專(zhuān)題一運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、競(jìng)賽專(zhuān)題一 運(yùn)動(dòng)學(xué)【基本知識(shí)】一、 質(zhì)點(diǎn)的位置、位置矢量和位移1、質(zhì)點(diǎn) 如果物體的大小和形狀可以忽略不計(jì)，就可以把物體當(dāng)做一個(gè)有質(zhì)量的點(diǎn)。稱(chēng)該點(diǎn)為質(zhì)點(diǎn)。xyzpryxz02、參考系 物理學(xué)中把選作為標(biāo)準(zhǔn)的參考物體系統(tǒng)為參考系。3、位置矢量 由參考點(diǎn)指向質(zhì)點(diǎn)所在位置的有向線(xiàn)段稱(chēng)為位置矢量，簡(jiǎn)稱(chēng)位矢或矢徑。 其大小為 方位是 P2(x2,y2,z2)4、位移 由初位置指向末位置的矢量稱(chēng)為位移，它等于質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)位置矢量的增量，即 xyzP1(x1,y1,z1)r1r2r0 其中 位移的大小為 位移的方位是 二、直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度1、速度平均速度 質(zhì)點(diǎn)在內(nèi)產(chǎn)生的位移與之比，稱(chēng)為此時(shí)間間隔內(nèi)的平均

2、速度，表達(dá)式是為 瞬時(shí)速度 當(dāng)時(shí)，平均速度的極限值，即位移矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度，簡(jiǎn)稱(chēng)速度，表達(dá)式為 2、 加速度平均加速度 在內(nèi)質(zhì)點(diǎn)速度的增量與時(shí)間之比，稱(chēng)為時(shí)間間隔內(nèi)的平均加速度，表達(dá)式為 瞬時(shí)加速度 平均加速度的極限值，即速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，或位置矢量對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，簡(jiǎn)稱(chēng)加速度，表達(dá)式為 （1）加速度具有瞬時(shí)性，即。只有質(zhì)點(diǎn)做勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒矢量，這時(shí)有如下運(yùn)動(dòng)公式 （2）加速度具有相對(duì)性，對(duì)于不同的參考系來(lái)說(shuō)，質(zhì)點(diǎn)的加速度一般不同。在兩個(gè)相對(duì)做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的參考系中（兩個(gè)慣性系），質(zhì)點(diǎn)具有相同的加速度。（3）加速度與速度本

3、身無(wú)關(guān)，只與速度的變化（包括方向或大小的變化）有關(guān)。某時(shí)刻速度為零而加速度不為零的是可能的。例如，豎直上拋運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)時(shí)，但三、運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本問(wèn)題微分問(wèn)題 已知運(yùn)動(dòng)方程，求速度、加速度。因求解方法用微分方法，故稱(chēng)此類(lèi)問(wèn)題為微分問(wèn)題。 積分問(wèn)題 已知加速度和初始條件，求速度、運(yùn)動(dòng)方程。因求解方法用積分方法，故稱(chēng)此類(lèi)問(wèn)題為積分問(wèn)題。（1）當(dāng)時(shí)，。同理由，可得。（2）當(dāng)時(shí)，由，可得。（3）當(dāng)時(shí)，四、曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度1、曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度A(t)B(t+t)rv物體（質(zhì)點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線(xiàn)的的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。參照直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中瞬時(shí)速度的概念描寫(xiě)質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢情況。ABVAVBVBV平均速度

4、 質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻位矢分別為和，則在時(shí)間內(nèi)的平均速度為與之比，表達(dá)式是為 瞬時(shí)速度 當(dāng)時(shí)，平均速度的極限值為質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度，表達(dá)式為 瞬時(shí)加速度 在t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)，速度為,經(jīng)過(guò)時(shí)間后質(zhì)點(diǎn)位于B點(diǎn)速度為，瞬時(shí)加速度為 2、圓周運(yùn)動(dòng) 圓周運(yùn)動(dòng)是曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的特例，設(shè)質(zhì)點(diǎn)作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，在t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度為v，則圓周運(yùn)動(dòng)的加速度為，其中切向加速度，反映的是速度大小的變化；法向加速度，反映的是速度方向的變化 。 和分別為法線(xiàn)方向單位矢量和切向方向單位矢量。若質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其速率不隨時(shí)間變化，即，即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)加速度就是法向加速度，其大小保持不變，方向始終指向圓心。3、拋體運(yùn)動(dòng) 物體以一定的

5、速度vo拋出后，若忽略空氣阻力，且物體的運(yùn)動(dòng)地球表面附近，它的運(yùn)動(dòng)高度遠(yuǎn)小于地球半徑，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其加速度恒為豎直向下的重力加速度g。拋體運(yùn)動(dòng)是一種加速度恒定的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。（時(shí)為平拋運(yùn)動(dòng)，時(shí)為上拋運(yùn)動(dòng)）0yxRH取拋體軌跡所在平面Oxy平面，拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸，則拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律為：；其軌跡方程為，飛行時(shí)間 T =， 射程 R = 射高 H =拋體運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱(chēng)性，上升時(shí)間和下降時(shí)間相等；上升和下降時(shí)經(jīng)過(guò)同一高度時(shí)速度大小相等，速度方向與水平方向的夾角大小相等。五、運(yùn)動(dòng)的合成1、運(yùn)動(dòng)的合成與分解：包括位移、速度、加速度的合成與分解，合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)具有獨(dú)立性、等時(shí)性、

6、等效性。2、 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：物體相對(duì)靜止參考系的速度等于物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)參考系的速度和運(yùn)動(dòng)參考系相對(duì)于靜止參考系兩者的矢量和。六、剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1、剛體 在無(wú)論多大的外力作用下，總保持形狀和大小不變的物體叫剛體。剛體是一種理想化模型，實(shí)際物體在外力作用下發(fā)生的形變效應(yīng)不顯著可被忽略時(shí)，即可看做剛體。剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)總是相同，這種運(yùn)動(dòng)叫平動(dòng)。如果剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中都繞同一直線(xiàn)做圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)叫轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的任何一個(gè)復(fù)雜運(yùn)動(dòng)總可視作平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加，剛體的運(yùn)動(dòng)同樣遵從運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性原理。剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上的任一質(zhì)點(diǎn)都繞軸做圓周運(yùn)動(dòng)，既可以用線(xiàn)量來(lái)描述，又可以用角量來(lái)描述，角量與線(xiàn)量

7、的關(guān)系為0xQP2、角位置與角位移角位置 剛體上任一點(diǎn)在t時(shí)刻到達(dá)P點(diǎn)，剛體的方位可由與Ox之夾角來(lái)確定，稱(chēng)為t時(shí)刻的角位置，亦稱(chēng)角坐標(biāo)。如圖所示。 角位移 若t時(shí)刻剛體的角位置為，時(shí)刻角位置為，則稱(chēng)為剛體在時(shí)間內(nèi)的角位移 。3、角速度與角加速度平均角速度 剛體在內(nèi)產(chǎn)生的角位移與之比，稱(chēng)為時(shí)間內(nèi)的平均角速度。表達(dá)式為瞬時(shí)角速度 平均角速度的極限值。表達(dá)式為平均角加速度 在內(nèi)剛體角速度的增量與時(shí)間之比，稱(chēng)為時(shí)間間隔內(nèi)的平均角加速度。表達(dá)式為 瞬時(shí)角加速度 時(shí)平均角速度的極限值。表達(dá)式為七、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本問(wèn)題微分問(wèn)題 已知角運(yùn)動(dòng)方程，求角速度、角加速度。因求解方法用到微分方法用到積分方法，故此

8、類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為微分問(wèn)題。積分問(wèn)題 已知叫加速度和初始條件，求角速度、角運(yùn)動(dòng)方程。因求解方法用到積分方法，故此類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為積分問(wèn)題。描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：當(dāng)時(shí)，可利用定義，求得 ， 當(dāng)時(shí)，據(jù)定義對(duì)變量進(jìn)行調(diào)整 ，然后取積分并代人初始條件就可以求出角速度方程，進(jìn)一步可以求出角運(yùn)動(dòng)方程當(dāng)時(shí)，需作如下變換，然后分離變量取積分，求出角速度方程和角運(yùn)動(dòng)方程考慮如下兩種特殊情況：當(dāng)剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)（，如下公式成立： 當(dāng)剛體做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（）時(shí)，公式成成立【例題解析】例1 質(zhì)量為M、均勻分布的圓環(huán)，其半徑為r，幾何軸與水平面垂直，若它能經(jīng)受的最大張力為T(mén)，求此圓環(huán)可以繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的最大角速度.解析：因?yàn)橄?/p>

9、心力F=mr2，當(dāng)一定時(shí)，r越大，向心力越大，所以要想求最大張力T所對(duì)應(yīng)的角速度，r應(yīng)取最大值.如圖1-1所示，在圓環(huán)上取一小段L，對(duì)應(yīng)的圓心角為，其質(zhì)量可表示為，受圓環(huán)對(duì)它的張力為T(mén)，則同上例分析可得 因?yàn)楹苄。?，?圖1-1 解得最大角速度 注釋 微元法是分析、解決物理問(wèn)題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。在使用微元法處理問(wèn)題時(shí)，需將其分解為眾多微小的“元過(guò)程”，而且每個(gè)“元過(guò)程”所遵循的規(guī)律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過(guò)程”，然后再將“元過(guò)程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問(wèn)題求解。例2 一 只老鼠從老鼠洞沿直線(xiàn)爬出，已知爬出速度v的大小與距老鼠洞中心的距離

10、s成反比，當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心距離s1 = 1m的A點(diǎn)時(shí)，速度大小為v1 = 20cm/s ，問(wèn)當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心s2=2m的B點(diǎn)時(shí)，其速度大小v2 = ？老鼠從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間t = ？解析：我們知道當(dāng)汽車(chē)以恒定功率行駛時(shí)，其速度v與牽引力F成反比，即v =，由此可把老鼠的運(yùn)動(dòng)等效為在外力以恒定的功率牽引下的彈簧的運(yùn)動(dòng)。由此分析，可寫(xiě)出：v =當(dāng)x = s1時(shí)，v = v1將其代入上式求解，得：k =所以老鼠到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度v2 =v1 =×20 = 10cm/s再根據(jù)外力做的功等于此等效彈簧彈性勢(shì)能的增加，Pt =kk代入有關(guān)量可得：Pt =()由此可解得：t = 7

11、.5s注釋 等效法是用較簡(jiǎn)單的因素代替較復(fù)雜的因素，以使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化而便于求解。在效果相同的情況下，將較為復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題變換為簡(jiǎn)單的熟悉問(wèn)題，以便突出主要因素，抓住它的本質(zhì)，找出其中規(guī)律。例3 如圖1-2所示，一水槍需將水射到離噴口的水平距離為3.0m的墻外， 從噴口算起， 墻高為4.0m。 若不計(jì)空氣阻力，取，求所需的最小初速及對(duì)應(yīng)的發(fā)射仰角。解析 水流做斜上拋運(yùn)動(dòng)，以噴口O為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)，本題的任務(wù)就是水流能通過(guò)點(diǎn)A（d、h）的最小初速度和發(fā)射仰角。根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，水流的運(yùn)動(dòng)方程為 圖1-2把A點(diǎn)坐標(biāo)（d、h）代入以上兩式，消去t，得：令 上式可變?yōu)榍易钚〕跛?注釋 極限

12、法是把某個(gè)物理量推向極端，即極大和極小或極左和極右，并依此做出科學(xué)的推理分析，從而給出判斷或?qū)С鲆话憬Y(jié)論。極限法在進(jìn)行某些物理過(guò)程的分析時(shí)，具有獨(dú)特作用，恰當(dāng)應(yīng)用極限法能提高解題效率，使問(wèn)題化難為易。例4 有一個(gè)很大的湖，岸邊（可視湖岸為直線(xiàn)）停放著一艘小船，纜繩突然斷開(kāi)，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15°角，速度為2.5km/h 。 同時(shí)岸上一人從停放點(diǎn)起追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4.0km/h ，在水中游的速度為2.0km/h ，問(wèn)此人能否追及小船？解析：費(fèi)馬原理指出：光總是沿著光程為極小值的路徑傳播。據(jù)此可以證明，光在平面分界面上的折射是以時(shí)間為極小值的路程傳播。本題求最

13、短時(shí)間問(wèn)題，可類(lèi)比類(lèi)在平面分界面上的折射情況，這樣就把一個(gè)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題通過(guò)類(lèi)比可轉(zhuǎn)化為光的折射問(wèn)題求解。如圖1-3所示，船沿OP方向被刮跑，設(shè)人從O點(diǎn)出發(fā)先沿湖岸跑，在A點(diǎn)入水游到OP的B點(diǎn)，如果符合光的折射定律，則所用時(shí)間最短。根據(jù)折射定律：=，解得： = 30°圖1-3 = 180°15°(90°+) = 45°在這最短時(shí)間內(nèi)，若船還未到達(dá)B點(diǎn)，則人能追上小船，若船已經(jīng)通過(guò)了B點(diǎn)，則人不能追上小船，所以船剛好能到達(dá)B點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的船速就是小船能被追及的最大船速vm 。根據(jù)正弦定理：= 又：t = t1 + t2由以上兩式可解得：vm = 2km/h

14、此即小船能被人追上的最大速度，而小船實(shí)際速度只有2.5km/h ，小于2km/h ，所以人能追上小船。注釋 類(lèi)比法是在于發(fā)現(xiàn)和探索發(fā)現(xiàn)某些不同問(wèn)題在一定范圍內(nèi)具有形式上的相似性，其中包括數(shù)學(xué)表達(dá)式上的相似性和物理圖像上的相似性，利用已知系統(tǒng)的物理規(guī)律去尋找未知系統(tǒng)的物理規(guī)律。例5 一火車(chē)沿直線(xiàn)軌道從靜止發(fā)出由A地駛向B地，并停止在B地。A 、B兩地相距s ，火車(chē)做加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其加速度最大為a1 ，做減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其加速度的絕對(duì)值最大為a2 ，由此可可以判斷出該火車(chē)由A到B所需的最短時(shí)間為 。解析：整個(gè)過(guò)程中火車(chē)先做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度最大時(shí)，所用時(shí)間最短，分段運(yùn)動(dòng)可用圖象法來(lái)解。根

15、據(jù)題意作vt圖，如圖（4）所示。圖 1-4由圖可得：a1 = a2 = s =v (t1 + t2) =vt 由、解得：t =注釋 圖象法是把抽象復(fù)雜的物理過(guò)程有針對(duì)性地表示成物理圖象，將物理量間的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀侮P(guān)系，運(yùn)用圖象直觀(guān)、形象、簡(jiǎn)明的特點(diǎn)，來(lái)分析解決物理問(wèn)題。例6 A 、B 、C三只獵犬站立的位置構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形，每只獵犬追捕獵物的速度均為v ，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，為追捕到獵物，獵犬不斷調(diào)整方向，速度方向始終“盯”住對(duì)方，它們同時(shí)起動(dòng)，經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間可捕捉到獵物？圖1-5-1解析：以地面為參考系，三只獵犬運(yùn)動(dòng)軌跡都是一條復(fù)雜的曲線(xiàn)，但根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，

16、三只獵犬最后相交于三角形的中心點(diǎn)，在追捕過(guò)程中，三只獵犬的位置構(gòu)成三角形的形狀不變，以繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的參考系來(lái)描述，可認(rèn)為三角形不轉(zhuǎn)動(dòng)，而是三個(gè)頂點(diǎn)向中心靠近，所以只要求出頂點(diǎn)到中心運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即可。由題意作圖1-5-1，設(shè)頂點(diǎn)到中心的距離為s ，則由已知條件得：s =a由運(yùn)動(dòng)合成與分解的知識(shí)可知，在旋轉(zhuǎn)的參考系中頂點(diǎn)向中心運(yùn)動(dòng)的速度為：v= vcos30°=v由此可知三角形收縮到中心的時(shí)間為：t =注釋 對(duì)稱(chēng)法由于物質(zhì)世界存在某些對(duì)稱(chēng)性，使得物理學(xué)理論也具有相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)性，從而使對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象普遍存在于各種物理現(xiàn)象和物理規(guī)律中。利用對(duì)稱(chēng)法分析解決物理問(wèn)題，可以避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)演算和推導(dǎo)，直接抓住問(wèn)題

17、的實(shí)質(zhì)，出奇制勝，快速簡(jiǎn)便地求解問(wèn)題。解法（2）三只獵犬都做等速率曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，而且任一時(shí)刻三只獵犬的位置都分別在一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，但這正三角形的邊長(zhǎng)不斷減小，如圖1-5-2要想求出捕捉的時(shí)間，則需用微元法將等速率曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)變成等速率直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，再用遞推法求解.圖1-5-2設(shè)經(jīng)時(shí)間t可捕捉獵物，再把t分為n個(gè)微小時(shí)間間隔t，在每一個(gè)t內(nèi)每只獵犬的運(yùn)動(dòng)可視為直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，每隔t，正三角形的邊長(zhǎng)分別為a1、a2、a3、an，顯然當(dāng)an0時(shí)三只獵犬相遇.因?yàn)榧醋⑨?遞推法是解決物體與物體發(fā)生多次作用后的情況. 即當(dāng)問(wèn)題中涉及相互聯(lián)系的物體較多并且有規(guī)律時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目特點(diǎn)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想將所研究的問(wèn)題歸類(lèi)，然

18、后求出通式。具體方法是先分析某一次作用的情況，得出結(jié)論. 再根據(jù)多次作用的重復(fù)性和它們的共同點(diǎn)，把結(jié)論推廣，然后結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解。用遞推法解題的關(guān)鍵是導(dǎo)出聯(lián)系相鄰兩次作用的遞推關(guān)系式.例7 已知地球半徑約為6.4×106m，又知月球繞地球的運(yùn)動(dòng)可近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則可估算出月球到地心的距離約為 m.（結(jié)果只何留一位有效數(shù)字）解析 因?yàn)樵虑蚶@地球的運(yùn)動(dòng)可近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以可根據(jù)月球所受的萬(wàn)有引力提供月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力及月球公轉(zhuǎn)周期求解此問(wèn)題，也可根據(jù)地球上的光經(jīng)月球反射2秒后返回地球的知識(shí)估算.根據(jù)運(yùn)動(dòng)定律及萬(wàn)有引力定律得：兩式代入數(shù)據(jù)可得=4.1×

19、108m（其中T是月球繞地球旋轉(zhuǎn)周期，T=30天）注釋 估算法是在我們解決問(wèn)時(shí)題缺乏必要的已知條件，無(wú)法用常規(guī)的方法來(lái)求出物理問(wèn)題的準(zhǔn)確答案，采用“估算”的方法就能忽略次要因素，抓住問(wèn)題的主要本質(zhì)，充分應(yīng)用物理知識(shí)進(jìn)行快速數(shù)量。例8 如圖1-6-1所示，質(zhì)點(diǎn)自?xún)A角為的斜面上方定點(diǎn)O沿光滑的斜槽從靜止開(kāi)始下滑，為使質(zhì)點(diǎn)在最短時(shí)間內(nèi)從O點(diǎn)到達(dá)斜面，斜槽與豎直方向的夾角應(yīng)等于多少？ 圖1-6-2圖1-6-1解析：如圖1-6-2所示，以經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的豎直線(xiàn)上的一點(diǎn)O 為圓心，OO 為半徑作圓，并使該圓與斜面恰好相切于A點(diǎn)，與OO延長(zhǎng)線(xiàn)交于B點(diǎn)。已知從O點(diǎn)由靜止出發(fā)沿傾角不同的光滑斜面下滑的質(zhì)點(diǎn)，到達(dá)圓周上

20、不同點(diǎn)所需時(shí)間相等，顯然，質(zhì)點(diǎn)沿OA方向從靜止開(kāi)始滑到斜面上所需時(shí)間比沿其他方向滑到斜面上所需時(shí)間短。連接OA ，由幾何關(guān)系得：AOB = 所以所用時(shí)間最短時(shí)，斜槽與豎直方向的夾角： =注釋 作圖法是根據(jù)題意把抽象復(fù)雜的物理過(guò)程有針對(duì)性的表示成物理圖像，將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)幾何問(wèn)題，通過(guò)幾何知識(shí)求解，作圖法的優(yōu)點(diǎn)是直觀(guān)形象，便于定性分析，也可定性計(jì)算，靈活應(yīng)用作圖法會(huì)給解題帶來(lái)很大方便例9（第21屆預(yù)賽題）如圖1-7所示，B是質(zhì)量為mB、半徑為R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。A是質(zhì)為mA的細(xì)長(zhǎng)直桿，被固定的光滑套管C約束在豎直方向，A可自由上下運(yùn)動(dòng)。碗和桿的質(zhì)量關(guān)系為：mB2mA。初始

21、時(shí)，A桿被握住，使其下端正好與碗的半球面的上邊緣接觸（如圖）。然后從靜止開(kāi)始釋放A，A、B便開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。設(shè)A桿的位置用q 表示，q 為碗面的球心O至A桿下端與球面接觸點(diǎn)的連線(xiàn)方向和豎直方向之間的夾角。求A與B速度的大?。ū硎境蓂 的函數(shù)）。 圖1-7解析 由題設(shè)條件知，若從地面參考系觀(guān)測(cè)，則任何時(shí)刻，A沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)其速度為vA，B沿水平方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)其速度為vB，若以B為參考系，從B觀(guān)測(cè)，則A桿保持在豎直方向，它與碗的接觸點(diǎn)在碗面內(nèi)作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，速度的方向與圓周相切，設(shè)其速度為。桿相對(duì)地面的速度是桿相對(duì)碗的速度與碗相對(duì)地面的速度的合速度，速度合成的矢量圖如圖中的平行四邊形所示。由圖1

22、-7得： 因而 ，由能量守恒 且知 mB2mA得 ： ； ACDBaCnaC taC例10（第24屆復(fù)賽題）圖中所示為用三角形剛性細(xì)桿AB、BC、CD連成的平面連桿結(jié)構(gòu)圖。AB和CD桿可分別繞過(guò)A、D的垂直于紙面的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，A、D兩點(diǎn)位于同一水平線(xiàn)上。BC桿的兩端分別與AB桿和CD桿相連，可繞連接處轉(zhuǎn)動(dòng)（類(lèi)似鉸鏈）。當(dāng)AB桿繞A軸以恒定的角速度轉(zhuǎn)到圖中所示的位置時(shí)，AB桿處于豎直位置。BC桿與CD桿都與水平方向成45°角，已知AB桿的長(zhǎng)度為，BC桿和CD桿的長(zhǎng)度由圖給定。求此時(shí)C點(diǎn)加速度的大小和方向（用與CD桿之間的夾角表示）圖1-8-2圖1-8-2圖1-8-1解法一 因?yàn)锽點(diǎn)繞A

23、軸作圓周運(yùn)動(dòng)，其速度的大小為 （1）B點(diǎn)的向心加速度的大小為（2）因?yàn)槭莿蚪撬俎D(zhuǎn)動(dòng)，B點(diǎn)的切向加速度為0，故也是B點(diǎn)的加速度，其方向沿BA方向因?yàn)镃點(diǎn)繞D軸作圓周運(yùn)動(dòng)，其速度的大小用表示，方向垂直于桿CD，在考察的時(shí)刻，由圖可知，其方向沿桿BC方向因BC是剛性桿，所以B點(diǎn)和C點(diǎn)沿BC方向的速度必相等，故有 （3）此時(shí)桿CD繞D軸按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)的法向加速度 （4）由圖可知，由（3）、（4）式得 ，方向沿CD方向 （5）下面來(lái)分析C點(diǎn)沿垂直于桿CD方向的加速度，即切向加速度因?yàn)锽C是剛性桿，所以C點(diǎn)相對(duì)B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)只能是繞B的轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)相對(duì)B點(diǎn)的速度方向必垂直于桿BC令表示其速度的大小，根據(jù)

24、速度合成公式有 由幾何關(guān)系得 （6）由于C點(diǎn)繞B作圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)B的向心加速度 （7）因?yàn)?，故有，方向垂直桿CD （8）由（2）式及圖可知，B點(diǎn)的加速度沿BC桿的分量為 （9）所以C點(diǎn)相對(duì)A點(diǎn)（或D點(diǎn)）的加速度沿垂直于桿CD方向的分量 （10）C點(diǎn)的總加速度為C點(diǎn)繞D點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的法向加速度與切向加速度的合加速度，即 （11）的方向與桿CD間的夾角（12）解法二 通過(guò)微商求C點(diǎn)加速度。以固定點(diǎn)A為原點(diǎn)作一直角坐標(biāo)系A(chǔ)xy，Ax軸與AD重合，Ay與AD垂直任意時(shí)刻t，連桿的位形如圖所示，此時(shí)各桿的位置分別用，和表示，且已知，C點(diǎn)坐標(biāo)表示為 （1） （2）將（1）、（2）式對(duì)時(shí)間t求一階微商，得

25、（3） （4）把（3）、（4）式對(duì)時(shí)間t求一階微商，得（5）（6）根據(jù)幾何關(guān)系，有即（7）（8）將（7）、（8）式平方后相加且化簡(jiǎn)，得（9）對(duì)（9）式對(duì)時(shí)間t求一階微商，代入，得（10）對(duì)（9）式對(duì)時(shí)間t求二階微商，并代入上述數(shù)據(jù)，得（11）將（10）、（11）式以及，的數(shù)值代入（5）、（6）式，得，所以 （12）由圖知，與x軸的夾角為（13）所以求得，這個(gè)夾角在第三象限，為，故與CD的夾角例11（第25屆預(yù)賽題）為訓(xùn)練宇航員能在失重狀態(tài)下工作和生活，需要?jiǎng)?chuàng)造一種失重的環(huán)境。在地球表面附近，當(dāng)飛機(jī)模擬某些在重力作用下的運(yùn)動(dòng)時(shí)，就可以在飛機(jī)座艙內(nèi)實(shí)現(xiàn)短時(shí)間的完全失重狀態(tài)?，F(xiàn)要求一架飛機(jī)在速率為v

26、1=500m/s時(shí)進(jìn)入失重狀態(tài)試驗(yàn)，在速率為v2=1000m/s時(shí)退出失重狀態(tài)試驗(yàn)。重力加速度g=10m/s2。試問(wèn)：（i）在上述給定的速率要求下，該飛機(jī)需要模擬何種運(yùn)動(dòng)，方可在一定范圍內(nèi)任意選擇失重時(shí)間的長(zhǎng)短？試定量討論影響失重時(shí)間長(zhǎng)短的因素。（ii）飛機(jī)模擬這種運(yùn)動(dòng)時(shí)，可選擇的失重狀態(tài)的時(shí)間范圍是多少？解析 當(dāng)飛機(jī)作加速度的大小為重力加速度g，加速度的方向豎直向下的運(yùn)動(dòng)時(shí)，座艙內(nèi)的試驗(yàn)者便處于完全失重狀態(tài)。這種運(yùn)動(dòng)可以是飛機(jī)模擬無(wú)阻力下的自由落體運(yùn)動(dòng)或豎直上拋運(yùn)動(dòng)，也可以是斜拋運(yùn)動(dòng)。當(dāng)進(jìn)入試驗(yàn)的速率和退出試驗(yàn)的速率確定后，飛機(jī)模擬前兩種運(yùn)動(dòng)時(shí)，失重時(shí)間的長(zhǎng)短都是一定的、不可選擇的。當(dāng)飛機(jī)模

27、擬無(wú)阻力作用下的斜拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，失重時(shí)間的長(zhǎng)短與拋射角有關(guān)，可在一定范圍內(nèi)進(jìn)行選擇?？疾祜w機(jī)模擬無(wú)阻力作用下的斜拋運(yùn)動(dòng)。設(shè)開(kāi)始試驗(yàn)時(shí)飛機(jī)的初速度的大小為v1，方向與水平方向成角，起始位置為A點(diǎn)，經(jīng)做拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)在B點(diǎn)退出試驗(yàn)，如圖所示。以t表示試驗(yàn)經(jīng)歷的時(shí)間，在退出試驗(yàn)時(shí)的速率為v2，則有v2x=v1cos(1)v2y=v1singt(2)而(3)由(1)、(2)、(3)式得(4)解(4)式得(5)由(5)式可知，當(dāng)進(jìn)入試驗(yàn)時(shí)飛機(jī)的速度v1和退出試驗(yàn)時(shí)飛機(jī)的速度v2確定以后，失重時(shí)間的長(zhǎng)短可通過(guò)角來(lái)調(diào)節(jié)。(ii)當(dāng)=90°時(shí)失重時(shí)間最長(zhǎng)，由(5)式可求得最長(zhǎng)失重時(shí)間tmax=150s(6)

28、當(dāng)=90°時(shí)，失重時(shí)間最短，由(5)式可求得最短失重時(shí)間tmin=50s(7)失重時(shí)間的調(diào)節(jié)范圍在150s到50s之間。【訓(xùn)練題】練習(xí)1 在進(jìn)行“飛鏢”訓(xùn)練時(shí)，打飛鏢的靶上共有10環(huán)，且第10環(huán)的半徑為1cm，第9環(huán)的半徑為2cm，依此類(lèi)推，如圖1-9所示，當(dāng)人離靶的距離為5m，將飛鏢對(duì)準(zhǔn)10環(huán)中心以水平速度v投出，則（g=10m/s2）( ) A、當(dāng)v50m/s時(shí)，會(huì)射中第8環(huán)線(xiàn)以?xún)?nèi)B、當(dāng)v=50m/s時(shí)，會(huì)射中在第6環(huán)線(xiàn)上C、若要擊中第10環(huán)以?xún)?nèi)，速度v至少應(yīng)為圖1-9D、若要擊中靶子，速度v至少應(yīng)為圖1-10ABOv練習(xí)2 如圖1-10所示，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的直桿上端連著一個(gè)半徑不計(jì)的

29、小球A,下端固定在轉(zhuǎn)軸O上，物體B與轉(zhuǎn)軸O在同一水平面上，球A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，A、B緊密接觸，當(dāng)桿與水平方向的夾角等于時(shí)，物體B 水平移動(dòng)的速度等于v，那么，此時(shí)，球A轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是圖1-11練習(xí)3 如1-11圖所示，細(xì)繩長(zhǎng)l，吊一個(gè)質(zhì)量為m的鐵球，繩受2mg拉力就會(huì)斷裂，繩的上端系一質(zhì)量不計(jì)的環(huán)，環(huán)套在光滑水平桿上。起初環(huán)帶著球一起以速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，在A處環(huán)被擋住而停下的瞬間，繩子所受拉力為多少？在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，球是先碰墻還是先碰地？（已知A處離墻水平距離為l，球離地高度h=2l）300練習(xí)4 如圖1-12所示，質(zhì)量為的帶電小球靜止在絕緣水平面上，某時(shí)刻給小球加上某方向上的范圍足夠大的勻

30、強(qiáng)電場(chǎng)，小球騰空沿著與水平面成300角的直線(xiàn)飛去。電場(chǎng)力的大小恒為，小球經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的飛行后，將所加電場(chǎng)方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1200，再經(jīng)過(guò)撤去電場(chǎng)。小球在重力的作用下落回水平面，試求：圖1-12落回點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)相距多遠(yuǎn)； 小球的飛行時(shí)間？圖1-13練習(xí)5 2007年春節(jié)期間，城鄉(xiāng)許多家庭為了增添節(jié)日的熱鬧氣氛，燃放了不少組合“春雷”花炮，組合“春雷”花炮一般由炮筒、炮體和引線(xiàn)等部分組成。組合“春雷”花炮有16響、25響、36響不同的組合方式，如圖1-13所示為16響“春雷”的示意圖。燃放“春雷”的過(guò)程一般是先點(diǎn)火，炮體在炮筒中經(jīng)過(guò)一段勻加速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程后，從炮筒口以較大的速度沖向天空，在最高點(diǎn)炸裂，然

31、后落地。已知炮筒的高度，炮體在炮筒中的加速度為，炮體與炮體間的水平距離為，導(dǎo)入炮體的引線(xiàn)長(zhǎng)度與炮筒高度相同，如圖所示，引線(xiàn)的燃燒速度為，不計(jì)空氣阻力，試求：（1）從點(diǎn)火到最后一個(gè)炮體離開(kāi)炮筒的時(shí)間；（2）炮體能達(dá)到的最大高度?練習(xí)6 為了測(cè)量一高樓的高度，某人設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)，在一根長(zhǎng)為的繩兩端各拴一重球，一人站在樓頂上，手執(zhí)繩的上端無(wú)初速度釋放使其自由落下，另一個(gè)人在樓下測(cè)量?jī)汕蚵涞氐臅r(shí)間差，即可根據(jù)得出樓的高度（不計(jì)空氣阻力）。請(qǐng)問(wèn)：（1）從原理上講，這個(gè)方案是否正確？（2）從實(shí)際測(cè)量來(lái)看，你估計(jì)最大困難是什么？（3）若測(cè)得，g取10m/s2，估算樓高多少？練習(xí)7 一把雨傘邊緣的半徑為r，且

32、高出水平地面h.當(dāng)雨傘以角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，雨滴自邊緣甩出落在地面上成一個(gè)大圓周.這個(gè)大圓的半徑為_(kāi).練習(xí)8 羚羊從靜止開(kāi)始奔跑，經(jīng)過(guò)50 m距離能加速到最大速度25 m/s，并能維持一段較長(zhǎng)的時(shí)間；獵豹從靜止開(kāi)始奔跑，經(jīng)過(guò)60 m 的距離能加速到最大速度30 m/s，以后只能維持這個(gè)速度4.0 s.設(shè)獵豹距離羚羊x m時(shí)開(kāi)始攻擊，羚羊則在獵豹開(kāi)始攻擊后1.0 s才開(kāi)始奔跑，假定羚羊和獵豹在加速階段分別做勻加速運(yùn)動(dòng)，且均沿同一直線(xiàn)奔跑.求：（1）獵豹要在其最大速度減速前追到羚羊，x值應(yīng)在什么范圍?（2）獵豹要在其加速階段追上羚羊，x值應(yīng)在什么范圍?練習(xí)9 我們?cè)陔娪盎螂娨曋薪?jīng)常可以看到這樣的驚險(xiǎn)場(chǎng)面

33、：一輛汽車(chē)從山頂落入山谷，為了拍攝重為15 000 N的汽車(chē)從山崖上墜落的情景，電影導(dǎo)演通常用一輛模型汽車(chē)代替實(shí)際汽車(chē).設(shè)模型汽車(chē)與實(shí)際汽車(chē)的大小比例為，那么山崖也必須用的比例來(lái)代替真實(shí)的山崖.設(shè)電影每1 min放映的膠片張數(shù)是一定的，為了能把模型汽車(chē)墜落的情景放映得恰似拍攝實(shí)景一樣，以達(dá)到以假亂真的視覺(jué)效果.問(wèn)：在實(shí)際拍攝的過(guò)程中，電影攝影機(jī)每1 s拍攝的膠片數(shù)應(yīng)是實(shí)景拍攝的幾倍？練習(xí)10 飛機(jī)以恒定的速度v0沿水平方向飛行，飛行高度為2 000 m，在飛行過(guò)程中釋放一炸彈，在30 s后飛行員聽(tīng)見(jiàn)炸彈落地的爆炸聲.假設(shè)此爆炸聲向空間各個(gè)方向的傳播速度都為320 m/s，炸彈受到的空氣阻力可以

34、忽略，取g=10 m/s2.則炸彈經(jīng)_s時(shí)間落地，該飛機(jī)的飛行速度v0=_m/s.（答案保留兩位有效數(shù)字）練習(xí)11 如圖1-14所示，有一質(zhì)量為m的小球P與穿過(guò)光滑水平板上小孔O的輕繩相連，用手拉著繩子另一端，使小球在水平板上繞O點(diǎn)做 半徑為a、角速度為w的勻速圓周運(yùn)動(dòng).求：（1）此時(shí)繩上的拉力有多大？ （2）若將繩子從此狀態(tài)迅速放松，后又拉直，使小球繞O做半徑為b的勻速圓周運(yùn)動(dòng).從放松到拉直這段過(guò)程經(jīng)歷了多長(zhǎng)時(shí)間？圖1-15 （3）小球做半徑為b的勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子上的拉力又是多圖1-14練習(xí)12 如圖1-15所示，a為一固定放置的半徑為R的均勻帶電球體，O為其球心己知取無(wú)限遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零時(shí)，球表面處的電勢(shì)為U=1000 V在離球心O很遠(yuǎn)的O點(diǎn)附近有一質(zhì)子b，它以 Ek2000 eV 的動(dòng)能沿與O¢O平行的方向射向a以l表示b與O¢O線(xiàn)之間的垂直距離，要使質(zhì)子b能夠與帶電球體a的表面相碰，試求l的最大值把質(zhì)子換成電子，再求l的最大值 Hxy0L練習(xí)13 如圖1-16所示，滑輪兩邊懸掛的重物與盤(pán)的質(zhì)量相同，均為M，處于靜止?，F(xiàn)有距盤(pán)底高為h質(zhì)量為m的膠泥自由下落，求膠泥粘在