概率論何書元編著答案習題五解答

1、,)(1knkknqpCkXP , 2 , 1 , 0 kXESsg )( 01kknkknkqpCs 0)1(1)(kkkknknnsqCp 011)(kknnknsqCpnnsqp)1( X1.1.設(shè)設(shè)服從負二項分布服從負二項分布解解 X求求的母函數(shù)。的母函數(shù)。習題五解答習題五解答4)1()(2ssg 2412141)(sssg 412141210pX)(1111)(asasasg 0)(1kkasakkksa 0112.2.求下列母函數(shù)的分布列（展成冪級數(shù)）求下列母函數(shù)的分布列（展成冪級數(shù)）解解 所以分布列所以分布列sasg 1)(（2 2）解解 （1 1）,1)(1 kakXP, 2

2、, 1 , 0 kseesg 1)( 0!1kkkse,!)(1kekXP , 2 , 1 , 0 k所以分布列所以分布列 1)( sesg（3 3）解解 所以分布列所以分布列X),(sg,babaXY baXYYEsEssg )(XabsEs)( )(absgs 3.3.設(shè)取非負整數(shù)的隨機變量設(shè)取非負整數(shù)的隨機變量有母函數(shù)有母函數(shù)對非負對非負求求的母函數(shù)。的母函數(shù)。X),(sg4.4.設(shè)取非負整數(shù)值的隨機變量設(shè)取非負整數(shù)值的隨機變量有母函數(shù)有母函數(shù))(sg用用表達以下函數(shù)。表達以下函數(shù)。解解 因為因為 整數(shù)整數(shù)解解kkskXPsh)()(01 （1 1）kkskXPsh)()(01 101)

3、()( kkskXPsshkkskXPshs)()()1(01 )(sg ssgsh 1)()(1所以兩式相減所以兩式相減 1 , 0,)2()(02 sskXPshkk )( sgkkskXP)(0 mmsmXP20)(2( 121)(12( mmsmXP )(sgkkskXP)(0 mmsmXP20)(2( 121)(12( mmsmXP（2 2）解解 因為因為 )(2)()(2shsgsg 2)()()(2sgsgsh , 4 , 3 , 2 , 1 i4321XXXXY 兩式相加兩式相加 jj5.5.擲擲4 4個均勻的正個均勻的正1212面體，設(shè)第面體，設(shè)第面的點數(shù)是面的點數(shù)是求點數(shù)和

4、為求點數(shù)和為1515，1616，1717的概率。的概率。則則1X而而的母函數(shù)的母函數(shù) 顆的點數(shù)顆的點數(shù) :iXi解解 設(shè)設(shè)1)(1XEssg 1211)(jjsjXPsss 1)1(12112)(12112ss 41)()(sgsg 441244)1()1(121sss Y所以所以的母函數(shù)的母函數(shù) kkksCsssss 0334836241244)4641(12171615,sss33114121)15( CYP431412C 4121)16(3333124CCYP 41213154 C4121)17(3433134CCYP 4121343164CC 分別求出分別求出的系數(shù)得的系數(shù)得nk6.6

5、.甲乙兩人各擲均勻的硬幣甲乙兩人各擲均勻的硬幣甲擲得的正面次數(shù)大于乙擲得的正面次數(shù)甲擲得的正面次數(shù)大于乙擲得的正面次數(shù) 次的概率。次的概率。次，利用母函數(shù)求次，利用母函數(shù)求，次次正正面面第第次次反反面面第第 i1i0iXni, 2 , 1 iXiEssg )()(2110ss )1(21s 解解 甲擲硬幣并甲擲硬幣并設(shè)設(shè)iX則則的概率母函數(shù)的概率母函數(shù) ,1nXXX Xn設(shè)設(shè)表示表示次中甲正面出現(xiàn)的次數(shù)，次中甲正面出現(xiàn)的次數(shù)，X則則的概率母函數(shù)的概率母函數(shù)nsgsg)()(1 nns)1(21 YXZ YnX同理設(shè)同理設(shè)表示表示次中乙正面出現(xiàn)的次數(shù)，與次中乙正面出現(xiàn)的次數(shù)，與服從相同分布并有相

6、同母函數(shù)服從相同分布并有相同母函數(shù),再令再令其母函數(shù)其母函數(shù)YXYXZZEsEsEsEssg )(YXsEEs)(1 nns)1(21nns)11(21 nnnss22)1(21 jnjjnnnsCs 202221 )()(kYXPkZPknnCn 221ks所以所以的系數(shù)為概率的系數(shù)為概率 jAj7.7.獨立重復試驗中，用獨立重復試驗中，用表示第表示第次試驗成功，次試驗成功，nnAA1 nj jjAA1 表示表示發(fā)生，但是對發(fā)生，但是對沒有沒有發(fā)生）發(fā)生）XnX 表示首次成功后即接失敗的試驗次數(shù)（表示首次成功后即接失敗的試驗次數(shù)（用用XVarXEX、的母函數(shù)、的母函數(shù)、求求 )2(XPpq

7、)3(XP ppqqpq )4(XP pppq qppqqqpq解解 . )(sg 21nnnqsp 322nnnsqp 433nnnsqp sppspq122 sppspq13322 sppspq14433spsqqspqs 1)1(222sqsppqs 1112221pqsspqs )1(gEX 12222)1()21()1(2 spqsspqspqspqsspqs1222)1(2 spqsspqspqspqqppq122 )1(g 2)()21(2pqpq 2)1()1()1(gggVarX 22qppq itXEet )( dxexnexnnitx 01)( dxexnxitnn 0)

8、(1)( ),( n nitt )1()( 8.8.驗證驗證的特征函數(shù)的特征函數(shù)證明證明 yitx 1xity)( 令令)(t dyiteitynynnn 0111)()( )()(nitnnn nit )1( ,111)(2yygY ,)(tYet 9.9.設(shè)設(shè)其特征函數(shù)其特征函數(shù)求求的特征函數(shù)。的特征函數(shù)。,)(1)(22 xxfXX又又, X解解 考察隨機變量考察隨機變量 XY不難得到不難得到與與同分布，所以同分布，所以itXXEet )( )()(YitityiteEeeE titee tite itZZEet )( itXEe2 te2 2te X0, 1 10.設(shè)設(shè)服從服從的柯西分

9、布，對的柯西分布，對,XY YXZ ),()()(tttYXZ 證明證明的特征函數(shù)的特征函數(shù)YX,獨立嗎？獨立嗎？XY 解解 因為因為YX,，顯然，顯然不獨立不獨立,不能用性質(zhì)不能用性質(zhì))()(ttYX ,2XZ 所以所以但但nXXX,21nXXXY 211X1X),( 11. 設(shè)設(shè)獨立同分布，求獨立同分布，求（1）當）當（2）當）當服從服從1X解解 （1）當）當服從柯西分布時，由第九題其服從柯西分布時，由第九題其的分布。的分布。服從柯西分布服從柯西分布分布分布,)(1titet Y則則的特征函數(shù)的特征函數(shù) 特征函數(shù)特征函數(shù)tnnett int1)()(ntt)()(1 nit )1(Y),(

10、 nn所以所以服從參數(shù)為服從參數(shù)為的柯西分布。的柯西分布。1X),( 服從服從分布時，由習題分布時，由習題5.15.1其其（2 2）當）當,)1()(1 ittY則則的特征函數(shù)的特征函數(shù)特征函數(shù)特征函數(shù)Y),( n 所以所以服從參數(shù)為服從參數(shù)為的柯西分布。的柯西分布。ttcos)( itxEet )( sincostXitXE tcos ppPX 111sincos)(tXitXEt ptit)sin(cos )1)(sin(cosptit 12.12.已知如下特征函數(shù)，求概率分布已知如下特征函數(shù)，求概率分布解解 觀察觀察 X, 1 的取值為的取值為并設(shè)并設(shè)則則（1 1）tpitsin)12(

11、cos tcos 21 p212111PX 即分布列為即分布列為 itxEet )( sincostXitXE t2cos t 2cos2121 tt2cos)( （2 2）解解 21211022ppppPX sincos)(tXitXEt 1)2sin2(cosptit 2)2sin2(cosptit )1(21pp tppitpp2sin)(2cos)(2121)1(21pp t 2cos2121 觀察觀察 X, 2, 0 的取值為的取值為并設(shè)并設(shè)則則,2121 pp, 021 pp21121 pp,4121 pp214141022PX 所以所以 即即 分布列分布列為為nXn )0( n

12、13. 13. 設(shè)設(shè)服從參數(shù)為服從參數(shù)為的泊松分布的泊松分布)1 , 0(NnnXdn nn （1 1）當）當時，證明時，證明,nnnnXY nn lim（2 2）定義）定義當當時，證明對時，證明對有有一切實數(shù)一切實數(shù)x)()(limxxYPnn )1 , 0(NnnXdn 解（解（1 1）要證）要證，只需證，只需證 nnXn )(tn )1 , 0(N的特征函數(shù)的特征函數(shù)收斂到收斂到22te 的特征函數(shù)的特征函數(shù)即可。即可。因為因為nX的特征函數(shù)的特征函數(shù) )1()( itnenet 而而 nnXn 的特征函數(shù)的特征函數(shù) )(tn nnXitnEe nite nXntiEe)( nite )

13、( ntn nite )1( ntinee nite )1()(!212nonitntine nn nite )1(212otnite )1(212ote 221te )1 , 0(NnnXdn （2 2）與（）與（1 1）完全類似的證明。）完全類似的證明。)(t 2)(t itZZEet )( )(YXitEe YtiitXEeEe)( )()(tt 2)(t 14.14.設(shè)設(shè)是特征函數(shù)，證明是特征函數(shù)，證明也是特征函數(shù)。也是特征函數(shù)。,YXZ 令令Z則則的特征函數(shù)的特征函數(shù)2)(t Z所以所以是是的特征函數(shù)。的特征函數(shù)。YX,)(t 獨立同分布，特征函數(shù)為獨立同分布，特征函數(shù)為證明證明 取

14、取)(2n 2)21(nit 15.15.驗證驗證分布的特征函數(shù)是分布的特征函數(shù)是),(2nZ ,221nXXZ )1 , 0(,1NXXn證明證明 設(shè)設(shè)則則其中其中且獨立且獨立,21)()0(221 xxIexxf 21X),1(221 X特別的特別的其密度為其密度為所以所以的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為dxexetxitx2210121)( dxexxit2)21(21021 令令 dyitdxity212,221 dyeyity 21021)21(11 )21()21(1121 it 21)21( itZ21)21()()(nnittt 所以所以的特征函數(shù)的特征函數(shù) ),( NX)()()(2

15、1nXXT ), 0()(1INXB 16 .16 .設(shè)設(shè)正定，則正定，則 ,B,TBB 證明證明 因為因為正定，則存在可逆方陣正定，則存在可逆方陣使使 BX 則令則令，且，且 )()(1 XXT)()()(1 XBBXTT)()()(11 XBBXTT)()()(11 XBBXTT T )(2n )()()(2rXAXT AINX),( 17.17.設(shè)設(shè)是秩為是秩為r的對稱冪等矩陣，的對稱冪等矩陣，,2AAAT 證明證明, 0)(2 IAAAAA 0001rTIAPPAPPTrPIPA 000)()( XAXT)(000)( XPIPXTrT證明證明 因為因為所以所以,P的特征根只有的特征根

16、只有0 0和和1 1，所以存在正交矩陣，所以存在正交矩陣)(000)( XPIXPTrTT 000rTI0)( XPEETIIPPT ), 0(IN )(0002rIrT )( XPT其中其中的期望和協(xié)方差陣分別為的期望和協(xié)方差陣分別為),(),(222121 NYXYX YX 18.18.設(shè)設(shè)求求與與獨立的充要條件。獨立的充要條件。YX YX 解解 若若與與獨立，則獨立，則YYXYXYXXYXYXCov ),(0YYXX ,YYXX ),(0YXYXCov YX 反之若反之若顯然顯然又又與與 YX 均服從正態(tài)，所以獨立。均服從正態(tài)，所以獨立。YX YX YYXX 即即與與獨立的充要條件是獨立

17、的充要條件是),().,( NZYXT,212143238,753 YX 19.19.設(shè)設(shè)其中其中求求的概率密度。的概率密度。解解 YX 仍服從正態(tài)，且仍服從正態(tài)，且 853)( EYEXYXE又又 ,)0 , 1 , 1( ZYXYX 3711011212143238)0 , 1 , 1(18)( YXVar)18, 8( NYX kX，其其它它 010)1(6)(xxxxf20.20.設(shè)設(shè)獨立同分布，有共同密度獨立同分布，有共同密度計算幾乎處處極限計算幾乎處處極限 nkknXn11lim解解 由強大數(shù)定律由強大數(shù)定律 ,.,1lim1saXnnkkn 而而21)1(6)(1021 dxxx

18、dxxxfEX 所以所以 ,.,211lim1saXnnkkn nk,kp21.21.設(shè)全世界有設(shè)全世界有個家庭，每個家庭有個家庭，每個家庭有概率都是概率都是個小孩的個小孩的kp, 10 ckkp設(shè)設(shè)滿足滿足小孩數(shù)是相互獨立的，計算一個小孩數(shù)是相互獨立的，計算一個小孩來自小孩來自 如果各個家庭的如果各個家庭的k個小孩個小孩 家庭的概率。家庭的概率。 iXinXX,1解解 設(shè)設(shè)第第個家庭的小孩個數(shù)，則個家庭的小孩個數(shù)，則獨立同分布獨立同分布nnXXS 1iiiYkXIY),( 再令再令（表示全世界的小孩個數(shù)），（表示全世界的小孩個數(shù)），獨立同分布，則獨立同分布，則nnYYT 1（全世界有（全世界

19、有k個小孩的家庭個數(shù)）個小孩的家庭個數(shù)） nkT全世界有全世界有k個小孩的個小孩的家庭個小孩總數(shù)家庭個小孩總數(shù) 所求的概率為所求的概率為nnSkT的極限的極限, ,由強大數(shù)定律由強大數(shù)定律 當當n充分大時充分大時nnSkT ckkknnkpkpEXkEYnSnkT011cbXaXYkkk 1kX,1EX 22.22.設(shè)設(shè)是獨立同分布的隨機變量序列，是獨立同分布的隨機變量序列，ba,對非負常數(shù)對非負常數(shù)定義定義, 2 , 1 k寫出關(guān)于寫出關(guān)于kY的弱大數(shù)定律和強大數(shù)定律。的弱大數(shù)定律和強大數(shù)定律。解解 ,)(cbaEYk 則則弱大數(shù)定律：弱大數(shù)定律： 11kkYncba )(依概率收斂到依概率

20、收斂到強大數(shù)定律：強大數(shù)定律： 11kkYncba )(幾乎處處收斂到幾乎處處收斂到23.23.一位職工每一天乘公交車上班，如果每天上班一位職工每一天乘公交車上班，如果每天上班 的等車時間服從均值為的等車時間服從均值為5 5分鐘的指數(shù)分布，求他在分鐘的指數(shù)分布，求他在 300300個工作日中用于上班的等車時間之和大于個工作日中用于上班的等車時間之和大于2424小小時的概率。時的概率。 iXi)51( iX解解 令令第第 個工作日的等車時間，則個工作日的等車時間，則,3001XXX 則則 15003005 EX750030025 VarX所以所以 )1 , 0(75001500NX )350150014403501500()6024( XPXP)69. 0(1 755. 027580. 07517. 0)69. 0( 24.24.某人在計算機上平均每天上網(wǎng)某人在計算機上平均每天上網(wǎng)5 5小時，標準差小時，標準差 是是4 4小時，求此人一年內(nèi)上網(wǎng)的時間小于小時，求此人一年內(nèi)上網(wǎng)的時間小于17001700小時小時的概率。的概率。 iXi,3651XXX 解解 令令第第天上網(wǎng)時間，天上網(wǎng)時間，