大學物理振動學基礎2

1、)sin(tAdtdxv)cos(222tAdtxda)cos(tAx位置、速度和加速度隨時間的變化AvmAam2簡諧振動：相對與平衡位置的位移是時間簡諧振動：相對與平衡位置的位移是時間的正弦或余弦函數(shù)這樣的振動就是簡諧振動的正弦或余弦函數(shù)這樣的振動就是簡諧振動T1T2稱為稱為角頻率角頻率（或圓頻率）（或圓頻率）頻率：單位時間內振動的次數(shù)kmT2mk21mk例如彈簧振子例如彈簧振子系統(tǒng)內在性質所決定的周期（頻率系統(tǒng)內在性質所決定的周期（頻率）, ,稱為稱為固有周期固有周期( (頻率頻率) )kmoxX2t相位 初相位初相位(初相初相)決定決定初始時刻物體運動狀態(tài)初始時刻物體運動狀態(tài))sin(t

2、Av)cos(tAx)cos(2tAa相位是決定振動物體相位是決定振動物體運動狀態(tài)運動狀態(tài)的物理量的物理量已知的情況下在,A00, 0vvxxtcos0Ax sin0Av2020)(vxA00 xvtg)sin(tAv)cos(tAxmk2三個參量的計算 由初始條件求振幅和初相由初始條件求振幅和初相 解解: (1)cos(tAx22020vxA例例 1 一彈簧振子沿一彈簧振子沿X軸作簡諧振軸作簡諧振, 已知已知物體質量為物體質量為m=0.1kg. 在在t=0時物體對平時物體對平衡衡 位置的位移位置的位移X0=0.05m,速度為速度為v0= - 0.628m/s .mNk/8 .15求求: (1

3、) 振動方程振動方程 (2) 從初始位置到平衡從初始位置到平衡 位置所需最位置所需最短時間短時間14)/(57.121 . 08 .15ssradmkm22221007. 7)57.12()628. 0(05. 0cos0Ax sin0Av00 xvtgsmAv/628. 0sin0mtx)44cos(1007. 724或或0sin 445105. 057.12628. 0振幅已知，知道位振幅已知，知道位置和速度方向，就置和速度方向，就知道了相位知道了相位cos0Ax sin0AvX X0 0=0.05m,=0.05m,v v0 0= - 0.628m/s= - 0.628m/s時刻：設第一次

4、到平衡位置為t)44cos(02tAxst1610)44sin(2tAv244t 0.0707O0.050.0707x/mmtx)44cos(1007. 72例例2 已知某質點作簡諧運動，振動曲線如圖，試根據(jù)圖中已知某質點作簡諧運動，振動曲線如圖，試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)寫出振動表達式。數(shù)據(jù)寫出振動表達式。 解：解：)cos(tAxxt02-22(m)(s)1當當t = 0時有：時有：0sin22cos200 vx4t = 1s時有時有: x=0, v00；3 0.24cos()3xtm所以振動方程為所以振動方程為: :o oA AP Px x t=0)(1t)(2t 32 23 x2): 畫出兩狀態(tài)對

5、應的旋轉矢量畫出兩狀態(tài)對應的旋轉矢量轉過的角度轉過的角度65st833. 065)3cos(24. 012. 01t21)3cos(1t3231t解析法解析法:時刻1tt時刻時刻0)3cos(2tv 02332tssttt83. 06512)(1t)(2t 32 23 x0)3sin(-1tA如何判定一個振動是不是簡諧振動？mk)cos(tAx 第2節(jié)：簡諧振動的動力學三個黃背底的式子可以互相推得，滿足這三個關系就三個黃背底的式子可以互相推得，滿足這三個關系就是簡諧振動是簡諧振動xa2makxF)cos(tAxmk稱為諧振動的動稱為諧振動的動力學微分方程力學微分方程0222xdtxd并求其周期

6、。諧振動這一結論常用來判斷簡的平方根系數(shù)而且其角頻率就是諧振動的形式變化就一定是簡足上述微分方程，它的只要它隨時間的變化滿是什么量不管,xx在力學的范疇內，上式依據(jù)牛頓定律、在力學的范疇內，上式依據(jù)牛頓定律、轉動定理得到該方程轉動定理得到該方程0222xdtxd 續(xù)： 簡諧振動的動力學方程 單擺的振動mgtFsinmgl222dtdml022lgdtd在角位移很小的時候，上式子可寫為：在角位移很小的時候，上式子可寫為：lgglT222ml0222xdtxd復擺的振動sinmghCOmghOC 022ImghdtdImgh2角度很小時當22dtdImghIT2可見可見, ,振動的角頻率、周期完全

7、振動的角頻率、周期完全由振動系統(tǒng)本身來決定。由振動系統(tǒng)本身來決定。 glT20222xdtxdI為為m繞繞O點轉動的轉動慣量。點轉動的轉動慣量。Iox設平衡時侵入液體中的體積為設平衡時侵入液體中的體積為V,以平衡以平衡時比重計下端為原點建立如圖所示坐標時比重計下端為原點建立如圖所示坐標Vgmg是簡諧振動。動推后，在豎直方向的運，證明比重計經(jīng)下直徑為的液體中，比重計圓管為的比重計放在密度質量為dm例例1ox浮力浮力：xgdVgF22重力：重力：mgxgdF22合mFa/合xgmddtxd4222gmd422坐標為坐標為x時的浮力：時的浮力：0222xdtxd例例2 設想地球內有一光滑隧道，如圖所

8、示。證明質點設想地球內有一光滑隧道，如圖所示。證明質點m在在此隧道此隧道 內的運動為簡諧振動，并求其振動周期。地球質內的運動為簡諧振動，并求其振動周期。地球質量量Me和半徑已知和半徑已知ReMRrrGmF332建立建立oy坐標系：坐標系：解解:rRGmMe3OsinFFysin3rRGmMe0221rqkqF 1q2q0322 yRGMdtyde滿足簡諧振動微分方程，故為簡滿足簡諧振動微分方程，故為簡諧振動。其周期為諧振動。其周期為min3 .84223 eGMRT sinFFyyRGmMdtydme322 sin3rRGmMeyRGmMe30O0222xdtxd0Omin3 .84223 e

9、GMRT 簡諧振動的能量彈簧振子的動能彈簧振子的動能221mvEk)(sin2122tkA)(sin21222tAm)sin(tAv2max21kAEk0minkEkmoxX)cos(tAxmk2221kxEp)(cos2122tkAPEkEt)cos(tAx)(sin2122tkAEkkmoxX彈簧振子的勢能及機械能pkEEE221kA簡諧振動的總能量簡諧振動的總能量：系統(tǒng)機械能守恒系統(tǒng)機械能守恒TPdttkATE022)(cos211241kA221kxEp)(cos2122tkA)(sin2122tkAEk平均動能及平均勢能20411kAdtETEtKk動能和勢能動能和勢能平均來說都平均

10、來說都不占優(yōu)勢不占優(yōu)勢PEkEt簡諧振動能量與動力學方程之間的關系pkEEE222121kxdtdxm0dtdE0222xdtxd一種新的證明簡諧振動、求簡諧振動周期一種新的證明簡諧振動、求簡諧振動周期的方法的方法 簡諧振動的動力學方程求解途徑簡諧振動的動力學方程求解途徑1.1.由分析受力出發(fā)由分析受力出發(fā)(由牛頓定律轉動定律由牛頓定律轉動定律列方程列方程)2. 由分析能量出發(fā)由分析能量出發(fā)(將將能量能量守恒式對守恒式對t求導求導)例例3 一勁度系數(shù)為一勁度系數(shù)為k的輕彈簧，一端固定在墻上，另一的輕彈簧，一端固定在墻上，另一端連結一質量為端連結一質量為m1的物體，放在光滑的水平面上。將的物體，

11、放在光滑的水平面上。將一質量為一質量為m2的物體跨過一質量為的物體跨過一質量為M，半徑為，半徑為R的定滑輪的定滑輪與與m1相連，求其系統(tǒng)的振動圓頻率。相連，求其系統(tǒng)的振動圓頻率。解法一：以彈簧的固有長度的端點為坐標解法一：以彈簧的固有長度的端點為坐標原點，向右為正建立坐標。原點，向右為正建立坐標。由牛頓第二定律由牛頓第二定律22111ddtsmamksTOm1m2m2g/kRMkm1kST1T1T2T2m2gRMs22111ddtsmamksT222222ddtsmamTgm21221)(MRIRTTOm1m2m2g/kRMkm1kST1T1T2T2m2gRMs22dd1tSRRa解上面的方程

12、組得解上面的方程組得0)()21(22221kgmSkt dSdMmmkgmSx2令：02dd2122xMmmktx系統(tǒng)的振動角頻率系統(tǒng)的振動角頻率221Mmmk0222xdtxdOm1m2m2g/kRMk解法二：在該系統(tǒng)的振動過程中，只有重力和彈簧的彈性解法二：在該系統(tǒng)的振動過程中，只有重力和彈簧的彈性力做功，因此該系統(tǒng)的機械能守恒。力做功，因此該系統(tǒng)的機械能守恒。gSmvmIvmkS222221221212121常數(shù)常數(shù)Om1m2m2g/kRMk彈簧原長時為零重力勢能點，則彈簧伸長為彈簧原長時為零重力勢能點，則彈簧伸長為S時：時：代入和將221MRIRv0)(dd)21(22221kgmS

13、ktSMmm2/21Mmmk上式對上式對t求導并整理可得求導并整理可得gSmvmIvmkS222221221212121常數(shù)常數(shù)Om1m2m2g/kRMkU形管中液體形管中液體的振動的振動 例題例題4在橫截面為在橫截面為S的的U形管中有適量液液體總長度為形管中有適量液液體總長度為L,質質量為量為m,密度為密度為 ,求液面上下起伏的振動頻率（忽略液體求液面上下起伏的振動頻率（忽略液體與管壁間的摩檫）與管壁間的摩檫） 選如圖所示的坐標，并選選如圖所示的坐標，并選兩液面相齊時的平衡位置為坐兩液面相齊時的平衡位置為坐標原點，且取平衡時液體勢能標原點，且取平衡時液體勢能為零。為零。 解解: 液體受到初始

14、擾動后，液體受到初始擾動后，振動過程中沒有機械能損失，振動過程中沒有機械能損失，因此我們用能量方法來分析。因此我們用能量方法來分析。yyOy由于液體的由于液體的“不可壓縮性，不可壓縮性，因此整個液體的動能因此整個液體的動能2)(21dtdym2)(21dtdymdtdy左面液面的速度為左面液面的速度為由能量守恒得由能量守恒得yyOy兩端對時間求導兩端對時間求導平衡位置（兩液面高平衡位置（兩液面高度相同）為零勢點度相同）為零勢點常量2gSymgs2gsmT222gLT22LSm常量22)(21gSydtdym0222ymgsdtyd例例5 如圖所示，彈性系數(shù)為如圖所示，彈性系數(shù)為k，質量為，質量

15、為M的彈簧振子靜止的彈簧振子靜止地放置在光滑的水平面上，一質量為地放置在光滑的水平面上，一質量為m的子彈以水平速度的子彈以水平速度v1射入射入M中，并很快與之一起運動。選中，并很快與之一起運動。選m、M開始共同運開始共同運動的時刻為動的時刻為 t = 0，求固有頻率、振幅和初相位。，求固有頻率、振幅和初相位。 解解kMV1mmMk 0 碰撞過程中動量守恒：碰撞過程中動量守恒：mMmvv 1020)(21vmM整個體系的能量整個體系的能量221kA)cos(0 tAx2120)(vmMkmvkmMA kMV1mxmMk 0 振動學一個基本的思路振動學一個基本的思路振動疊加原理振動疊加原理任何一個

16、復雜的振動都可以看成任何一個復雜的振動都可以看成是一種最基本的振動合成的是一種最基本的振動合成的簡諧振動簡諧振動研究清楚了簡諧振動，再清楚了它們的研究清楚了簡諧振動，再清楚了它們的合成問題，就可以研究任何復雜振動了合成問題，就可以研究任何復雜振動了分振動：分振動：x1 =A1cos( 1 t+ 1 ) x2 =A2cos( 2 t+ 2 )合振動：合振動： x= x1+x2=A1cos( 1 t+ 1 )+ A2cos( 2 t+ 2 ) 振動疊加原理振動疊加原理簡諧振動的合成簡諧振動的合成21xxx更一般的形式：更一般的形式：如果一個物體同如果一個物體同時參與了幾個振時參與了幾個振動，則物體

17、將按動，則物體將按它們的和振動來它們的和振動來運動運動分振動：分振動：x1 =A1cos( t+ 1 ) x2 =A2cos( t+ 2 )合振動：合振動： x= x1+x2=A1cos( t+ 1 )+ A2cos( t+ 2 ) 同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成同方向不同頻率同方向不同頻率分振動：分振動：x1 =A1cos( 1 t+ 1 ) x2 =A2cos( 2 t+ 2 )合振動：合振動： x= x1+x2=A1cos( 1 t+ 1 )+ A2cos( 2 t+ 2 ) 我們要講四種情形我們要講四種情形分振動：分振動：x =A1cos( t+ 1 ) y =A2cos( t+ 2

18、 )振動方向垂直的同頻率振動方向垂直的同頻率分振動：分振動：x =A1cos( 1 t+ 1 ) y =A2cos( 2 t+ 2 )合振動：合振動：j yi xrjtAitA)cos()cos(2211振動方向垂直的不同頻率振動方向垂直的不同頻率j yi xr合振動：合振動：jtAitA)cos()cos(222111我們要講四種情形我們要講四種情形一一 同方向同頻率的同方向同頻率的簡諧振動的合成簡諧振動的合成1.分振動分振動 :x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)11cosA22cosA2AA1A21合振動是合振動是簡諧振動簡諧振動嗎？嗎？振幅多大？振幅多大？周期

19、多少？周期多少？XY0 x1=A1cos( t+ 1)x2=A2cos( t+ 2)2.合振動合振動 : x = x1+ x2x =A cos( t+ )合振動是簡諧振動合振動是簡諧振動, 其頻率仍為其頻率仍為 )cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintgAAAA2AA1A21X11cosA22cosA11sinA22sinAY兩種特殊情況(1)若兩分振動若兩分振動同相同相 2 1= 2k (k=0,1,2,)2AA1A則則A=A1+A2 , 兩分振動相互加強兩分振動相互加強合振幅最大合振幅最大(2)若兩分振動若兩分振動反相反相 2 1= (2k+1) (

20、k=0,1,2,)則則A=|A1-A2|, 兩分振動相互減弱兩分振動相互減弱2AA1A如如 A1=A2 , 則則 A=0(3)一般情況：一般情況：|2121AAAAA1A2AA例例4 有兩個振動方向相同的簡諧振動，其振動方有兩個振動方向相同的簡諧振動，其振動方程分別為程分別為cm)2cos(41txcm)2/2cos(32tx 求它們的合振動方程；求它們的合振動方程；2) 另有一同方向的簡諧另有一同方向的簡諧振動振動cm)2cos(233tx問當問當 3 為何值時，為何值時，x1+x3的振動為最大值？當?shù)恼駝訛樽畲笾?？?3為為何值時，何值時，x1+x3的振動為最小值？的振動為最小值？)2co

21、s(0tAx解：解：1) 兩個振動方向相同，頻率相同的簡諧振動兩個振動方向相同，頻率相同的簡諧振動合成后還是簡諧振動，合振動方程為合成后還是簡諧振動，合振動方程為)2cos(0tAx)cm(5)cos(212212221AAAAA43coscossinsintan221122110AAAA)cm()5/42cos(5tx所求的振動方程為所求的振動方程為540590相位相同時當,), 2, 1, 0(213kk2)，振幅最大即), 2, 1, 0(23kk相位相反時（當,), 2, 1, 0() 1213kk，振幅最小即), 2, 1, 0(23kkcm)2cos(41txcm)2cos(233txX(m)o)(st4