2020-2021學(xué)年成都市九校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)四模試卷(理科)及答案解析

1、A.B. 27n C. 27 n D.四川省成都市九校 聯(lián)考高考數(shù)學(xué)四模試卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符合題目要求的.1. 設(shè)集合 A=x|f 2x 3v 0, B=x|y=ln（2 x） ，貝U AH B=（）A. x| 1vxv3B. x| 1vxv2C. x| 3vxv2D. x|1vxv22. 已知，貝U復(fù)數(shù)z+5的實部與虛部的和為（）A. 10 B. 10C. 0 D.- 53. 如圖程序框圖所示的算法來自于九章算術(shù)，若輸入a的值為16, b的值為24,則執(zhí)行該程序框圖的結(jié)果為（/輸入Q /=c -b-a4廣告投

2、入對商品的銷售額有較大影響某電商對連續(xù)5個年度的廣告費和銷售額進行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表（單位：萬元）銷售額y2941505971由表可得到回歸方程為- =10.2x+ "據(jù)此模型，預(yù)測廣告費為10萬元時的銷售額約 為( )A. 101.2 B. 108.8 C. 111.2D. 118.20 3225. 設(shè) a=2., b=0.3 , c=log (x +0.3) (x> 1),貝 U a, b, c 的大小關(guān)系是()A. av bvc B. bvavc C. cv bv a D. bvcv a6. 哈市某公司有五個不同部門，現(xiàn)有 4名在校大學(xué)生來該公司實習(xí)，要求安排到該公司

3、的兩個部門，且每部門安排兩名，則不同的安排方案種數(shù)為（A. 40 B. 60 C. 120 D. 2407. 如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為（8設(shè)等差數(shù)列an滿足3as=5ai5,且-Sn為其前n項和，則數(shù)列S的最大項為( )A. ：亠 B. S24 C. S25 D. S26出應(yīng)&9.已知變量x, y滿足約束條件*若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0, b>0)的最小值為2,則2 +匚的最小值為()A. 2+；B. 5+2一 ： C. 8+口 D. 2、10.已知函數(shù) f (x) =Asin (2x+©)7T(A> 0, 0v(|)<

4、;的圖象在y軸上的截距A. (6, 10)B. (8, 12)C. 6, 8 D. 8, 12兀JU為1,且關(guān)于直線x它對稱，若對于任意的x 0，丁,都有m2-3m<f (x),則實數(shù)m的取值范圍為()'33-3-V3 3+V3A. 1 ,- B. 1 , 2 C. r, 2 D.-11.如圖所示點F是拋物線y2=8x的焦點，點A、B分別在拋物線y2=8x及圓x2+y2 -4x- 12=0的實線部分上運動，且AB總是平行于x軸，則 FAB的周長的取值范圍是( )12若關(guān)于x的方程（x-2） 2ex+ae x=2a|x- 2| （e為自然對數(shù)的底數(shù)）有且僅有 6個不等的實數(shù)解，則實

5、數(shù)a的取值范圍是（2A （右，5 B （e，心）2C. (1, e) D. (1,)Ze-L、填空題：本大題共13.已知n=4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上（2x+1） dx，貝U （土 - 一的展開式中x2的系數(shù)為14. 設(shè)直線I過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，I與C交于A, B兩點，|AB為C的實軸長的2倍，則C的離心率為.兀 15. 在直角三角形厶ABC中，1=77，|五|二寸，對平面內(nèi)的任意一點M，平面內(nèi)有一點 D使得.ri' 11 "-.，貝U ；一 -=.16.設(shè)S為數(shù)列a的前n項和，已知a1=2，對任意p、q N*，都有 軸=印

6、+&，貝U fS+60*5) = _N)的最小值為三、解答題：本大題共5小題，前5題每題12分，選考題10分，共70分.解答應(yīng)寫 出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，在 ABC中，點 P 在 BC邊上，/ PAC=60，PC=2, AP+AC=4（I ）求/ACP（II ） 若厶APB的面積是；.，求sin/ BAP.A18學(xué)校為了了解高三學(xué)生每天自主學(xué)習(xí)中國古典文學(xué)的時間，隨機抽取了高三男生和女生各50名進行問卷調(diào)查，其中每天自主學(xué)習(xí)中國古典文學(xué)的時間超過3小時的學(xué)生稱為古文迷”，否則為非古文迷，調(diào)查結(jié)果如表：古文迷非古文迷合計男生262450女生302050合計564

7、4100(I)根據(jù)表中數(shù)據(jù)能否判斷有60%的把握認為 古文迷”與性別有關(guān)？(U )現(xiàn)從調(diào)查的女生中按分層抽樣的方法抽出 5人進行調(diào)查，求所抽取的5人中 古 文迷”和 非古文迷”的人數(shù)；(川)現(xiàn)從(U)中所抽取的5人中再隨機抽取3人進行調(diào)查，記這3人中 古文迷” 的人數(shù)為g求隨機變量E的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式:門(ad-b<) 2 (a+b)(匸十d) (a+c) (bf.，其中 n=a+b+c+drdJ參考數(shù)據(jù):P (K2> kc：)0.500.400.250.050.0250.010ko0.4550.7081.3213.8415.0246.63519.如圖1，在直角梯形ABC

8、D 中，AD/ BC,AB 丄 BC,BD丄 DC,點E是BC邊的中點，將 ABD沿BD折起，使平面 ABD丄平面BCD,連接AE, AC, DE,得到如圖2 所示的幾何體.(I )求證：AB丄平面ADC;(U)若 AD=1, AB= :，求二面角 B-AD - E 的大小.有兩個不20.在平面直角坐標(biāo)系中，直線、廠十+趙不過原點，且與橢圓同的公共點A, B.(I )求實數(shù)m取值所組成的集合M;(n )是否存在定點P使得任意的m M,都有直線PA, PB的傾斜角互補.若存在,求出所有定點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.21.已知函數(shù) f (x) =lnxF，* .(I )若函數(shù)f (x)有零點

9、，求實數(shù)a的取值范圍;(n )證明：當(dāng) a#, b> 1 時，f (Inb) >丄.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，解答時 請寫清題號.選修4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C: .(a為參數(shù))，在以原點0y=sinQ-為極點，x軸的非負半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線I的極坐標(biāo)方程為-| .-.(1) 求圓C的普通方程和直線I的直角坐標(biāo)方程；(2) 過點M (- 1, 0)且與直線I平行的直線li交C于A, B兩點，求點M到A, B 兩點的距離之積.選修4-5 :不等式選講23.已知函數(shù) f (x) =|x+a

10、- 1|+|x-2a|.(I )若f (1)v 3,求實數(shù)a的取值范圍；(n )若 a> 1, x R,求證：f (x)> 2.四川省成都市九校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)四模試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合 A=x|f 2x 3v 0, B=x|y=ln(2 x) ，貝U AH B=()A. x| 1vxv3 B. x| 1vxv2C. x| 3vxv2D. x|1vxv2【考點】IE:交集及其運算.【分析】解不等式求出集合 A,求函數(shù)定義域得出B,再根據(jù)定義寫出AH B.【解答】解

11、：集合 A=x|f - 2x- 3v 0=x|- 1 v xv 3,B=x|y=ln (2 - x) =x|2- x> 0=x|xv 2,則 AH B=x| 1v xv 2.故選：B.2.已知，貝U復(fù)數(shù)z+5的實部與虛部的和為()A. 10 B.- 10C. 0 D.- 5【考點】A5:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、實部與虛部的定義、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出.【解答】解：司=(1+2i) (2+i) =5i，可得 z=- 5i則復(fù)數(shù)z+5=5- 5i的實部與虛部的和為：5 - 5=0.故選：C.3.如圖程序框圖所示的算法來自于九章算術(shù)，若輸入a的值為16, b的值為2

12、4,則執(zhí)行該程序框圖的結(jié)果為()./轍心/a =i - aA. 6B. 7C. 8 D. 9【考點】EF:程序框圖.【分析】模擬程序的運行，根據(jù)程序流程，依次判斷寫出a, b的值，可得當(dāng)a=b=8時，不滿足條件a b,輸出a的值為8,即可得解.【解答】解：模擬程序的運行，可得a=16, b=24滿足條件a b,不滿足條件a>b, b=24- 16=8, 滿足條件a b,滿足條件a>b, a=16- 8=8, 不滿足條件ab,輸出a的值為8.故選：C.5個年度的廣告費和銷售額4廣告投入對商品的銷售額有較大影響.某電商對連續(xù)進行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表（單位：萬元）銷售額y2941505

13、971由表可得到回歸方程為 v10.2x+ "據(jù)此模型，預(yù)測廣告費為10萬元時的銷售額約 為（ ）A. 101.2B. 108.8 C. 111.2D. 118.2【考點】BK:線性回歸方程.【分析】求出數(shù)據(jù)中心，代入回歸方程求出艸再將x=10代入回歸方程得出答案.【解答】解：由題意，胃=4, =50. 50=4X10.2石，解得 a=9.2.A 回歸方程為 用=10.2x+9.2.當(dāng) x=10 時，勺=10.2X10+9.2=111.2 故選：C.5.設(shè) a=20.3, b=0.32, c=log (x2+0.3) (x> 1),貝 U a, b, c 的大小關(guān)系是()A.

14、av bvc B. bvavc C. cv bv a D. bvcv a【考點】4C:指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.【分析】利用指數(shù)函數(shù)y=3和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，比較大小【解答】解：a=23v21=2 且 a=23>20=1, 1 v av 2,又 b=0Fv 0.30=1,2 2/x> 1 , c=locx (x +0.3)> logxx =2, c> a> b.故選B6.哈市某公司有五個不同部門，現(xiàn)有 4名在校大學(xué)生來該公司實習(xí)，要求安排到該公司的兩個部門，且每部門安排兩名，則不同的安排方案種數(shù)為（）A. 40 B. 60 C. 120 D. 240【考點】D8:排列

15、、組合的實際應(yīng)用.【分析】本題是一個計數(shù)問題，由題意可知，可分兩步完成計數(shù)，先對四名大學(xué)生分組，分法有丄、種，然后再排到5個部門的兩個部門中，排列方法有 A2，計算此兩數(shù)的乘積即可得到不同的安排方案種數(shù)，再選出正確選項【解答】解：此問題可分為兩步求解，第一步將四名大學(xué)生分為兩組，由于分法為2,2,考慮到重復(fù)一半，故分組方案應(yīng)為丄種，第二步將此兩組大學(xué)生分到5個部門中的兩個部門中，不同的安排方式有 A52, 故不同的安排方案有丄么2=60種， 故選：B.7 如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為（）A.B. 27n C. 27 n D.【考點】L!:由三視圖求面積、體積.【分析】由

16、已知中的三視圖，可得該幾何體是以俯視圖為底面的四棱錐，其外接球 等同于棱長為3的正方體的外接球，從而求得答案.【解答】解：由已知中的三視圖，可得該幾何體是以俯視圖為底面的四棱錐, 其底面是邊長為3的正方形，且高為3， 其外接球等同于棱長為3的正方體的外接球,所以外接球半徑R滿足：2R=二一 - 一= | ,所以外接球的表面積為S=4n2=27n故選：B.8設(shè)等差數(shù)列an滿足3as=5ai5,且Sn為其前n項和，則數(shù)列S的最大項為( )A.- B. S24 C. S25 D. S26【考點】85:等差數(shù)列的前n項和.2-半d.禾I用二次函數(shù)的單調(diào)性【分析】設(shè)等差數(shù)列a的公差為d,由3as=5ai

17、5，利用通項公式化為 2ai+49d=0,由，可得 dv 0, Sn=n ai+八"d寸(n- 25)即可得出.【解答】解：設(shè)等差數(shù)列a的公差為d,v 3a8=5c5,A 3 (ai+7d) =5 (ai+14d),化為 2ai+49d=0,且1>1),二dv 0,.等差數(shù)列a單調(diào)遞減，c n(n-l) , | f 49d J n(n-l) d z 2 &25S=nai+d=M )dp (n- 25) - d.當(dāng)n=25時，數(shù)列S取得最大值， 故選：C.愛豐3疋&9.已知變量x, y滿足約束條件r-3y<-2若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0, b&g

18、t;0)的最 t Qi I小值為2,則丄1的最小值為()a bA. 2+： B. 5+2一 C. 8+ 丨 | D. 2一 ：【考點】7C:簡單線性規(guī)劃.【分析】畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)去最小值得到a, b的等式，利用基本不等式求1 S解_+一的最小值.皀 D【解答】解：約束條件對應(yīng)的 區(qū)域如圖：目標(biāo)函數(shù) z=ax+by (a>0, b>0)經(jīng)過C時取最小值為2,所以a+b=2,(a+b)(卜1a1 b)當(dāng)且僅當(dāng)|*?a=b,并且a+b=2時等號成立;故選A.10.已知函數(shù) f (x) =Asin (2x+©)-(A> 0, 0v X7T2）的圖象在y軸上的截距為1

19、，且關(guān)于直線JU亠x=對稱，若對于任意的x 0,兀2,都有 m2- 3mwf (x)，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. 1，二B. 1 , 2C. , 2 D.，一【考點】H2:正弦函數(shù)的圖象.【分析】利用函數(shù)y=Asin （必+仍+B的圖象和性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義域和值域，求 得實數(shù)m的取值范圍.）的圖象在y軸上【解答】解：函數(shù) f (x) =Asin(2x+©)-斗(A>0, Ov X的截距為1, As in © 寺=1,即卩 Asi n函數(shù)f (x) =Asin (2x+©)-脣的圖象關(guān)于直線兀X=12, 兀+(h=kn+-7 Z, A?sin-',

20、二 A=. ；, f (x) = :sin (2x+對于任意的x 0,亠 亠 2,都有 m - 3m<f (x),TT 2X+,sin ( -,1, J； sin (2x+) -二，：,f (x) - 2,：- 1, m2- 3m<- 2,求得 1 < m< 2,故選：B.11.如圖所示點F是拋物線y2=8x的焦點，點A、B分別在拋物線y2=8x及圓x2+y2 -4x- 12=0的實線部分上運動，且AB總是平行于x軸，則 FAB的周長的取值范圍是( )A. (6, 10) B. (8, 12)C. 6, 8 D. 8, 12【考點】K8:拋物線的簡單性質(zhì).【分析】由拋物

21、線定義可得|AF|=x+2,從而 FAB的周長=|AF|+|AB|+|BF|=+2+ (xb-Xa） +4=6+溝，確定B點橫坐標(biāo)的范圍，即可得到結(jié)論.【解答】解：拋物線的準(zhǔn)線I: x=- 2,焦點F （2, 0）,由拋物線定義可得|AF|=x+2,2 2圓（X- 2） +y=16的圓心為（2, 0）,半徑為4, FAB 的周長=|AF|+|AB|+|BF|=a+2+ （ Xb-Xa） +4=6+Xb ,由拋物線y2=8x及圓（x- 2） 2+y2=16可得交點的橫坐標(biāo)為2, Xb( 2,6)6+溝( 8,12)故選B.12若關(guān)于x的方程（x-2） 2ex+ae-x=2a|x- 2| （e為自

22、然對數(shù)的底數(shù)）有且僅有 6個不等的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（）2A.(豈f, +x)B. (e, +x)C. (1, e)D.(1,【考點】54:根的存在性及根的個數(shù)判斷.【分析】令g （x） =|x- 2|6,則方程有6解等價于g2 （x）- 2ag （x） +a=0有6解,判斷g (x)的單調(diào)性得出g (x) =t的根的分布情況，得出方程t2-2at+a=0的根的分布情況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組解出 a的范圍.【解答】解：(x- 2) 2ex+ae x=2a|x 2|,2 2xx'( x- 2) e - 2a|x- 2|e+a=0,令 g (x) =|x 2|ex=,則

23、g' (x)+x)上單調(diào)當(dāng) x>2或 xv 1 時，g' (x)>0,當(dāng) 1 vxv2 時，g' (x)v0, g (乂)在(-x,1) 上單調(diào)遞增，在(1, 2) 上單調(diào)遞減，在(2, 遞增, 當(dāng)x=1時，g (x)取得極大值t (1) =e,又-x時，g(x)f 0,g(2)=0,+x時，g(x)f+x,令 g (x) =t,由圖象可知：當(dāng)0v tve時，方程g (x) =tv有3解；當(dāng)t=0或t>e時，方程g (x)4a2-4a>0邑0 e_2ae+aI>0（-匕），由此能求出（【解答】解：n= I ；: （2x+1） dx= （x2

24、+x）（去-暢叫2r-6=(36-r) (- 1) rC6=t有1解;當(dāng)t=e時，方程g (x) =t有2解；當(dāng)tv0時，方程g (x) =t無解.方程(x-2) 2e2x- 2a|x- 2|6+a=0有 6 解,2即 g (x)- 2ag (x) +a=0 有 6 解，關(guān)于t的方程t2- 2at+a=0在(0, e)上有2解，解得 1 v av '.2e-l故選D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上.13已知n= '（ 2x+1）dx，貝U （亍-一"，n的展開式中x2的系數(shù)為 -18 .【考點】DB:二項式系數(shù)的性質(zhì).【分析】

25、利用定積分先求出n=6，再利用二項式定理通項公式求出 -E的展開式中的系數(shù).=6，2r-6=2,得 r=5,R亦的展開式中X2的系數(shù)為：（365） （- 1） %- 18.故答案為：-18.14.設(shè)直線I過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，I與C交于A, B 兩點，|AB為C的實軸長的2倍，則C的離心率為* .【考點】KC:雙曲線的簡單性質(zhì).【分析】設(shè)雙曲線方程，由題意可得丨 AB丨 仝二=2>2a,求得b2=2ai，根據(jù)雙曲線a的離心率公式寸聲，即可求得C的離心率.2 2【解答】解：設(shè)雙曲線方程：&七h1 （a>0，b>0），a b|b2|由題意可知，將x

26、=c代入，解得：y=±，abb?則丨AB丨='，a由丨 AB I =2>2a,則 b2=2a2，雙曲線離心率 e=丄?=一 ：，故答案為：二15在直角三角形厶ABC中，|五|=乳對平面內(nèi)的任意一點 M,平面內(nèi)有一 點 D使得.rT n' 11:，貝U -.=6 .【考點】9V:向量在幾何中的應(yīng)用.【分析】據(jù)題意，可分別以邊 CB, CA所在直線為x軸，y軸，建立一平面直角坐標(biāo)系,得到 A (0，3)，并設(shè) M (x, y), D (x', y')，B (b, 0)，這樣根據(jù)條件'ini即可得到f 虧，即得到2),進行數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求

27、出廚云的值.=2【解答】解：根據(jù)題意，分別以 CB, CA為x, y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則：A (0, 3),設(shè) M (x, y), B (b, 0), D (x) y);3 (x -x, y -y) = (b-x,- y) +2 (- x, 3-y);則 f (n)=n+1n +n+60n+160=n+1呼T- 1 ,人60令 g (x) =x+60k2-60=2XX(x> 1),則 g' (x) =1 ,可得x 1 , *5時，函數(shù)g十上3 ;/ =2二二丄. 一.故答案為：6.16.設(shè)S為數(shù)列a的前n項和，已知ai=2，對任意p、q N*，都有=+，貝U f(n

28、) =' *' (nN*)的最小值為二2 .n+1-rz【考點】8E:數(shù)列的求和.【分析】對任意p、q N*,都有ap+q=a+a,令p=n, q=1,可得an+i=a+a ,貝怦g - an=2,利用等差數(shù)列的求和公式可得 Sn. f (n) =" !=n+1#一 - 1,令g (x) n-t-1n-t-1”丄=x (x> 1),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出.【解答】解：對任意p、q N*,都有 卄=亦3,令p=n, q=1,可得an+i=a+ai,貝卜汕31=2, .數(shù)列a是等差數(shù)列，公差為2.S=2n +丄 1 "上n+n2.(x)

29、單調(diào)遞減；時，函數(shù)g (x)單調(diào)遞增.又 f (7) =14+,f (8) =14+二.-f (7)vf (8).(nN*)的最小值為故答案為:三、解答題：本大題共5小題，前5題每題12分，選考題10分，共70分.解答應(yīng)寫 出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，在 ABC 中，點 P 在 BC 邊上，/ PAC=60, PC=2, AP+AC=4(I )求/ACP(n ) 若厶APB的面積是上，求sin/ BAP.【考點】HR:余弦定理；HP:正弦定理.【分析】(I)在厶APC中，由余弦定理得 AP2- 4AP+4=0解得AP=2,可得 APC 是等邊三角形，即可得解.(n )法1

30、：由已知可求/ APB=120.利用三角形面積公式可求 PB=3.進而利用余3sinl20& 1弦定理可求AB,在厶APB中，由正弦定理可求sin/BAP. 的值.，利用三角形面積法2:作AD丄BC,垂足為D,可求:刁;亠一二一.；.Ji- -1公式可求PB,進而可求 BD, AB,利用三角函數(shù)的定義可求°:口二鳥一 -yr 利用兩角差的正弦函數(shù)公式可求sin/BAP=sin (/ BAD- 30)的值.【解答】(本題滿分為12分)解:(I )在厶APC中，因為/ PAC=60, PC=2, AP+AC=4由余弦定理得 PCAh+AC- 2?AP?ACCos/ PAC, 所以

31、 22=AP+ (4-AP) 2 - 2?AP? (4-AP) ?dos60°, 整理得AP2 - 4AP+4=Q解得AP=2.所以AC=2所以 APC是等邊三角形.所以/ ACP=60 .(n ) 法1:由于/ APB是厶APC的外角，所以/ APB=120.因為 APB的面積是一，所以廠.所以PB=3.在厶 APB中，AB2=AF2+PB'- 2?AP?PB?dos/ APB=2+32 - 2>2>3>Cos120°=19,所以心小注* APB中，由正弦定理得-二所以 sinZ BAP”法2:作AD丄BC,垂足為D,因為 APC是邊長為2的等邊

32、三角形,因為 APB的面積是，所以PB=3.所以BD=4.在 RtA ADB 中1 t,所以 SinZBAD=J,s必瞼二詈二淆.=71 八 2V192cosZ BADsin30所以 sinZ BAP=sin (Z BAD- 30° =sinZ BADcos30V3 Vs 1 3/57- u_X *= _ 3S °18學(xué)校為了了解高三學(xué)生每天自主學(xué)習(xí)中國古典文學(xué)的時間，隨機抽取了高三男生和女生各50名進行問卷調(diào)查，其中每天自主學(xué)習(xí)中國古典文學(xué)的時間超過3小時的學(xué)生稱為古文迷”，否則為非古文迷”，調(diào)查結(jié)果如表：古文迷非古文迷合計男生262450女生302050合計564410

33、0(I)根據(jù)表中數(shù)據(jù)能否判斷有60%的把握認為 古文迷”與性別有關(guān)？(U )現(xiàn)從調(diào)查的女生中按分層抽樣的方法抽出 5人進行調(diào)查，求所抽取的5人中 古 文迷”和 非古文迷”的人數(shù)；(川)現(xiàn)從(U)中所抽取的5人中再隨機抽取3人進行調(diào)查，記這3人中 古文迷” 的人數(shù)為E求隨機變量E的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式：門(ad-b<) 2 (a+b) (c-Fd) (a+c) (I.，其中 n=a+b+c+d參考數(shù)據(jù)：P (K2> ko)0.500.400.250.050.0250.010ko0.4550.7081.3213.8415.0246.635【考點】BK:線性回歸方程.【分析】(I

34、)求出K2,與臨界值比較，即可得出結(jié)論；(U)調(diào)查的50名女生中 古文迷”有30人，非古文迷”有20人，按分層抽樣的方法抽出5人，即可得出結(jié)論;（E） E的所有取值為1, 2, 3.求出相應(yīng)的概率，即可求隨機變量E的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解答】解：（I ）由列聯(lián)表得K2=門 ；'0.6494V 0.708,E6X 50X 5CJ所以沒有60%的把握認為 古文迷”與性別有關(guān).（U）調(diào)查的50名女生中 古文迷”有30人，非古文迷”有20人，按分層抽樣的方 法抽出5人，則 古文迷”的人數(shù)為二=3人，非古文迷”有二二=2人.5050即抽取的5人中 古文迷”和 非古文迷”的人數(shù)分別為3人和2人（E

35、）因為E為所抽取的3人中 古文迷”的人數(shù)，所以E的所有取值為1, 2, 3.P（目）耳幅，P（紜2）1 110=，P （紜3）所以隨機變量 紺勺分布列為123P31035110于是EW1W+2甘3竊飛.19.如圖1,在直角梯形 ABCD中，AD/ BC, AB丄BC, BD丄DC,點E是BC邊的中點，將 ABD沿BD折起，使平面 ABD丄平面BCD,連接AE, AC, DE,得到如圖2所示的幾何體.（I）求證：AB丄平面ADC;（U）若 AD=1, AB=，求二面角 B-AD- E 的大小.【分析】（I） 只需證明DC丄AB,由AD丄AB, DCA AD=D,得AB丄平面ADC（U ）易得二

36、.-,建立空間直角坐標(biāo) D-xyz，則 D （0, 0, 0）, B （. 一；，0, 0）,C （0, '，0） , E c,- , - , 0） , A （、，.）,求出平面DAB的法向量,平面 ADE的法向量,由cos I ：-,求得二面角B-AD-E的大小為60°.【解答】解：（I）證明：因為平面 ABD丄平面BCD,平面ABDA平面BCD=BD又DB丄DC,所以DC丄平面ABD 因為AB?平面ABD,所以DC丄AB 又AD丄AB, DCA AD=D,所以AB丄平面ADC.(U AB= : , AD=1.a DB=二依題意 AB”A BDC,AB _CDAD BDV2

37、 CD .如圖所示，建立空間直角坐標(biāo) D-xyz,則D (0, 0, 0), B (仮，0, 0), C (0,后,0),E0), A (羋 o羋),0), DA=DE =由(I )知平面DAB的法向量.，.設(shè)平面ADE的法向量亍1宀ni * DEy=0,令，可取m二蚯，品、飛/1).所以 COS* J f >=- 由圖可知二面角B- AD- E的平面角為銳角,所以二面角B-AD- E的大小為60°.20.在平面直角坐標(biāo)系中，直線 血E皿不過原點，且與橢圓 譽號-二1有兩個不同的公共點A, B.(I)求實數(shù)m取值所組成的集合M;(II )是否存在定點P使得任意的m M,都有直線

38、PA, PB的傾斜角互補.若存在,求出所有定點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【考點】KL:直線與橢圓的位置關(guān)系.2 2【分析】(1)由直線血十時0不過原點，知mH0,將*2蠱亍滬0與乙+二1聯(lián)立, 4得:q/+咸碗由此利用根的判別式，能求出實數(shù) m的范圍組成的集合M.(2)假設(shè)存在定點P (xo, yo)使得任意的m M,都有直線PA, PB的傾斜角互補,則kPA+kPB=0, 令心靈巧+)，伍七皿 , 得 ：:r 二:二'由此利用韋達定理能求出所有定點P的坐標(biāo).【解答】解：(1)因為直線島十"'不過原點，所以mH0,2 2將血x*m=q與青+牙 二1聯(lián)立，消去y得

39、：+2血血十1_4二0 ,因為直線與橢圓有兩個不同的公共點 A, B,所以 =8m? - 16 (m2 - 4)> 0,解得二-,所以實數(shù)m的范圍組成的集合M是：、|<：'(2)假設(shè)存在定點P (X。，y°)使得任意的m M,都有直線PA, PB的傾斜角互補,即kpA+kpB=O,令觸龍也號1 M-九 V2x2+m-y0所以整理得：2譏勺戈2十(曠癥丸-%) (口 +七勺丸(-ip)二/ ,由(1)知 Xi, X2 是:; :; ; - ：| J"'i 的兩個根，所以匚I 亞壬 計 一皿'T 所以X十賽2一 2:? 広I蠱2 冷 ，代入(

40、*)化簡得 . -I,由題意解得孔二1玄廠一170=2所以定點P的坐標(biāo)為二:-'或卜：-:-' 經(jīng)檢驗，滿足題意， 所以存在定點P使得任意的m M,都有直線PA, PB的傾斜角互補,坐標(biāo)為二 或'.21.已知函數(shù)f (x) =lnx尸：.(I )若函數(shù)f (x)有零點，求實數(shù)a的取值范圍；(H )證明：當(dāng) a，b 1 時，f (Inb)丄.【考點】6E:利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【分析】(I )法一：求出函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出 f (x)的最小值，從而求出a的范圍即可;法二：求出a=- xlnx,令g (x)

41、=- xlnx,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g (x)的最大值, 從而求出a的范圍即可；(U)令h (x) =xln x+a,通過討論a的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【解答】解：(I)法1:函數(shù)代耳二的定義域為(0, +x).由fGXl環(huán)岸，得F 3三咼.玄A XI因為 a>0,則 x( 0, a)時，f (x)v0； x( a, +x)時，f (x)> 0.所以函數(shù)f (x)在(0, a)上單調(diào)遞減，在(a, +x)上單調(diào)遞增.當(dāng) x=a 時，f (x) min=lna+1.當(dāng) Ina+1<0,即 0vaw二時，又 f (1) =ln 1+a=a>0,則函數(shù) f (x)有零點. e所以實數(shù)a的取值范圍為(0, +】.法2：函數(shù)二im-的定義域為(0, +x).由 f(K)=lnx4-y=0,得 a=- xlnx.令 g (x) =- xlnx,貝U g' (x) =-( Inx+1).當(dāng)(X 右)時，g' (x)>0;當(dāng)丄d 時，g' (x)v 0.所以函數(shù)g ( X)在O右)上單調(diào)遞增，在tp +8)上單調(diào)遞減.故X二丄時