隨機(jī)過(guò)程概率空間

1、第一章第一章 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)1.1 概率空間概率空間1.2 1.2 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 1.3 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1.4 特征函數(shù)、母函數(shù)特征函數(shù)、母函數(shù) 1.5 收斂性與極限定理收斂性與極限定理1.1 概率空間概率空間一、隨機(jī)事件的公理化定義一、隨機(jī)事件的公理化定義 回顧初等概率論中引進(jìn)古典概率、幾何概率回顧初等概率論中引進(jìn)古典概率、幾何概率等定義，有如下問(wèn)題：等定義，有如下問(wèn)題： 對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)e的樣本空間的樣本空間,是否是否的每一個(gè)的每一個(gè)子集子集( (事件事件) )都能確定概率都能確定概率? ? 定義定義(代數(shù)代數(shù)) )：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)：設(shè)隨機(jī)

2、試驗(yàn)e 的樣本空間的樣本空間為為,f 是是的子集組成的集族，滿(mǎn)足的子集組成的集族，滿(mǎn)足(1) f ; ;(2)若若af, ,則則 . .（對(duì)逆運(yùn)算封閉）（對(duì)逆運(yùn)算封閉）fa (3) 若若 則則（對(duì)可列并運(yùn)算封閉）（對(duì)可列并運(yùn)算封閉） , 2 , 1 ifai 1iifa 稱(chēng)稱(chēng)f為為的一個(gè)的一個(gè)-代數(shù)代數(shù)（事件體）（事件體）, , f 中的集中的集合稱(chēng)為合稱(chēng)為事件事件. . f的定義給出了事件間類(lèi)似于代數(shù)學(xué)中的代的定義給出了事件間類(lèi)似于代數(shù)學(xué)中的代數(shù)結(jié)構(gòu)數(shù)結(jié)構(gòu). . ex1：在編號(hào)為：在編號(hào)為1,2，,n 的的 n個(gè)元件中取一件，個(gè)元件中取一件， 1. 考慮元件的編號(hào)，則全體基本事件為考慮元件的

3、編號(hào)，則全體基本事件為樣本空間為樣本空間為 n,1,2, 構(gòu)造如下事件構(gòu)造如下事件: nkkak, 2 , 1 ,1,2,nskaaasksk nskiaaaaskiski,1,2, niiiaaaaniiiiiin,1,2,121,1211n21 ,1n21, iiiskkaaa可驗(yàn)證集族可驗(yàn)證集族組成一個(gè)組成一個(gè)代數(shù)代數(shù). 2. 僅考慮元件是正品或次品，則基本事件為僅考慮元件是正品或次品，則基本事件為 a1=取到正品取到正品, , a2=取到次品取到次品 ,a,a,f21 則則 為一個(gè)為一個(gè)代數(shù)代數(shù). .,aa,f代代數(shù)數(shù)是是最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單通通常常稱(chēng)稱(chēng) ex.2 測(cè)量一個(gè)零件測(cè)量一個(gè)零件,

4、,考慮其測(cè)量結(jié)果與實(shí)際長(zhǎng)考慮其測(cè)量結(jié)果與實(shí)際長(zhǎng)度的誤差度的誤差. . 基本事件為基本事件為x, ,樣本空間為樣本空間為 11:rrxx 則則r1 1的子集全體：的子集全體： , ,單點(diǎn)集單點(diǎn)集 x ，一切開(kāi)的，一切開(kāi)的, ,閉的，半開(kāi)半閉區(qū)間等組成的集族閉的，半開(kāi)半閉區(qū)間等組成的集族f是一個(gè)代數(shù)是一個(gè)代數(shù). ., 另外，令另外，令 0:0:21 xxaxxa= =出現(xiàn)正誤差出現(xiàn)正誤差= =出現(xiàn)負(fù)誤差出現(xiàn)負(fù)誤差則則 為一個(gè)為一個(gè)代數(shù)代數(shù). ,a,a,f21 注：注：對(duì)同一研究對(duì)象的同一試驗(yàn)對(duì)同一研究對(duì)象的同一試驗(yàn),試驗(yàn)?zāi)康牟煌囼?yàn)?zāi)康牟煌?其樣本空間和代數(shù)的結(jié)構(gòu)會(huì)不同其樣本空間和代數(shù)的結(jié)構(gòu)會(huì)不同

5、. 定義定義(可測(cè)空間可測(cè)空間)：樣本空間：樣本空間和和代數(shù)的二元體代數(shù)的二元體(,f) 稱(chēng)為可測(cè)空間稱(chēng)為可測(cè)空間.可測(cè)空間有如下可測(cè)空間有如下性質(zhì)性質(zhì)： 1. ;f 2.對(duì)可列交運(yùn)算封閉對(duì)可列交運(yùn)算封閉,若若 則有則有 ),1,2,( ifai 1fiia 證證,11 iiiiaa因因ff iiaa 11ffiiiiaa3. 對(duì)有限并對(duì)有限并, ,有限交封閉：若有限交封閉：若 則則 niai,1,2,f niiniiaa11ff, 或或4. .對(duì)差運(yùn)算封閉對(duì)差運(yùn)算封閉,即即若若 則則 . .f,f, baf baf baba二、概率的公理化定義二、概率的公理化定義柯氏公理體系是現(xiàn)代概率論的基

6、石柯氏公理體系是現(xiàn)代概率論的基石. 定義定義( (概率概率) )：設(shè)：設(shè)(,f)是一可測(cè)空間，對(duì)是一可測(cè)空間，對(duì) 定義在定義在f上的實(shí)值集函數(shù)上的實(shí)值集函數(shù)p(a), 滿(mǎn)足滿(mǎn)足f a1) 非負(fù)性：對(duì)非負(fù)性：對(duì) ; 10f, apa2) 規(guī)范性規(guī)范性: :p() = 1; ;3) 完全可加性完全可加性, ,對(duì)對(duì) ,1,2,fjiaaiajii 有有 11iiiiapap 稱(chēng)稱(chēng)p是是(,(,f) )上的上的概率概率( (測(cè)度測(cè)度),),p(a)是事件是事件a的概率的概率. . 三元體三元體(,f, p)稱(chēng)為稱(chēng)為概率空間概率空間. ex: 設(shè)某路口到達(dá)的車(chē)輛數(shù)為設(shè)某路口到達(dá)的車(chē)輛數(shù)為m, ,基本事件

7、基本事件為為m, ,樣本空間樣本空間 f是是的一切子集的一切子集組成的集族，則組成的集族，則f是一個(gè)是一個(gè)代數(shù)代數(shù). . ,0,1,2, 定義定義p()=0,并對(duì)并對(duì)af 令令 akkkap0,!e證明證明 p為可測(cè)空間為可測(cè)空間(,(,f) )上的概率上的概率. . 證證: 1) 01!e!ekkkkkkp, 0!e0 kkk有有，對(duì)，對(duì)2) 因因; 1!e!e)(0 akkkkkkap3) 設(shè)設(shè)),( , )1,2,(,fjiaaiajii iiakkiikap1!e1. )(!e11 iakiikiapk有有三、概率性質(zhì)三、概率性質(zhì)設(shè)設(shè)(,(,f, p) )是概率空間是概率空間, ,則概

8、率則概率p 有如下性質(zhì)有如下性質(zhì): :1) p()=0;2)有限可加性有限可加性: 若若 )( ,1,2,fjiaaniajii ; )(11 niiniiapap則則推論推論1: ; 1 apap 推論推論2 (單調(diào)性單調(diào)性):):若若 ，則，則ab p(ab)=p(a)p(b) 且且 ,bpap 3) 概率的單調(diào)性概率的單調(diào)性. 0)(lim nnap則則,1 nna且且若若,21 aa 1,2,1k nbaankknkk證：證： 211 nnnnnaaaaaa1anan+1其中其中b1,b2,互不相容，由完全可加性有互不相容，由完全可加性有 0)(11111 kkkkkaapbpap收斂

9、級(jí)數(shù)的余項(xiàng)極限為收斂級(jí)數(shù)的余項(xiàng)極限為0,( (as ), ),即即 n . )as(0,1 naapapnkkkn則則且且若若,121aaaann 推論推論1： .linapapnn 推論推論2： 則則且且若若,121 nnaaaa .linapapnn 證：在推論證：在推論1中中 ,21 bbaabnn則則令令 . 00lim aapapapbpnnnn )( nasapapn aaaann1 11nnnnaab且且abn= an - a有有設(shè)設(shè),1,2,f,niai 4）多除少補(bǔ)原理）多除少補(bǔ)原理 niiniiapap11 .1111 nkiniinkiapaap推論推論：概率具有次可加性

10、：概率具有次可加性 .11 niiniiapap四、條件概率四、條件概率 bpabpbap 定義定義：設(shè)：設(shè)(,f, p)是概率空間，是概率空間，a, bf，且且p(b)0 稱(chēng)為已知事件稱(chēng)為已知事件b發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件下，事件a 發(fā)生的發(fā)生的條件概率條件概率. 定理：定理：設(shè)設(shè)(,f,p)是概率空間是概率空間,bf,且且p(b)0,則則對(duì)對(duì) 有有 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng), 集函數(shù)集函數(shù) 滿(mǎn)足三滿(mǎn)足三條公理?xiàng)l公理: : )(bapf, a bp 1;)()2 bp .11 iiiibapbap 則則且且),( ,1,2,f)3jiaaiajii 條件概率條件概率是概率是概率. .; 1)(0f,)1

11、 bapa 定義定義: :記記pb= = p( (| |b）, ,則則pb 是可測(cè)空間是可測(cè)空間(,(,f) )上的概率上的概率, ,稱(chēng)稱(chēng)(,(,f, ,pb) )是是條件概率空間條件概率空間. . 定理：定理：設(shè)設(shè)a是概率空間是概率空間(,f, p)上的正概率事上的正概率事件件,bf, 且且pa(b)0, 則對(duì)任意則對(duì)任意cf 有有 )(bacpbcpa )()()()(abpacbpbpcbpbcpaaa 證證 . )()()()()(/)()(bacpabpabcpapabpapabcp ex. 10 張簽中有三張幸運(yùn)簽張簽中有三張幸運(yùn)簽, ,3人依次各抽一人依次各抽一張簽張簽, ,第一個(gè)人抽到幸運(yùn)簽第一個(gè)人抽到幸運(yùn)簽, ,假若第二人也抽到假若第二人也抽到, ,問(wèn)第三人抽到幸運(yùn)簽的概率問(wèn)第三人抽到幸運(yùn)簽的概率. .解解 設(shè)設(shè) ai= =第第i 人抽到幸運(yùn)簽人抽到幸運(yùn)簽, i=1,2,3. . , )(11appa 記記,92)()(1221 aapapa有有.81)()(213231 aaapaapa所求概率為所求概率為五、全五、全概