彈性力學簡明教程第五章

1、例題例題第一節(jié)第一節(jié) 差分公式的推導差分公式的推導第二節(jié)第二節(jié) 應力函數(shù)的差分解應力函數(shù)的差分解第三節(jié)第三節(jié) 應力函數(shù)差分解的實例應力函數(shù)差分解的實例第四節(jié)第四節(jié) 彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能第五節(jié)第五節(jié) 位移變分方程位移變分方程第六節(jié)第六節(jié) 位移變分法位移變分法習題的提示和答案習題的提示和答案教學參考資料教學參考資料第七節(jié)第七節(jié) 位移變分法例題位移變分法例題第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 彈性力學的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變與位移之間的幾何條件和形變與應力之間的物理條件，建立微分方程和邊界條件。近似解法 因此，因此，彈性力學

2、問題屬于微分方程的彈性力學問題屬于微分方程的邊界問題。邊界問題。通過求解，得出函數(shù)表示的精通過求解，得出函數(shù)表示的精確解答。確解答。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 對于工程實際問題，由于荷載和邊界對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，較復雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，人們探討人們探討彈性力學的各種近似解法，彈性力學的各種近似解法，主要主要有有變分法、差分法和有限單元法。變分法、差分法和有限單元法。近似解法第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)(xf21, fffxo 21 ff3f 1x2x3x)

3、(xf差分法第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題;d ,d1212ffffxxxx;dd1212xxffxfxf差分法將將微分方程微分方程用差分方程（代數(shù)方程）代替，用差分方程（代數(shù)方程）代替，于是，求解微分方程的問題化為求解差分于是，求解微分方程的問題化為求解差分方程的問題。方程的問題。將將導數(shù)導數(shù)用有限差商來代替，用有限差商來代替，將將微分微分用有限差分來代替，用有限差分來代替，第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題導數(shù)差分公式 在平面彈性體上劃分等間距h 的兩組網(wǎng)格，分別x 、y 軸。網(wǎng)格交點稱為結點，h稱為步長。第五章第五章 用

4、差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題應用應用泰勒級數(shù)公式泰勒級數(shù)公式 將將 在在 點展開點展開，)(xfox).()()(! 21)()()()(32oo22oooxoxxxfxxxfxfxf(a)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題拋物線差分公式拋物線差分公式略去式(a)中 以上項，分別用于結點1、3，;)(2)(o222oo1xfhxfhff3x,0301hxxhxx。022200)(2)(3xfhxfhff拋物線差分公式結點3，結點1，第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)()2(1)(),(21)(0312022

5、310bfffhxfffhxf。拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式中心差分公式，并由此可導出高階導數(shù)公式。從上兩式解出o點的導數(shù)公式，第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)(3xo 拋物線差分公式第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題線性差分公式線性差分公式在式(a)中僅取一、二項時，誤差量級為 。)(2xo,)(001xfhff)( , )(1)(010cffhxf線性差分公式式(c)稱為向前差分公式。向前差分公式。對結點1，得：第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題,)(003xfhff)(),(1

6、)(300dffhxf第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題,02 T,)(bsqnT,bsTT 例11S2S第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 穩(wěn)定溫度場的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第一類邊界條件是已知邊界上的溫度值；在 上的第二類邊界條件是已知熱流密度值，其中是導熱系數(shù)。1S2S第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題0)(02 T; 0)(443210TTTTT1T2)(yq,)()(22yqyT(d)第五章第五章 用差分法和變

7、分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題,2)(0102hTTyT.)(22010yqhTT2T10T(e)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題ab40353025322224222017第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題。0)222030(4,0)223532(4abbaTTTT13.25,53.28baTT（度）.第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題yxf23思考題第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 對于單連體，按應力函數(shù)單連體，按應力函數(shù) 求解時，求解時， 應滿足:

8、)( )( .)(,)( )2()( )( ; 0 ) 1 (4bSSflmfmlaAysxyyxsyxx按 求解第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)( . , ,22222cyxxyxyyx按 求解第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)()(41)()(),2(1)()(),2(1)()(867503104220202022020220dhyxhxhyxyyx。差分法求解1.1.應力公式應力公式( (c) )的差分表示。的差分表示。對于o點， 差分法求解：差分法求解：第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問

9、題0)(04 )(2)( 820876543210. 0)(1211109i相容方程(e)化為： 對每一內(nèi)結點， 為未知，均應列出式(e)的方程 。2.2.相容方程相容方程(a)的差分的差分表示，表示，第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題x相容方程y第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題xy邊界條件第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 應力邊界條件用 表示 取出坐標 的正方向作為邊界線s 的正向（圖中為順時針向），當移動 時， 為正，而 為負，外法線的方向余弦為dsdxdy.sin,cosdsdxmdsdy

10、l邊界條件第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題,)(dd)(dd222xfyxsxysy.)(dd)(dd222yfyxsyxsx,)(ddxfys( f ).)(ddyfxs邊界條件即將上式和式(d)代入式(b)，得第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)(.)()(,)()(gdsfxxdsfyyBAABBAAByx邊界條件式( f )、(g)分別是應力邊界條件的微分、積應力邊界條件的微分、積分形式。分形式。再將式(f )對s 積分，從固定的基點A到邊界任一點B，得第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題

11、通過分部積分從A到B積分，得yyxxddd.B,d)d(duvuvvuAAyyyxxxABABAB)()(.d)(d)(BAyBAxsfxxsfyyBB邊界條件(h)由全微分 求邊界點求邊界點的的 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題Ax, 0)( ,)( ,AAyxA)(.)(d)(,d)(,d)(idsfxxsfyysfxsfyBAyBAxBAyBBAxBBBB邊界條件AyAAx)(Ay)(第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題邊界條件,BBx)(.)(By和第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題邊界條件

12、BBx)(By)(第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題0)()(AAyxAxyxy求解步驟（2）由邊界結點的 、 值，求出邊界 外一行虛結點的 值；（1）在邊界上選定基點A， 令 ， 然后計算邊界上各結點的 、 、 ；4.4.應力函數(shù)差分解的步驟應力函數(shù)差分解的步驟第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題（3）對邊界內(nèi)所有結點列式(e)的方程， 聯(lián)立求各結點的 值；求解步驟（5）按式(d)求各結點的應力。（4）求出邊界外一行虛結點的 值；第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題第五章第五章 用差分法和變分法解平面

13、問題用差分法和變分法解平面問題q問題 此題無函數(shù)式解答。應用差分法求解。 正方形深梁正方形深梁, ,上邊受均布荷載 ，下邊兩角點處有支承反力維持平衡，試求其應力。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題1.本題具有對稱性對稱性，取y軸如圖，并取以反映對稱性。, 0)()(AAyxA取網(wǎng)格如圖。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 AB間y向面力主矢量號， AB間x向面力主矢量， AB間面力對B點力矩，BAxBBAyBsfysfxd)(d)(BAxsfyyBBd)(BAysf

14、xxBd)(注意符號為正.第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題0)(04 i5. 求出應力求出應力，如AM線上各點應力，并繪 出分布圖。4. 求出邊界外一行虛結點的 值值。3. 對每一內(nèi)點列差分方程 ，求求 出出 。2. 由邊界點 的導數(shù)值，求出邊界外一行 虛結點的虛結點的 值值。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題;75. 0 ,75. 0qminqmaxxx.24. 0 ,84. 1qminqmaxxx比較xx第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 差分法優(yōu)點差分法優(yōu)點：差分法評價第五章第五章 用差分法

15、和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)(3xo )( xo 缺點缺點：差分法評價第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題0)(02 Ta（Z向厚度 ）1AyB2FFFxaaa2.用差分法計算 圖中A點的應 力分量。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題彈性力學變分法彈性力學變分法，又稱為能量法能量法。因其中的泛函就是彈性體的能量。泛函泛函是以函數(shù)為自變量（宗量）的一種 函數(shù)。變分法，變分法，是研究泛函及其極值的求解方法是研究泛函及其極值的求解方法。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題應力變分法應力變分法

16、取應力函數(shù)為自變量，并以 余能極小值條件導出變分方程。 本章只介紹位移變分法。位移變分法位移變分法取位移函數(shù)為自變量，并以勢 能極小值條件導出變分方程。 彈性力學變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問題的另一種獨立解法。其中分為：第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題外力勢能外力勢能外力做了功，必然消耗了相同 值的勢能。當取 時的外力功和能為零，則：)( . d)(dd)(asvfufyxvfufWsyxAyx0 vuWV.d)(dd)(syxAyxsvfufyxvfuf(b)外力功和外力勢能1.1.彈性體上的外力功和外力勢能彈性體上的外力功和外力勢能外力功：外力功：第五章

17、第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題形變勢能（2）應力和應變均從0增長到 ， 故單位體積上，應力所做的功是單位體積上，應力所做的功是 非線性 關系 線 性 關系、,d01U.211U （1）作用于微小單元上的應力，是鄰近 部分物體對它的作用力，可看成是 作用于微小單元上的“外力”。2.2.應力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）應力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 線性的應力-應變關系非線性的應力-應變關系第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)0(zyzxz),0(zyzxz).(211xy

18、xyyyxxU(c) 形變勢能第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題1U形變勢能第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題.dd)(21dd1AxyxyyyxxAyxyxUU(d)形變勢能第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題).(212()1 (222221eEUxyyxyx21EE11U1U形變勢能).()(212)()(1222221fyuxvyvxuyvxuEU 對于平面應變問題， 將 ， 。再將幾何方程代入， 可用位移位移表示為（6）將物理方程代入，平面應力問題的形平面應力問題的形 變勢能密度變勢能密度

19、，可用形變形變表示為第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題. 0U. , ,111xyxyyyxxUUUUUU1U(g)形變勢能的性質(zhì)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題.pVUE(h)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題211U思考題思考題第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題u vpE第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 用位移表示的平衡微分方程（在A中） 用位移表示的應力邊界條件（在 上） 位移邊界條件（在上） 。uss實際位移u v(a) 其

20、中、屬于靜力平衡條件，屬于約束條件。對于實際位移，可將看成是必要條件，而、是充分條件。1.1.實際平衡狀態(tài)的位移實際平衡狀態(tài)的位移 、 ，必須滿足，必須滿足第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題,v, 0 vu虛位移(b)us（在 上）。usu第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題,*vvvuuu(c)虛位移第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題.dddyyuxxuu(d) 變分與微分的比較變分與微分的比較變分與微分第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題UVpE. vvUuuUU變分

21、與微分(e)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題由于微分和變分都是微量，所以 a.它們的運算方式相同運算方式相同，如式(d)，(e)； b.變分和微分可以交換次序變分和微分可以交換次序，如 ).()(uxxu變分與微分( f )第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題當發(fā)生虛位移虛位移（位移變分） 時，)( . d)(dd)(gsvfufyxvfufWyxsAyx)( .hWV)( . , ,iuyvxvyuxxyyxvu,虛位移上功和能 由于虛位移引起虛應變虛應變，外力勢能的變分外力勢能的變分：外力的虛功外力的虛功（外力功的變分）：3.

22、3.在虛位移上彈性體的功和能在虛位移上彈性體的功和能 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題.dd)(AxyxyyyxxyxU21虛位移上功和能 ( j )第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題（1）在封閉系統(tǒng)中，假設沒有非機械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中形變勢能的增加在虛位移過程中形變勢能的增加 應等于外力勢能的減少應等于外力勢能的減少（即等于外力所做的虛功 ）。)( UW)( . kWU位移變分方程4.4.彈性力學中位移變分方程的導出彈性力學中位移變分方程的導出第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題

23、用差分法和變分法解平面問題（2）位移變分方程位移變分方程 將式(g)的 代入上式,得它表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變 分分 時，所引起的形變勢能的變時，所引起的形變勢能的變 分分 ，等于外力功的變分，等于外力功的變分 。)( . d)(dd)(lsvfufyxvfufUyxsAyxW),(vu)( U)( W位移變分方程第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題U)( . d)(dd)(dd)(msvfufyxvfufyxyxsAyxAxyxyyyxx位移變分方程它表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時，外力在虛位移上所

24、做的虛功等于應力在外力在虛位移上所做的虛功等于應力在 虛應變上所做的虛功。虛應變上所做的虛功。（3）虛功方程虛功方程 將式(j)的 代入上 式，得第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題其中 形變勢能的變分，如式( j )所示， 外力功的變分，如式(g)所示。)( , 0nWU)( , 0oWUWU位移變分方程（4）最小勢能原理最小勢能原理式(k)可寫成其中U彈性體的形變勢能，如5-4式(d),W彈性體的外力功， 如5-4式(a)?？梢宰C明，式(n)可以寫成為第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題位移變分方程 .d)(dd)( d)(dd)

25、(;dd)( dd dd1111WsvfufyxvfufsvfufyxvfufWUyxyxUUUyxUUysxyAxAysxyxxyxyyyxAxAxyxyyyxxA第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題由于彈性體的總勢能為故式(o)可以表示為 再將總勢能 對其變量（位移或應變）作二次變分運算，可得 綜合式(p)，(q)，即得,pWUVUE. 0pE. 0p2E.pminE (p)(q)(r)位移變分方程pE第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題位移變分方程 這就是最小勢能原理。它表示在給這就是最小勢能原理。它表示在給定的外力作用下，在滿

26、足位移邊界條件定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中，實際存在的一的所有各組位移狀態(tài)中，實際存在的一組位移對應于總勢能為極小值。組位移對應于總勢能為極小值。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題pEuuuminE p0pE0p2Eu（實際位移）pE(a)(b)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題.dd)( dd)(yxuyvxvyuxyxUAxyyxAxyxyyyxx又一形式U第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題應用分部積分公式 和格林公式 （其中s為平面域A的邊界，l，m為邊界外法線的方向

27、余弦），可將 進行轉換。, d)d(dAAuvuvvu,d)(dd)(sAsmQlPyxyQxPU又一形式第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題在 上，虛位移 ， 對 其余幾項進行同樣的轉換，并代入式( ) ,可得又一形式的位移變分方程又一形式的位移變分方程：yxuxuxyxuxAxxAxdd )()(dd )(,dd)(dyxuxsulsAxxus0u)(.ddtsulsulsxsx又一形式U例如，對第一項計算，(s)l第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題Ayxyyxyxxyxvfxyufyxdd )()()(. 0d)()(usvf

28、lmufmlsyxyyxyxx因 ， 都是任意的獨立的變分，為了滿足上式, 必須uv. 0 , 0, 0 , 0yxyyxyxxyxyyxyxxflm fmlfxyfyx（在A中）(v)（在 上）(w)s又一形式第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 由此可見，從位移變分方程可以由此可見，從位移變分方程可以導出平衡微分方程和應力邊界條件，導出平衡微分方程和應力邊界條件，或者說，位移變分方程等價于平衡微或者說，位移變分方程等價于平衡微分方程和應力邊界條件。分方程和應力邊界條件。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 實際平衡狀態(tài)的位移必須滿

29、足 a. 上的約束(位移)邊界條件； b. 上的應力邊界條件； c.域A中的平衡微分方程。5.5.結論結論sus結論 位移變分方程可以等價地代替靜力條 件b,c。 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題結論 由此得出一種變分解法變分解法，即預先使位，即預先使位 移函數(shù)滿足移函數(shù)滿足 上的位移邊界條件，再上的位移邊界條件，再 滿足位移變分方程，必然也可以找出滿足位移變分方程，必然也可以找出 對應于實際平衡狀態(tài)的位移解答。對應于實際平衡狀態(tài)的位移解答。us第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題0p2E 1.微分和變分各是由什么原因引起的？ 2

30、.試導出式(u)。 3.試比較4.中變分方程 (1)-(5)的不同的 物理解釋。 4.試證明二階變分 。 思考題第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 位移變分法是取位移為基本未知函數(shù)位移變分法是取位移為基本未知函數(shù)的。的。 位移函數(shù)應預先滿足位移函數(shù)應預先滿足 上的位移邊界上的位移邊界條件，然后再滿足位移變分方程。條件，然后再滿足位移變分方程。us第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題mmmmmmyxvByxvvyxuAyxuu).,(),(),(),(00(a)瑞利-里茨法 （1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法中采用設定位移試函數(shù)的方法

31、設定位移試函數(shù)的方法，令 1.1.瑞利瑞利- -里茨法里茨法 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題其中 和 均為設定的x，y的函數(shù)，并在邊界 上，令 mmvuvu, ,00. 0)( , 0)(,)( ,)(00smsmssvuvvuu（在 上）（在 上）(c)(b)瑞利-里茨法ususus第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題mAmB.,mmmmmmBvvAuu瑞利-里茨法(d)us第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)( . d)(dd)(esvfufyxvfufUyxsAyx)( . )(fBBUAA

32、UUmmmmm瑞利-里茨法mAmB 位移的變分通過 ， 的變分來反映，故形變勢能的變分為（2）位移(a)還必須滿足位移變分方程第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題將式(d)，( f )代入(e)得.0ddddddAsmmmAsmmmBsvfyxvfBUAsufyxufAUmymymxmx因虛位移（位移變分）中的 ， 是完全任意的、獨立的，為了滿足上式，必須:mAmB第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)( )2 , 1(.ddd,dddgmsvfyxvfBUsufyxufAUAsymymAsxxmmmm瑞利-里茨法mAmBmAmB式(

33、g)是瑞利瑞利- -里茨變分方程里茨變分方程。它是關于 ，的線性代數(shù)方程組，由上式可解出 ， ,從而得到位移的解答。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題sus伽遼金法第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 將位移的變分 ， （式(d )）代入，同樣由于 ， 為完全任意的和獨立的變分，得到)( . 0dd)()(hyxvfxyufyxAyxyyxyxxu伽遼金法smAmB（2）于是，由5-5中式(u)可見，由于 上的應力邊界條件已滿足，設定的位移只需滿足下列變分方程v第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)(

34、)2 , 1(. 0dd)(, 0dd)(imyxvfxyyxufyxmyxyAymxyxAx將上式括號內(nèi)的應力用位移來表示，得伽遼伽遼金變分方程金變分方程: :伽遼金法)( . 0dd)2121(1, 0dd)2121(1222222222222jyxvfyxuxvyvEyxufyxvyuxuEmymxAA)2 , 1(m第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題伽遼金法mAmBmAmB第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題思考題第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題1q2q第五章第五章 用差分法和變分法解平面問

35、題用差分法和變分法解平面問題.,111111yBvBvxAuAu. 0)( , 0)(00yxvu例題例題 (a)(b)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題其余的應力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程變分方程代替（其中 ）：0yxffssxsvfBUsufAUy.d,d1111(c)對式(c)右邊的積分，應包含所有的應力邊界條件（當 或 處積分為0），0 yxff例題例題 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題且其中的 ， 應代入相應的邊界方程。將式(a)代入 U ，計算式(c)的左邊項。 共建立兩個方程，求出 和 ，得位位移解答：移

36、解答：1v1u11 BA例題例題 .)(1,)(11221yqqEvxqqEu(d) 對于圖示的簡單問題，式(d)正好是其精確解。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題).1()( ,0)(,0),( ,0),(2202/bxvuvuvubybyyx例題例題 (e)例例2 2本題全部為位移邊界條件：全部為位移邊界條件：第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題本題以y軸為對稱軸，u應為x的奇函數(shù),v應為x的偶函數(shù)。例題例題 (f)設定位移試函數(shù)設定位移試函數(shù)為)().1 ()1 ()1 (),1 ()1 (2222221110111gbyby

37、axBbyaxvBvvbyabxyaxAuAu第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 位移(g)已滿足對稱性條件已滿足對稱性條件(f)(f)和全部邊和全部邊界條件界條件(e)(e)。 因 全部為位移邊界條件且均已滿足，從55 式(u)可見，也可應用伽遼金變分法。, 0,usss例題例題 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 將位移(g)代入上式，求出 得出的位移解答與書中用瑞利-里茨法 給出的結果相同。 因 ，故伽遼金變分方程伽遼金變分方程為 . 0dd)2121(2, 0dd)2121(21122200222220022yxvyxux

38、vyvyxuyxvyuxuabab0yxff,11BA例題例題 (h)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題例題1例題2例題3例題4例題5例題7例題6第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題例題例題1 1設圖中的矩形域為 ，取網(wǎng)格間距為h=2m,布置網(wǎng)格如圖，各邊界點的已知溫度值（度）如圖所示，試求內(nèi)結點a,b的穩(wěn)定溫度值。mm 46 ab40353025322224222017第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題解：對a,b列出方程如下：. 02220304, 02235324abbaTTTT解出.(13.2

39、5 ,53.28度）baTT第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題FaBxy3aaaA.71（Z向厚度 ）1F65第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題. 0)()(AAyxA. 0432B.)( , 0)(3FyxB0)(Ay.1516172Fa,第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題.0)()(;611)( ,6)(ByAyBxAxaFaF)22(2)28(204231BA0.)(7652Fa1211第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題ll14lh1098HGEDIJBAChh

40、hh323414323111276xy1h=l/4FF第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題0)()(AAyxA第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 計算各邊界結點處的 、 、 值。 在A點及J點，各取 布置于兩側，以 反映荷載的對稱性，按公式（其中 即AB之間面力對B點的力矩，圖中以順時針方向為正）。2F,d)(d)(,d)( ,d)(BAyBAxBBAyBBAxBsfxxsfyysfxsfyBBxyB第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題yxF/2F/2F/2-Fh/2-Fh/2-Fh第五章第五章 用差分

41、法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 計算邊界外一行結點的 值。, 0)(,JIBAy,)()(2,3,3,212,11,7,6,2)(,FxGED.)()(3,4,310,9,8Fh第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題. 0282012,11,10, 98 ,7, 6, 54, 3 , 2, 10,4416228,2168162043214321FhFh對結點1，對結點2，第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題對結點3，對結點4，.2221648,78248243214213FhFh.5206. 0 ,5056. 0,187

42、3. 0 ,2640. 03321FhFhFhFh解出第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題),2(1)(),2(1)(03,104,22020hhyx4lh .0528.2)( ,8912.0)(,1648.0)(;6136.0)( ,4424.0)(,4984.1)(1412lFlFlFlFlFlFyyEyxxJx第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題例題例題 xxyy第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題對于平面應變情況，只需將上式中 ， 變換為AyxyxEU2(12222,12EE).( b1E.)21

43、2dxdyxy解：平面應力情況下，單位厚度的形變 勢能是：例題例題 (a)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題11)1()1(22222EE,211)1(22E.12112AyxEU)(21)1 ()1 ( 22222.21)211(22dxdyxyyx例題例題 E(c)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題2xy21U例題例題 U第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題例題例題 lCDEFAB第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題00U例題例題 第五章第五章 用差分法和變分法解平面

44、問題用差分法和變分法解平面問題例題例題 (a) AB切開后，仍然處于閉合狀態(tài)，不發(fā)生 張開。這是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題) 1(2 . 0ba例題例題 qyxbuvbaaoq第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題解：在圖示荷載作用下，深梁的位移應對稱于y軸，而反對稱于x軸。 因此，位移分量u應為 、 的奇函數(shù)，而v為 x 、y 的偶函數(shù)，x y如圖所示?？梢栽O定位移試函數(shù)如下：,)1 (2322122yAxAAabxyaxu.)1 (2322122yBxBBaxv第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差

45、分法和變分法解平面問題, ax, 0),(vu例題例題 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題,)1 (22111abxyaxAuAu).1 (22111axBvBv)961 ()1 ( 244222222121axaxbayAEU)1 (4421223114221axbaxBAaxB).21 (442222221axaxbaxA例題例題 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 abdxdyUU001421212342115412BabAabEbaBA0yxffbyqfy0 xf, 01AU.11sydsvfBU

46、例題例題 再積分求U，第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 邊界是 ，且 ，從 到 積分。再將U代入上式，得到兩個求 的方程：bydxds aa11,BAs, 01581571621158121112BAbaAabE.38158382112112qaABabE第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題2 . 0ba , 0353911BA.565111EqaBAEqaA3125. 11.4625. 11EqaB,)1 (3125. 1222axyaxEqau).1 (4625. 122axEqav例題例題 第五章第五章 用差分法和變分法解平

47、面問題用差分法和變分法解平面問題例題例題7 7 圖中所示的薄板，厚度 ，三邊固定，一邊受到均布壓力q的作用。試用瑞利-里茨的位移變分法求解，其中取 ， 。10ba 例題例題 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題aa b xyq第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題解：在瑞利-里茨法中， 設定位移試函數(shù)應滿 足位移邊界條件，并 應反映圖示問題的對稱性。取,)(232122xAyAAxyaxu.)(232122xByBByaxv第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題,)(22111xyaxAuAu.)(22111

48、yaxBvBv0yxffby 例題例題 11,BA第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題,01AU .11ABbyydxvfBU.)(21)()(22221xvyuyvxuEU例題例題 （a）（b）0ba . 221692224422122442211xaaxxAxaaxyAEU.222211yaxxBA222122442122yxBxaaxB第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 aadxdyUU00121533415732212216BaAEa.15211aBA形變勢能U為將U及 代入式(a)，(b)，得)(byqfy, 073211

49、BaA.10334211EaqBaA(c)(d)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題,106721031EaqA .106796021EaqB ),1 (106721022axEaqxyu).1 (106796022axEqyv例題例題 于是得到位移分量，再求應力分量，取 ，得：0第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題).1 (106710522axaxqyxayqx1067210.0 xy),1 (106796022axqy0y例題例題 在對稱軸上，x=0， ,在 邊界， ,),31 (106721022axayqxuEx),1 (1

50、06796022axqyvEy.960)1 (10510671)(222ayaxaxqxvyuExy第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 本題中，由于u，v中各只取一項，且取 ，因此，求出的位移解的精度較低；而由近似解的位移求應力時，其應力精度要降低一階，其精度更差些。對于實際問題，應取更多的項數(shù)進行計算。0第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題習題提示和答案5-1 參見書中由低階導數(shù)推出高階導數(shù)的方 法。5-2 參見書中的方程。5-3 注意對稱性的利用，取基點A如圖。答 案見書中。5-4 注意對稱性的利用,并相應選取基點 A。 答案見

51、書中。 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題5-7 按位移求微分方程的解法中，位移應滿 足: (1) 上的位移邊界條件， (2) 上的應力邊界條件， (3)區(qū)域A中的平衡微分方程。 uss習題提示和答案5-5 注意對稱性的利用，本題有一個對稱 軸。5-6 注意對稱性的利用，本題有二個對稱 軸。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題5-8 在拉伸和彎曲情況下，引用 的表達式，再代入書中的公式。在 扭轉和彎曲情況下，引用 的表達式，再代入書中的公式。AxxyxUdd21AxyxyyxUdd21習題提示和答案用瑞利-里茨變分法求解時，設定的位

52、移試函數(shù)應預先滿足(1) 上的位移邊界條件，而(2)和(3)的靜力條件由瑞利-里茨變分法來代替。us第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題.)()(,)()(321321yBxBBbyyaxxvyAxAAbyyaxxu習題提示和答案第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題為滿足全部約束邊界條件，應包含公共因子 。此外，其余的乘積項中，應考慮：u應為x和y的奇函數(shù)，v應為 x和y的偶函數(shù)。)(2222byax第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題5-10 答案見書中。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法

53、和變分法解平面問題0.dd , 0111AyyxvfBUAUyfU和.25651 , 071821111EgaBABA.533225,53321752121EgaB EgaA習題提示和答案第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題.)31)(1 (5334175)1 (533225,)1 (533450,)1)(31 (5332175222222222222gxayaxaygyaxgyayaxxyyx習題提示和答案位移分量的解答為).1)(1 (533225),)(53321752222233332ayaxEgavayayaxaxEgau應力分量為第五章第五章 用差分法

54、和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題教學參考資料教學參考資料第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題教學參考資料教學參考資料第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 2.2.差分法差分法是微分方程的一種近似數(shù)值解是微分方程的一種近似數(shù)值解 法法。在差分法中，將連續(xù)函數(shù)用一些 結點上的函數(shù)值來代替，并從而將微 分方程及其邊界條件變換為差分(代數(shù)) 方程，使問題易于求解。在這種方法 中，采用了將函數(shù)離散的手段。教學參考資料教學參考資料第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題教學參考資料教學參考資料第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 4.有限單元法有限單元法是20世紀中期發(fā)展起來的彈性力學近似解法。在有限單元法中在有限單元法中, ,首先將區(qū)域離散化，把