數(shù)學(xué)建模+灰色預(yù)測(cè)模型+MATLAB

1、§12.5 灰色預(yù)測(cè)我們通常所說的系統(tǒng)是指：由客觀世界中相同或相似的事物和因素按一定的秩序相互關(guān)聯(lián)、相互制約而構(gòu)成的一個(gè)整體例如：工程技術(shù)系統(tǒng)、社會(huì)系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)等如果一個(gè)系統(tǒng)中具有充足的信息量，其發(fā)展變化的規(guī)律明顯、定量描述方便、結(jié)構(gòu)與參數(shù)具體，則這種系統(tǒng)通常稱為白色系統(tǒng)如果一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部特征全部是未知的，則稱此系統(tǒng)為黑色系統(tǒng)如果系統(tǒng)內(nèi)部信息和特征是部分已知的，另一部分是未知的，這種系統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng)例如：社會(huì)系統(tǒng)、農(nóng)業(yè)系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、氣象系統(tǒng)、生物系統(tǒng)等對(duì)于這類系統(tǒng)，內(nèi)部因素難以辨識(shí)，相互之間的關(guān)系較為隱蔽，人們難以準(zhǔn)確了解這類系統(tǒng)的行為特征因此，對(duì)于這類問題進(jìn)行定量描述，即建立模

2、型難度較大區(qū)別白色系統(tǒng)與灰色系統(tǒng)的重要標(biāo)志是系統(tǒng)內(nèi)各因素之間是否具有確定的關(guān)系灰色系統(tǒng)分析方法主要是根據(jù)具體灰色系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)，充分利用數(shù)量不多的數(shù)據(jù)和信息尋求相關(guān)因素自身與各因素之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型目前，灰色系統(tǒng)理論在實(shí)際中已得到了廣泛的應(yīng)用，例如：在工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、氣象預(yù)報(bào)以及政治、社會(huì)、工業(yè)、農(nóng)業(yè)等領(lǐng)域都取得了一定的應(yīng)用成果我們往往要對(duì)農(nóng)業(yè)問題、商業(yè)問題等做未來的預(yù)測(cè)工作，另外，進(jìn)行軍事戰(zhàn)爭(zhēng)以及治理生態(tài)環(huán)境也需對(duì)未來的發(fā)展情形做一可靠的分析，這就產(chǎn)生了灰色預(yù)測(cè)灰色預(yù)測(cè)是對(duì)灰色系統(tǒng)問題進(jìn)行未來的預(yù)測(cè)，實(shí)際問題中，應(yīng)用最多的灰色預(yù)測(cè)模型是以GM(1,1)（即GM(1,N

3、)當(dāng)N=1時(shí)的特例）模型為基礎(chǔ)的12.5.1 GM(1,1)模型的建立設(shè)X(0)=(X(0)(1),X(0)(2),X(0)(n)，做1AGO，得 則GM(1,1)模型相應(yīng)的微分方程為： （1）式中：a稱為發(fā)展灰數(shù)；稱為內(nèi)生控制灰數(shù)設(shè)=(a,)T，按最小二乘法得到 （2）其中易求得，方程（1）的解為 （3）例4 100m成績(jī)預(yù)測(cè)19831990年世界男子和中國(guó)女子100m最好成績(jī)?nèi)绫?表6 各年度最好成績(jī)年份19831984198519861987198819891990男子9.939.969.989.959.939.929.949.93女子11.9511.6611.6311.6511.351

4、1.3211.5811.32記世界男子100m成績(jī)的原始數(shù)列為建立GM(1,1)模型，即按式（1）、（2）、（3）得到預(yù)測(cè)模型為 由預(yù)測(cè)模型得預(yù)測(cè)值為 年份 模型預(yù)測(cè)值/s1991 9.921992 9.912000 9.85記中國(guó)女子的原始數(shù)列為同樣建立GM(1,1)模型，得到預(yù)測(cè)模型為 從而得到中國(guó)女子100m成績(jī)的預(yù)測(cè)值 年份 模型預(yù)測(cè)值/s1991 11.301992 11.242000 10.8512.5.2 模型檢驗(yàn)灰色預(yù)測(cè)檢驗(yàn)一般有殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn)（1）殘差檢驗(yàn)按預(yù)測(cè)模型計(jì)算，并將累減生成，然后計(jì)算原始序列X(0)(i)與的絕對(duì)誤差序列及相對(duì)誤差序列（2）關(guān)聯(lián)度檢

5、驗(yàn)定義1 選取參考數(shù)列其中k表示時(shí)刻假設(shè)有m個(gè)比較數(shù)列 則稱 （1）為比較數(shù)列Xi對(duì)參考數(shù)列X0在k時(shí)刻的關(guān)聯(lián)系數(shù)，其中0,1為分辨系數(shù)，一般取=0.5稱式（1）中| X0(k)-Xi(k)|、 | X0(k)-Xi(k)|分別為兩級(jí)最小差和兩級(jí)最大差由（1）式易看出，越大，分辨率越大；越小，分辨率越小 式（1）定義的關(guān)聯(lián)系數(shù)是描述比較數(shù)列與參考數(shù)列在某時(shí)刻關(guān)聯(lián)程度的一種指標(biāo)，由于各個(gè)時(shí)刻都有一個(gè)關(guān)聯(lián)數(shù)，因此信息顯得過于分散，不便于比較，為此我們給出以下定義定義2 稱 （2）為數(shù)列Xi對(duì)參考數(shù)列X0的關(guān)聯(lián)度 由式（2）易看出，關(guān)聯(lián)度是把各個(gè)時(shí)刻的關(guān)聯(lián)系數(shù)集中為一個(gè)平均值，也就是把過于分散的信息

6、集中處理根據(jù)前面所述關(guān)聯(lián)度計(jì)算方法計(jì)算出與原始序列X(0)(i)的關(guān)聯(lián)系數(shù)，然后計(jì)算出關(guān)聯(lián)度，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)=0.5時(shí)，關(guān)聯(lián)度大于0.6便滿意了（3）后驗(yàn)差檢驗(yàn)1.計(jì)算原始序列標(biāo)準(zhǔn)差：2.計(jì)算絕對(duì)誤差序列的標(biāo)準(zhǔn)差：3.計(jì)算方差比：4.計(jì)算小誤差概率： 令則表7 檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)好合格勉強(qiáng)合格不合格若殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn)都能通過，則可以用所建模型進(jìn)行預(yù)測(cè)；若用原始時(shí)間序列X(0)建立的GM(1,1)模型檢驗(yàn)不合格或精度不理想時(shí)，這時(shí)要對(duì)建立的GM(1,1)模型進(jìn)行修正或提高模型的預(yù)測(cè)精度其修正方法如下：設(shè)原始時(shí)間序列X(0)建立的GM(1,1)模型為 可獲得生成序列X(1)的預(yù)測(cè)值，即對(duì)于，有

7、預(yù)測(cè)序列，定義殘差為 若取j=i,i+1,n,則與X(1)及對(duì)應(yīng)的殘差序列為 為便于計(jì)算上式改寫為 e(0)的累加生成序列為 e(1)可建立相應(yīng)的GM(1,1)模型： 的導(dǎo)數(shù)加上修正，得修正模型：其中為修正系數(shù)最后給出經(jīng)過殘差修正的原始序列預(yù)測(cè)模型：§12.6 灰色預(yù)測(cè)模型案例一、問題描述表8給出了上海市1991年1996年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值總消費(fèi)資料生產(chǎn)決定消費(fèi)，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值總消費(fèi)決定了居民的消費(fèi)水平，為此很有必要對(duì)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值總消費(fèi)進(jìn)行科學(xué)預(yù)測(cè)，分析國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值總消費(fèi)發(fā)展趨勢(shì)，為宏觀經(jīng)濟(jì)政策的制定提供重要的參考 表8 國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值總消費(fèi) 單位：億元年份19911992199319941

8、9951996國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值總消費(fèi)386.06476.57679.35873.891085.331252.33試根據(jù)表8的資料，建立上海市國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值總消費(fèi)的灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)，并預(yù)測(cè)上海市1998年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值總消費(fèi)二、模型的建立及求解1.令X(0)(1),X(0)(2),X(0)(6)對(duì)應(yīng)于原始序列數(shù)據(jù)第一步，構(gòu)造累加生成序列：第二步，構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B和數(shù)據(jù)向量Y1：第三步，計(jì)算BTB, (BTB)-1, BTY1：，即第四步，得出預(yù)測(cè)模型：三、模型檢驗(yàn)第五步，進(jìn)行關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)：（1）計(jì)算：（2）計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)： ，是基本滿足時(shí)，r>0.57的所以關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)通過第六步，后驗(yàn)差檢驗(yàn)：（

9、1）計(jì)算： （2）計(jì)算殘差的均值：殘差的標(biāo)準(zhǔn)差：，所有ek都小于S0，故P=1,C<0.35所以后驗(yàn)差檢驗(yàn)通過第七步，殘差檢驗(yàn)：（1）計(jì)算（2）累減生成序列：（3）計(jì)算絕對(duì)誤差序列及相對(duì)誤差序列：絕對(duì)誤差序列(0)=0,53.87,26.28,69.82,95.37,33.48相對(duì)誤差序列=0,11.3%,3.87%,7.99%,8.79%,2.67%相對(duì)誤差序列中有的相對(duì)誤差很大，所以要對(duì)原模型進(jìn)行殘差修正以提高精度（4）利用殘差對(duì)原模型進(jìn)行修正：取 e(0)=53.87,26.28,69.82,95.37,33.48 e(1)=53.87,80.15,149.94,245.34,278.82得最后得修正模型為：其中表9 修正后的殘差計(jì)算表序號(hào)修正后誤差相對(duì)誤差1386.06386.06002862.63900.0137.384.3331541.981622.5680.585.2342451.872426.6310.760.4553501.203419.20822.3464753.334622.06131.272.76因此，可用上述經(jīng)