傳染病數(shù)學(xué)模型

1、傳染病模型詳解2.2.2 經(jīng)典模型 經(jīng)典的傳播模型大致將人群分為傳播態(tài)，易感染態(tài)和免疫態(tài)。態(tài)表示該個(gè)體帶有病毒或謠言的傳播能力，一旦接觸到易感染個(gè)體就會(huì)以一定概率導(dǎo)致對(duì)方成為傳播態(tài)。表示該個(gè)體沒有接觸過病毒或謠言，容易被傳播態(tài)個(gè)體感染。r 表示當(dāng)經(jīng)過一個(gè)或多個(gè)感染周期后，該個(gè)體永遠(yuǎn)不再被感染。 模型考慮了最簡(jiǎn)單的情況，即一個(gè)個(gè)體被感染，就永遠(yuǎn)成為感染態(tài)，向周圍鄰居不斷傳播病毒或謠言等。假設(shè)個(gè)體接觸感染的概率為，總?cè)藬?shù)為 n，在各狀態(tài)均勻混合網(wǎng)絡(luò)中建立傳播模型如下： 從而得到 對(duì)此方程進(jìn)行求解可得：( = 可見，起初絕大部分的個(gè)體為態(tài)，任何一個(gè)態(tài)個(gè)體都會(huì)遇到態(tài)個(gè)體并且傳染給對(duì)方，網(wǎng)絡(luò)中的態(tài)個(gè)數(shù)隨

2、時(shí)間成指數(shù)增長(zhǎng)。與此同時(shí)，隨著態(tài)個(gè)體的減少，網(wǎng)絡(luò)中態(tài)個(gè)數(shù)達(dá)到飽和，逐漸網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體全部成為態(tài)。 然而在現(xiàn)實(shí)世界中，個(gè)體不可能一直都處于傳播態(tài)。有些節(jié)點(diǎn)會(huì)因?yàn)閭鞑サ哪芰鸵庠傅南陆担瑥亩詣?dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)橛啦粋鞑サ膽B(tài)。而有些節(jié)點(diǎn)可能會(huì)從態(tài)轉(zhuǎn)變態(tài)，因此簡(jiǎn)單的模型就不能滿足節(jié)點(diǎn)具有自愈能力的現(xiàn)實(shí)需求，因而出現(xiàn)模型和模型。是研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的經(jīng)典的模型。采用與病毒傳播相似的過程中的，態(tài)代表傳播過程中的三種狀態(tài)。zanetee，moreno 先后研究了小世界傳播過程中的謠言傳播。moreno 等人將人群分為（傳播謠言）、（沒有聽到謠言），（對(duì)謠言不再相信也不傳播）。 假設(shè)沒有聽到謠言個(gè)體與個(gè)體接觸，以概率變?yōu)?/p>

3、個(gè)體，個(gè)體遇到個(gè)體或個(gè)體以概率變?yōu)椋鐖D 2.9 所示。建立的平均場(chǎng)方程： 與之前人得到的均勻網(wǎng)絡(luò)的病毒傳播的結(jié)論相反，謠言在均勻網(wǎng)絡(luò)中傳播沒有閾值。 moreno 等人將此模型推廣到冪率分布的網(wǎng)絡(luò)，考察了態(tài)的穩(wěn)定值和耗散時(shí)間，得出 r態(tài)穩(wěn)定值與感染概率有著緊密聯(lián)系，而與傳播源的度無關(guān)。這與一般意義下的病毒傳播的結(jié)論“傳播各狀態(tài)的密度與傳染源節(jié)點(diǎn)的度緊密相連”有很大不同。 sis 模型與 sis 模型的區(qū)別就在于節(jié)點(diǎn)成為傳播態(tài)之后的恢復(fù)的狀態(tài)不同。在 sir 模型中，傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)在傳播過程中會(huì)根據(jù)概率成為免疫狀態(tài)，而在 sis 模型中每一個(gè)傳播節(jié)點(diǎn)會(huì)以恒值成為 i 態(tài)，如圖 2.10。 從而得到

4、 sis 模型的微分方程： 化簡(jiǎn)得到： 從而得到其穩(wěn)態(tài)值為。若，那么指數(shù)下降區(qū)域零，意味著謠言不再擴(kuò)散。 在這之后，許多學(xué)者在這些經(jīng)典模型的基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)的模型。如周苗苗等人在經(jīng) 謠模型的基礎(chǔ)上研究了社會(huì)網(wǎng)絡(luò)上的謠言傳播并構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型，得出了最終集合 as 的期望值的相關(guān)結(jié)論。孫慶山等人在經(jīng)典和模型的基礎(chǔ)上，研究了社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的謠言傳播，首次將信息的吸引力作為傳播因素引入傳播模型中。vespignani 提出了網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)傳播模型，詳盡分析了單種群中的動(dòng)力學(xué)過程31。這些模型有的已經(jīng)擺脫了平均場(chǎng)方程的表達(dá)傳播過程方法，采用元胞自動(dòng)機(jī)以及隨機(jī)過程的方法表達(dá)，但是思想仍是采用 sir 這樣的傳播狀態(tài)

5、和規(guī)則。 國(guó)內(nèi)外關(guān)于建立網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型方面和網(wǎng)絡(luò)免疫策略方面的研究已取得了一些有益進(jìn)展。zanette d h率先在小世界網(wǎng)絡(luò)上建立謠言傳播模型。moreno y等人在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上建立了謠言傳播模型，通過隨機(jī)分析方法以及計(jì)算機(jī)仿真得出結(jié)論。文獻(xiàn)利用構(gòu)建改進(jìn)的 potts 自旋系統(tǒng)來量化謠言傳播因素并建立起基于 potts 謠言傳播模型。元胞自動(dòng)機(jī)作為研究傳播的方法之一也取得了較多成果。宣慧玉和張發(fā)利用元胞自動(dòng)機(jī)研究了謠言在個(gè)體之間流傳的的局部交互的過程。劉常昱等人利用元胞自動(dòng)機(jī)和 agent 設(shè)計(jì)個(gè)體的局部相互作用規(guī)則來研究了基于小世界模型構(gòu)建的人際關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中的輿論傳播。除此以外，人們發(fā)現(xiàn)謠

6、言傳播與網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)也有著密切的聯(lián)系，汪小帆團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)對(duì)傳播的影響并給出了相應(yīng)抑制謠言的策略。 針對(duì)各種謠言傳播模型的免疫干擾研究也是相對(duì)比較成熟。免疫策略可分為隨機(jī)免疫，熟人免疫和目標(biāo)免疫。隨機(jī)免疫方法就是完全隨機(jī)的選取網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫。但在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中使用隨機(jī)免疫策略的話，幾乎要對(duì)網(wǎng)絡(luò)中所有的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫才可能使謠言不得擴(kuò)散出去。相對(duì)隨機(jī)免疫的缺陷，目標(biāo)免疫通過去除網(wǎng)絡(luò)中少量度大的節(jié)點(diǎn)的連邊，切斷傳播的途徑來降低謠言的散步范圍就更有實(shí)際意義，。雖然目標(biāo)免疫的效果比較明顯，但是要是想目標(biāo)免疫能夠發(fā)揮威力就必須知道網(wǎng)絡(luò)的全局信息從而選擇目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，而在龐大且復(fù)雜的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中獲取

7、全局信息是難以做到的。熟人免疫策略巧妙的回避了這一點(diǎn)，它從 n 個(gè)節(jié)點(diǎn)中隨機(jī)選取一部分節(jié)點(diǎn)，在從每個(gè)一個(gè)被選出來的節(jié)點(diǎn)中隨機(jī)選取一個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫。但是熟人免疫也存在著局限性，比如隨機(jī)選取的節(jié)點(diǎn)可能會(huì)擁有部分共同好友，就會(huì)導(dǎo)致免疫的重復(fù)和浪費(fèi)，因此，免疫策略的進(jìn)一步研究離不開對(duì)網(wǎng)絡(luò)深層次拓?fù)涮卣鞯奶剿?。近年來網(wǎng)絡(luò)中重要節(jié)點(diǎn)排序和衡量取得很大的突破，如基于 pagerank 的重要節(jié)點(diǎn)算法以及 k-核算法的提出為網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的進(jìn)一步研究打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 雖然 sir 傳播模型在許多網(wǎng)絡(luò)中得到了擴(kuò)展和研究，也是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)，然而卻不能準(zhǔn)確的表達(dá)當(dāng)前在線社交網(wǎng)絡(luò)的傳播現(xiàn)實(shí)，如謠言傳播過程中的從

8、眾性、傳播意愿的累積性等，因此根據(jù)傳播關(guān)鍵因素建立合理的傳播模型是當(dāng)前研究的重點(diǎn)。第四章 基于 sir 改進(jìn)的 shkr 謠言傳播模型4.1 問題描述與建模4.1.1 問題描述 在 sns 中，當(dāng)一個(gè)好友發(fā)布了某消息，好友往往就會(huì)以一定的概率將此消息傳播出去。若該好友對(duì)其內(nèi)容不具有傳播意愿則成為知道謠言但不會(huì)傳播的人；若該好友對(duì)這則內(nèi)容相信或感興趣則會(huì)分享，那么此好友就成為傳播者；有部分好友，一開始不相信，后來在周圍好友多次的傳播分享下，意愿受到強(qiáng)化而成為傳播者也是很常見的。 考慮到以上的傳播規(guī)則，本文對(duì)傳統(tǒng)的謠言傳播模型將人群分為傳播，免疫和未感染三類進(jìn)行了改進(jìn)。我們把網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)分為傳播節(jié)

9、點(diǎn) s，健康節(jié)點(diǎn) h，知道謠言但不傳播的節(jié)點(diǎn) k，免疫節(jié)點(diǎn) r 四種狀態(tài)。 傳播節(jié)點(diǎn)表示該節(jié)點(diǎn)接受信息并具有傳播能力的節(jié)點(diǎn)。健康節(jié)點(diǎn)表示沒有接觸到謠言的節(jié)點(diǎn)，對(duì)謠言處于未知狀態(tài)。知道信息但不傳播的節(jié)點(diǎn)表示知道了謠言但對(duì)謠言沒有傳播的人。免疫節(jié)點(diǎn)表示永遠(yuǎn)不會(huì)傳播謠言的人。可見，謠言在傳播過程中，不僅與節(jié)點(diǎn)自身的狀態(tài)有關(guān)，也與節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)相關(guān)。傳播的規(guī)則如下，如圖 4.1 所示：（1）當(dāng)謠言傳播節(jié)點(diǎn)與健康節(jié)點(diǎn)接觸時(shí)，健康節(jié)點(diǎn)以概率變?yōu)閭鞑ス?jié)點(diǎn) s，以概率變?yōu)榻邮苤{言但不傳播的節(jié)點(diǎn) k，以概率成為免疫者 r；（2）當(dāng)謠言傳播節(jié)點(diǎn)與知道謠言但不傳播的節(jié)點(diǎn)接觸，作傳播節(jié)點(diǎn)則以概率變?yōu)閭鞑ス?jié)點(diǎn)。3

10、）傳播節(jié)點(diǎn)不會(huì)一直傳播謠言，會(huì)以速度v轉(zhuǎn)化為免疫者，v就為遺忘率。 在第二章提到，sir 傳播模型雖然應(yīng)用的比較廣研究也較多但是對(duì)于當(dāng)前在線社交網(wǎng)絡(luò)的中的傳播現(xiàn)實(shí)卻不能準(zhǔn)確的表達(dá)，如謠言傳播過程中的從眾性、傳播意愿的累積性等。此外，謠言傳播與病毒傳播明顯的區(qū)別就在于其多次傳播對(duì)節(jié)點(diǎn)的影響，這點(diǎn)在 mit 斯隆管理學(xué)院的博士的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也得到了體現(xiàn)。斯隆管理學(xué)院的博士等在兩個(gè)不同網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)志愿者分別以郵件的方式邀請(qǐng)好友注冊(cè)論壇，如果好友完成了注冊(cè)即會(huì)以郵件的方式向他（她）的好友繼續(xù)發(fā)郵件邀請(qǐng)他們注冊(cè)論壇。在這次實(shí)驗(yàn)中，網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)用戶往往會(huì)被其周圍的好友多次邀請(qǐng)而強(qiáng)化了其注冊(cè)的意愿?？梢娫谥{言傳

11、播過程中，本來不傳播的節(jié)點(diǎn)受到社會(huì)強(qiáng)化作用變?yōu)閭鞑フ?，所以本文提出了一個(gè)新的狀態(tài)，即知道謠言不傳播的狀態(tài)且在一定的概率作用下會(huì)改變?yōu)閭鞑ス?jié)點(diǎn)。那么在這樣的傳播機(jī)制下，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都會(huì)對(duì)謠言的傳播及相信與否做出自己的選擇，這更貼近現(xiàn)實(shí)的真實(shí)情況，因?yàn)椴⒉皇敲總€(gè)人聽到謠言都會(huì)傳播。則基于以上定義：（1）分別定義 h(t)，s(t)，k(t)，r(t)為健康者，傳播者，知道謠言但不傳播者和免疫者的比重。顯然 h(t)+ s(t)+k(t)+ r(t)=1。（2）在消息傳播過程中，不考慮人數(shù)的遷入遷出及出生和死亡，即總?cè)藬?shù)不隨時(shí)間的改變而改變。（3）假設(shè)總?cè)藬?shù)為 n。4.1.2 數(shù)學(xué)建模（1）健康者 h考

12、察到時(shí)間按內(nèi)各人數(shù)的變化情況：這段時(shí)間內(nèi)，健康者的人數(shù)增加了，而每個(gè)傳播者可以讓由健康者變?yōu)槠渌麪顟B(tài)的節(jié)點(diǎn)，則可列出滿足條件的方程： 兩邊同除，則得到微分方程： （2）免疫者 r 這段時(shí)間內(nèi)，免疫者增加的人數(shù)，每個(gè)傳播者可以讓成為免疫者，則可得到微分方程： （3）傳播者 s 這段時(shí)間內(nèi)，傳播者增加的人數(shù)為，健康者變?yōu)閭鞑フ叩娜藬?shù)為)，傳播者變?yōu)槊庖哒叩娜藬?shù)為，知道謠言并不傳播者變?yōu)閭鞑フ叩娜藬?shù)為 ，則可得到微分方程為：( ) ö（4）知道但不傳播謠言者 k 這段時(shí)間內(nèi)，增加的人數(shù)為，而健康者變?yōu)橹赖粋鞑フ叩娜藬?shù)為， 而 知 道 謠 言 但 不 傳 播 者 在 這 段 時(shí) 間 內(nèi) 變 為 傳 播 者 的 人 數(shù) 是，則得到微分方程為： ç聯(lián)立可得為微分方程組： 考慮到傳播節(jié)點(diǎn)和未感染節(jié)點(diǎn)之間不可能始終是均勻分布。因?yàn)榭紤]到網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)，將上述轉(zhuǎn)化為如下形式， 節(jié)點(diǎn)之間的連接概率不可忽視，因此即引入