江蘇省泰州市2015屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷(二模)

1、20142015學(xué)年度泰州市第二次模擬考試高三數(shù)學(xué)試題(考試時(shí)間：120分鐘 總分：160分)命題人：朱占奎 張圣官 張 俊 龔才權(quán) 丁連根 審題人：丁鳳桂 石志群注意事項(xiàng)：所有試題的答案均填寫在答題紙上，答案寫在試卷上的無效（參考公式：柱體體積公式為）一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分請將答案填入答題紙?zhí)羁疹}的相應(yīng)答題線上）1.若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)= 2.已知集合，若，則 3.某高中共有人，其中高一、高二、高三年級的人數(shù)依次成等差數(shù)列現(xiàn)用分層抽樣While <10 三角形izhiqunEnd WhilePrint 第5題圖的方法從中抽取人，那么高二年級

2、被抽取的人數(shù)為 4.已知雙曲線的漸近線方程為，則 5.執(zhí)行右邊的偽代碼后，輸出的結(jié)果是 6.若圓柱的側(cè)面積和體積的值都是，則該圓柱的高為 7.小明通過做游戲的方式來確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓中投擲一點(diǎn)，若此 點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則周末打籃球；否則就在家看書那么小明周末在家看書的概率是 8.在等比數(shù)列中，已知，則 9.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值集合為 10.已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是 11.設(shè)函數(shù)和的圖象在軸左、右兩側(cè)靠近 軸的交點(diǎn)分別為、，已知為原點(diǎn)，則 12.若斜率互為相反數(shù)且相交于點(diǎn)的兩條直線被圓：所截得的弦長之比為，則這兩條直線的

3、斜率之積為 13. 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 14. 在中，為邊上一點(diǎn)，若的外心恰在線段上，則 二、解答題：（本大題共6小題，共90分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 15.（本題滿分14分）已知向量，（1）若，求角的大??；（2）若，求的值16.（本題滿分14分）如圖，矩形所在平面與直角三角形所在平面互相垂直，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)（1）求證： 平面； （2）求證：平面平面17.（本題滿分14分）如圖，某市有一條東西走向的公路，現(xiàn)欲經(jīng)過公路上的處鋪設(shè)一條南北走向的公路在施工過程中發(fā)現(xiàn)在處的正北百米的處有一漢代古跡為了保護(hù)古跡，該市決定以為圓心，百米為半徑設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)為了

4、連通公路、，欲再新建一條公路，點(diǎn)、分別在公路、上，且要求與圓相切（1）當(dāng)距處百米時(shí)，求的長；（2）當(dāng)公路長最短時(shí)，求的長 18.（本題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左頂點(diǎn)為，與軸平行的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，過、兩點(diǎn)且分別與直線、垂直的直線相交于點(diǎn)已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為 （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）證明點(diǎn)在一條定直線上運(yùn)動(dòng)，并求出該直線的方程；（3）求面積的最大值19.（本題滿分16分）已知，都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列，且滿足，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和， 是公差為的等差數(shù)列（1）若數(shù)列是常數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若（是不為零的常數(shù)），求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）

5、若（為常數(shù)，），求證：對任意的，數(shù)列單調(diào)遞減20.（本題滿分16分）己知，其中常數(shù) （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：； （3）求證：20142015學(xué)年度泰州市第二次模擬考試高三數(shù)學(xué)試題(附加題)21.（選做題請考生在A、B、C、D四小題中任選兩題作答，如果多做，則按所做的前兩題記分A（本小題滿分10分，幾何證明選講）如圖，是圓的切線，切點(diǎn)為，是過圓心的割線且交圓于點(diǎn)，過作的切線交于點(diǎn)求證：（1）；（2）B（本小題滿分10分，矩陣與變換）已知矩陣，矩陣，直線經(jīng)矩陣 所對應(yīng)的變換得到直線，直線又經(jīng)矩陣所對應(yīng)的變換得到直線（1）求的值；（2）求直線的方程C（本小題滿分10分

6、，坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講）已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合若直線l的極坐標(biāo)方程為（1）把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）已知為橢圓上一點(diǎn)，求到直線的距離的最小值D（本小題滿分10分，不等式選講）已知不等式對于滿足條件的任意實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍必做題第22題，第23題，每題10分，共計(jì)20分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22.(本小題滿分10分)某班組織的數(shù)學(xué)文化節(jié)活動(dòng)中，通過抽獎(jiǎng)產(chǎn)生了名幸運(yùn)之星這名幸運(yùn)之星可獲得、兩種獎(jiǎng)品中的一種，并規(guī)定：每個(gè)人通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己最終獲得哪一種獎(jiǎng)品，拋擲點(diǎn)數(shù)小于的獲得獎(jiǎng)品，拋擲點(diǎn)數(shù)不小于的

7、獲得獎(jiǎng)品（1）求這名幸運(yùn)之星中獲得獎(jiǎng)品的人數(shù)大于獲得獎(jiǎng)品的人數(shù)的概率；（2）設(shè)、分別為獲得、兩種獎(jiǎng)品的人數(shù)，并記，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望23.(本小題滿分10分) 已知（），是關(guān)于的次多項(xiàng)式；（1）若恒成立，求和的值；并寫出一個(gè)滿足條件的的表達(dá)式，無需證明（2）求證：對于任意給定的正整數(shù)，都存在與無關(guān)的常數(shù)，使得20142015學(xué)年度泰州市第二次模擬考試高三數(shù)學(xué)參考答案一、填空題1 ； 2； 3； 4； 5； 6； 7； 8； 9； 10； 11； 12或 ； 13 ； 14. 二、解答題15. 解：(1) 因?yàn)?，所以，即，所以?又，所以 分 (2)因?yàn)?，所以，化簡得，又，則，所以，則

8、， 10分又，所以14分16. 證：（1）取中點(diǎn)，連接，又是中點(diǎn)，則，又是矩形邊中點(diǎn)，所以，則四邊形是平行四邊形，所以，又面，面，所以平面分（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平?14分 17. 解：以為原點(diǎn)，直線、分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系 設(shè)與圓相切于點(diǎn)，連結(jié)，以百米為單位長度，則圓的方程為，(1)由題意可設(shè)直線的方程為，即， ，與圓相切，解得 ，故當(dāng)距處百米時(shí)，的長為百米 5分（2）設(shè)直線的方程為，即 ，與圓相切，化簡得，則，8分令， ，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，在時(shí)取得最小值，故當(dāng)公路長最短時(shí)，的長為百米答：（1)當(dāng)距處百米時(shí)

9、， 的長為百米；（2）當(dāng)公路長最短時(shí)， 的長為百米 14分18. 解：（1）由題意得，解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4分（2）設(shè)，顯然直線的斜率都存在，設(shè)為，則，所以直線的方程為：，消去得，化簡得，故點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng) 10分（3）由（2）得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，又，所以，則，所以點(diǎn)到直線的距離 為， 將代入得，所以面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故時(shí)，面積的最大值為 16分19解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列，所以，則由及得，當(dāng)時(shí)，兩式相減得， 當(dāng)時(shí)，也滿足，故 4分（2）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，兩式相減得，即，即，又，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，兩式相減得，所以數(shù)列從第二項(xiàng)起是公差為等差數(shù)列；又當(dāng)時(shí)，

10、由得，當(dāng)時(shí)，由得，故數(shù)列是公差為等差數(shù)列 15分（3）由（2）得當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)椋?，即，所以，即，所以，?dāng)時(shí)，兩式相減得 ，即，故從第二項(xiàng)起數(shù)列是等比數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，另外由已知條件得，又，所以，因而，令，則，因?yàn)椋?，所以對任意的，?shù)列單調(diào)遞減 16分20. 解：函數(shù)的定義域?yàn)?，?）當(dāng)時(shí)， 而在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，所以有極小值，沒有極大值 3分（2）先證明：當(dāng)恒成立時(shí)，有 成立若，則顯然成立；若，由得，令，則，令，由得在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋栽谏蠟樨?fù)，在上為正，因此在上遞減，在上遞增，所以，從而因而函數(shù)若有兩個(gè)零點(diǎn)，則，所以，由得，則，所以在上單

11、調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，則，所以，由得，則，所以，綜上得 10分（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，即，因而，所以，即 16分附加題參考答案21.A證：（1）是圓的切線，連結(jié)，則， 是圓的切線，又，則，而， 5分（2）將代入得，故10分21.B. 解：（1）設(shè)是上的任意一點(diǎn)，其在BA作用下對應(yīng)的點(diǎn)為，得變換到的變換公式，則即為直線，則得 5分（2），同理可得的方程為，即10分21.C. 解：（1）直線的極坐標(biāo)方程，則， 即，所以直線的直角坐標(biāo)方程為；5分（2）為橢圓上一點(diǎn)，設(shè)，其中，則到直線的距離，其中， 當(dāng)時(shí)，的最小值為 10分21.D. 解： 因?yàn)?，所以?5分又對任意實(shí)數(shù)恒成立, 故，解得 10分22. 解：這名幸運(yùn)之星中，每人獲得獎(jiǎng)品的概率為，獎(jiǎng)品的概率為（1）要獲得獎(jiǎng)品的人數(shù)大于獲得獎(jiǎng)品的人數(shù)，則獎(jiǎng)品的人數(shù)可能為，則 則所求概率為 4分（2）的可能取值為，且， ， 8分所以的分布列是：故隨機(jī)變量的