2020年高考文科數(shù)學(全國卷Ⅰ)Word版含解析

1、絕密啟用前2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂 黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫 在答題卡上.寫在本試卷上無效.3 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項 中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合 A x|x2 3x 40, B 4,1,3,5,則 B ()A. 4,1B. 1,5C. 3,5D. 1,3【答案】D【解析】【分析】首先解一元二

2、次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得A| B，得到結(jié)果【詳解】由x2 3x 40解得1 X 4，所以 A x| 1 x 4，又因為 B 4,1,3,5，所以 A|B1,3，故選：D.【點睛】該題考查的是有關(guān)集合的問題，涉及到的知識點有利用一元二次不等式的解法求集 合，集合的交運算，屬于基礎(chǔ)題目.2.若 z 1 2i i3，則 |z|=()A. 0B. 1C . 2D. 2【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)i21將z化簡，再根據(jù)向量的模的計算公式即可求出.【詳解】因為z 1+2i i3 1+2i i 1 i，所以|z . 12 122.故選：C.【點睛】本題主要考查向量的模的計算公式的

3、應用，屬于容易題.3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高 為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）A 5 1B需1C. 514D.- 5 1r.422【答案】D【解析】【分析】2 1設(shè)CD a,PE b，利用PO2CD PE得到關(guān)于a,b的方程，解方程即可得到答案2【詳解】如圖，設(shè) CD a,PE b，則PO , PE2 OE2b2 ,4由題意po22ab，即圧1 b 2 b-ab，化簡得 4()210,2 a a解得b 15 (負值舍去)a 4故選：c.【點晴】本題主要考查正四棱

4、錐的概念及其有關(guān)計算，考查學生的數(shù)學計算能力，是一道容 易題4. 設(shè)0為正方形ABCD的中心，在 0, A，B，C，D中任取3點，則取到的3點共線的概率為A.C.B.D.2545【答案】A【解析】【分析】列出從5個點選3個點的所有情況，再列出3點共線的情況，用古典概型的概率計算公式運算即可【詳解】如圖，從 0, A, B, C, D5個點中任取3個有O,A,B,O,A,C,O,A,D,O,B,CO,B,D,O,C,D, A,B,C, A, B, D AC,D, B,C,D共10種不同取法,3點共線只有 A,O,C與B,O,D共2種情況，由古典概型的概率計算公式知，2 1取到3點共線的概率為10

5、5故選：AncOJi【點晴】本題主要考查古典概型的概率計算問題，采用列舉法，考查學生數(shù)學運算能力，是 一道容易題.5. 某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x （單位：°C）的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)（x,yJ（i 12川,20）得到下面的散點圖：由此散點圖，在10°C至40°C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（）2A.yabxB.yabxC.yabexD.yablnx【答案】D【解析】【分析】根據(jù)散點圖的分布可選擇合適的函數(shù)模型【詳解】由散點圖分布可知，散點圖分布在一個對數(shù)

6、函數(shù)的圖象附近，因此，最適合作為發(fā)芽率y和溫度X的回歸方程類型的是 y a blnx.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)模型的選擇，主要觀察散點圖的分布，屬于基礎(chǔ)題.6已知圓x2 y2 6x 0,過點(1，2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為()A. 1B. 2C. 3D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線和圓心與點(1,2)連線垂直時，所求的弦長最短，即可得出結(jié)論【詳解】圓x2 y2 6x 0化為(x 3)2 y2 9，所以圓心C坐標為C(3,0)，半徑為3，設(shè)P(1,2)，當過點P的直線和直線CP垂直時，圓心到過點 P的直線的距離最大，所求的弦 長最短，根據(jù)弦長公式最小值為 2 9 |

7、CP I22、廠82 .故選：B.【點睛】本題考查圓的簡單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長，屬于基礎(chǔ)題n7.設(shè)函數(shù)f(x) cos( x )在nn的圖像大致如下圖，則 f(x)的最小正周期為()A.必9小4 nC.3B.D.7n63 n【答案】C【解析】【分析】由圖可得：函數(shù)圖象過點,0 ，即可得到cos960，結(jié)合,0是函數(shù)f X圖象與x軸負半軸的第一個交點即可得到62，即可求得再利用三角函數(shù)周期公式即可得解【詳解】由圖可得：函數(shù)圖象過點將它代入函數(shù)f x可得：cos是函數(shù)f X圖象與X軸負半軸的第一個交點,所以962，解得:所以函數(shù)fX的最小正周期為T2_"32故選：C【點睛】本題主要

8、考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化能力,還考查了三角函數(shù)周期公式，屬于中檔題.8.設(shè) aloga 42，則 4 a（）1111A.B.-C.-D.-16986【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)題中所給的式子，結(jié)合對數(shù)的運算法則，得到log3 4a 2，即4a 9，進而求得a 14-，得到結(jié)果9【詳解】由aloga 4 2可得log34a 2，所以4a 9，所以有4 a -，9故選：B.【點睛】該題考查的是有關(guān)指對式的運算的問題，涉及到的知識點有對數(shù)的運算法則，指數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題目9.執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的n=（）/ 輸入=1*0/輸出料/A. 17B. 19C. 21D. 23【答案】C

9、【解析】【分析】根據(jù)程序框圖的算法功能可知，要計算滿足1 3 5 | n 100的最小正奇數(shù)n，根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求出.【詳解】依據(jù)程序框圖的算法功能可知,輸出的n是滿足13 5 | n100的最小正奇數(shù),因為i1n 12100，解得 n 19，4所以輸出的n 21.故選：C【點睛】本題主要考查程序框圖的算法功能的理解,以及等差數(shù)列前n項和公式的應用，屬于2基礎(chǔ)題.10.設(shè)an是等比數(shù)列，且d a2 a3 1 , a?爲+玄4 2，則a6 a? a8()A. 12B. 24C. 30D. 32【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得q的值,再由a6a75a8 qa1a2a3可求得結(jié)果.

10、【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則aa：a3a11 q q21 ,a?q aq2aga1q3a1q 12q qq2因此，a6 a7 a85aq6dq7dq5 ”dq 1q2qq532.故選：D.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題.211.設(shè)丘丁2是雙曲線C : x2 1的兩個焦點，0為坐標原點，點P在C上且| OP | 2 ,3則厶PF1F2的面積為（）B. 3D. 27A. 一2【答案】B【解析】【分析】由1F1F2P是以P為直角直角三角形得到| PFi |2 | PF? |2 16，再利用雙曲線的定義得到1 |PFi | | PF? | 2，聯(lián)立即可得到 |PFi|PF

11、2|，代入 SaF1F2P - |PFi |PF2 | 中計算即可 2【詳解】由已知，不妨設(shè) Fi（ 2,0）, F2（2,0）,1 則 a 1,c 2，因為 |OP | 1|F,F2| ,2所以點P在以FiF2為直徑的圓上，即1F1F2P是以P為直角頂點的直角三角形，故 | PFi |2 |PF2|2 |FiF2|2 ,即 | PFi |2 |PF2|2 16，又 | PFi | | PF2 | 2a 2 ,所以 4|PF1|PF2|2|PFii|PF2 t2|PFi|PF2|162 | PFi| PF2 |,1解得 |PFi |PF2| 6，所以 Saf1f2p|PFi|PF2| 32故選

12、：B【點晴】本題考查雙曲線中焦點三角面積的計算問題，涉及到雙曲線的定義，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道中檔題12已知A,B,C為球0的球面上的三個點，O Oi為§ ABC的外接圓，若O Oi的面積為4n,AB BC AC OOi，則球0的表面積為（）A. 64 nB. 48 nC. 36 nD. 32 n【答案】A【解析】【分析】由已知可得等邊 右ABC的外接圓半徑，進而求出其邊長，得出OOi的值，根據(jù)球截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論 .【詳解】設(shè)圓 Oi半徑為r，球的半徑為 R，依題意，得 r24 , r 2 ,OO1 AB 2 3，根據(jù)圓截面性質(zhì) OOi平面ABC,OO1

13、Od,R OA . OOj0小200廠r2 4 ,球0的表面積S 4 R264 .故選：A【點睛】本題考查球的表面積，應用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.2x y 2 0,13.若x，y滿足約束條件 x y 1 0,則z=x+7y的最大值為.y 1 0,【答案】1【解析】【分析】首先畫出可行域，然后結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義即可求得其最大值【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，77其中z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大,據(jù)此結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最大值,聯(lián)立直線方程:2xx72

14、0，可得點A的坐標為:y 10A 1,0，據(jù)此可知目標函數(shù)的最大值為：Zmax 17 0 1.故答案 ：1 【點睛】求線性目標函數(shù) z= ax+ by(ab0的最值，當b>0時，直線過可行域且在 y軸上截距 最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最??；當bv 0時，直線過可行域且在 y軸上截距 最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.14.設(shè)向量 a (1, 1),b (m 1,2m 4)，若 a b，則 m .【答案】5【解析】【分析】根據(jù)向量垂直，結(jié)合題中所給的向量的坐標，利用向量垂直的坐標表示，求得結(jié)果【詳解】由a b可得a b 0 ,又因為 a (1, 1),b (m

15、1,2m 4),(1) (2m 4)0,故答案為：5.【點睛】該題考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的知識點有向量垂直的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題目15. 曲線y Inx x 1的一條切線的斜率為 2，則該切線的方程為 .【答案】y 2x【解析】【分析】設(shè)切線的切點坐標為(Xo,y。)，對函數(shù)求導，利用 y k 2，求出溝，代入曲線方程求出 y， 得到切線的點斜式方程，化簡即可.一 1【詳解】設(shè)切線的切點坐標為(x0,y0),y In x x 1,y1，x1y|xx01 2,x) 1,y。 2，所以切點坐標為(1,2)，X。所求的切線方程為y 22(x 1)，即y 2x.故答案為：y 2x.【點睛】本題

16、考查導數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題16. 數(shù)列an滿足an 2 ( 1)nan 3n 1,前16項和為540，則印 .【答案】7【解析】【分析】對n為奇偶數(shù)分類討論， 分別得出奇數(shù)項、 偶數(shù)項的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項遞推公式將奇數(shù)項用a1表示，由偶數(shù)項遞推公式得出偶數(shù)項的和，建立a1方程，求解即可得出結(jié)論【詳解】an 2 ( 1)nan 3n 1，當n為奇數(shù)時，an 2 an 3n 1 ；當n為偶數(shù)時，an 2 an 3n 1.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，S16 a1 a2 a3 a4a16a1 佝 2) (a110) (a124) (a144)個 70)(ai102)(ai140)(5172941)

17、8a1392928a1484540 ,a17.故答案為：7.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應用，以及數(shù)列的并項求和，考查分類討論思想和數(shù)學計算能力，屬于較難題三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為 必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.17.某廠接受了一項加工業(yè)務，加工出來產(chǎn)品(單位：件)按標準分為A，B，C，D四個等級.加工業(yè)務約定：對于 A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費 90元，50元，20元;對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務.甲分廠

18、加工成本費為25元/件,乙分廠加工成本費為 20元/件 .廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務,在兩個分廠各試加工了 100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等整理如下:等級ABC頻數(shù)402020甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABC頻數(shù)281734乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率;100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應選哪個分廠承接加工業(yè)務 ？【答案】(1)甲分廠加工出來的 A級品的概率為 0.4，乙分廠加工出來的A級品的概率為 0.28; (2)選甲分廠，理由見解析.【解析】【分析】(1) 根據(jù)兩個頻數(shù)分布

19、表即可求出；(2) 根據(jù)題意分別求出甲乙兩廠加工100件產(chǎn)品的總利潤，即可求出平均利潤，由此作出選擇.40【詳解】(1)由表可知，甲廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率為0.4，乙廠加工出10028來的一件產(chǎn)品為A級品的概率為0.28 ；100(2)甲分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤為4090 252050 252020 252050 251500 元，所以甲分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤為15元每件；乙分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤為2890 201750 203420 202150 201000 元，所以乙分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤為10元每件.故廠家選擇甲分廠承接加工任務.【點睛】本題主要考

20、查古典概型的概率公式的應用，以及平均數(shù)的求法，并根據(jù)平均值作出決策，屬于基礎(chǔ)題.18. §ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c.已知B=150 °(0若a= ,3 c, b=2萬，求占ABC的面積；r(2) 若 sinA+ , 3 sinC=，求 C.2【答案】(1).3 ； (2) 15 .【解析】【分析】(1)已知角B和b邊，結(jié)合a,c關(guān)系，由余弦定理建立 c的方程，求解得出 a,c，利用面積 公式，即可得出結(jié)論；C角的三(2)將A 30 C代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡得出有關(guān) 角函數(shù)值，結(jié)合 C的范圍，即可求解【詳解】(1)由余弦定理

21、可得b22 228 a c2ac cos150c 2,a23, ABC的面積1Sacs in2B /3 ；"AtC 30 ,sin A3sinC sin (30C)、3sinC7ccosC2ysinCsin (C30 )20C30 ,30C 3060C3045 ,C15 .【點睛】本題考查余弦定理、三角恒等變換解三角形，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計算求 解能力，屬于基礎(chǔ)題19.如圖，D為圓錐的頂點，0是圓錐底面的圓心，§ABC是底面的內(nèi)接正三角形，p為DO上一點，/ APC=90°.(1) 證明：平面 FAB丄平面PAC;(2) 設(shè)DO2，圓錐的側(cè)面積為-.3n,

22、求三棱錐F- ABC的體積【答案】(1)證明見解析;【解析】【分析】(1)根據(jù)已知可得 FA FB FC，進而有 FAC FBC，可得AFCBFC 90，即FB FC，從而證得FC 平面FAB，即可證得結(jié)論;(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為母線I和底面半徑r的關(guān)系，進而求出底面半徑，由正弦定理，求出正三角形ABC邊長，在等腰直角三角形APC中求出AP，在APO中，求出P0,即可求出結(jié)論.【詳解】(1)1 D為圓錐頂點，0為底面圓心，0D 平面ABC，IHP在 DO 上，OA OB OC, PA PB PC， PBC，APC BPC 90，即 PB PC,PA PC，PAPB P, PC 平面 PAB,

23、PC 平面 PAC， 平面 PAB 平面 PAC ；rl 3(2)設(shè)圓錐的母線為|，底面半徑為r ,圓錐的側(cè)面積為OD2 I2 r22，解得 r 1,l3，AC 2rsin 60；在等腰直角三角形 APC中，AP AC ，2 2RtjPAO 中，PO . AP2 OA222 ，1三棱錐P ABC的體積為VPABC3POS-ABC【點睛】本題考查空間線、面位置關(guān)系，證明平面與平面垂直，求錐體的體積，注意空間垂 直間的相互轉(zhuǎn)化，考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學計算能力，屬于中檔題20.已知函數(shù) f(x) ex a(x 2).(1) 當a 1時，討論f (x)的單調(diào)性；(2) 若f (x)有兩個零點，求

24、a的取值范圍【答案】(1)減區(qū)間為(，0)，增區(qū)間為(0,) ；(2)(!,).e【解析】【分析】(1 )將a 1代入函數(shù)解析式，對函數(shù)求導，分別令導數(shù)大于零和小于零，求得函數(shù)的單調(diào)增 區(qū)間和減區(qū)間;xeh(x)(xx 22)，求導研究函數(shù)圖象的走向，從而求得結(jié)果【詳解】(1 )當a1 時，f (x) ex (x 2)， f (x) e令f (x)0,解得x 0，令 f (x)0，解得 x 0，ex有兩個解，令x 2(2)若f (x)有兩個零點，即ex a(x 2) 0有兩個解，將其轉(zhuǎn)化為所以f (x)的減區(qū)間為(，0)，增區(qū)間為(0,)；(2 )若f (x)有兩個零點，即exa(x 2)0有

25、兩個解,從方程可知，x 2不成立，即ax有兩個解,x 2令 h(x)x-(xx 2xXX/2)，則有 h'(x) e(x 2) e(x 2)2(x2 )2)令 h'(x)0,解得1，令h (x)0，解得x 2或2所以函數(shù)h(x)在(,2)和(2, 1)上單調(diào)遞減，在(1,)上單調(diào)遞增,且當x2時，h(x) 0，2 時，h(x)，當時，h(x)所以當x有兩個解時，有x 2h(11)e所以滿足條件的a的取值范圍是:(，)e【點睛】該題考查的是有關(guān)應用導數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識點有應用導數(shù)研究函數(shù) 的單調(diào)性，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，在解題的過程中，也可以利用數(shù)形結(jié)合，將問

26、題轉(zhuǎn)化為曲線yex和直線y a(x 2)有兩個交點，利用過點(2,0)的曲線y ex的切線斜率，結(jié)合圖形求得結(jié)果21.已知A、B分別為橢圓E: x2 y2 1( a>1)的左、右頂點，G為E的上頂點，aG gB 8， aP為直線x=6上的動點，F(xiàn)A與E的另一交點為 C，PB與E的另一交點為 D .(1) 求E的方程；(2) 證明：直線CD過定點2【答案】(1)y2 1 ；( 2)證明詳見解析9【解析】【分析】(1)由已知可得:A a,0 ，B a,0，G 0,1，即可求得a2，結(jié)合已知即可求得：a29，問題得解(2)設(shè)P 6, y0，可得直線AP的方程為:0 x 3，聯(lián)立直線AP的方程與

27、橢圓方9程即可求得點C的坐標為2訃子化，同理可得點D的坐標為3y。22y。32y01 ， y02 1，即可表示出直線CD的方程，整理直線CD的方程可得:4y°23 3 y03x 3，命題得證【詳解】(1)依據(jù)題意作出如下圖象:IMpoX =62由橢圓方程E:篤y21(a1)可得:aA a,0 ,B a,0 , G 0,1IAG a,1 ,aG gba2 1x2橢圓方程為：-9a,a2(2)證明：設(shè) P 6,yo ,則直線ap的方程為：yyo o63x 3 ，即:聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程可得:2yo2 2 29 x 6yo x 9yo81 o，x2解得:23yo 27代入直線yo2

28、 9yo，整理得:3yo2 272yo所以點c的坐標為23yo2yo279同理可得：點D的坐標為c 23y°直線CD的方程為:號x 3可得:6yo92 yo3yo212 yo2 yo16y。yo2 92 yo2yo6y°y。2 93y。2272 yoc2c3yo 323 yo3yo218yo yo22小yo9yo218yo6 3yo2c2小3 yo3yo21整理得：4yo2yo4yo3'3 3 y2 % yo2 3 3 3 y°2 % 3整理可得:1c2c3yo 36 9yo4xyo2y年yo 1故直線CD過定點3 ,02【點睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)及方程思想，還考查了計算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難題(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則 按所做的第一題計分選修44:坐標系與參數(shù)方程k丄x cos t,22. 在直角坐標系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為k (t為參數(shù)).以坐標原點為極點，y sin tx軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為 4 cos 16 sin 3 0 .(1) 當k 1時，C1是什么曲線？(2) 當k 4時，求C1與C2的公共點的直角坐標