三角函數(shù)圖象綜合問題選解

1、三角函數(shù)圖象綜合問題選解關(guān)于三角函數(shù)的性質(zhì)、最值、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性問題都與三角函數(shù)的圖象有關(guān)，因此，迅速、熟練、準(zhǔn)確地作出三角函數(shù)圖象成為解題的關(guān)鍵步驟，所以說，三角函數(shù)的綜合問題，實(shí)質(zhì)上就是三角函數(shù)的圖象問題下面選解分析幾例例1 如圖為函數(shù)y =asin()的一個周期的圖象yxo22-53寫出y =的解析式；寫y =的解析式，使得與的圖象關(guān)于直線x =2對稱；求作y =的圖象解：由圖知= 53 = 2，所以周期t=8， =，a=2y =2sin(x)，從圖象可知，點(diǎn)(3，0)是五個關(guān)鍵點(diǎn)中的第三個關(guān)鍵點(diǎn)，×3=，=，y =2sin(x)yxo2-64-2-28設(shè)(x，

2、y)是y =的圖象上任一點(diǎn)，此點(diǎn)關(guān)于x = 2的對稱點(diǎn)為(4x， y)在y =的圖象上，即y = 2sin(4x)整理得：y =2sin(x)這就是所要求的y =的表達(dá)式y(tǒng) =2sin(x)2sin(x)=2sinx (圖象如右圖)例2 已知彈簧上掛的小球做上下振動時(shí)，小球離開平衡位置的距離s(cm)隨時(shí)間t(s)的變化規(guī)律為s = 4sin(2t)， t0，)用五點(diǎn)法作出這個函數(shù)在一個周期內(nèi)的簡圖，并回答下列問題：小球在開始振動(t = 0)時(shí)，離開平衡位置的位移是多少？小球上升到最高點(diǎn)、下降到最低點(diǎn)時(shí)離開平衡位置的位移分別是多少？經(jīng)過多少時(shí)間，小球往返振動一次？解：作圖的步驟如下：因?yàn)閠=

3、，t=，所以t= t=，t= t=，t= t=，t= t=列表求值2t02t4sin(2t)04040描點(diǎn)連線，得s = 4sin(2t)在一個周期內(nèi)的簡圖如圖所示ts44由于t的實(shí)際意義是時(shí)間，即t0，所以，把區(qū)間，0上的一段曲線用虛線畫出上圖中用實(shí)線表示的部分，才是實(shí)踐中s = 4sin(2t)，在一個周期內(nèi)的簡圖問題的回答如下：將t = 0代入s =4sin(2t)，得s = 4sin=2346(cm)，即小球開始振動時(shí)的位移是2cm并由圖知這段位移是在平衡位置的上方由圖知，小球上升到最高點(diǎn)、下降到最低點(diǎn)時(shí)，離開平衡位置的位移都是4cm由于這個函數(shù)的周期t=，所以小球往復(fù)振動一次所需要的

4、時(shí)間為=314s反映在圖象上，正弦型曲線在每一個長度為的區(qū)間上，都要完整的重復(fù)變化一次評析：在物理學(xué)中，當(dāng)物體做簡諧運(yùn)動時(shí)，可以用正弦函數(shù)y =asin()來表示振動的位移y隨時(shí)間x的變化規(guī)律例3 已知函數(shù)=1討論函數(shù)的奇偶性；判斷函數(shù)的最小正周期，并(用反證法)證明你的結(jié)論；求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；作出函數(shù)在0，2內(nèi)的圖象解：= |sinx|cosx|1，定義域?yàn)閞=，為偶函數(shù)=|sin(x)|cos(x)|=，t=x1y2假設(shè)的最小正周期為t，且0t，=，即|sin(xt)|cos(xt)|=|sinx|cosx|對xr恒成立令x = 0，得|sint|cost|=10t，sintcost=1( sintcost)=1sin2t=0與t(0， )矛盾， 的最小正周期t=當(dāng)x0， 時(shí)，=sin(x)1，當(dāng)x0， 時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)x，時(shí)，單調(diào)遞減故的遞增區(qū)間是，而遞減區(qū)間，(kz)；圖象如圖所示評析：從圖象中可以直觀地分析出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最小正周期、奇偶性等結(jié)論，并可以對照驗(yàn)證前面的結(jié)論例4 方程sinxcosx = m在0，上有兩個解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍yxoy =1解：方程可化為= sin(x)，根據(jù)此方程