第一章 直角座標(biāo)系

1、第一章 直角座標(biāo)系§1-1 數(shù)系的發(fā)展一、數(shù)系複數(shù)C實(shí)數(shù)R虛數(shù)（）無理數(shù)不循環(huán)無限小數(shù)有理數(shù)Q（分?jǐn)?shù)）整數(shù)Z有限小數(shù)無限小數(shù)正整數(shù)N0負(fù)整數(shù)1.自然數(shù)N=1、2、3、n、。（不包含0）2.整數(shù)Z=1、2、3、n、。3.有理數(shù)Q=p、q為整數(shù)。即可化為分?jǐn)?shù)形式的數(shù)，包含整數(shù)、分?jǐn)?shù)、 有限小數(shù)及循環(huán)小數(shù)。4.無理數(shù)，即不可化為分?jǐn)?shù)形式的數(shù)，如， 等。5.數(shù)系大小關(guān)係_。例題1【數(shù)的判別】 下列實(shí)數(shù)中，哪些是有理數(shù)？(1)(2)(3)(4)(5)隨堂練習(xí)1下列實(shí)數(shù)中，哪些是有理數(shù)？(1)5(2)(3)(4)(5)0例題2【分?jǐn)?shù)小數(shù)】 將下列分?jǐn)?shù)化為小數(shù)：(1)(2)(3) 隨堂練習(xí)2將下列

2、分?jǐn)?shù)化為小數(shù)：(1)(2)(3)例題3【小數(shù)分?jǐn)?shù)】將下列小數(shù)化為最簡分?jǐn)?shù)：(1)0.45(2)(3)口訣： 隨堂練習(xí)3 將下列小數(shù)化為最簡分?jǐn)?shù)：(1)0.75(2)(3)二、根式的基本運(yùn)算： 設(shè)、（1） （2）（3） （4）例題4【根式的運(yùn)算】化簡：(1)(2)隨堂練習(xí)4化簡：(1)(2)例題5化簡：(1)(2) 隨堂練習(xí)5化簡：(1)(2)例題6將下列各式的化為最簡根式：（1） （2） (3) （4） (5) 隨堂練習(xí)6將下列分式的分母有理化：（1） （2） （3） (4) 三、實(shí)數(shù)的絕對值1.對於任意實(shí)數(shù)x，則：（1）恆有與。（2）。（3）設(shè)a為正數(shù)，若，則x=a或-a。例題7設(shè)x、y為實(shí)

3、數(shù)，且滿足，求x、y之值？隨堂練習(xí)7設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，且滿足，求x、y之值？例題8設(shè)，試求之值？隨堂練習(xí)8設(shè)，試求之值？1-2 直角座標(biāo)系一、點(diǎn)與座標(biāo)(1)有序數(shù)對(，)稱為P點(diǎn)的座標(biāo)，則記為P(，)， 其中稱為P的座標(biāo)(或橫座標(biāo))、 稱為P的座標(biāo)(或縱座標(biāo))， 原點(diǎn)的座標(biāo)為(0，0)。如右圖所示： 注意：在此所謂的有序數(shù)對指的是(2，3)跟(3，2)所表示的是不同的點(diǎn)。(2) 座標(biāo)平面是由軸與軸分割成四個(gè)象限，從右上角開始， 依逆時(shí)針方向的順序，稱為第一象限、第二象限、第三象限、第四象限 第一象限座標(biāo)(，)，其中0、0。 第二象限座標(biāo)(，)，其中0、0。 第三象限座標(biāo)(，)，其中0、0。 第四

4、象限座標(biāo)(，)，其中0、0。 注意：軸與軸上的點(diǎn)不屬於任何一個(gè)象限，軸上的點(diǎn)座標(biāo)為(，0)， 軸上的點(diǎn)座標(biāo)為(0，)。例題1試在平面坐標(biāo)系中，描出下列各數(shù)對的對應(yīng)點(diǎn)：(1)(2)(3)(4)(5)隨堂練習(xí)1試在平面坐標(biāo)系中，描出下列各數(shù)對的對應(yīng)點(diǎn)：(1)(2)(3)(4)(5)例題2已知、為實(shí)數(shù)，若點(diǎn)在第二象限，則點(diǎn)在第幾象限？隨堂練習(xí)2（1）已知、為實(shí)數(shù)，且，則點(diǎn)屬於第幾象限？（2）已知Q（a，b）位於第二象限，則點(diǎn)P（ab，a-b）在第幾象限？例題3在座標(biāo)平面上，點(diǎn)P（-6，a+5）在x軸上，而Q（b-2，4）在y軸上，試問點(diǎn)R（a，b）在哪一象限內(nèi)？隨堂練習(xí)3在座標(biāo)平面上，點(diǎn)P（6，3-

5、a）在x軸上，而Q（b+7，4）在y軸上，試問點(diǎn)R（a，b）在哪一象限內(nèi)？二、平面兩點(diǎn)距離公式1.線座標(biāo)公式：設(shè)A、B兩點(diǎn)座標(biāo)分別為A（a）、B（b），則 例：直線座標(biāo)上兩點(diǎn)A（-2）、B（5），則2.平面座標(biāo)距離公式：設(shè)A（，）、B（，），例題4設(shè)線座標(biāo)上兩點(diǎn)A（2x-1）、B（2），且，試求x的值？隨堂練習(xí)4設(shè)線座標(biāo)上兩點(diǎn)A（x+2）、B（7），且，試求x的值？ 例題5求兩點(diǎn)，的距離。隨堂練習(xí)5求兩點(diǎn)，的距離。例題6設(shè)、，試求：(1)三邊長的和(2)判別三角形的形狀隨堂練習(xí)6設(shè)、，試求：(1)三邊長的和(2)判別三角形的形狀例題7設(shè)平面座標(biāo)上兩點(diǎn)A（4，10）、B（x，-2），且，試求x的

6、值？隨堂練習(xí)7設(shè)平面座標(biāo)上兩點(diǎn)A（2，x）、B（-1，10），且，試求x的值？三、分點(diǎn)公式1.設(shè)P()、P()、P() 為同一直線上相異三點(diǎn)， 且 P 是之內(nèi)分點(diǎn)， 若：m：n， 則 P（，） 。2.中點(diǎn)公式：設(shè)A（，）、B（，），若P在上，且P為 之中點(diǎn)，則點(diǎn)座標(biāo)P（，）。例題8設(shè)、為坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)，且，求點(diǎn)坐標(biāo)。隨堂練習(xí)8設(shè)、三點(diǎn)共線，且介於、兩點(diǎn)之間，、且，求點(diǎn)之坐標(biāo)。例題9平面上二點(diǎn)、，在的延長線上，且，求點(diǎn)坐標(biāo)。隨堂練習(xí)9平面上三點(diǎn)、共線，且在線段上，若，求點(diǎn)坐標(biāo)。例題10一圓的直徑兩端點(diǎn)的坐標(biāo)為與，若此圓的圓心坐標(biāo)為，試求、之值。隨堂練習(xí)10.設(shè)，求中點(diǎn)的坐標(biāo)。例題11【中點(diǎn)+距離

7、公式】 設(shè)平面上三點(diǎn)、，且為之中點(diǎn)，則與原點(diǎn)的距離為何？隨堂練習(xí)11設(shè)平面上三點(diǎn)、，且為之中點(diǎn)，則與點(diǎn)的距離為何？例題12設(shè)一平行四邊形中，已知、，求點(diǎn)。 隨堂練習(xí)12設(shè)一平行四邊形中，已知、，求點(diǎn)。四、重心公式1.三角形五心：（1）重心：三邊中線交點(diǎn)。 （2）外心：三邊中垂線交點(diǎn)。（3）垂心：三高交點(diǎn)。 （4）內(nèi)心：三角平分線交點(diǎn)。（5）傍心：一內(nèi)角角平分線與另二外角角平分線交點(diǎn)。2.三角形重心座標(biāo)公式：設(shè)A（，）、B（，）、C（，） 為之頂點(diǎn)，則的重心座標(biāo)為G（，）例題13設(shè)三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，試求其重心的坐標(biāo)。隨堂練習(xí)13設(shè)A（4，-2）、B（2，6）、C（6，5）為之三頂點(diǎn)，且 三邊，

8、中點(diǎn)為D、E、F，試求：（1）的重心G的座標(biāo)？ （2）的重心的座標(biāo)？例題14設(shè)之三頂點(diǎn)為、，若的重心為，試求。隨堂練習(xí)14設(shè)、，試求：(1)之重心坐標(biāo)(2)邊上中點(diǎn)的坐標(biāo)(3)邊上中線的長1-3 函數(shù)圖形一、 函數(shù)的定義 設(shè) x、y 為兩個(gè)變數(shù)，當(dāng)變數(shù) y 依照某種規(guī)則隨著 x 的變化而確定時(shí)，我們稱 y 是 x 的函數(shù)，記作 y = f(x) 其中 x 稱為自變數(shù)，y 稱為應(yīng)變數(shù)。 【特別說明】當(dāng) y 是 x 的函數(shù)時(shí)，對於每一個(gè) x 值，必有一個(gè)而且只有 一個(gè)對應(yīng)的 y 值。 【例如】二、 函數(shù)的定義域與值域 y 是 x 的函數(shù)，記作 y = f(x) ，當(dāng) x = a 時(shí)，y = f(a

9、)，f(a) 稱為函數(shù) f(x)在x = a 的函數(shù)值 又 x 的變動(dòng)範(fàn)圍稱為函數(shù)的定義域，而函數(shù)值的範(fàn)圍，稱為值域。例題1試在平面坐標(biāo)系中，描出下列各數(shù)對的對應(yīng)點(diǎn)：(1)(2)(3)(4)(5)隨堂練習(xí)1Ex1.設(shè)正方形的邊長為公分，面積為平方公分，試將表成的函 數(shù)。練習(xí)1：周長為60公尺的矩形，若長為公尺，寬為公尺，試將表 成的函數(shù)。Ex2.求下列各函數(shù)之定義域：（1） （2） （3） （4）練習(xí)2.求下列各函數(shù)之定義域：（1） （2） （3） （4）Ex3.設(shè)函數(shù)，求與之值。練習(xí)3.設(shè)函數(shù)，求x=1與x=-1之值。Ex4.若函數(shù)，求之值。練習(xí)4.若函數(shù)，求之值。Ex5.（1）設(shè)，若，試求

10、之值。 （2）若，求之值。練習(xí)5.（1）設(shè)，若，試求之值。 （2）若，求之值。重點(diǎn)二：函數(shù)圖形1.線性函數(shù)：（1）圖形為一直線稱為線性函數(shù)，其函數(shù)關(guān)係為（2）當(dāng)，此函數(shù)為一對一線性函數(shù)如圖一、二。（3）當(dāng)a=0，此函數(shù)為多對一線性函數(shù)如圖三。xy圖一xy圖二xy圖三xy圖四（4）圖形為一直線不一定為線性函數(shù)，如圖四（為一對多）。Ex6.（1）試描繪函數(shù)的圖形。 （2）試描繪函數(shù)的圖形。練習(xí)6.（1）試描繪函數(shù)的圖形。 （2）試描繪函數(shù)的圖形。Ex7.設(shè)為一個(gè)線性函數(shù)，且，求。練習(xí)7.設(shè)為一個(gè)線性函數(shù)，且，求。Ex7.若直線L:ax+by+5=0之圖形不經(jīng)過第一象限，試判斷a、b之正 負(fù)？練習(xí)7

11、.若直線L:ax-by+2=0之圖形不經(jīng)過第二象限，試判斷a、b之 正負(fù)？2.二次函數(shù)（1）圖形為一對稱性拋物線，稱為二次函數(shù)，其函數(shù)關(guān)係為（2）拋物線開口方向不同，會(huì)有最高與最低點(diǎn)的差別，如下圖：xya0，開口向上，最低點(diǎn)xya0，開口向下，最高點(diǎn)（3）最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的求法：利用配方法，將化 簡為 Pf：xya0，開口向上，有最低點(diǎn)（h，k）=（，）有最小值y=，對稱軸x=（4）總結(jié)：如下圖xya0，開口向下，有最低點(diǎn)（h，k）=（，）有最大值y=，對稱軸x=Ex8.（1）試描繪函數(shù)的圖形。 （2）試描繪函數(shù)的圖形。練習(xí)8.（1）試描繪函數(shù)的圖形。 （2）試描繪函數(shù)的圖形。Ex9.試求函數(shù)之

12、最小值、頂點(diǎn)座標(biāo)與對稱軸。練習(xí)9.試求函數(shù)之最大值、頂點(diǎn)座標(biāo)與對稱軸。Ex10.設(shè)二次函數(shù)在x=2時(shí)有最大值9，且，試求之值。練習(xí)10.設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)為（-1，3），且，試求之 值。Ex11.若函數(shù)，在時(shí)，有極大值為10，試求 a、b之值。練習(xí)11.若函數(shù)，在時(shí)，有極大值為b，試求 a+2b之值。重點(diǎn)三：二次函數(shù)的恆正、負(fù)判斷1.二次函數(shù)，圖形與x軸關(guān)係有下列三種：（1）與x軸相交兩點(diǎn)。（2）與x軸相交一點(diǎn)。（3）與x軸沒有一點(diǎn)。2.設(shè)函數(shù)，則：（1）對任意實(shí)數(shù)x，若（即為恆正）。xy1.a02.圖形與x軸無焦點(diǎn)3.a×（2）對任意實(shí)數(shù)x，若（即為恆正）。xy1.a<02.圖

13、形與x軸無焦點(diǎn)3.a×Ex12.若函數(shù)之圖形與x軸不相交，試求k 之範(fàn)圍？練習(xí)12.若函數(shù)之圖形與x軸不相交，試求k 之範(fàn)圍？Ex13.根據(jù)果農(nóng)之種植經(jīng)驗(yàn)，若每畝種植18棵柿子樹時(shí)，則每棵樹平 均可產(chǎn)200個(gè)柿子；但每畝增加種植一棵柿子樹，則每棵會(huì)減 產(chǎn)10個(gè)柿子。問若欲達(dá)到最大收成的條件下，每畝應(yīng)種植幾棵 為最佳？練習(xí)13.水梨果園每畝有20棵樹，每棵樹平均可產(chǎn)200個(gè)水梨；但每畝增加種植一棵柿子樹，則每棵會(huì)減產(chǎn)5個(gè)水梨。問若欲達(dá)到最大收成的條件下，每畝應(yīng)種植幾棵為最佳？重點(diǎn)四：二次函數(shù)係數(shù)正、負(fù)號判斷1.已知二次函數(shù)，可利用圖形判斷a、b、c 之正、負(fù)號。（1）a的判斷：（2）b的判斷：利用頂點(diǎn)x座標(biāo)為-，再由圖形判斷正、負(fù)。（3）c的判斷：帶x=0入，可得，再由圖形判斷正、