立體幾何存在性問題

1、立體幾何存在性問題未命名一、解答題1在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四邊形ADEF是正方形，AB/DC, 3丄AD, 面ABCD 丄面ADEF|,= 1 = 2.1求證：平面：廠-平面；2 設(shè)剛為線段比上一點，兀M = Ec|,試問在線段旺上是否存在一點T,使得W"平 面IQE,假設(shè)存在，試指出點T的位置；假設(shè)不存在，說明理由？3在2的條件下，求點A到平面剛BC的距離.AB2 如圖，四棱錐中，底面' 是直角梯形，AR/CD, AE丄AD,嗣= 28=2AD7,側(cè)面PAE是等腰直角三角形，PA二陽，平面應(yīng);-I平面點|訓(xùn)分別是棱 W上的點，平面巨衿平面I確定點丁的位

2、置，并說明理由;n求三棱錐的體積.3如圖，在長方體，中-，點在棱上，,點F為棱q%的中點，過E川的平面口與棱交于G，與棱AE交于H，且四邊形EFGH 為菱形(1)證明：平面A1G1E平面BDD； 確定點的具體位置(不需說明理由)，并求四棱錐B-EFGH的體積4 .如圖2,在四棱錐P_ABCD中，平面P2丄平面底面AMD為矩形.(1) 求證：平面PAB丄平面"D；弓，試求點匸到平面卩陽的距離.PA = PD = AB= ZAD = 2x(0 < k < 問川口(2) 假設(shè)5如圖，三棱錐AMD的三條側(cè)棱兩兩垂直，BUBD = 2, E, F分別是棱CD, AD的中占八、(1)

3、 證明：平面羔J平面，;1(2) 假設(shè)四面體A|' -r|的體積為，求線段的長.6.如圖，在四棱錐 心中，皿"畝幅"X2BO2, PAPD, 卡(1) 求證:(2) 假設(shè)I紹，莎帀，為的中點.(i)過點 作一直線與 平行，在圖中畫出直線II并說明理由;(ii)求平面REC將三棱錐P-ACD分成的兩局部體積的比.DE = -BC |7如圖1所示，在梯形4E中，DE EC，且 2= 9，分別延長兩腰交于點A,點F為線段8上的一點，將 "DE沿DE折起到AA1DF的位置，使 吋丄CD，如圖2(1)求證:A.F 1 BE丄(2)假設(shè)BC = 6 = 8,四棱錐Ar

4、BCDf的體積為12儀求四棱錐氣-BE的外表積.為矩形，平面PBC丄平面PB丄PD(2) 假設(shè)PB = PC,為棱3的中點，疋PEAMO", B2,求四面體A-PEO的體積.9 .如圖，在梯形ARC。中，ABIKD,AD=DSC：B二a|, |分阮"，四邊形MFE是矩形,且平面ACFE丄平面ABCD，點M在線段EF上.(2)當(dāng)為何值時，-TI平面 ？證明你的結(jié)論.10 . 10 .如圖，菱形AES的對角線AG D£交于點F，點E為的AB中點將三角形ADE沿 線段折起到麗的位置，如圖2所示.圖1圖2(I) 求證:J-|平面工丁；(n)證明：平面P旺丄平面吒F；(川)

5、在線段P6BC上是否分別存在點剛小，使得平面CFM"平面PEN?假設(shè)存在，請指出點站川的位置，并證明；假設(shè)不存在，請說明理由.參考答案1. ( 1)見解析.見解析.(3)'.【解析】分析：(1)在梯形ABCD中，過點作R作EH丄8于H,可得"BO 戦，所以吆丄朗,由面ABCD丄面ADEF，可得出ED丄BC，利用線面垂直的判定定理得阮丄平面EBD ,進(jìn)而可得平面I曲丄平面EBD；(2)在線段航上取點，使得3BT=BE，連接MT，先證明與MEB相似,于是得制T/EE，由線面平行的判定定理可得結(jié)果；(3)臚到平面閘BC的距離就是點A到1111平面EBC的距離，設(shè)A到平面E

6、EIC的距離為h，利用體積相等可得，3232a解得詳解：(1)因為面AEB丄面ADEF，面ABCD n面ADEF "D，ED丄AD，所以E°丄面ABCD E0 丄 BC故四邊形是正方形，所以3恥-在獨(dú)C H中，合= 45帕亡乜2， WBDC 二 45*|二 90 丄 BD因為 BDaEDD，BDU 平面EED，EDu 平面0.比丄平面EBD,平面"；，平面 平面廠工.(2) 在線段R匚上存在點F，使得平面EDE在線段吭上取點T，使得EE，連接MT.BT EM 1-=-=.t在也EBC中，因為BC EC 3,所以ACMT與MEB相似，所以MT/EB又M沖平面3二，丄

7、二平面2，所以平面血：-|.(3) 點“到平面制配的距離就是點A到平面缺的距離，設(shè)代到平面E的距離為h，利用同角1 11 1 r r活* h = -* x J2 * 13h =相等可得,3 23 2、'，可得石.點睛：證明線面平行的常用方法：利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與直線平行的直線，可利用幾何體的特征， 合理利用中位線定理、 線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面2. I見解析n【解析】試題分析：1根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到 CEAD , EF/PA，根據(jù)平行關(guān)系

8、和長度關(guān)1V = -V系得到點I是館的中點，點卜是PR的中點；22 _，因為PA = P&.AE = EB，所以1'，進(jìn)而求得體積詳解：1因為平面匸EF"平面PAD，平面EEF門平面ABCD - CE平面"D門平面ABCD = AD，所以CE/AD，又因為AB/DC所以四邊形'是平行四邊形，所以1DC = AE = AB2即點E是AR的中點.因為平面CEF/平面PAD，平面EEF n平面PhB = EF，平面PAD n平面PAB - PA，所以r/：i-.，又因為點 是的中點，所以點是 的中點，綜上：分別是的中點；(H)因為PA-PB,AE = EB

9、，所以PE丄A0，又因為平面丄平面ABCD，所以PE丄平面AECD；又因為AB/CD.AB丄AD所以1 1 1 1 P W詐施廣卩已二訂孑“宀"亍點睛：這個題目考查了面面平行的性質(zhì)應(yīng)用，空間幾何體的體積的求法，求椎體的體積，一 般直接應(yīng)用公式底乘以高乘以三分之一，會涉及到點面距離的求法， 點面距可以通過建立空間直角坐標(biāo)系來求得點面距離，或者尋找面面垂直，再直接過點做交線的垂線即可；當(dāng)點面距離不好求時，還可以等體積轉(zhuǎn)化 3. ( 1)見解析(2)為棱 上靠近' 的三等分點，為棱 中點，【解析】分析：(1)要證平面州匸莊J平面BDDR，即證叫5丄平面BDDiBiAiCi1B0l;

10、(2)G為棱叫S上靠近“丄的三等分點，H為棱中點，利用等體積法VB-FGH 2%-EFH =Bth即可求得結(jié)果詳解：在矩形丄中 v AS = AD, - A1B1 = A1DBBX丄平面平面FDDA,C C又氣5匸平面氣5 F,片平面平面&為棱AiDi上靠近已的三等分點，H為棱AE中點,11SAuaf = -mHBxBE = -x4m3 = 6HEF“，所以皆社的面積甌E 22于是四棱錐B-EFGH的體積點睛：求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，注意求體積的一些特殊方法一一分割法、補(bǔ)形法、等體積法割補(bǔ)法：求一些不規(guī)那么幾何體的體積時， 常用

11、割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成體積公式的幾何體進(jìn)行解決.等積法：等積法包括等面積法和等體積法等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值.(2)取AD的中點0，那么PO丄平面館匚D、面垂直的判定定理可得結(jié)論;從而利用棱錐的體積公式可得結(jié)果詳解:1)證明:平曲PAD 1平應(yīng)ABO平面PAD n ¥ffiABCD=AD，AB 丄 AD=>AB 1 半 l山 PADABC平面PAB I(2)解：取AD的中點那么P0丄

12、平商ABC6 且=j 4vp-aBCD 二收。=i 或鳥(舍知那么沁-.又易知 PB = eD = 3A刁所以3，解出 1.【解析】分析：(1)由平面丄平面皿匚門，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，由面4. ( 1)見解析;點睛：解答空間幾何體中垂直關(guān)系時，一般要根據(jù)條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化， 轉(zhuǎn)化時要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理；證明直線 和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推論bllbQ丄丄町；(3) 禾9用面面平行的性質(zhì)一:丨飛；(4)利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面5. 證明

13、見解析； (2).【解析】分析：(1)推導(dǎo)出BE± CD，AB丄CD從而CDL平面ABE由此能證明平面 ABE! 平面ACD(2)取BD的中點 G,連接 EG貝U EG/ BC.推導(dǎo)出 BC丄平面 ABQ從而 EGL平面 ABD由此能求出線段AE的長.詳解：(1)證明：因為BSBD, E是棱3的中點，所以BE丄匚0.又三棱錐E小8的三條側(cè)棱兩兩垂直，且BC n 0D = B所以紙 I平面 ， y 門 因為ABnBE = B，所以B丄平面ABE|，又杠二廠平面用工:，所以平面-平面花匸(2)解：取BD的中點G，連接EG，那么 EG/BC.易證旺丄平面ABD，從而EG丄平面ABD，111

14、AB1k - x AB x 8D x EG - 土 所以四面體AEEF的體積為32262,那么 AB = 3，在RtAABE中，吐屁肚二伊鼻冋點睛：垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行(2) 證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直(3) 證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直6. 1見解析；2見解析，【解析】分析：取恥中點。，連接AO,PO,先證明E0丄面恥0,再證明“丄B0 .2i取皿中點F,連接CFF,那么刃/BE, CF即為所作直線I,證明四邊形BCFE為平行四邊形即得證.門先分別 計算出兩局部的體積，再求它們的比詳解：1證明：取汕中點。，連接

15、,P0/ AB = AD 為BD中點兒A0丄BD又PR = PDO為BD中點，片P0丄BD又 AOnPO = O 0 丄面PAO又PA r面PAO，兒PA丄BDi取PD中點F,連接E,EI，那么b"BE，匚即為所作直線理由如下：T在MAD中E、F分別為PA、P0中點1EF= AD = 1，且1ac = -AD = 12JEF"就且EF = BC，譏四邊形比只為平行四邊形.a cf/be|(jj) * PA 丄 AB PA 丄 BD AB 門 BO = E -PA 丄 ABO又在 l&ABD 中，廂 AD 2,B" 22 AB1 + AD2- BD*4 AB

16、 丄 AD又 PA 丄 AB PA n AD* Am !面2Ti匚-見EFD= 3乂斜：(1此題主要考查空間平行垂直位置關(guān)系的證明，考查空間幾何體體積的計算，意在考查學(xué)生對這些根底知識的掌握能力和空間想象轉(zhuǎn)化能力( 2)對于空間平行垂直位置關(guān)系的證明有幾何法和向量法兩種方法，空間幾何體體積的計算有公式法、割補(bǔ)法和體積變換 法三種方法7. ( 1)見解析；(2)''【解析】分析：(1)先利用直角三角形和線線平行的性質(zhì)得到線線垂直，再利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)得到線面垂直和線線垂直；(2)分析四棱錐的各面的形狀，利用相關(guān)面積公式進(jìn)行求解.詳解：(1)因為/ C= 90°

17、，即卩 ACL BC 且 DE/ BC,因為 AiF?平面 AiDC,所以DEL AiF.又因為 AiFL CD CDT DE= D,所以AF丄平面BCDE又因為BE?平面BCDE所以AiFL BE(2)由DE/ BC且DE= BC得D, E分別為AC AB的中點，A Q 二口丄二 1 門在 Rt ABC中，'，那么 AE= EB= 5，AD- DC= 4，那么梯形BCDE的面積Si = 2x僻3) X=4 18,四棱錐 AiBCDE的體積為 :X 18AiF= 12，即卩AiF= 2.'在 Rt AiDF中,DF =- (23)3 = 2，即F是CD的中點,所以 AiC= A

18、iD= 4，因為DE/ BC DE丄平面AiDC所以BC丄平面AiDC,所以BC丄AiC，所以A1B = J62 + 42 = 2jl3在等腰 AiBE中，底邊AiB上的高為訃-二山比血土土證 .“A A OE A ADCA ,BC A ABE所以四棱錐AiBCDE的外表積為S= S+1 +1 +1 +=i8 + 2X 3x4x4 X2+ X 6X4 X2 X2 = 36 + 4.，+ 2.點睛：此題考查空間中的垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化、空間幾何體的外表積等知識，意在考查學(xué)生的空間想象能力和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力.& ( i)見解析；(2)【解析】分析：由面面垂直的性質(zhì)定理得到 5丄平面PBC，即3丄P0

19、，進(jìn)而得到平面PAB丄 平面PCD,(2)由等體積法求解，叫倔廣冷-點。詳解：(i)證明：四邊形痘石是矩形， CD丄BC.平面 PBC丄平面 ABCD，平面 PBC門平面 ABCD=BC，CD二 平面ABCD， CD 丄平面 PBC， CD 丄 PB./ PB 丄 PD，CD A PD=D，CD、PD平面 PCD， PB 丄平面 PCD./ PB 平面PAB，平面 PAB丄平面PCD.0P= BC= 1(2)取BC的中點0,連接OP、OE.PB丄平面吒D,. PE丄卩2,PB = PC PO 丄 BC 平面 PBC丄平面 ABCD，平面 PBC A平面 ABCD=BC, PO 平面PBC, P

20、O丄平面 ABCD , AE平面 ABCD, PO 丄AE.PEA=90°, PE丄 AE./ PO A PE=P , AE丄平面 POE , AE丄OE. / C= / D=90°,OEC = Z EAD,OC CERtAOCEFltAEDA . ED AD點睛：此題主要考查面面垂直，線面垂直，考查三棱錐體積的求法，考察學(xué)生分析解決問題 的能力，考查學(xué)生的空間想象能力。9. (1)見解析;(2)【解析】分析：(1)在梯形中，利用梯形的性質(zhì)得-反,再根據(jù)平面平面,利用面面垂直的性質(zhì)定，即可證得平面卜日;(2)在梯形中，設(shè)AC n 6D = M，連接削，利用比例式得MF/AN

21、，進(jìn)而得AM II NF，利 用線面平行的判定定理，即可得到卜" I平面卜叵1詳解：(i)在梯形 A BCD 中，. AB f D，AD 二 DC = CB = a，SBC = 60° 四邊形 ABB是等腰梯形，且 DCA = DAC = 30*，DCB=120flAC0 = DCB-DCA = 9O，a|aC 丄 bcACFE丄平面ABCO 又平面ACFE n平面AB CD = ACEM巴(2)當(dāng) 時，皿II平面BOF，在梯形ABCD中，設(shè)AC n BO = N，連接FM，那么 r掃EM = a廠CN:NA-lt2，v3 ，而EF = AC = J崩，. E閘:閘F= 1:2，財F/AN，.四邊形ANFIVI是平行四邊形AM II NF 又NF c 平面BDF平面BDF .AM | 平面 BDF點睛：此題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：1證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；2證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；3證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.10. I證明見解析；n證明見解析；川'和 的中點，證明見解析【解析】分析：I由菱形的性質(zhì)可得 圧丄PF.DE丄CF，又PF n CF = F.PF