以橢圓和圓為背景的解析幾何大題

1、熱點(diǎn)十一以橢圓和圓為背景的解析幾何大題【名師精講指南篇】【高考真題再現(xiàn)】a b 0的離心率為一2，b222 X例1【2015江蘇高考】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓 a且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線I的距離為3.(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 過F的直線與橢圓交于 A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線 I和AB于點(diǎn)P, C,若PC=2 AB,求直線AB的方程.占2【答案】（1） y21（2） y x 1 或 y x 1 .2【解析】試題分析 求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需列兩個獨(dú)立條件即可；一是離芯率為二是右篤點(diǎn)F到左準(zhǔn)線12的距禽為解方程組艮國昌(2)因?yàn)橹本€起過F,所以求直線AB的方程就是確定

2、其斜率，本題關(guān)鍵就是 根據(jù)P2AB別出關(guān)干斜率的尊臺關(guān)系；這有一定運(yùn)算量首先利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，解出 AB兩點(diǎn)坐標(biāo)、刊用兩點(diǎn)間距離仝式求出AB -K再根16中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出C點(diǎn)坐標(biāo)；刊用兩直線交點(diǎn)求出P 點(diǎn)坐掠，再根抿兩點(diǎn)間距漏公式求出PC長，利用PC=2AB解出直線AB斜率,寫出直線AB方程.試題解析：(1)由題意，得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)x軸時(shí),.2，不合題意.與X軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為y,x2，y2 ,的方程代入橢圓方程，得2k2 x2 4k2x 2 k2x1,22k2一2k2k，C的坐標(biāo)為門日疋，且2x2x12y2 *222.2 1 k21 kx21 2k20，則

3、線段的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意.從而k 0，故直線C的方程為yk1 2k212k2k x 1 2k2 ，一 c 5k22則點(diǎn)的坐標(biāo)為 2,k 1 2k22 3k2 1 J1 k2從而 C 2k 1 2k2因?yàn)镃 2，所以2 3k2 1 1 k21 k2，解得kk 1 2k22 k2此時(shí)直線方程為y例2【2016江蘇咼考】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓12x 14y600及其上一點(diǎn)A(2 ,4).N的標(biāo)準(zhǔn)方程;(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓 M外切，且圓心 N在直線x=6上，求圓(2) 設(shè)平行于 OA的直線l與圓M相交于B, C兩點(diǎn)，且BC=OA，求直線I的方程

4、；ur uu uuu(3) 設(shè)點(diǎn)T (t, 0)滿足：存在圓 M上的兩點(diǎn)P和Q,使得TA TP TQ,，求實(shí)數(shù)t的取值范圍(y 1)2【解析】1 (2) l:y 2x 5或 y 2x 15 (3) 2 2.21 t 2 2.21試題分析；根據(jù)直線軸相切確定圓心位置，再根據(jù)兩圓外切建立等量關(guān)系求半卷根據(jù)垂徑走 理確定等量關(guān)系，求直線方程；(3) S用向量加法幾何意義建立等量關(guān)系，根據(jù)圓中弦長范圍律立不等式, 求解即得參數(shù)取值范圍-2 2試題解析：解：圓 M的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 6 y 725，所以圓心 M(6, 7)，半徑為5,.(1)由圓心N在直線x=6上，可設(shè)N 6, y0 .因?yàn)镹與x軸相切，

5、與圓 M外切，所以0 yo 7，于是圓N的半徑為yo，從而7 y 5 y。，解得y。 1 .2 2因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 6 y 11.4 0因?yàn)橹本€I/OA，所以直線l的斜率為2.2 0則圓心M到直線I的距離設(shè)直線I的方程為y=2x+m，即2x-y+m=0,因?yàn)锽COA22 42 2.5,2而MCd2 ( BC )2,22所以25m 55，解得 m=5 或 m=-15.5故直線I的方程為2x-y+ 5=0或2x-y-15=0.設(shè)P冷 ,Q X2,y2urUlTUllx2x 2! t因?yàn)锳 2,4 ,Tt,0,TATPTQ ,所以y2 y14因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上,所以X226y22725.-將

6、代入，得X1t 42y1 3225 .于是點(diǎn)P x1,y1既在圓M上,又在圓X2t 4y2325上，, 222225沒有公共點(diǎn),從而圓 x 6y725與圓Xt4y3所以5 5:t 46223 755,解得2221t 2 2.21因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是 22. 21,22 21【考點(diǎn)】直線方程、圓的方程、直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】直線與圓中的三個定理：切線的性質(zhì)定理，切線長定理，垂徑定理；兩個公式：點(diǎn)到直線距離公式及弦長公式，其核心都是轉(zhuǎn)化到與圓心、半徑的關(guān)系上，這是解決直線與圓的根本思路對于多元問題，也可先確定主元，如本題以P為主元，揭示 P在兩個圓上

7、運(yùn)動，從而轉(zhuǎn)化為兩個圓有交點(diǎn)這一位置關(guān)系，這也是解決直線與圓問題的一個思路，即將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系問題2 2例3【2017江蘇高考】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E:篤 再1(a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別a b1為F1，F(xiàn)2，離心率為2，兩準(zhǔn)線之間的距離為 8 點(diǎn)P在橢圓E上，且位于第一象限，過點(diǎn)F1作直線PF1的垂線11，過點(diǎn)F2作直線PF2的垂線12 (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線11 , 12的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1 ) 1 ;( 2) (i-l,3!).4377【解析】試題分析；< D由條件可得£ = k= 8解萬程

8、組可得。=2疋=1 ,則&二后W二<5 - G 2 C設(shè)根據(jù)點(diǎn)聃式寫出直線尸可及尸丹的萬程解方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)込-鬲也)，代入橢圓方程化簡得藍(lán)-斥=1或卅+£=1與竝+盤=1聯(lián)立，求解可得點(diǎn)P的坐標(biāo).43試題解析：(1)設(shè)橢圓的半焦距為 c.因?yàn)闄E圓E的離心率為1，兩準(zhǔn)線之間的距離為 8，所以-1 2a2， 8，2 c解得a 2,c1，于是b .a2 c23，因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是2 a(2) a (1)知，(l=o)設(shè)嘰曲,因詢尸為第一象限的臥 故>0.yG>0當(dāng)弋=1時(shí))右與£相交于耳與題設(shè)不符當(dāng)西時(shí)，直線尸年的抖率為逹7,亙線碼的斜率為丄，因?yàn)?/p>

9、J丄碼2丄蹈，所以直線占的斜率為- ,的斜率為-匹2JoW從而直線A的方程：y二一空a+l)j直線百的方程：”=一2匕一1)由，解得廠疋二1,所以0心工zl)”因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，由對稱性，得X01y。2 2 2 2,yo，即 Xoy。1 或Xoy。1.2 2又P在橢圓E上，故蟲匹1.2 2Xo yo 1 由x y ，解得xo1434、. 7,yox： y2 1 xo yo 1，無解.4 T43【考點(diǎn)】橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系【名師點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用 根與系數(shù)關(guān)系或求根公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)在曲線上

10、（點(diǎn)的坐標(biāo)滿 足曲線方程）等.【熱點(diǎn)深度剖析】1.圓錐曲線的解答題中主要是以橢圓為基本依托，考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等數(shù)學(xué)思想方法，這道解答題往往是試卷的壓軸題之一由于圓錐曲線與方程是傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)主干知識，在高考命題上已經(jīng)比較成熟，考查的形式和試題的難度、類型已經(jīng)較為穩(wěn)定，預(yù)計(jì)2o17年仍然是這種考查方式，不會發(fā)生大的變化.2解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，以達(dá)到鞏固知識、提高能力的目的綜合題中常常離不開直

11、線與圓錐曲線的位置，因此，要樹立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，應(yīng)用判別式、韋達(dá)定理的意識解析幾何應(yīng)用問題的解題關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，合理建立曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問題作出定量 或定性的分析與判斷常用的方法：數(shù)形結(jié)合法，以形助數(shù)，用數(shù)定形在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化 整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等3.避免繁復(fù)運(yùn)算的基本方法：回避，選擇，尋求所謂回避，就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運(yùn)用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等，從而避免化簡方程、求交點(diǎn)、解方程等繁復(fù)的運(yùn)算所謂選擇，就是選擇

12、合適的公式，合適的參變量，合適的方法等，一般以直接性和間接性為基本原則“設(shè)而不求”、“點(diǎn)代法”等方法的運(yùn)用就是主動的“所謂尋求” 4.定點(diǎn)、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、 數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點(diǎn)、一個值，就是要 求的定點(diǎn)、定值化解這類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù) 等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.5.預(yù)計(jì)18年將繼續(xù)將解幾大題作為探究能力考查的“試驗(yàn)田”，考查定點(diǎn)、定值問題的可能性較大【最新考綱解讀】內(nèi)容要求備注ABC平面解析幾何初步直

13、線的斜率和傾斜角V對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個層 次（在表中分別用 A、B、C表示）.了解：要求對所列知識的含義有最基本的認(rèn)識，并能解 決相關(guān)的簡單問題理解：要求對所列知識有較深刻的認(rèn)識，并能解決有一 定綜合性的問題掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合 性較強(qiáng)的或較為困難的問題 直線方程V直線的平行關(guān)系與垂直關(guān)系V兩條直線的交點(diǎn)V兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離V圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方 程V直線與圓、圓與圓的位護(hù)¥方置關(guān)系V圓錐曲 線與方 程中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)V中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)V頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾

14、何性質(zhì)V【重點(diǎn)知識整合】-、1.橢圓的定義：(1) 第一定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)Fi,F2的距離之和為定值 2a(2a>|FiF2|)的點(diǎn)的軌跡.(2 )第二定義：平面內(nèi)與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.(0< e<1 )2圖形與方程(以一個為例)圖形ST2標(biāo)準(zhǔn)方程:x ya2 b3.幾何性質(zhì)：(1)范圍a x(2)中心坐標(biāo)原點(diǎn)(3)頂點(diǎn)(a,0),(221(aa, bO(0,0)a,0),(0,(4)對稱軸x軸,(5)焦占八 '、八、Fi(6)離心率(7)準(zhǔn)線(8)焦半徑(9)通徑b>0)b),(0, b)y軸，長軸長c,0), F2(c,0)a22b2(

15、10)焦參數(shù)a2二、1.拋物線的定義:a ex0,r右2a，短軸長2b焦距ex0平面內(nèi)與定點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡2c , ( c a2 b2 ).(e=1 )2圖形與方程（以一個為例）2y 2 px（ p o）3.幾何性質(zhì)：（1）范圍 x 0經(jīng)，y R（2）中心無（3）頂點(diǎn) 0（0,0）（4）對稱軸 x軸（5） 焦點(diǎn)F（-,0）焦距 無2（6）離心率 e 1（7）準(zhǔn)線x -2p（8） 焦半徑r X。2（9） 通徑 2p（10）焦參數(shù) p【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】、（1 ）要能夠靈活應(yīng)用圓錐曲線的兩個定義（及其“括號”內(nèi)的限制條件）解決有關(guān)問題，如果涉及到其兩焦點(diǎn)（或兩相異定點(diǎn)），那么優(yōu)先選用圓錐曲

16、線第一定義；如果涉及到焦點(diǎn)三角形的問題，也 要重視第一定義和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用，尤其注意圓錐曲線第一定義與配方法的 綜合運(yùn)用。（2）橢圓的定義中應(yīng)注意常數(shù)大于 |F1F2|.因?yàn)楫?dāng)平面內(nèi)的動點(diǎn)與定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于IF1F2時(shí),其動點(diǎn)軌跡就是線段 F1F2;當(dāng)平面內(nèi)的動點(diǎn)與定點(diǎn) Fi、F2的距離之和小于|FiF2|時(shí)，其軌跡不存在.(3) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 定義法：根據(jù)橢圓定義，確定 a2,b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓方程. 待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在 x軸還是在y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定2 2關(guān)于a、b、c的方程組，解出a ,b，從而

17、寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(4)橢圓中有一個十分重要的 OFiB2(如圖)，它的三邊長分別為 a、b c易見c2 a2 b2，且若記hFi(5)在掌握橢圓簡單幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上，能對橢圓性質(zhì)有更多的了解，如:a c與a c分別為橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值和最小值;橢圓的通徑(過焦點(diǎn)垂直于長軸的弦2b2)長 絲，過橢圓焦點(diǎn)的直線被橢圓所截得的弦長的最小值.a(6)共離心率的橢圓系的方程：橢圓2X-2a2771(ab0)的離心率是 e -(c . a2 b2)，方程a2 2務(wù) J t(t是大于0的參數(shù), a2 b2二、對于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 y20的離心率也是e我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程2px(p2

18、0)與 x 2py(p0)，重點(diǎn)把握以下兩點(diǎn):(1) p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,p恒為正數(shù);0F1B2，貝U cos- e.a“對稱軸看一次項(xiàng)，符號決定開口方(2)方程形式有四種，要搞清方程與圖形的對應(yīng)性，其規(guī)律是 向”B.拋物線的幾何性質(zhì)以考查焦點(diǎn)與準(zhǔn)線為主根據(jù)定義，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，可得以下規(guī)律:2(1)拋物線y2px(p 0)上一點(diǎn)M(xo,y。)到焦點(diǎn)F的距離MFXo2P拋物線y 2px(p 0)上一點(diǎn)M(x°,y°)到焦點(diǎn)F的距離|MF|號x。；2P拋物線x 2py(p 0)上一點(diǎn)M(Xo,yo)到焦點(diǎn)F的距離MF y 上；22p拋物線x 2

19、py(p 0)上一點(diǎn)M(xc,y°)到焦點(diǎn)F的距離MF 上 y。.2C.直線與拋物線的位置關(guān)系類似于前面所講直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系.2特別地，已知拋物線y 2px(p 0)，過其焦點(diǎn)的直線交拋物線于A B兩點(diǎn)，設(shè)A(xi, yi), B(X2, y2).則有以下結(jié)論:(1) AB x x2 p，或 AB2p 2 sin(為AB所在直線的傾斜角)；2XM(3) yi y2P .42p過拋物線焦點(diǎn)且與對稱軸垂直的弦稱為拋物線的通徑，拋物線的通徑長為2p .【考場經(jīng)驗(yàn)分享】1. 目標(biāo)要求：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷、有關(guān)圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對函數(shù)方程思想和 數(shù)形結(jié)合思想的

20、考查，一直是高考考查的重點(diǎn)，特別是焦點(diǎn)弦和中點(diǎn)弦等問題，涉及中點(diǎn)公式、根與系數(shù) 的關(guān)系以及設(shè)而不求、整體代入的技巧和方法，也是考查數(shù)學(xué)思想方法的熱點(diǎn)題型.2. 注意問題：(1)對于填空題，常充分利用幾何條件，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.(2)涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計(jì)算弦長；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用 根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.3. 經(jīng)驗(yàn)分享：圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何方 法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)方法

21、，即 把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.【名題精選練兵篇】1.【南通市2018屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xxOy中，已知橢圓a（2）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)M在圓x2y28上，直線AM與橢圓相交于另一點(diǎn) B，且9AOB的面積是 AOM的面積的2倍，求直線AB的方程1 （2）x 2y 20，x 2y 202 2【答案】（1）42【解析】試題井析；根據(jù)兩條準(zhǔn)線之間的EE離為近聯(lián)立離心率條件解得亡=忑,盡（2）由面積關(guān)系得H為朋中點(diǎn)，由直線AB點(diǎn)斜式方程與橢圓方程聯(lián)立解得冃坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公武得H塑標(biāo)，代入

22、圓方程解得直線AB斜率試題解析：（1）設(shè)橢圓的焦距為 2c，由題意得,空4,2c解得a 2， c 2， 所以b 2.2 2所以橢圓的方程為-1 .42（2）方法一：因?yàn)镾 AOB 2S AOM ，所以AB 2 AM，所以點(diǎn)M為AB的中點(diǎn).x2因?yàn)闄E圓的方程為 一42 y2所以A 2,0設(shè) MXo, yo，則B2xo2,2yo所以x； y：2xo42由得9xo18xo16 o，解得Xo把Xo所以kAB，Xo32代入，312，8 （舍去）.得yo因此，直線AB的方程為y2 即 x 2y方法一：因?yàn)镾 aob 2S aom，所以AB2AM ,所以點(diǎn)Mx 2y 2 o.為AB的中點(diǎn)設(shè)直線AB的方程為y

23、22xy_由 42y k x1,得2 ,2 22k x8k2x8k24所以1 2k24k2解得xB2 4k227，所以XMXb代入x2化簡得28k4即 7k22k24k24k21 2k2，4k222k2解得yMXM 22k17所以，直線AB的方程為y2k22yx 2y 2 o.2. 【淮安市等四市2018屆高三上學(xué)期第一次模擬】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓x2 y213- + =1（Q >h>0）上（?） b的離心率為二且過點(diǎn)2尸為橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，連接 分別交橢圓于兩點(diǎn)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若AF =求而的值；設(shè)直線AR，口）的斜率分別為即，呵，是

24、否存在實(shí)數(shù)憶，使得耳二訕1，若存在，求出憫的值；若不存在,請說明理由【答案】（1 ） “ 3（ 2）(3)【解析】試題分析；夕十專由Iffllffl對稱性，知題1.鬻所咲鞏7廠紡此時(shí)直卻尸方程為 3x-4y -3 = 0,故誥=琶半=+ i殳山 銳疝#則風(fēng)-利，審）：通過直線和橢圓方程，解得S+l*fldti mm艮卩存在用=m所以需二蚩討奎二警二詛5*認(rèn)珂一也°試題解析:(1)設(shè)橢圓方程為+伊 1&S0)a b，由題意知:解之得:a = 2占，所以橢圓方程為:43(2 )若附兀，由橢圓對稱性，知，所以此時(shí)直線方程為 =-垃El3jt - 4y - 3 = x3 y2，得 7

25、-hx- 13 = 0,解得(丫二-1 舍去)，W 1十1)7FD 13(3)設(shè)“(砂0)，則蛻- 5 _兒，直線的方程為，代入橢圓方程，得(15 - Qy； - 15Xg + 2Axe = 0因?yàn)槭窃摲匠痰囊粋€解，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)同理,制點(diǎn)坐標(biāo)為y = 衛(wèi)切r 1I)上,8 + 5% (l rr.-.)所以兒:在直線即存在，使得-3y0yr jrr -11« -_rs-2x0?3y0-址5 + 2勺 5 - % -昭 _ 58 + 5x0 8 * 5x0 3jt0 3所以21(a b 0)，x3. 【南師附中、天一、海門、淮陰四校2018屆高三聯(lián)考】已知橢圓 C的方程：2a b右準(zhǔn)線

26、I方程為x 4，右焦點(diǎn)F 1,0 ,A為橢圓的左頂點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點(diǎn)M為橢圓在x軸上方一點(diǎn)，點(diǎn)umv UUJVN在右準(zhǔn)線上且滿足 AM MNJJJV JJUV0且5 AM 2 MN，求直線AM的方程.2x【答案】(1)C: 4【解析】試題分析:(1)由準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)可得2 2a 4,b3，由此可得橢圓方程.(2 )由題意設(shè) AM的方程為y k x 2，與橢圓方程聯(lián)立解方程組可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，由此可得MNJUJVAM，然后由5 AMuuuv2 MN建立關(guān)于k的方程，解方程可得 k，從而可得直線方程.試題解析：2(1 )由題意得4,c1 ,ca24, b2 a2 c23,2 2橢

27、圓c的方程為y 1.43 由題育得直線巫 的斜率存在設(shè)血f的方程為y二盤G+2）,，畔+羋乩,y =fr(x+2)由,+1431_云（2-町（2+町34 一 斗 '芒（兀+ 2）（2 一葢）4P+312k23 42兀=122366 加12jt九4/ +3n何冊=>k又Xn4,MN又AMQ 5 AM11k21 k22 MNXMXMXnXa11k2、1 k224k264k2 3124k2、,1 k2 24 k26k 4k23 ，F(xiàn)!23，2 1 k2 24k2 63 k 4k23，1解得k 1或k -.41 1直線AM的方程為y x 2或y 丄x丄.4 24. 【如皋市2017-20

28、18學(xué)年度高三年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線2 2y x與橢圓2y2a b1（a b 0）交于點(diǎn)A， B（ A在x軸上方），且AB a .設(shè)點(diǎn)A在x軸上的3射影為N，三角形ABN的面積為2 （如圖1）.（1 ）求橢圓的方程；（2）設(shè)平行于 AB的直線與橢圓相交，其弦的中點(diǎn)為Q. 求證：直線0Q的斜率為定值； 設(shè)直線0Q與橢圓相交于兩點(diǎn) C， D（ D在x軸上方），點(diǎn)P為橢圓上異于 A， B， C， D 一點(diǎn),直線PA交CD于點(diǎn)E， PC交AB于點(diǎn)F，如圖2，求證： AF CE為定值2 2【解析】試題分析：（1 ）設(shè)A xo,xoX。0 ，已知 S abn2S AO

29、N2，即 S AONx01，所以 xd2，2故AOA,2x) -AB22 ”6a，3、6，再根據(jù)橢圓經(jīng)過A、" 解得b 、3，從而可得橢圓的2.6a,3,6 ；又橢圓經(jīng)過A 運(yùn)2，即2 21 ,解得b ；y = jc + ?m方程：2)設(shè)平行曲的直線的方程為y =且心00 麻亞 /,得到+ 63亡十4皿?十2rt?5=0根抿韋達(dá)左理求得可=碼可=_警臨=花十加=¥，從而可得直線39 Xi-JJ的斜率為定值，由題意可知山血，施血=兀oQ y=-求出C1)4(21)一設(shè) £嘰譏 求出疋月的坐標(biāo)，利用弦長公式分別求出么只CE的值，將府6用兀;片表示，化簡消去。即可的結(jié)論

30、、 1 2 試題解析：(1)由題意，可設(shè) A Xo, Xo Xo 0，已知S ABN 2S AON 2，即S AONX。 1 ,2所以Xo2, 故 AO . 2x0 - AB22 2故所求橢圓的方程為： 仝 16 3(2)設(shè)平行AB的直線的方程為yy x m聯(lián)立 X【答案】（1）73162y32，得到3x 4mx12m2 60，X-IX22mm所以Xq ，yQXqm；233m故，直線OQ的斜率為kOQ=yQ3(定值)Xq2m2由題意可知 A .2,2 , AB: y x, OQ: y -x，21y_X，聯(lián)立方程組 22 得C 2, 1 ,D 2,1 ,2L y_ 1,63設(shè)P X0, y0，先

31、考慮直線斜率都存在的情形:直線AP : y.2yo2X。聯(lián)立方程組:yoXo、2X1x22,2Xo3、一 2Xo直線PC : yyo1Xo2聯(lián)立方程組:彳yoy 1-o 2y xXo2yo3 yoXo則 AF 42 42Xo2yo3yoXoJ、2CE122 Xo yo3 i 2xo2 yo所以AF CE 103.223yoXoyo 、一 2yoXo2 yo3、2xo2 yoXo2y°3yoXo.21 Xo3 yoXo亦 2p2 72 1 Xo 72 2 yo3 2xo2 yo21xo22yo32xo2 yo當(dāng)直線斜率不存在時(shí)結(jié)果仍然成立.5.【興化市楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校、 黃橋中學(xué)、口岸中學(xué)

32、三校2018屆高三12月聯(lián)考】已知圓O:x2 y21與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn) A，與y軸正半軸相交于點(diǎn) B.（1）若過點(diǎn)C ,3的直線I被圓O截得的弦長為-.3，求直線I的方程；2 2（2） 若在以B為圓心半徑為r的圓上存在點(diǎn)P，使得PA '、2PO （O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求r的取值范圍；（3） 設(shè)M x,% ,Q x2,y2是圓O上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn) M關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為 M1，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對 稱點(diǎn)為M2，如果直線QM1、QM2與y軸分別交于 0,m和0,n，問m n是否為定值？若是求出該定值； 若不是，請說明理由.1【答案】(1)直線I的方程為x 或x , 3y 10 ； (2) 0 r 2

33、.2 ； (3) m n為定值1.2【解析】試題井析：CD由題意分類討論直線的斜率是否存在根據(jù)垂徑定理，弦心距，弦長及半徑的勾 股關(guān)系解得k和可求得直線方程亍 設(shè)點(diǎn)嚴(yán)的坐標(biāo)為(兀刃，由題得點(diǎn)d的坐標(biāo)為點(diǎn)$的坐標(biāo) 為g 1)由嗆二0尸。可得/兀十廳十b =血十于、化簡可得(x-l)/ = 2又點(diǎn)尸在圓打上 所必?；癁辄c(diǎn).軌跡與圓E有交點(diǎn)園呵得解(3)則Md心一旳)直線QMi的方程為尸十”尸翌丈芻兀十眄廠令葢，則朋=西旳花" ； 同理可得 可十托不十玄2 2心型則剛“化乃)(竽利用曲2(%幻是圓。上的兩個動點(diǎn)即可得定值- 畫一吃眄一可試題解析：一 一 1符合題意(1) 1若直線I的斜率不

34、存在，則I的方程為： x -,22若直線I的斜率存在，設(shè)I的方程為：y邁21 _，即 2kx 2y k .3 0 2點(diǎn)0到直線I的距離d22k直線I被圓O截得的弦長為 .3, d2 k子，此時(shí)1的方程為：x所求直線I的方程為x -或x '、3y 12(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 x, y，由題得點(diǎn) A的坐標(biāo)為1,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為0,1由 PA . 2PO 可得x 1 2 y22 Yx2 y2，化簡可得 x 1 2 y2 2點(diǎn) P 在圓 B 上， r 血| J 1 0 20 1 2 r 42 , 0 r 22 所求r的取值范圍是0 r 2、2.(3) / M 為， ,則 M1 x y ,M2 x

35、 y直線QMi的方程為y y1 竺一比x x1 x2 x1令x 0，則m同理可得nXi 目2X2 yiXiX2mnxi yX2 yiXiy2汨i2X°22X2yixi2 ix22x22 ixi2xiX2xiX22Xi2X2xi2x22 m n為定值i.6.【前黃高級中學(xué)、如東高級中學(xué)、姜堰中學(xué)等五校20i8屆高三上學(xué)期第一次學(xué)情監(jiān)測】如圖，已知橢2 2圓E:篤與 i a b 0的左頂點(diǎn)A 2,0，且點(diǎn) a bi，2在橢圓上，F(xiàn)i、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。過點(diǎn)A作斜率為k k 0的直線交橢圓E于另一點(diǎn)B，直線BF2交橢圓E于點(diǎn)C.(i)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2 )若 CFiF2為等

36、腰三角形，求點(diǎn) B的坐標(biāo);(3)若FiC AB，求k的值.【答案】(i)亍1( 2) B £號(3)k詩【解析】試題分析:2 2(I)由題意得到關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組可得橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：- I ；43(2)由題意可得點(diǎn) C在x軸下方據(jù)此分類討論有：C 0, 、3，聯(lián)立直線 BC的方程與橢圓方程可得(3)設(shè)直線AB的方程Iab ： y k x 2，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，可得8k2 612k3 4k2 ，3 4k2利用幾何關(guān)系RC AB計(jì)算可得C 8k2 1, 8k ，利用點(diǎn)C在橢圓上得到關(guān)于實(shí)數(shù)k的方程，解方程有:12試題解析:0=2 。二2由題竜得f"2=滬

37、十F 、解得©二&19.c=l一+ =1斗4酹2 2二榊圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：一+鼻=143丁AC耳碼為等腰三甬形，且k>Q：C在丸軸下方1。若耳C二巧C*則C0-舟2。若鞏巧二C碼，則例 =2代J5)；3°若爲(wèi)C =耳巧衷則C耳=2*二由二屮_呵直線BC的方程yy 3x10853.358瘓5' 5(3)設(shè)直線AB的方程lAB : y k x 2 ,o得3 4k2 2 2x 16k x 16k120y k x 由 x2 y27- XaXb2xb216k123 4k28k263 4k2yBXB 212k3 4k28k2 6312k4k2Fi1,0，kCFi,

38、F-|C與AB不垂直;1, - F2 1,0 ,2kBF2直線BF2的方程lBF : y4k1 4k4k2 x 1，直線CF1的方程：let1 4k2，kCF1又點(diǎn) k4k 彳x 14k1xk解得1x 8k2 1y 8k2 C 8k 1, 8kc在橢圓上得8k2 1 228k1，即324k21 8k290，即 k2240 , - k 邁12點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意: (1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件;(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、 角形的面積等問題.丄，且過點(diǎn)2,0 .22 27 .已

39、知橢圓C:X21(a b 0)的離心率為a b(I )求橢圓C的方程;(n )過點(diǎn)M 1,0任作一條直線與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn)，試問在x軸上是否存在定點(diǎn) N，使得直線PN與直線QN關(guān)于x軸對稱？若存在，求出點(diǎn) N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由2 2I答案】（D七X 1;"）N4,?！窘馕觥吭嚲矸治?（I）根據(jù)離心率為，短軸右端點(diǎn)為 A的坐標(biāo)即可求出a,b的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；（H）分類討論：當(dāng)直線 PQ與x軸不垂直時(shí)，當(dāng)PQ x軸時(shí)，由橢圓的對稱性可知恒有直線 與直線QN關(guān)于x軸對稱，即在x軸上存在定點(diǎn) N 4,0，使得直線PN與直線QN關(guān)于x軸對稱 試卷解析：CPN（I ）由題意

40、得b 2 ,2 2a28，故橢圓C的方程為肴7（n ）假設(shè)存在點(diǎn) N m,0滿足題設(shè)條件.當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí)，設(shè) PQ的方程為y k x 1 ,代入橢圓方程化簡得：2 k2 x2 2k2x k2 8 0,所以氐二 片I丹 _帆五T） |畝花T） 疋3_1）（比_腳）+上（冷_1）3_如 審 jq rti xrn jq m坐呼十加二皺斗2+疋耳2帀q-（l十稱）（現(xiàn)十花）十2訶因?yàn)?旳衍一（1十朋）（西十花）±2m = 呂2+A所以當(dāng)m 4時(shí)，kpN kQN 0，直線PN與直線QN關(guān)于x軸對稱,當(dāng)PQ x軸時(shí)，由橢圓的對稱性可知恒有直線PN與直線QN關(guān)于x軸對稱，綜上可得，在x軸

41、上存在定點(diǎn) N 4,0，使得直線PN與直線QN關(guān)于x軸對稱.點(diǎn)睛：本題考查橢圓的方程，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題，超強(qiáng)的運(yùn)算能力是解決問題的關(guān)鍵2 2x y8 .已知點(diǎn)P為E：42LUU 1 UULT1上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足OQ -OP .34相交于A, B兩點(diǎn)，求 ABO面積的最大值（其中O9為坐標(biāo)原點(diǎn)）22【答案】（I）xy1； (n)-429992 2（2）直線l : y kx n與M相切，且與圓x y（1）求點(diǎn)Q的軌跡M的方程；【解析】試題分析；J I ）根據(jù)轉(zhuǎn)移法求動點(diǎn).軌跡：先設(shè)。益刃（滄此），由殺件頁=0

42、得 %=",代入柵IS方程可得動點(diǎn)軌述方稈-< II）由直線方程與桶園方程莊立方殍組，根據(jù)判別式 為4 = 9«"-2 ,再由垂徑定理得弦長 嗣=*卜屮,得SL陰二*屈|小 利用基本不等 式求最值試題解析：（I）設(shè)Q x, y , PUULTXo,y°，由于 ODx0y。 3y3x，又x0,y0在橢圓E上，故有23x1 uuu1OP,3y 22則有x, y1小3 xo，yo，則即點(diǎn)Q的軌跡2y_292x 的方程為49直線丨:kxn與橢圓2D :492寺1相切，故由9y249kx n匸129可得：18k229 x 36 knx18n24 02 2,亠

43、 2因?yàn)?6 kn4 18k918n44則有4k29n22（顯然n 0）。2 218 4k 9n點(diǎn)O到直線AB的距離dAB因?yàn)?k2 9n22，則n22，所以d291則 SAOB2 AB dd2 d當(dāng)且僅當(dāng)2 2 2 d2時(shí)，即d2時(shí)等9號成立.2所以，面積的最大值為-92A2,曲線C上的動點(diǎn)P,Q關(guān)于x軸對稱，直線APX 29 .已知雙曲線C :y 1的左右兩個頂點(diǎn)是 A),4與A2Q交于點(diǎn)M ,(1)求動點(diǎn)M的軌跡D的方程;uuuEB，求實(shí)數(shù)的取值范圍uur(2)點(diǎn)E 0,2，軌跡D上的點(diǎn)A, B滿足EA2X2【答案】(1) y 1 ； (2)4【解析】【試題分析】(1 )借助題設(shè)條件運(yùn)用

44、兩個等式相乘建立等式；(2 )依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用直線與橢圓的 位置關(guān)系建立二次方程，運(yùn)用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系建立不等式分析求解:(1)由已知A2,0 , A2 2,0 ，設(shè) Pt2 42則直線AP: y直線A2Q : y兩式相乘得y22 t242 t22，化簡得即動點(diǎn)M的軌跡D的方程為(2)過 E0,2的直線若斜率不存在則設(shè)直線斜率k存在,B X2,y2y kx x2 4y21 4k22X2 16kx12 016kX1X2則X-|X21 4k2 2半31 4k24X2由(2) (4)解得X1, X2代入(3)式得一116k1 4k2122 ，1 4k化簡得-13_6414k24，由(0解得k2

45、4代入上式右端得,316解得3,綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是1,3 .2x10 .已知橢圓E : 2a2y2 1 (a b b2的離心率為-3F1, F2分別是它的左、右焦點(diǎn)，且存在直線I ,使F1 ,F2關(guān)于I的對稱點(diǎn)恰好是圓C : x2y2 4mx 2my25m 40 (m R,m 0 )的一條直線的兩個端點(diǎn).(1) 求橢圓E的方程；2(2) 設(shè)直線I與拋物線y 2px( p 0)相交于 代B兩點(diǎn)，射線F1A, F1B與橢圓E分別相交于點(diǎn)M,N ,試探究：是否存在數(shù)集 D，當(dāng)且僅當(dāng)p D時(shí)，總存在m，使點(diǎn)F1在以線段MN為直徑的圓內(nèi)？若存在，求出數(shù)集D ;若不存在，請說明理由2 2I答案】(1)專

46、七1;(2)D 5,【解析】試題分析：(1)由圓C的方程配方得半徑為 2，由題設(shè)知，橢圓的焦距 2c等于圓C的直徑，所以c 2，又e -，可得橢圓方程.a 3(2)由題可得直線|是線段0C的垂直平分線，由I方程與y 2px，聯(lián)立可得：1525 2uuju ujun%x2p m ，X-1X2m .又點(diǎn)Fi在以線段MN為直徑的圓內(nèi)即FJM?F1 N016坐標(biāo)化代入求解即可試題解析：(1)將圓U的方程配方得：+ (j?-m)2=4 ,所以其圓心為C(27M:ffl) ?半徑為G由題設(shè)知，橢圓的焦距玄菁于圓G的直徑所以c = 2,又“冷g,從而,故臟IE的方程為訐(2 )因?yàn)镕i,F2產(chǎn)于I的對稱點(diǎn)恰好是圓C的一條直徑的兩個端點(diǎn)，所以直線I是線段0C的垂直平分線(0是坐標(biāo)原點(diǎn))，故I方程為y5m222x ，與y2px，聯(lián)立得：2y 2py 5pm 0,由其判別2UJUT UlT注意到F1M與RA同向,uuuu uurF1N與F1B同向，所以式 0得p 10m0.設(shè) A X1,y1 ，B X2,y2，則 y1y2p，y”25-pm，2從而x(x2y1y25 m1 -p5 m，X1X22yy25 2 m22224p216因?yàn)镕1的坐標(biāo)為2,0，UUTuuu所以F1AX-