?yàn)橐驗(yàn)?正南方向正南方向, 問他應(yīng)當(dāng)怎樣往上登才能攀登得最快問他應(yīng)當(dāng)怎樣往上登才能攀登得最快? 例例 一個(gè)登山者在山坡上點(diǎn)一個(gè)登山者在山坡上點(diǎn) 處處, 山坡山坡 43, 1,23, 4)(, 3)(00 mfmfyx)4 ,3()(adrg0 mf的高度的高度z 近似為近似為 若以若以x 軸正向?yàn)檩S正向?yàn)?25),(22yxyx