中考總復(fù)習(xí)之幾何綜合題

1、中考總復(fù)習(xí)-幾何綜合 幾何綜合題常研究以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：1.證明線段、角的數(shù)量關(guān)系（包括相等、和差、倍、分關(guān)系以及比例關(guān)系）；2.證明圖形的位置關(guān)系（如點(diǎn)與線、線與線、線與圓等）；3.面積計(jì)算問(wèn)題；4.動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題在解幾何綜合問(wèn)題時(shí)，常要分解基本圖形，挖掘隱含的數(shù)量關(guān)系，另外，也需要注意使用數(shù)形結(jié)合、方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法來(lái)解決問(wèn)題。借助變換的觀點(diǎn)也能幫助我們找到更有效的解決問(wèn)題的思路。解幾何綜合題，要充分利用綜合與分析的思維方法。當(dāng)思維受阻時(shí)要及時(shí)改變方向;要熟悉常用的輔助線添法;強(qiáng)化變換的意識(shí);從特殊或極端位置探究結(jié)論。第一課時(shí)：基本證明與計(jì)算：例1.直線cf垂直且平分ad于點(diǎn)e，

2、四邊形abcd是菱形，ba的延長(zhǎng)線交cf于點(diǎn)f，連接ac。（1）寫(xiě)出圖中兩對(duì)全等三角形。（2）求證：abc是正三角形。例2、在平行四邊形abcd中，e、f分別為邊ab、cd的中點(diǎn)，bd是對(duì)角線，agdb交cb的延長(zhǎng)線于g.（1） 求證：adecbf（2） 若四邊形bedf是菱形，則四邊形agbd是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論。例3、如圖1，在四邊形abcd中，已知ab=bccd，bad和cda均為銳角，點(diǎn)p是對(duì)角線bd上的一點(diǎn)，pqba交ad于點(diǎn)q，psbc交dc于點(diǎn)s，四邊形pqrs是平行四邊形。（1）當(dāng)點(diǎn)p與點(diǎn)b重合時(shí)，圖1變?yōu)閳D2，若abd90°，求證：abrcrd；（2）對(duì)

3、于圖1，若四邊形prds也是平行四邊形，此時(shí)，你能推出四邊形abcd還應(yīng)滿足什么條件？ 練習(xí)：1在梯形中，（1）求的長(zhǎng)；（2）為梯形內(nèi)一點(diǎn)，為梯形外一點(diǎn)，若，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由（3）在（2）的條件下，若，求的長(zhǎng)2.如圖，四邊形abcd為一梯形紙片，ab/cd，ad=bc翻折紙片abcd，使點(diǎn)a與點(diǎn)c重合，折痕為ef已知ceab（1）求證：ef/bd；（2）若ab=7，cd=3，求線段ef的長(zhǎng)3.已知：在中，d為ab邊上一點(diǎn)，（1）試說(shuō)明：和都是等腰三角形；（2）若，求的值；（3）請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)等腰梯形，使得該梯形連同它的兩條對(duì)角線得到8個(gè)等腰三角形（標(biāo)明各角的度數(shù)）4.如圖，abbc，dc

4、bc，垂足分別為b、c。（1） 當(dāng)ab=4，dc=1，bc=4時(shí)，在線段bc上是否存在點(diǎn)p，使appd？如果存在，求bp的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（2） 設(shè)ab=a,dc=b,ad=c,那么當(dāng)a,b,c滿足什么條件時(shí)，直線bc上存在點(diǎn)p，使得appd？5.如圖，梯形abcd中，adbc，abc=90°，ad=9，bc=12，ab=，在線段bc上取一點(diǎn)p，連結(jié)dp，作射線pedp，pe與直線ab交于點(diǎn)e.（1）試確定cp=3時(shí)，點(diǎn)e的位置；（2）若設(shè)cp=x，be=y，試寫(xiě)出y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式；（3）若在線段bc上找到一點(diǎn)p，使上述作法得到的點(diǎn)e與點(diǎn)a重合，試求出此時(shí)的值.

5、6.已知：如圖，點(diǎn)o是四邊形bced外接圓的圓心，點(diǎn)o在bc上，點(diǎn)a在cb的延長(zhǎng)線上，且adb=deb，efbc于點(diǎn)f，交o于點(diǎn)m，em= （1）求證：ad是o的切線；（2）若弧bm上有一動(dòng)點(diǎn)p，且sincpm=，求o直徑的長(zhǎng)；（3）在(2)的條件下，如果de=，求tandbe的值7.已知：如圖，rt中，點(diǎn)在上，以為圓心、oc為半徑的圓與ab相切于點(diǎn)，交ac于點(diǎn)e（1）求證：deob；（2）若o的半徑為2，求cd的長(zhǎng)8.已知：如圖，在o中，弦cd垂直直徑ab，垂足為m，ab=4，cd=，點(diǎn)e在ab的延長(zhǎng)線上，且。（1）求證：de是o的切線（2）將ode平移，平移后所得的三角形記為ode，求當(dāng)點(diǎn)

6、e與點(diǎn)c重合時(shí)，ode與o重合部分的面積。第二課時(shí) 線段、角的數(shù)量關(guān)系（包括相等、和差、倍、分關(guān)系）例1如圖，在四邊形abcd中，adbc，點(diǎn)e是ab上一動(dòng)點(diǎn)，若b=60°，ab=bc，且dec=60°，判斷ad+ae與bc的關(guān)系并證明你的結(jié)論。例2.如圖1，在正方形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)（1）求證：；（2）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)與的運(yùn)動(dòng)速度相同，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)如圖2，平分，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，請(qǐng)猜想，與三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）在（2）的條件下，當(dāng)，時(shí)，求的

7、長(zhǎng)圖1圖2例3.如圖，放置兩個(gè)全等的直角三角形abc和eda，點(diǎn)b、a、d在同一條直線上， 操作：在圖中，作abc的平分線bf，過(guò)點(diǎn)d作dfbf，垂足為f，連結(jié)ce。 探究：線段bf、ce的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。練習(xí)：1.如圖，在abc中，ab=ac，ae=cf。求證：2.過(guò)正方形abcd的點(diǎn)a作任意直線交cd和bc邊的延長(zhǎng)線于p和q。求證：ap+aq2ac。（選作）3.如圖，在正方形abcd中，e是ab邊上任意一點(diǎn)，bgce，垂足為點(diǎn)o,交ac于點(diǎn)f，交ad于點(diǎn)g。ebaofgcd（1） 證明：be=ag ；（2） 點(diǎn)e位于什么位置時(shí)，aef=ceb，說(shuō)明理由.4. 如圖，在直角梯形紙片ab

8、cd中，將紙片沿過(guò)點(diǎn)d的直線折疊，使點(diǎn)a落在邊cd上的點(diǎn)e處，折痕為連接ef并展開(kāi)紙片（1）求證：四邊形adef是正方形；（2）取線段af的中點(diǎn)g，連接，如果，試說(shuō)明四邊形gbce是等腰梯形ecbdagf第三課時(shí)：面積問(wèn)題面積問(wèn)題主要包括直接用基本公式求面積；證明所給出的圖形是特殊圖形，然后利用基本公式求面積；通過(guò)圖形的剪拼（或幾何變換）把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形；利用等積轉(zhuǎn)化求面積；利用比例求面積。例1.已知，如圖，正方形的邊長(zhǎng)為6，菱形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形邊上，連接（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；（2）設(shè)，用含的代數(shù)式表示的面積；（3）判斷的面積能否等于，并說(shuō)明理由例2如圖，四邊形abcd的對(duì)角線

9、ac、bd交于點(diǎn)p，過(guò)點(diǎn)p作直線交ad于點(diǎn)e，交bc于點(diǎn)f。若pe=pf，且ap+ae=cp+cf。（1） 求證：pa=pc（2） 若ad=12，ab=15，dab=60°，求四邊形abcd的面積。例3已知：如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ancd中，b=45°，ae為bc邊上的高，將abe沿ae所在直線翻折后得到。求與四邊形abcd重疊部分面積。例4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線分別交x軸、y軸于c、a兩點(diǎn).將射線am繞著點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到射線an.點(diǎn)d為am上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)b為an上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)c在man的內(nèi)部.（1） 求線段ac的長(zhǎng)；（2） 當(dāng)amx軸，且四邊

10、形abcd為梯形時(shí)，求bcd的面積；（3） 求bcd周長(zhǎng)的最小值；（4） 當(dāng)bcd的周長(zhǎng)取得最小值，且bd=時(shí),bcd的面積為 .練習(xí)：1.abc中，ab=ac，m、n分別是ab、ac的中點(diǎn)，d、e為bc上的點(diǎn)，連結(jié)dn、em。若ab=13cm， bc=10cm，amnbdecde=5cm，則圖中陰影部分的面積為多少平方厘米？2.已知：拋物線y=x2+mx+2m2(m0)與x軸交于a、b兩點(diǎn)，點(diǎn)a在點(diǎn)b的左邊，c是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)c與點(diǎn)a、b不重合)，d是oc的中點(diǎn)，連結(jié)bd并延長(zhǎng)，交ac于點(diǎn)e。（1）用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)a、b的坐標(biāo)；（2）求的值；（3）當(dāng)c、a兩點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離相等，且時(shí)

11、，求拋物線和直線be的解析式。3.已知，在rtabc中，c=90°，a=30°，cd是ab邊的中線，若將abc沿cd折疊，使ca到的位置，連結(jié)b（1）求證：四邊形是菱形；（2）若bc2，試求四邊形是菱形的面積. 4.已知平行四邊形，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），連結(jié)，連結(jié)，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)（1）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求證與的面積相等；（2）當(dāng)為上任意一點(diǎn)時(shí)，與的面積還相等嗎？說(shuō)明理由5.如圖，bc是o的直徑，點(diǎn)a在圓上，且ab=ac=4p為ab上一點(diǎn)，過(guò)p作peab分別bc、oa于e、f (1)設(shè)ap=1，求oef的面積 (2)設(shè)ap=a (0a2)，apf、oef的面積分

12、別記為s1、s2。若s1=s2，求a的值；若s= s1+s2，是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)a，使s?若存在，求出一個(gè)a的值；若不存在，說(shuō)明理由第四課時(shí)：動(dòng)態(tài)幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題一般分兩類，一類是代數(shù)綜合方面，在坐標(biāo)系中有動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)直線，一般是利用多種函數(shù)交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設(shè)立動(dòng)點(diǎn)、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對(duì)綜合分析能力進(jìn)行考察。例1（2010，密云，一模）如圖，在梯形中，梯形的高為動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（秒）（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）試探究：為何值時(shí)，為等腰三角形例2（2010，崇文

13、，一模）在abc中，acb=45º點(diǎn)d（與點(diǎn)b、c不重合）為射線bc上一動(dòng)點(diǎn)，連接ad，以ad為一邊且在ad的右側(cè)作正方形adef（1）如果ab=ac如圖，且點(diǎn)d在線段bc上運(yùn)動(dòng)試判斷線段cf與bd之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）如果abac，如圖，且點(diǎn)d在線段bc上運(yùn)動(dòng)（1）中結(jié)論是否成立，為什么？（3）若正方形adef的邊de所在直線與線段cf所在直線相交于點(diǎn)p，設(shè)ac，cd=，求線段cp的長(zhǎng)（用含的式子表示） 例3（2010，懷柔，一模）已知如圖，在梯形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是等邊三角形（1）求證：梯形是等腰梯形；（2）動(dòng)點(diǎn)、分別在線段和上運(yùn)動(dòng)，且保持不變?cè)O(shè)求與的函數(shù)關(guān)系式；（3

14、）在（2）中，當(dāng)取最小值時(shí)，判斷的形狀，并說(shuō)明理由adcbpmq60°例4.（2009，石景山一模）已知：如圖（1），射線射線，是它們的公垂線，點(diǎn)、分別在、上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合、點(diǎn)與點(diǎn)不重合），是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與、不重合），在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持，且（1）求證：；（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（3）設(shè)，請(qǐng)?zhí)骄浚旱闹荛L(zhǎng)是否與值有關(guān)？若有關(guān)，請(qǐng)用含有的代數(shù)式表示的周長(zhǎng)；若無(wú)關(guān)，請(qǐng)說(shuō)明理由 練習(xí)：1.在直角梯形coab中，cboa,以o為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，a、b、c的坐標(biāo)分別為a(10,0)、b(4,8)、c(0,8)，d為oa的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p自點(diǎn)a出發(fā)沿abco的路線移動(dòng)

15、，速度為每秒1個(gè)單位，移動(dòng)時(shí)間記為t秒（1）動(dòng)點(diǎn)p在從a到b的移動(dòng)過(guò)程中，設(shè)apd的面積為s，試寫(xiě)出s與t的函數(shù)關(guān)系式，指出自變量的取值范圍，并寫(xiě)出s的最大值；（2）動(dòng)點(diǎn)p從a出發(fā)，幾秒鐘后線段pd將梯形coab的面積分成1:3兩部分？求出此時(shí)p點(diǎn)的坐標(biāo)。oacbpd2.在矩形abcd中，ab=20cm，bc=4cm，點(diǎn)p從a開(kāi)始沿折線abcd以4cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)q從c開(kāi)始沿cd邊以1cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)p、q分別從a、c同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)d時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)（1）t為何值時(shí)，四邊形apqd為矩形？（2）如果p和q都是半徑為2cm的圓，那么t為何值

16、時(shí)，p和q外切？3、直線，垂足為點(diǎn)o，a、b是直線上的兩個(gè)點(diǎn)，且ob=2，ab=，直線繞點(diǎn)o按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度為（）。（1） 當(dāng)時(shí)，在直線上找點(diǎn)p，使得bpa是以b為頂角的等腰三角形，此時(shí)op= （2） 當(dāng)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，直線上存在點(diǎn)p，使得bpa是以b為頂角的等腰三角形，請(qǐng)用不等式表示的取值范圍？4已知：如圖等邊三角形abc的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)d、e分別在邊ab、ac上，且ad=ae=2。若點(diǎn)f從點(diǎn)b開(kāi)始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿射線bc方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)f運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒。當(dāng)時(shí)，直線fd與過(guò)點(diǎn)a且平行于bc的直線相交于點(diǎn)o。（1） 設(shè)ega的面積為s，寫(xiě)出s與t的函數(shù)關(guān)系式；（2） 當(dāng)t

17、為何值時(shí)，abgh（3） 請(qǐng)你證明gfh的面積為定值；當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)f和點(diǎn)c是線段bh的三等分5如圖，直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)a(2，4)，b(5，0)，動(dòng)點(diǎn)p從b點(diǎn)出發(fā)沿bo向終點(diǎn)o運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)o從a點(diǎn)出發(fā)沿ab向終點(diǎn)b運(yùn)動(dòng)兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為每秒1個(gè)單位，設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了s(1)q點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)（用含x的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)x為何值時(shí)，apq是一個(gè)以ap為腰的等腰三角形? (3)記pq的中點(diǎn)為g請(qǐng)你探求點(diǎn)g隨點(diǎn)p，q運(yùn)動(dòng)所形成的圖形，并說(shuō)明理由.第五課時(shí)：課題學(xué)習(xí)例1 如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的矩形

18、為三角形的“友好矩形”. 如圖8所示，矩形abef即為abc的“友好矩形”. 顯然，當(dāng)abc是鈍角三角形時(shí)，其“友好矩形”只有一個(gè) .(1) 仿照以上敘述，說(shuō)明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”；(2) 如圖8，若abc為直角三角形，且c=90°，在圖8中畫(huà)出abc的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大?。?3) 若abc是銳角三角形，且bc>ac>ab，在圖8中畫(huà)出abc的所有“友好矩形”，指出其中周長(zhǎng)最小的矩形并加以證明. 例2.在中，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)若點(diǎn)在邊上（如圖1），此時(shí)，可得結(jié)論：請(qǐng)直接應(yīng)用上述信息解決下列問(wèn)題：圖1圖

19、2圖3當(dāng)點(diǎn)分別在內(nèi)（如圖2），外（如圖3）時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需要證明例3問(wèn)題背景 某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到如下兩命題：如圖1，在正三角形abc中，m、n分別是ac、ab上的點(diǎn)，bm與cn相交于點(diǎn)o，若bon = 60°，則bm = cn. 如圖2，在正方形abcd中，m、n分別是cd、ad上的點(diǎn)，bm與cn相交于點(diǎn)o，若bon = 90°,則bm = cn.然后運(yùn)用類比的思想提出了如下的命題：如圖3，在正五邊形abcde中，m、n分別是cd、de上的點(diǎn)，bm與cn相交于點(diǎn)o，若bon = 108°，則bm = cn.任務(wù)要求：（1）請(qǐng)你從、三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；（2）請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索： 如圖3中，畫(huà)出一條與cn相等的線段dh，使點(diǎn)h在正五邊形abcde的邊上，且與cn相交所成的一個(gè)角是108°，這樣的線段有幾條？（不必寫(xiě)出畫(huà)法，不要求證明） 如圖5，在五邊形abcde中，m、n分別是de、ae上的點(diǎn)，bm與cn相交于點(diǎn)o，當(dāng)bon = 108°時(shí)，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論bm = cn是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由練習(xí)：1.我們給出如下定義：如果三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三