相似三角形預(yù)備定理

1、相似形本章教學(xué)目標本章的主要內(nèi)容分為“比例線段”和“相似三角形”，“比例線段”主要介紹線段的比和成比例線段的概念及判定成比例線段的一些定理，“相似三角形”主要研究相似三角形的判定與性質(zhì).通過本章的學(xué)習(xí)，理解比和比例，線段的比和成比例線段、相似三角形等概念，掌握比例基本性質(zhì)、合比性質(zhì)和等比性質(zhì)，較熟練運用上述性質(zhì)進行比例和變形，靈活應(yīng)用平行線分比例線段定理，相似三角形判定定理及性質(zhì)定理，進行計算和簡單的證明.相似三角形的知識在實際中應(yīng)用廣泛.本章較多地運用了類比的方法、矛盾轉(zhuǎn)化的方法，這些方法對培養(yǎng)我們探求知識，提高分析和解決問題能力起著極其重大的作用. 核心知識  一、知識結(jié)構(gòu)

2、60;二、主要內(nèi)容1.比例線段及其性質(zhì)(1)比例線段：在四條線段中，如果其兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段.(2)比例的性質(zhì)比例基本性質(zhì)： adbc合比性質(zhì)： 等比性質(zhì)： 0 (b+d+n0) 2.平行線分比例線段定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例.推論；平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)，所得的線段成比例. 3.三角形一邊的平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.  4.三角形相似預(yù)備定理平行于三角形的一邊，并且和其它

3、兩邊相交的直線，所截得的三角形和原三角形的三邊對應(yīng)成比例. 5.相似三角形的判定(1)平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.(2)定義法，對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等的三角形叫相似三角形(有了判定定理后，就不用定義判定了).(3)判定定理1.兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似(4)判定定理2.兩邊對應(yīng)成比例、夾角相等、兩三角形相似(5)判定定理3.三邊對應(yīng)成比例、兩三角形相似(6)直角三角形判定：以上方法均可如果一個直角三角形的一條直角邊與斜邊與另外一個直角三角形的直角邊和斜邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角形相似直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直

4、角三角形與原三角形相似. 6.相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例(2)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.(3)相似三角形的周長比等于相似比(4)相似三角形的面積比等于相似比的平方 三、本節(jié)常用的解題方法1.運用中間量變量解題對于比較復(fù)雜的比例關(guān)系，有時不能由一對相似三角形直接得出，這時可采用一種中間代替方法，即要證 ，可證 ， . 2.化歸思想在解決線段相等、等積線段等多種結(jié)論時，通常要依據(jù)已知條件，將其它問題化歸比例問題來解決.例要證acbd，可證 ，要證ab時，可證 或 等. 3.巧作輔助線本節(jié)常

5、用的輔助線是作三角形一邊的平行線，從而得到相似三角形或比例線段. 4.等積變形要證明線段相等，通過線段所在的三角形面積之間的關(guān)系結(jié)合等底(同底)、等高(同高)等進行線段等積式變換，進而得到結(jié)論. 5.滲透代數(shù)法運用代數(shù)法，將比例式中的多個量化成只含一個量的等式，用代數(shù)方法求解.典型例題  初中幾何相似形一章中,平行線分線段成比例定理是研究相似形最重要和最基本的定理,然而教科書中并沒有給出這個定理的嚴格證明,教參中又指出這個定理的證明涉及到無理數(shù)理論、極限思想等等,意指這個定理現(xiàn)階段無法證明.事實上,對于這個定理,如果運用面積法完全可以給出一個既嚴謹又簡捷的證法.

6、數(shù)學(xué)雜談· 作者：張景中 著 · 叢書名： · 出版社：北京少年兒童出版社 · ISBN：7500772904 · 出版時間：2005-1-1 · 版次：1 · 印次：1 · 頁數(shù)：291 · 字數(shù)：180000 · 紙張：膠版紙 · 包裝：平裝 · 開本：小32開 目錄少年數(shù)學(xué)迷方格紙上的數(shù)學(xué)“錯”也有用方格紙上的速算花園分塊巧分生日蛋糕“1+12”的形形色色用圓規(guī)巧畫梅花從失建華跳過2.38米說起逃不掉的老鼠石子游戲與同余式石子游戲與遞歸序列鏡子里的幾何問題在“代”字上做

7、文章西積方法隨筆再生的證明用面積法證明三角形相似的判定條件用面積法解幾個數(shù)學(xué)競賽題三角園地的側(cè)門正弦函數(shù)增減性的直觀證明蝴蝶定理的新故事課外天地從正多邊形一個有趣的性質(zhì)談起怎樣用坐標法誘發(fā)綜合法從反對數(shù)表的幾何性質(zhì)談起多項式除法與高次方程的數(shù)值求解穩(wěn)扎穩(wěn)打的對分球根法數(shù)林一葉肖點法淺談舉例子能證明幾何定理嗎？幾何定理機器證明的吳法淺談規(guī)尺作圖問題的余波“生銹圓規(guī)”作圖問題的意外進展第五章相似三角形一、教法建議【拋磚引玉】本單元主要研究相似三角形的判定與性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上，通過把多邊形分割成若干個三角形的知識，介紹了相似多邊形的概念和性質(zhì)，在教學(xué)中，要用類比的方法貫穿教學(xué)始終，要把重點放在研究相

8、似三角形的判定定理和性質(zhì)定理上。在這一章之前，主要研究線段相等問題，在這一章中，則要研究線段之間比的相等關(guān)系，由研究相等轉(zhuǎn)化為研究成比例，對學(xué)生來說，在認識上要有一個適應(yīng)過程，雖然相等與成比例都是等式（），但由于涉及量多，又出現(xiàn)了分式，變化的形式也多了，學(xué)生會感到困難，為此，在教學(xué)中，關(guān)鍵要抓住兩點：第一教學(xué)中注意與相等情況類比，例如，在證明線段相等時，我們常常去證明它們分別與第三個量相等，通過“等量代換”得到所需要的結(jié)論，在證明線段成比例時（兩個比相等），注意讓學(xué)生把每一個比看成一個整體，分別證明它們與第三個比相等。通過這個比來過渡，這就是所謂利用“中間比”的方法。這樣類比，學(xué)生就可以把他們

9、不熟悉的問題，轉(zhuǎn)化為他們已熟悉的問題了；第二是注意關(guān)于比例式的變形訓(xùn)練，貫穿教學(xué)始終，通過具體實例，反復(fù)演練，便可掃除障礙，掌握比例變形的規(guī)律。在教學(xué)中，應(yīng)注意全等三角形與相似三角形之間的聯(lián)系，不僅可以利用類比法研究相似三角形的判定與性質(zhì)，也可仿照全等三角形來歸納整理相似三角形知識，通過對比，加深對相似三角形認識和理解。在教學(xué)中要理論聯(lián)系實際，把學(xué)得的課本知識服務(wù)于社會，應(yīng)用在實際中，以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。與此同時，把數(shù)學(xué)思想方法要貫穿在教學(xué)始終，如類比的方法，數(shù)形結(jié)合法，矛盾轉(zhuǎn)化的方法等，把數(shù)學(xué)的思想方法交給學(xué)生?！局更c迷津】相似三角形抓住“對應(yīng)”線段，寫出比例式。然后結(jié)合比例性質(zhì)進行變換

10、，便可獲證。在學(xué)習(xí)中要善于逆向思維。如“兩個相似三角形的面積比為，則它們的相似比是 ”。對本單元幾個基本圖形要熟記，如圖：對于圖形(1)(5)是學(xué)好本單元內(nèi)容常見圖形，利用它們可以攻克有關(guān)相似形的難題，為以后學(xué)習(xí)圓也打下了堅實基礎(chǔ)。二、學(xué)海導(dǎo)航【思維基礎(chǔ)】1.填空：對應(yīng)角 ，對應(yīng)邊 ，的三角形，叫做相似三角形，相似比等于 的相似三角形就是全等三角形。判定兩個三角形相似的條件有：(i) 個角分別對應(yīng)相等；(ii)兩條邊對應(yīng) ，并且 角相等；(iii)三邊對應(yīng) 。判定兩個直角三角形相似，還有 邊和一條 邊對應(yīng)成比例。相似三角形的對應(yīng)角 ；對應(yīng)線段的比等于 ；相似三角形周長比等于 面積比等于 。如果

11、兩個邊數(shù)相同的多邊形的 相等 成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形周長比等于 ，對應(yīng)對角線的比等于 ；相似多邊形面積比等于 ，相似多邊形中的 相似。2.選擇填空：如右圖2，矩形ABCD中，BEF=90°，相似三角形是（ ） (A)I和II (B)I和III (C)II和III (D)III和IV圖2如圖3，梯形ABCD的腰AD，BC的延長線交于P，AC交BD于Q，PQ交AB，DC于M，N，圖中相似三角形的組數(shù)是（ ） (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3下列各組的兩個圖形一定相似的是（ ） (A)兩個矩形；圖3 (B)等腰梯形中位線把它分成的兩個等腰梯形； (C)

12、對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形； (D)有一個角相等的兩個菱形。如果兩個四邊形的四個角分別對應(yīng)相等，那么這兩個四邊形（ ） (A)全等 (B)相似 (C)不相似 (D)不一定相似3.填空：在比例尺是1:140000的地圖上，量得甲、乙兩地距離2.5cm，那么甲、乙兩地的實際距離是 。如圖4，EDBC，DFAB，若SAED4，SDFC=9， SBFDE= 。RtABC中，AD是斜邊上的高，AB = 4，AC = 5，則SABC : SDAC : SDAB= 。圖4將長為8cm，寬為6cm的長方形ABCD折疊，使B、D兩點重合，折線EF的長為 。【精典題解】例，已知ABC，P是AB上一點，連結(jié)CP，滿足

13、什么條件時，ACP與ABC相似。揭示思路：這道例題十分簡單，圖形對大家來說又很熟悉，然而這一基本圖形的特點是：有一個公共角的兩個三角形相似的證題思維是（一）必須找一對對應(yīng)角相等；（二）或者夾公共角的對應(yīng)邊成比例。只要按這兩條探索，本例圓滿解決。圖5解：又因，因此，得，當(dāng)1=B，或2=ACB，或AC 2 = AB·AP時，ACPABC。這道例題容易解決，以它為基礎(chǔ)，只要告知問題與其基本圖形一樣，利用它的兩大思路作“向?qū)А保憧山鉀Q一系列的有關(guān)問題。圖6問題1 如圖6ABC是等邊三角形，DAE=120°，D、B、C、E共線，則圖中有相似三角形的個數(shù)至少為（ ）(A)一對 (B)

14、二對 (C)三對 (D)四對圖7揭示思路：可把DAB和DEA看作有一個公共角ADB的基本圖形，再把EAC和DEA看作有一個公共角AEB的基本圖形。問題2 已知：如圖7，D、E是ABC的邊BC上兩點，且BAD=C，DAE=EAC，求證：BD:BA=DE:EC揭示思路：把ABD和ACB看作有公共B的基本圖形。問題3 已知：如圖8，PQR是等邊三角形， APB=120°，求證：(1)PAQBPR；(2)AQ·RB=QR 2。揭示思路：同問題1相仿，不再敘述。圖8問題4：AD為ABC（ABAC）的角的平分線（如圖9），AD的垂直平分線和BC的延長線交于點E，求證：DE2 = BE&

15、#183;CE。圖9揭示思路：連結(jié)AE，把ACE與ABE看作公共E的基本圖形。問題5 如圖10，四邊形ABEG、GEFH、HFCD都是邊長為a的正方形，(1)計算AE、AF、AC的長；(2)求證：AFECEA；(3)求證：AFBACB=45°圖10揭示思路：把AEF與CEA看作有公共AEF的基本圖形。圖11問題6 如圖11，已知ABC中，P為AB上的一點， PCA=B，AP=9cm，PB=3cm，求AC的長。揭示思路：把ABC與ACP看作有公共角A的基本圖形。圖12問題7 如圖12，ABC中，BAC=90°，ADBC于D，DE為AC的中線，延長線交AB的延長于F，求證：AB

16、·AF=AC·DF。揭示思路：把DBF和ADF看作有公共角F的基本圖形。問題8 如圖13，D是ABC的邊BC上的一點，且BAD=C，若AB=a，AD=b，AC + BC = c，求AC的長。圖13揭示思路：把BAD和BCA看作有公共角B的基本圖形。圖14問題9 如圖14，D為ABC的邊AC上的一點，DBC=A，已知BC=，BCD與ABC的面積的比是2 : 3，則CD的長是（ ）揭示思路：把ABC和BDC看作有公共角C的基本圖形。從以上九個問題可知，涉及求值、求證線段成比例、求角度等方方面面的題目，但有一個不變內(nèi)容，即其基本圖形，對每個問題只要能找到基本圖形，思路就能打開，由

17、此看來，對課本中介紹的基本圖形（指點迷津已介紹五種基本圖形）的特點一定要熟練地掌握住，在遇到新的問題或陌生問題，可進行解剖，從中挖掘出基本圖形，應(yīng)用基本圖形作開路先鋒，思路便容易暢通，由此也啟示我們，要認真學(xué)好課本上基本知識，可以以少勝多，事半功倍?！舅季S體操】例 在ABC中，D、E分別為BC的三等分點，AC邊上的中線BM交AD于P，交AE于Q，若BM= 10cm，試求BP、PQ、QM的長。如圖15思維擴散1 由AC邊的中線BM啟示我們，“遇到中線常加倍”這是證解中線問題好辦法，對本例當(dāng)然也實用。圖15延長BM至點N如圖16，使MN=MBAM=CM，BMC=NMA，BMCNMAAN=BC。BD

18、AN，BPDNPA。BD:AN=BP:PN。即BD:BC=BP:PN=1:3 BM=10，PB=5同法可求 BQ=8圖16PQ=BQBP=3，QM=10BQ=2。圖17思維擴散2： 因為本例告知的中點有三個，M是AC的中點，D是BE中點，E是DC的中點，根據(jù)解題經(jīng)驗告知我們，“遇到中點構(gòu)造中位線，思路易呈現(xiàn)”。既然本例告知三個中點，構(gòu)造中位線的方法至少有幾種，現(xiàn)分別敘述如下：過A點作ANBM交CB的延長線于N，如圖17，則BM是ANC的中位線。 (1)DBPDAN Þ BD:ND=PB:AN (2)EQBEAN Þ BE:NE=BQ:AN (3)思維擴散3（構(gòu)造中位線（二）

19、如圖18連ME，可知PD為BME的中位線圖18 思維擴散4（構(gòu)造中位線(三)）如圖19過點C作CGBM分別交AD，AE延長線于G，F(xiàn)二點，則PM為AGC中位線GC=2PM圖19DBPDCG Þ PB:GC=BD:DC=1:2思維擴散5（構(gòu)造中位線(四)）如圖20圖20過M點作MNBC分別交AE，AD，AN于點F，G，N，則BD = DE = EC = 2MF = 2FG = 2GN（三角形中位線性質(zhì)）PBDPMGÞPB=PM=MNBC Þ QMFQBE Þ MQ:QB=MF:BE= (1) BQ + MQ =10 (2)思維擴散6（構(gòu)造中位線(五)）如圖

20、21過點D、E分別作DN，EF均平行于BM且交AC于N，F(xiàn)兩點，則 圖21思維擴散7（構(gòu)造中位線(六)）如圖22過D、E分別作DN、EF平行于AC，且分別交BM于N，F(xiàn)二點，則BN=NF=FM圖22 擴散8（構(gòu)造中位線（七）如圖23過D作DGAE交CA的延長線于G點，又分別交BM，BA于點N，F(xiàn)。根據(jù)三角形中位線性質(zhì)。已知AEDG，AE=MC，AQ=GN圖23 思維擴散9 一般告知中點問題通常也采用中心對稱法，再數(shù)形結(jié)合，可找到十分簡捷、巧妙的解法。以M為對稱中心，作ABC的中心對稱圖形ABC（如圖24），則DCAD，ECAE，設(shè)BP=x，PQ=y，QM=z，中心對稱性質(zhì)可得圖24思維擴散10

21、 由圖形可發(fā)現(xiàn)n個三角形有等底共高的特點，因而，可聯(lián)想面積法證明，思路也很暢通。連結(jié)PC，QC。（如圖25）由圖25對于求線段的長，可添設(shè)平行線，構(gòu)造出相似三角形，使各線段之間發(fā)生關(guān)系，再借助比例性質(zhì)進行變換，便可達到目的。（二）過點B添設(shè)平行線。思維擴散11 過點B作BNAC交AE，如圖26，AD的延長線于N、G，則EACENB，AC:BN=CE:EB=AM:BN=1:4圖26圖27ACBN QMAQBN，AM:BN=QM:QB=1:4QM(BMQM)=1:4BM=10，QM=2BNAC，PBGQMA，DBGDCA思維擴散12如圖27過B作BFAE交CA、AD的延長線于F，N二點，余下步驟留

22、給讀者實戰(zhàn)練習(xí)。寫出具體解題步驟。思維擴散13如圖28過點B作BFAD交CA的延長線于點N，EA的延長于點F。余下步驟請讀者完成。（二）過點C添沒平行線圖29圖28思維擴散14如圖29過點C作GNAB交AD、AE、BM的延長線分別為G、F、N，則F圖30圖31思維擴散15如圖30過C點作CNAD分別交AE、BM的延長線于F、N二點，則MAPMCN，請讀者繼續(xù)完成余下的步驟。思維擴散16如圖31過點C作CGAE，分別交BM、BA、DA的延長線于N、F、G三點，余下步驟，請讀者接著寫下去，一定能達目的?！炯蟹治觥窟@道例題還可繼續(xù)擴散，達20余種擴散，但歸納起來，在解有關(guān)相似三角形問題時，思路縱橫

23、、寬闊，使人感到有些茫然，到底走哪條思路好，沿那條思路走下去“平坦”。本例已告知我們當(dāng)遇到中線問題，可有兩大常規(guī)思路，“遇到中線常加倍，思路明白又省勁”，因為中線加倍后，可構(gòu)造平行四邊行，全等三角形等，各種隱含關(guān)系被挖掘出來，把分散的條件又集中起來，使思路明朗化，這一規(guī)律要熟記，以便今后更好地應(yīng)用，其次是“遇到中點構(gòu)造中位線，思路出現(xiàn)在眼前”，從思維擴散28，七種構(gòu)造三角形中位線的方法，從不同角度，不同位置，不同的方法構(gòu)造出三角形中位線，使問題都得到圓滿解決，展示了構(gòu)造三角形中位線的各種方法，開闊了眼界，拓寬了思路，學(xué)到了構(gòu)造三角形中位線方法，使數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提高。再者，遇到中點問題轉(zhuǎn)化為中心對

24、稱問題，思維擴散9已作出示范，讀者可仿效。對于研究線段之間的關(guān)系，“添設(shè)平行線”，添設(shè)平行線后，可構(gòu)造出相似三角形，出現(xiàn)新的比例式，進行新的組合（如中間比代換、等積代換、等線段代換等），便可發(fā)現(xiàn)新的關(guān)系，再借助比例的基本性質(zhì)便可找到思路，思維擴散1116是讀者學(xué)習(xí)的典范。面積法對等高或等底，等高不等底，等底不等高方面的問題，也是行之有效的，思維擴散10的求解過程確實證明這一點。【難題解析】例 自ABC的頂點引兩條射線交BC于P、Q，使BAP=CAQ，求證：。揭示思路：本例題設(shè)簡練，結(jié)論復(fù)雜，同時兩者又很難牽涉著關(guān)系，給證題帶來極大難度，此時，只要觀察一下圖形，真是似曾相識，仔細一想，不難發(fā)現(xiàn)，

25、與本文“思維擴散”例題十分相似，而且這幾個三角形都共高，“面積”法的火花在腦海中閃現(xiàn)，在前進的道路出現(xiàn)光明，試探如下：圖32??！給人一個驚喜！給所證結(jié)論左邊完全相同，良好的開端是成功的一半，那么下步當(dāng)然仿效面積證法，再試探如下：成功了！面積法威力大，遇到等高（或等底）別忘“它”?！八笨蓭湍阆朕k法。請讀者寫出它的證明過程吧！思路再剖析 添設(shè)平行線，構(gòu)造相似三角形，是研究線段之間關(guān)系的重要方法，盡管結(jié)論復(fù)雜，荊棘從生，只要勇于探索，黎明前的黑暗即將過去，勝利曙光在“招手”，我試添設(shè)平行線吧！會成功的。作PFAB交AQ于點F，作QEAC交AP于點E，則 (1)圖33 (2)由(1)，(2)再應(yīng)用添

26、設(shè)平行線方法，試證如下：作BEAQ交AP延長線于E點，作CFAP交AQ延長線于F點，圖34 (2)遇到難題是學(xué)習(xí)中的常事，但對難題要有攻破的必勝信心，再者就是研究攻破的方法。方法不是天上掉來的，也不是現(xiàn)成就有的，要積極進行思維，這道題可否剖析成幾個基本圖形，可否用數(shù)形結(jié)合？可曾和我們學(xué)過的問題有否相似之處？是否可轉(zhuǎn)化為我們熟悉問題？是否能用我們學(xué)過的面積法？積極進行思維，光明前程在招手。如本例，通過思維，進而聯(lián)想與本文“思維擴散”的例子有相仿之處，便把這個陌生難題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題。在遇到難題時，首先應(yīng)用常規(guī)方法投石問路，說不定也能打開思路，如本例，添設(shè)平行線，構(gòu)造相似三角形，使各線段之間發(fā)

27、生了關(guān)系，使證題出現(xiàn)了契機，要抓住契機，與面積法配伍，使問題出現(xiàn)了新生?？傊?，要積極思維，多方位探索，金石可開！三、智能顯示【心中有數(shù)】相似三角形在初中數(shù)學(xué)中至關(guān)重要，它非?！半S和”，與全等三角形、圓、函數(shù)、方程、方程組、三角函數(shù)、解直角三角形都很“親近”，在中考中的綜合題“它”也經(jīng)常參予。因而，對相似三角形這一單元的學(xué)習(xí)必須強化，要投入更多的精力學(xué)好它，對基礎(chǔ)知識一定要嫻熟掌握，達到舉一反三觸類旁通，對本單元學(xué)習(xí)的基本圖形，思維方法也要熟練駕馭。把這些基礎(chǔ)的東西儲存牢，再遇到新問題，通過聯(lián)想，便可引發(fā)出新的思維。圖35FD【動腦動手】1.如圖35，ABC中，DEFGBC，GIEFAB，若AD

28、E，EFG，GIC的面積分別為20cm2，45cm2，80cm2，求ABC的面積。 M2.在ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的高，AD的中點為M，CM的延長線交AB于K點，求證：AB=3AK。3.已知ABC的，AC=2，BC邊上的高，(1)求BC的長；(2)如果有正方形的一邊在AB上，另兩個頂點分別在AC，BC上，求這個正方形面積。圖364.在RtABC中，C=90°，AB=5cm，AC=4cm，以C為頂點，作一個內(nèi)接等邊三角形，且使它的一邊在RtABC的一邊上。(1)符合上述條件的等邊三角形能作幾個，請你分別畫出圖形。(2)在這些等邊三角形中，哪一個面積最大？最大面積是多少？（

29、精確到0.01cm2）5.一塊直角梯形的田地與兩底垂直的一腰長84m，兩底長分別為44m，65m，現(xiàn)在要修一條與兩底平行，寬4m，并使道路兩旁面積相等，試確定路的位置（即求道路的一邊與一底之間的距離）【動腦動手】答案或提示：1.本題是研究相似三角形面積，應(yīng)用“相似三角形面積的比等于相似比的平方”即可找到思路。思維一：設(shè)AE=a，EG=b，GC=c，由題設(shè)可知：ADEEFGGICABC 三式分別開方，并相加，得將上式兩邊平方，得(cm2)思路二：設(shè)AE=a，BG=b，GC=c由題設(shè)可證：ADEEFGGICABC(cm2)思路三：設(shè)將(1)式兩邊平方，得 (2)將S1=45，S2=80，代入(2)

30、，得：再應(yīng)用(2)式，得SDBHE 2.本題由AB=AC，且ADBC，得BD=DC即D為BC中點，又AM=MD，M為AD中點，由于有兩個中點，可架設(shè)中位線，可中線加倍，可架設(shè)平行線，可用面積法，可用射影法近30種解法，本文只重點寫出幾種有代表性的解法，其余許多種解法，請讀者一一研究，進行思維擴散，寫出出完整證明過程。（一）架設(shè)中位線法 M思路一：取BK的中點N，連結(jié)DND為BC中點，DNMKM為AD中點，AK=KN圖38N為BK的中點，BN=NK=AK=，AB=3AK圖39（二）中線加倍法思路二：延長MD至N，且使DN=DM=AMAB=AC，ADBC，BD=DCBNCM為，BNCM，AB=3A

31、K（三）添加平行線法圖40思路三：如圖40，過點A作ANKC交BC的延長線于點N，則（四）面積法思路四：連結(jié)BM，如圖41圖41（五）射影法思路五：如圖42，分別過A，B，D作CK的垂線，垂足分別為N，E，F(xiàn)，則BE=2DF=2AN（MDFAMNÞAN=DF）圖423.因，商，顯然AB，AC均比AD長，本題應(yīng)考慮兩個方面，D點在BC上或在BC的延長線上，二者缺一不可。思路：AB，AC均比AD長，于是知點D在BC上或BC的延長線上。(1)(i)若D在BC上，如圖(1) (ii)若D在BC延長線上，如圖(2) BC=BDCD=2(2)(i)當(dāng)BC=4時BC2=AB2 + AC2，ABC為

32、直角三角形，這時，內(nèi)接正方形AEGF應(yīng)如圖所示，設(shè)正方形邊長為x。S正方形AEGF (ii)當(dāng)BC=2時，AC=2，AB邊上的高為如圖，正方形EFGH的邊EF在AB上。 思路：在RtABC中，C=90°AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm(1)符合條件的等邊三角形能作出3個，如上圖(1)(3)所示。(2)(i)如圖(1)過E作EDAC于D，有DEBCADEACB，DE:BC=AD:AC設(shè)DE=x，則(cm)(ii)如圖(2)過E作EDBC于D，有DEACEBDABC DE:AC=BD:BC設(shè)DE=x，則(iii)如圖(3)，過點C作CDAB于D又2.42.352.09第(iii)

33、種情況下的等邊三角形面積最大，(cm2)答：當(dāng)C為頂點，其對邊在斜邊上時，構(gòu)成的等邊三角形面積約為3.33cm2是最大。5.（如原題圖及輔助線）思路：作如圖輔助線后，則CPFCRB設(shè)CP=h1，QR=h2，于是有FHMCRB，依題意，將方程組：代入整理，得因式分解，得h1 = 44, h2 =400（舍去） 故，此路上邊距離上底44m，下邊距離下底36m。相似三角形的判定一、 小結(jié) 證明兩個三角形相似的思考方法（用幻燈打出）圖形與條件思考方法條件DEBC用預(yù)備定理證：ABCADE有一對對應(yīng)角相等 （A=A'）(1) 證另一對對應(yīng)角相等，如B=B'(2)證夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例

34、有兩組邊對應(yīng)成比例 （）(1) 證夾角相等A=A'(2) 論第三組邊也成比例有直角條件時 （B=B'）(1) 證一對銳角相等，A=A'或C=C'(2) 證夾角直角的兩邊對應(yīng)成比例(3) 證斜邊，直角邊對應(yīng)成比例有等腰條件時（AB=AC， A'B'=A'C'）(1) 證頂角相等A=A'(2) 證一底角相等，B=B'或C=C'證：二、例題分析：例1：已知，如圖，ABA'B'，BCB'C' 求證：A'B'C'ABC方法1：三邊對應(yīng)成比例方法2：兩邊對應(yīng)成比例

35、且夾角相等例2：ABCD中E是對角線AC上任一點，過E的直線，PS分別交AB的延長線，BC、AC、AD、CD的延長線于P、Q、E、R、S。求證：EP·EQ=ER·ES分析：將乘積式變?yōu)楸壤?例3：ABCD中，E為BC中點，F(xiàn)為CD中點，AE、AF分別交BD于P、Q，求證：BP=PQ=QD分析： 例4：如圖，ABCDEF求證：例5：RtABC中，ACB=90°CDAB于D，DEAC于E， 求證：分析：由EDCB，得：再利用ACDABC得證。例6：ABC中，AM平分ABC，D為AM的中點，DNAM，DN交BC的延長線于N，求證：MN2=BN·CNMN=AN

36、 可利用ABNCAN例7：正方形ABCD中，E是AB中點，F(xiàn)是AD上一點，且AF=AD，EGCF于G，求證：EG2=CG·FG 可證：ACB=90° 利用AEFBCE三、 思考：1、已知：O是ABC內(nèi)一點，A、B、C與O的連線分別交對邊于M、N、P，求證： 證法1：作DNAM交BC于N，NECP交AB于E 證法2： 2、已知P是ABC內(nèi)任一點求證：證法1：同理： 證法2：過P作PHAB，PNAC 又 相加即可四、 作業(yè)：P236 10、11、12334教學(xué)建議 知識結(jié)構(gòu)重點、難點分析相似三角形的判定及應(yīng)用是本節(jié)的重點也是難點。它是本章的主要內(nèi)容之一，是在學(xué)完相似三角形的基礎(chǔ)

37、上，進一步研究相似三角形的本質(zhì)，以完成對相似三角形的定義、判定全面研究。相似三角形的判定還是研究相似三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)，是今后研究圓中線段關(guān)系的工具。它的難度較大，是因為前面所學(xué)的知識主要用來證明兩條線段相等，兩個角相等，兩條直線平行、垂直等。借助于圖形的直觀可以有助于找到全等三角形，但是到了相似形，主要是研究線段之間的比例關(guān)系，借助于圖形進行觀察比較困難，主要是借助于邏輯的體系進行分析、探求，難度較大。釋疑解難（1）全等三角形是相似三角形當(dāng)相似比為1時的特殊情況，判定兩個三角形全等的3個定理和判定兩個三角形相似的3個定理之間有內(nèi)在的聯(lián)系，不同之處僅在于前者是后者相似比為1的情況。（2）相似三角

38、形的判定定理的選擇：已知有一角相等時，可選擇判定定理1與判定定理2；已知有二邊對應(yīng)成比例時，可選擇判定定理2與判定定理3；判定直角三角形相似時，首先看是否可以用判定直角三角形的方法來判定，如果不能，再考慮用判定一般三角形相似的方法來判定。（3）相似三角形的判定定理的作用：可以用來判定兩個三角形相似；間接證明角相等、線段域比例；間接地為計算線段的長度及角的大小創(chuàng)造條件。（4）三角形相似的基本圖形：平行型：如圖1，“A”型即公共角對的邊平行，“×”型即對頂角對的邊平行，都可推出兩個三角形相似；相交線型：如圖2，公共角對的邊不平行，即相交或延長線相交或?qū)斀撬鶎呇娱L相交。圖中幾種情況只要

39、配上一對角相等，或夾公共角（或?qū)斀牵┑膬蛇叧杀壤?，就可以判定兩個三角形相似。第1課時一、教學(xué)目標1使學(xué)生了解判定定理1及直角三角形相似定理的證明方法并會應(yīng)用，掌握例2的結(jié)論。2繼續(xù)滲透和培養(yǎng)學(xué)生對類比數(shù)學(xué)思想的認識和理解。3通過了解定理的證明方法，培養(yǎng)和提高學(xué)生利用已學(xué)知識證明新命題的能力。4通過學(xué)習(xí)，了解由特殊到一般的唯物辯證法的觀點。二、教學(xué)設(shè)計類比學(xué)習(xí)，探討發(fā)現(xiàn)。三、重點及難點1教學(xué)重點：是判定定理l及直角三角形相似定理的應(yīng)用，以及例2的結(jié)論。2教學(xué)難點：是了解判定定理1的證題方法與思路。四、課時安排1課時五、教具學(xué)具準備多媒體、常用畫圖工具六、教學(xué)步驟復(fù)習(xí)提問1什么叫相似三角形？什么

40、叫相似比？2敘述預(yù)備定理，由預(yù)備定理的題所構(gòu)成的三角形是哪兩種情況。講解新課我們知道，用相似三角形的定義可以判定兩個三角形相似，但涉及的條件較多，需要有三對對應(yīng)角相等，三條對應(yīng)邊的比也都相等，顯然用起來很不方便。那么從本節(jié)課開始我們來研究能不能用較少的幾個條件就能判定三角形相似呢？上節(jié)課講的預(yù)備定理實際上就是一個判定三角形相似的方法，現(xiàn)在再來學(xué)習(xí)幾種三角形相似的判定方法。我們已經(jīng)知道，全等三角形是相似三角形當(dāng)相似比為1時的特殊情況，判定兩個三角形全等的三個公理和判定兩個三角形相似的三個定理之間有內(nèi)在的聯(lián)系，不同處僅在于前者是后者相似比等于1的情況，教學(xué)時可先指出全等三角形與相似三角形之間的關(guān)系

41、，然后引導(dǎo)學(xué)生自己用類比的方法找出新的命題，如：問：判定兩個三角形全等的方法有哪幾種？答：SAS、ASA（AAS）、SSS、HL。問：全等三角形判定中的“對應(yīng)角相等”及“對應(yīng)邊相等”的語句，用到三角形相似的判定中應(yīng)如何說？答：“對應(yīng)角相等”不變，“對應(yīng)邊相等”說成“對應(yīng)邊成比例”。問：我們知道，一條邊是寫不出比的，那么你能否由“ASA”或“AAS”，采用類比的方法，引出一個關(guān)于三角形相似判定的新的命題呢？答：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。強調(diào)：（1）學(xué)生在回答中，如出現(xiàn)問題，教師要予以啟發(fā)、引導(dǎo)、糾正。（2）用類比方法找出的新命題一定要加以證明。如

42、圖5-53，在ABC和 問：ABC和 是否相似？分析：可采用問答式以啟發(fā)學(xué)生了解證明方法。問：我們現(xiàn)在已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾個判定三角形相似的方法？答：三角形的定義，上一節(jié)學(xué)習(xí)的預(yù)備定理。問：根據(jù)本命題條件，探討時應(yīng)采用哪種方法？為什么？答：預(yù)備定理，因為用定義條件明顯不夠。問：采用預(yù)備定理，必須構(gòu)造出怎樣的圖形？答：  或  。問：應(yīng)如何添加輔助線，才能構(gòu)造出上一問的圖形？此問學(xué)生回答如有困難，教師可領(lǐng)學(xué)生共同探討，注意告訴學(xué)生作輔助線一定要合理。（1）在ABC邊AB（或延長線）上，截取，過D作DEBC交AC于E?！白飨嗨疲C全等”。（2）在ABC邊AB（或延長線上）上，截取 ，

43、在邊AC（或延長線上）截取AE= ，連結(jié)DE，“作全等，證相似”。（教師向?qū)W生解釋清楚“或延長線”的情況）雖然定理的證明不作要求，但通過剛才的分析讓學(xué)生了解定理的證明思路與方法，這樣有利于培養(yǎng)和提高學(xué)生利用已學(xué)知識證明新命題的能力。判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。簡單說成：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。此例題是判定定理的直拉應(yīng)用，應(yīng)使學(xué)生熟練掌握。例2 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似。該例題很重要，它一方面可以起到鞏固、掌握判定定理1的作用；另一方面它的應(yīng)用很廣泛，并且可以直接用它判定直角三角形相似，教材上排了黑體

44、字，所以可以當(dāng)作定理直接使用小結(jié)1判定定理1的引出及證明思路與方法的分析，要求學(xué)生掌握兩種輔助線作法的思路2判定定理1的應(yīng)用以及記住例2的結(jié)論并會應(yīng)用七、布置作業(yè)教材P238中A組3、4。八、板書設(shè)計相似三角形的性質(zhì)知識結(jié)構(gòu)周長之比等于相似比相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例面積之比等于相似比的平方對應(yīng)高之比、對應(yīng)中線之比、對應(yīng)角平分線之比都等于相似比重點難點分析相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用是本節(jié)的重點也是難點。 它是本章的主要內(nèi)容之一，是在學(xué)完相似三角形判斷的基礎(chǔ)上，進一步研究相似三角形的性質(zhì)，以完成對相似三角形的定義、判定和性質(zhì)的全面研究。相似三角形的性質(zhì)還是研究相似多邊形性質(zhì)的基礎(chǔ)，是今

45、后研究圓中線段關(guān)系的工具。它的難度較大，是因為前面所學(xué)的知識主要用來證明兩條線段相等，兩個角相等，兩條直線平行、垂直等。借助于圖形的直觀可以有助于找到全等三角形。但是到了相似形，主要是研究線段之間的比例關(guān)系，借助于圖形進行觀察比較困難，主要是借助于邏輯的體系進行分析、探求，難度較大。教法建議1相似三角形是最為簡單而又常用的相似多邊形。本節(jié)中的問題，可考慮讓學(xué)生通過測量和推理獲得結(jié)論。教學(xué)時教師可以利用方格子畫出一些符合條件的三角形，盡可能地讓學(xué)生通過觀察，認識相似三角形，必要時可使用度量工具。 2對于相似三角形的判定，可考慮從角到邊，即從三對角、兩對角、一對角對應(yīng)相等到兩條邊對應(yīng)成比例和一對角

46、對應(yīng)相等，然后再到三條邊對應(yīng)成比例來講述，這樣的順序比較自然，也符合學(xué)生的認識規(guī)律。 3有關(guān)相似三角形的判定方法，教學(xué)中要充分運用觀察、歸納、測量、實驗、推理等手段，讓學(xué)生充分體驗得出結(jié)論的過程，加強合情推理能力的培養(yǎng)，感受發(fā)現(xiàn)的樂趣，只有充分體現(xiàn)探索的過程，學(xué)生對結(jié)論才能真正理解和掌握。4對于每一種判定方法，可考慮用“探索”或“思考”方式提出猜想，然后通過“做一做”或“試一試”讓學(xué)生去驗證猜想，或者僅僅提出問題讓學(xué)生思考，例如，“如果兩個三角形僅有一對角對應(yīng)相等，那么它們會相似嗎？”的問題。對這些問題，不應(yīng)過多展開，主要是把有關(guān)結(jié)論留給學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，給學(xué)生更大的空間。 5相似三角形的各條性質(zhì)，

47、是利用前面的有關(guān)結(jié)論，經(jīng)過簡單推理得出的。對面積比的結(jié)論，可以根據(jù)學(xué)生的具體情況，給出數(shù)學(xué)上的推理過程。 6對于相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，可設(shè)計兩道生活實際中例題，這樣的問題在我國古代和國外有很多，教學(xué)中可視學(xué)生的實際情況適當(dāng)選擇，也可補充一些符合當(dāng)?shù)貙嶋H情況的例題。教學(xué)設(shè)計示例一、教學(xué)目標1使學(xué)生理解并掌握相似三角形的概念，理解相似比的概念.2使學(xué)生掌握預(yù)備定理，并了解它的承上啟下的作用.3通過預(yù)備定理的條件所構(gòu)成的圖形的三種情況，教給學(xué)生對一致性問題的思考方法.4通過學(xué)習(xí)，培養(yǎng)由特殊到一般的唯物辯證法觀點。二、教學(xué)設(shè)計類比學(xué)習(xí)、探索發(fā)現(xiàn)。三、重點、難點1教學(xué)重點：是相似三角形的概念及預(yù)備定理，

48、教學(xué)中要讓學(xué)生加深對相似三角形概念的本質(zhì)的認識。2教學(xué)難點：是相似比的概念及找對應(yīng)邊。四、課時安排1課時五、教具學(xué)具準備投影儀、膠片、常用畫圖工具六、教學(xué)步驟【復(fù)習(xí)提問】1什么叫做全等三角形？它在形狀上、大小上有何特征？2兩個全等三角形的對應(yīng)也和對應(yīng)角有什么關(guān)系？【講解新課】1相似三角形相似三角形的本質(zhì)特征是“具有相同形狀”，它們的大小不一定相等，這是和全等三角形的重要區(qū)別為加深學(xué)生對相似三角形概念的本質(zhì)的認識，教學(xué)時可預(yù)先準備幾對相似三角形，讓學(xué)生觀察或測量對應(yīng)元素的關(guān)系，然后直觀地得出：兩個三角形形狀相同，就是他們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三

49、角形符號“”，讀作：“相似于”，記作： ，如圖所示. 反之亦然即相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例（性質(zhì)）。 ， 另外，相似三角形具有傳遞性（性質(zhì)）。注：在證兩個三角形相似時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)位置上。思考問題：（l）所有等腰三角形都相似嗎？所有等邊三角形呢？為什么？（2）所有直角三角形都相似嗎？所有等腰直角三角形呢？為什么？2相似比的概念相似三角形對應(yīng)邊的比K，叫做相似比（或相似系數(shù)）。注：兩個相似三角形的相似比具有順序性。如果 與 的相似比是K，那么 與 的相似比是 .全等三角形的相似比為1，這也說明了全等三角形是相似三角形的特殊情形。3預(yù)備定理：平行三角形一邊的直線和其他兩

50、邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似. ，如圖所示。教材通過探討的方法，根據(jù)題設(shè)中有平行線的條件，結(jié)合52節(jié)例6定理的結(jié)論，再根據(jù)三角形的定義，從而得出了這兩個三角形相似的結(jié)論，這里要強調(diào)的是：（1）本定理的導(dǎo)出不僅讓學(xué)生復(fù)習(xí)了相似三角形的定義，而且為后面的證明打下了基礎(chǔ)，它的重要性是顯而易見的。（2）由本定理的題設(shè)所構(gòu)成的三角形有三種可能，除教材中兩種情況外還有如左圖所示的情形，它可以看成 BC截 兩邊所得，其中 ，本質(zhì)上與右圖是一致的。 （3）根據(jù)兩個三角形相似寫對應(yīng)邊的比例式時，每個比的前項是同一個三角形的三邊，而比的后項是另一個三角形的三條對應(yīng)邊，它們的位置不能寫錯，

51、作題時務(wù)必要認真仔細，如本定理的比例式，防止出現(xiàn) 的錯誤，如出現(xiàn)錯誤，教師要及時予以糾正。（4）根據(jù)兩個三角形相似寫對應(yīng)邊的比例式時，還應(yīng)給學(xué)生強調(diào)，這兩個三角形中相等的角所對的邊就是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊應(yīng)寫在對應(yīng)位置。（5）建議教師在教學(xué)中經(jīng)常采用一些形象性語言，如：有平行就有成比例線段，有平行就有相似三角形?！拘〗Y(jié)】1本節(jié)學(xué)習(xí)了相似三角形的概念。2正確理解相似比的概念，為以后學(xué)習(xí)相似三角形的性質(zhì)打下基礎(chǔ)。3重點學(xué)習(xí)了預(yù)備定理及注意的問題。七、布置作業(yè)教材P238中2，3.八、板書設(shè)計三角形相似的判定廣東省韶關(guān)市第十中學(xué) 馬勇彬一、教學(xué)內(nèi)容：人教版初中幾何第二冊5.4三角形相似的判定（第一課時）二

52、、教學(xué)目標知識目標：1、經(jīng)歷三角形相似的判定定理1 的探索及證明過程。 2、能應(yīng)用定理1判定兩個三角形相似，解決相關(guān)問題。 能力目標：1、讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明的過程，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析 問題、解決問題的能力。 2、正確應(yīng)用三角形相似的判定定理1，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。 3、滲透類比、化歸的數(shù)學(xué)思想和用數(shù)學(xué)的意識。情感目標：通過學(xué)生積極參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體驗數(shù)學(xué)的探索與創(chuàng)造快樂。三、教學(xué)重點與難點根據(jù)定理1重要地位和證明的復(fù)雜性,確定重難點為：重點：三角形相似的判定定理1及應(yīng)用。 難點：三角形相似的判定定理1的證明。四、教學(xué)過程點燃思維火花、引入新課 (3分鐘)1、復(fù)習(xí)相似三角形的定義和三角形相似的預(yù)備定理。2、新課引入的好壞在某種程度上關(guān)系到課堂教學(xué)的成敗，本節(jié)課選擇以舊孕新為切入點，創(chuàng)