基本不等式典型例題以及教案

1、檔案號: 全方位課外輔導體系 comprehensive tutoring operation system 全方位教學輔導教案 學科： 數(shù)學 任課教師： 授課時間： 2012 年11 月 3 日 星期 姓 名性 別女年 級高二總課時： 第 次課教 學內 容均值不等式應用（技巧）教 學目 標1、熟悉均值不等式的應用題型2、掌握各種求最值的方法 重 點難 點重點是掌握最值應用的方法難點是不等式條件的應用教學過程課前檢查與交流作業(yè)完成情況：交流與溝通針對性授課一均值不等式1.（1）若，則 (2)若，則（當且僅當時取“=”）2. (1)若，則 (2)若，則（當且僅當時取“=”）(3)若，則 (當且僅

2、當時取“=”）3.若，則 (當且僅當時取“=”）;若，則 (當且僅當時取“=”）若，則 (當且僅當時取“=”）3.若，則 (當且僅當時取“=”）若，則 (當且僅當時取“=”）4.若，則（當且僅當時取“=”）注：（1）當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用應用一：求最值例1：求下列函數(shù)的值域（1）y3x 2 （2）yx解題技巧：技巧一：湊項例1：(2)。變式：已知，求函數(shù)的最大

3、值。技巧二：湊系數(shù)例1. 當時，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數(shù)即可。評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：1、設，求函數(shù)的最大值。并求此時的值2已知，求函數(shù)的最大值.；3，求函數(shù)的最大值.技巧三： 分離例3. 求的值域。技巧四：換元解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分離求最值。當,即t=時,（當t=2即x1時取“”號）。評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將

4、式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用均值不等式來求最值。變式(1) 技巧五：注意：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函數(shù)的單調性。例：求函數(shù)的值域。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調性。因為在區(qū)間單調遞增，所以在其子區(qū)間為單調遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域為。條件求最值1.若實數(shù)滿足，則的最小值是 .變式：若，求的最小值.并求x,y的值技巧六：整體代換： 2：已知，且，求的最小值。變式： （1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值技巧七、已知x，y為正實數(shù)，且x 21，求x的最大值.技巧八：已知a，b為正實數(shù)，2ba

5、ba30，求函數(shù)y的最小值.分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數(shù)問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。點評：本題考查不等式的應用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等式出發(fā)求得的范圍，關鍵是尋找到之間的關系，由此想到不等式，這樣將已知條件轉換為含的不等式，進而解得的范圍.變式：1.已知a>0，b>0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周長為1，求它的面積最

6、大值。技巧九、取平方5、已知x，y為正實數(shù)，3x2y10，求函數(shù)w的最值.解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，本題很簡單 2 解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。w0，w23x2y2·102·10()2·()2 10(3x2y)20 w2 變式: 求函數(shù)的最大值。評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件?？傊?，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應 應用二：利用均值不等式證

7、明不等式例6：已知a、b、c，且。求證：變式：1已知為兩兩不相等的實數(shù)，求證：2、正數(shù)a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc應用三：均值不等式與恒成立問題例：已知且，求使不等式恒成立的實數(shù)的取值范圍。解：令， 。 ， 課 堂檢 測1：添加項【例1】已知，求的最小值.2:配系數(shù)【例2】已知，求的最大值.3:分拆項【例3】已知，求的最小值.4:巧用”1”代換【例4】已知正數(shù)滿足,求的最小值.【例5】已知正數(shù)滿足，求的最小值.5:換元【例6】已知,求的最小值.【例7】已知,求的最大值.7:直接運用化為其它【例9】已知正數(shù)滿足,求的取值范圍.課 后作 業(yè)1、（1）、已知，滿足，

8、求的最值；（2）、若，且，求的最值；（3）、若-4x1,求的最大值. 2、函數(shù)f(x)=(x0)的最大值是 ；此時的x值為 _3、（2010 山東理）若對任意，恒成立，則的取值范圍是 4、若點在直線上，其中,則的最小值為 .5、（1）、已知x+3y-2=0，則3x+27y+1的最小值為 . （2）、若x,y(0,+)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值 . 6、已知兩個正數(shù)滿足，求使恒成立的的范圍.7函數(shù)y=loga(x+3)1(a>0,a1)的圖象恒過定點a，若點a在直線mx+ny+1=0上，其中mn>0，求的最小值為。8(2010年合肥模擬)已知x1·x2··x2009·x20101，且x1，x2，x2009，x2010都是正數(shù)，則的最小值是_9已知直線l過點p(2,1)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于a、b兩點，o為坐標原點，則三角形oab面積的最小值為_10(2008年江蘇卷改編)若x、y、zr，x2y3z0，求的最小值11已知a(0,9) b(0,16