電磁場理論復習課

1、第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波1第一章內容第一章內容1.1 矢量代數矢量代數1.2 常用正交曲線坐標系常用正交曲線坐標系1.3 標量場的梯度標量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度1.5 矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波2（1 1） 矢量的標積（點積）矢量的標積（點積）zzyyxxBABABAABBAcos1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角ABA B A B 0BA/ A BAB1.1 矢量代數矢量代數第第2 2章章 電磁場與電磁

2、波電磁場與電磁波3（2）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAsinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB用坐標分量表示為用坐標分量表示為寫成行列式形式為寫成行列式形式為ABBABAABBA若若 ，則，則BA/0BA若若 ，則，則方向：右手螺旋法則方向：右手螺旋法則數值大?。簲抵荡笮。旱诘? 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波41、圓柱面坐標系、圓柱面坐標系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐標變量坐標變量zee

3、e,坐標單位矢量坐標單位矢量zeerz位置矢量位置矢量zVdddd體積元體積元面元矢量面元矢量1.2 三種常用的正交坐標系三種常用的正交坐標系第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波5ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSrdddddrrelleSr2、球面坐標系、球面坐標系球面坐標系球面坐標系球坐標系中的線元、面元和體積元球坐標系中的線元、面元和體積元, r坐標變量坐標變量eeer,坐標單位矢量坐標單位矢量rerr位置矢量位置矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波63、坐標單位矢量之間的關系、坐標單

4、位矢量之間的關系 xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐標直角坐標與與圓柱坐標系圓柱坐標系zereeecossincossinsincos0直角坐標直角坐標與與球坐標系球坐標系xeyesinsinsincoscossinoz單位圓單位圓 柱坐標系與球坐標系之間柱坐標系與球坐標系之間坐標單位矢量的關系坐標單位矢量的關系 oxy單位圓單位圓 直角坐標系與柱坐標系之間直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關系坐標單位矢量的關系 xeyeeezeeree第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波7梯度的表達式梯度的表達式：zueueueuz1圓柱面坐標系圓柱面坐標系 ureur

5、erueursin11球面坐標系球面坐標系zueyuexueuzyx直角面坐標系直角面坐標系 1、標量場的梯度標量場的梯度（ 或或 ）graduu意義意義：描述標量描述標量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向場在某點的最大變化率及其變化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向|maxlueunnuel1.3 標量場的梯度標量場的梯度第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波81、矢量場的通量、矢量場的通量 dddnSSFSF eS通量的概念通量的概念：ddnSe S其中：其中：面積元矢量；面積元矢量；ne面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量；dSddnF e

6、 S穿過面積元穿過面積元 的通量；的通量； 如果曲面如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內指向是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內指向外，矢量場對閉合曲面的通量是：外，矢量場對閉合曲面的通量是：ddnSSFSF eS),(zyxFSdne面積元矢量面積元矢量1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波90通過閉合曲面有通過閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出0有凈的矢有凈的矢量線進入量線進入0進入與穿出閉合曲進入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結果矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結果 閉合曲面的

7、通量從閉合曲面的通量從宏觀上宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內產生矢量場的源的關系。量與曲面內產生矢量場的源的關系。通量的物理意義通量的物理意義第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波102、矢量場的散度、矢量場的散度0( , , ) d( , , )limSVF x y zSF x y zV 為了定量研究場與源之間的關系，需建立場空間任意點（小為了定量研究場與源之間的關系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關系。利體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關系。利用極限方法得到這一關系：用極限方法得到這一關系

8、：稱為矢量場的稱為矢量場的散度散度。 散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。體積之比的極限。F第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波11柱面坐標系柱面坐標系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球面坐標系球面坐標系zFyFxFFzyx直角坐標系直角坐標系散度的表達式散度的表達式：第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波123、散度定理（高斯定理）、散度定理（高斯定理）VSVFSFdd體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間

9、任意閉合曲面的從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換分與體積分之間的一個變換關系，在電磁理論中有著廣關系，在電磁理論中有著廣泛的應用。泛的應用。證明證明第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波131.5 矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度 矢量場的環(huán)流與旋渦源矢量場的環(huán)流與旋渦源 不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)

10、的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。零。第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波14q 如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無無旋場旋場，又稱為，又稱為保守場保守場。q 如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源旋渦

11、源。電流是。電流是磁場的旋渦源。磁場的旋渦源。ClzyxFd),(環(huán)流的概念環(huán)流的概念 矢量場對于閉合曲線矢量場對于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C 的線積分，即的線積分，即第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波15 過點過點M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的邊界曲線記為，它的邊界曲線記為C，曲面的法線，曲面的法線方向方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當與曲線的繞向成右手螺旋法則。當 S0時，極限時，極限01rotlimdCnSFFlS稱為矢量場在點稱為矢量場在點M 處沿方向處沿方向n的的環(huán)流面密度環(huán)流面密度。 矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路

12、所圍曲面內旋渦源的矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關系，引入矢宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關系，引入矢量場的旋度。量場的旋度。 SCMFn特點特點：其值與點：其值與點M 處的方向處的方向n有關。有關。2、矢量場的旋度、矢量場的旋度（ ） F （1）環(huán)流面密度）環(huán)流面密度第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波16概念概念：矢量場在矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數值為點處的旋度為一矢量，其數值為M點的環(huán)流面點的環(huán)流面 密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積

13、元的法 線方向，即線方向，即nMaxrotnFeF物理意義物理意義：旋渦源密度矢量。旋渦源密度矢量。（2）矢量場的旋度）矢量場的旋度第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波17zyxzyxxyzzxyyzxFFFzyxeeeyFxFexFzFezFyFeF旋度的計算公式旋度的計算公式: :zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12直角坐標系直角坐標系圓柱面坐標系圓柱面坐標系球面坐標系球面坐標系第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波18SCSFlFdd3、Stokes定理定理 Stokes定理是閉合曲線積定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換分與曲面

14、積分之間的一個變換關系式，也在電磁理論中有廣關系式，也在電磁理論中有廣泛的應用。泛的應用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等結果抵消相等結果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即證明證明第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波194、散度和旋度的區(qū)別、散度和旋度的區(qū)別 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波201、矢量場的源、矢量場的源散度源散度源：是標量，產生的矢

15、量場在包圍源的封閉面上的通量是標量，產生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內所包圍的源的總和，等于（或正比于）該封閉面內所包圍的源的總和， 源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量 場在該點的散度；場在該點的散度； 旋度源旋度源：是矢量，產生的矢量場具有渦旋性質，穿過一曲面是矢量，產生的矢量場具有渦旋性質，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場在該點的旋

16、度。（或正比于）矢量場在該點的旋度。1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波212、矢量場按源的分類、矢量場按源的分類（1）無旋場）無旋場0dClF性質性質：，線積分與路徑無關，是保守場。線積分與路徑無關，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，僅有散度源而無旋度源的矢量場，0F無旋場無旋場可以用標量場的梯度表示為可以用標量場的梯度表示為例如：靜電場例如：靜電場0EEuF()0Fu 第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波22（2）無散場）無散場 僅有旋度源而無散度源的矢量場僅有旋度源而無散度源的矢量場，即，即性質性質：0dSSF0 F無散場可以表示

17、為另一個矢量場的旋度無散場可以表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁場例如，恒定磁場AB0BAF()0FA 第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波23（3 3）無旋、無散場）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（源在所討論的區(qū)域之外）0F ()0u Fu 02 u0F 第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波241.7 拉普拉斯運算拉普拉斯運算 標量拉普拉斯運算標量拉普拉斯運算2u概念概念：2()uu 2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐標系直角坐標系計算公式計算公式：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrr

18、rrr 圓柱坐標系圓柱坐標系球坐標系球坐標系第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波25 2.1 真空中靜電場和恒定磁場的基本規(guī)律真空中靜電場和恒定磁場的基本規(guī)律2.2 媒質的電磁特性媒質的電磁特性2.3 電磁感應定律和位移電流電磁感應定律和位移電流2.4 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組2.5 電磁場的邊界條件電磁場的邊界條件第二章內容第二章內容第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波262.1 真空中靜電場和恒定磁場的基本規(guī)律真空中靜電場和恒定磁場的基本規(guī)律 0( )( )rE rVSVrSrE)d(1d)(0高斯定理表明高斯定理表明：靜電場是有源場，電場線起始于正電荷，終止靜電場是有

19、源場，電場線起始于正電荷，終止 于負電荷。于負電荷。靜電場的散度靜電場的散度（微分形式）（微分形式）1. 靜電場散度與高斯定理靜電場散度與高斯定理 對上式兩邊取體積分，并利用散度定理可以得到靜電場的高對上式兩邊取體積分，并利用散度定理可以得到靜電場的高斯定理斯定理（積分形式）（積分形式）表明空間任意一點電場強度的散度與該處的電荷密度有關；表明空間任意一點電場強度的散度與該處的電荷密度有關；靜電荷是靜電場的通量源。電荷密度為正，稱為發(fā)散源；為負，靜電荷是靜電場的通量源。電荷密度為正，稱為發(fā)散源；為負，稱為匯聚源。稱為匯聚源。 若電荷分布具有一定對稱性，可利用高斯定理方便的計算若電荷分布具有一定對

20、稱性，可利用高斯定理方便的計算電場強度。電場強度。第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波27( )0E r ( ) d0CE rl環(huán)路定理表明環(huán)路定理表明：靜電場是無旋場，是保守場，電場力做功與靜電場是無旋場，是保守場，電場力做功與路徑無關。路徑無關。靜電場的旋度靜電場的旋度（微分形式）（微分形式）2. 靜電場旋度與環(huán)路定理靜電場旋度與環(huán)路定理 對任意曲面求積分，并利用斯托克斯定理，可以得到靜對任意曲面求積分，并利用斯托克斯定理，可以得到靜電場的環(huán)路定理電場的環(huán)路定理（積分形式）（積分形式）第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波28 當電場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用高斯定

21、理計當電場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用高斯定理計算電場強度。算電場強度。 3. 利用高斯定理計算電場強度利用高斯定理計算電場強度具有以下幾種對稱性的場可用高斯定理求解：具有以下幾種對稱性的場可用高斯定理求解： 球對稱分布球對稱分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。均勻帶電球體均勻帶電球體帶電球殼帶電球殼多層同心球殼多層同心球殼第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波29 無限大平面電荷無限大平面電荷：如無限大的均勻帶電平面、平板等。：如無限大的均勻帶電平面、平板等。 軸對稱分布軸對稱分布：如無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等

22、。：如無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。( (a a) )( (b b) )第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波30 例例2.2.3 求真空中均勻帶電球體的場強分布。已知球體半徑求真空中均勻帶電球體的場強分布。已知球體半徑為為a ，電，電 荷密度為荷密度為 0 。 解解：（1）球外某點的場強球外某點的場強0300341daqSES（2）求球體內一點的場強）求球體內一點的場強VSEVoSd1d0ar0rrEa20303raE332343414raqEroorE30（r a時時 rIBIrB2200寫成矢量形式為寫成矢量形式為 arrIearaIreB,2,2020第第2 2章章 電

23、磁場與電磁波電磁場與電磁波342.2 媒質的電磁特性媒質的電磁特性 1. 電介質的極化現(xiàn)象電介質的極化現(xiàn)象 電介質的分子分為無極分子和有電介質的分子分為無極分子和有極分子。在電場作用下，介質中無極極分子。在電場作用下，介質中無極分子的束縛電荷發(fā)生位移，有極分子分子的束縛電荷發(fā)生位移，有極分子的固有電偶極矩的取向趨于電場方向，的固有電偶極矩的取向趨于電場方向，這種現(xiàn)象稱為電介質的極化。通常，這種現(xiàn)象稱為電介質的極化。通常，無極分子的極化稱為位移極化，有極無極分子的極化稱為位移極化，有極分子的極化稱為取向極化。分子的極化稱為取向極化。無極分子無極分子有極分子有極分子有外加電場有外加電場E2.4.1

24、 電介質的極化電介質的極化 極化強度極化強度第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波352. 極化強度矢量極化強度矢量)mC(2P0limiVpPnpV 極化強度矢量極化強度矢量 是描述介質極化程是描述介質極化程 度的物理量，定義為度的物理量，定義為PP 的物理意義：單位體積內分子電偶的物理意義：單位體積內分子電偶 極矩的矢量和。極矩的矢量和。 在線性、各向同性的電介質中，在線性、各向同性的電介質中， 與電場強度成正比，即與電場強度成正比，即P0ePE (0)e 電介質的電極化率電介質的電極化率 EpnPipp 分子的平均電偶極矩分子的平均電偶極矩 iiidqp第第2 2章章 電磁場與電磁

25、波電磁場與電磁波36 由于極化，正負電荷發(fā)生位移，在電介質內部可能出現(xiàn)凈極由于極化，正負電荷發(fā)生位移，在電介質內部可能出現(xiàn)凈極化電荷分布，同時在電介質的表面上有面分布的極化電荷?；姾煞植迹瑫r在電介質的表面上有面分布的極化電荷。3. 極化電荷極化電荷( 1 ) 極化電荷體密度極化電荷體密度 在電介質內任意作一閉合面在電介質內任意作一閉合面S，只只有電偶極矩穿過有電偶極矩穿過S 的分子對的分子對 S 內的極化內的極化電荷有貢獻。由于負電荷位于斜柱體內電荷有貢獻。由于負電荷位于斜柱體內的電偶極矩才穿過小面元的電偶極矩才穿過小面元 dS ，則穿出，則穿出面積元面積元dS的正電荷為：的正電荷為：與之

26、相對應，留在閉合面與之相對應，留在閉合面S內的極化電荷內的極化電荷 量量 為為PqVSPVPSPqddPPE SPSdVdSePSdPSddNqn第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波37( 2 ) 極化電荷面密度極化電荷面密度SPnP e 緊貼電介質表面取如圖所示的閉曲面，則穿過面積元緊貼電介質表面取如圖所示的閉曲面，則穿過面積元 的的極化電荷為極化電荷為dS故得到電介質表面的極化電荷面密度為故得到電介質表面的極化電荷面密度為nedSSPdSePSdPSddNqn第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波384. 電位移矢量電位移矢量 介質中的高斯定理介質中的高斯定理VpSVSE)d

27、(1d0pE0自由電荷和極化電荷共同激發(fā)的結果自由電荷和極化電荷共同激發(fā)的結果 介質中的電場應該是外加電場和極化電荷產生的電場的疊介質中的電場應該是外加電場和極化電荷產生的電場的疊加，應用高斯定理得到：加，應用高斯定理得到：第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波39PED0任意閉合曲面電位移矢任意閉合曲面電位移矢量量 D 的通量等于該曲面的通量等于該曲面包含自由電荷的代數和包含自由電荷的代數和 小結小結：靜電場是有源無旋場，電介質中的基本方程為：靜電場是有源無旋場，電介質中的基本方程為 0EP引入電位移矢量（單位為引入電位移矢量（單位為C/m2 ) )pP 將極化電荷體密度表達式將極化電

28、荷體密度表達式 代入代入 ，有，有0PED則有則有 VSVSDdd其積分形式為其積分形式為 dd( ) d0SVCDSVE rl（積分形式）（積分形式） 0DE （微分形式），（微分形式）， 第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波40EPe0EEEDre00)1 (在這種情況下在這種情況下00)1 (reer1其中其中 稱為介質的介電常數，稱為介質的介電常數， 稱為介稱為介質的相對介電常數（無量綱）。質的相對介電常數（無量綱）。5. 電介質的本構關系電介質的本構關系E 極化強度極化強度 與電場強度與電場強度 之間的關系由介質的性質決定。之間的關系由介質的性質決定。對于線性各向同性介質，對

29、于線性各向同性介質， 和和 有簡單的線性關系有簡單的線性關系PEP第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波41例題：半徑為例題：半徑為a的球形區(qū)域充滿分布不均勻的體密度電荷，的球形區(qū)域充滿分布不均勻的體密度電荷，設其密度為設其密度為(r),(r),若已知電場分布，試求電荷的體密度。若已知電場分布，試求電荷的體密度。arrAaaearArreErr,)(),(24523)(1)()(2200rErdrdrrErar )5()(1)(2023220ArrArrrdrdrrar 0)(1)(245220rAaardrdrr解：由高斯定理的微分形式解：由高斯定理的微分形式 ，可得：，可得： 已知：

30、已知：所以：所以：可見，體密度電荷只分布在球形區(qū)域內，球外無電荷分布可見，體密度電荷只分布在球形區(qū)域內，球外無電荷分布 第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波42例題：半徑為例題：半徑為a，介電常數為，介電常數為的球形電介質內極化強度已知。的球形電介質內極化強度已知。（1）計算極化電荷的體密度和面密度（）計算極化電荷的體密度和面密度（2）計算電介質球內）計算電介質球內的自由電荷體密度。的自由電荷體密度。rkePr22222)(1)(1rkrkrdrdrPrdrdrPrPakerkeeParrrnSP|解：解：（1）已知）已知 電介質球內的極化電荷體密度為電介質球內的極化電荷體密度為在在r

31、a處極化電荷面密度為處極化電荷面密度為第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波43PED0PDPEPED000)(PD)1 (0 D20011rkPD（2）因）因因因 故電介質球內的自由電荷體密度為故電介質球內的自由電荷體密度為第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波442.4.2 磁介質的磁化磁介質的磁化 磁場強度磁場強度1. 磁介質的磁化磁介質的磁化 介質中分子或原子內的電子運動形介質中分子或原子內的電子運動形成分子電流，形成分子磁矩成分子電流，形成分子磁矩無外加磁場無外加磁場外加磁場外加磁場B 在外磁場作用下，分子磁矩定向在外磁場作用下，分子磁矩定向排列，宏觀上顯示出磁性，這種現(xiàn)

32、象排列，宏觀上顯示出磁性，這種現(xiàn)象稱為磁介質的稱為磁介質的磁化磁化。mpi S 無外磁場作用時，分子磁矩不規(guī)無外磁場作用時，分子磁矩不規(guī)則排列，宏觀上不顯磁性。則排列，宏觀上不顯磁性。mpi S 第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波450limmmVpMnpVB2. 磁化強度矢量磁化強度矢量M 磁化強度磁化強度 是描述磁介質磁化是描述磁介質磁化程度的物理量，定義為單位體積中程度的物理量，定義為單位體積中的分子磁矩的矢量和，即的分子磁矩的矢量和，即 MmMnp單位為單位為A/m。第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波463. 磁化電流磁化電流 磁介質被磁化后，在其內部磁介質被磁化后

33、，在其內部與表面上可能出現(xiàn)宏觀的電流分與表面上可能出現(xiàn)宏觀的電流分布，稱為磁化電流。布，稱為磁化電流。dddMMCCSIIMlMS 考察穿過任意圍線考察穿過任意圍線C所圍曲面所圍曲面S的電流。只有那些環(huán)繞周界曲的電流。只有那些環(huán)繞周界曲線線C的分子電流才對磁化電流有貢獻。與線元的分子電流才對磁化電流有貢獻。與線元dl相交鏈的分子電相交鏈的分子電流，中心位于如圖所示的斜圓柱內，所交鏈的電流流，中心位于如圖所示的斜圓柱內，所交鏈的電流ddddMmIni SlnplMlBCdldlmpS穿過曲面穿過曲面S的磁化電流為的磁化電流為（1 1） 磁化電流體密度磁化電流體密度MJ第第2 2章章 電磁場與電磁

34、波電磁場與電磁波47MJMdMMSIJS由由 ，即得到磁化電流體密度，即得到磁化電流體密度ddddMttIMlM elMl 在緊貼磁介質表面取一長度元在緊貼磁介質表面取一長度元d dl，與此交鏈的磁化電流為，與此交鏈的磁化電流為（2 2） 磁化電流面密度磁化電流面密度SMJSMtJM則則即即SMnJMe的切向分量的切向分量MSMJneMld磁介質表面的切向單位矢量磁介質表面的切向單位矢量第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波484. 磁場強度磁場強度 介質中安培環(huán)路定理介質中安培環(huán)路定理 )(0MJJBSMCSJJlBd)(d0MJJ、分別是傳導電流密度和磁化電流密度。分別是傳導電流密度

35、和磁化電流密度。 將磁化電流體密度表達式將磁化電流體密度表達式 代入代入 ， 有有MJM)(0MJJBJMB)(0)(0MHB, 即即 外加磁場使介質發(fā)生磁化，磁化導致磁化電流。磁化電流同外加磁場使介質發(fā)生磁化，磁化導致磁化電流。磁化電流同樣也激發(fā)磁感應強度，兩種相互作用達到平衡，介質中的磁感應樣也激發(fā)磁感應強度，兩種相互作用達到平衡，介質中的磁感應強度強度B 應是傳導電流和磁化電流共同激勵的結果：應是傳導電流和磁化電流共同激勵的結果： MBH0定義磁場強度定義磁場強度 為：為：H第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波49)()(rJrHSCSrJlrHd)(d)(0)(rB0d)(SS

36、rB則得到介質中的安培環(huán)路定理為：則得到介質中的安培環(huán)路定理為：磁通連續(xù)性定理為磁通連續(xù)性定理為小結小結：磁介質中的基本方程為：磁介質中的基本方程為 （積分形式）（積分形式） （微分形式）（微分形式）0)()()(rBrJrH0d)(d)(d)(SSCSrBSrJlrH第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波50HMmHHBm)1 (0m其中，其中， 稱為介質的磁化率（也稱為磁化系數）。稱為介質的磁化率（也稱為磁化系數）。這種情況下這種情況下00)1 (rmmr1其中其中 稱為介質的磁導率，稱為介質的磁導率， 稱為介質稱為介質的相對磁導率（無量綱）。的相對磁導率（無量綱）。5. 磁介質的本

37、構關系磁介質的本構關系 磁化強度磁化強度 和磁場強度和磁場強度 之間的關系由磁介質的物理性質決之間的關系由磁介質的物理性質決定，對于線性各向同性介質，定，對于線性各向同性介質， 與與 之間存在簡單的線性關系：之間存在簡單的線性關系：MHHM第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波512.4.3 媒質的傳導特性媒質的傳導特性 對于線性和各向同性導電媒質，媒質內任一點的電流密度矢對于線性和各向同性導電媒質，媒質內任一點的電流密度矢量量 J 和電場強度和電場強度 E 成正比，表示為成正比，表示為EJ這就是歐姆定律的微分形式。式中的比例系數這就是歐姆定律的微分形式。式中的比例系數 稱為媒質的電稱為

38、媒質的電導率，單位是導率，單位是S/m（西門子（西門子/米）。米）。晶格晶格帶電粒子帶電粒子 存在可以自由移動帶電粒子的介質稱為存在可以自由移動帶電粒子的介質稱為導電媒質導電媒質。在外場作。在外場作用下，導電媒質中將形成定向移動電流。用下，導電媒質中將形成定向移動電流。 第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波522.3 電磁感應定律和位移電流電磁感應定律和位移電流2.5.1 電磁感應定律電磁感應定律 電磁感應定律電磁感應定律 揭示時變磁場產生電場揭示時變磁場產生電場 位移電流位移電流 揭示時變電場產生磁場揭示時變電場產生磁場 重要結論重要結論： 在時變情況下，電場與磁場相互激勵，形成統(tǒng)一

39、在時變情況下，電場與磁場相互激勵，形成統(tǒng)一 的電磁場。的電磁場。1. 法拉弟電磁感應定律的表述法拉弟電磁感應定律的表述 ddddCSE lBSt 第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波53 感應電場是由變化的磁場所激發(fā)的電場；感應電場是由變化的磁場所激發(fā)的電場； 感應電場是有旋場；感應電場是有旋場； 對感應電場的討論對感應電場的討論：相應的微分形式為相應的微分形式為 若回路不變，磁場隨時間變化若回路不變，磁場隨時間變化ddddSSBBSStt磁通量的變化由磁場隨時間變化引起，因此有磁通量的變化由磁場隨時間變化引起，因此有BEt ddCSBE lSt 第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與

40、電磁波542.5.2 位移電流位移電流1.1.全電流定律：全電流定律：tDJH 微分形式微分形式StDJlHCsd)(d 積分形式積分形式 全電流定律揭示不僅傳導電流激發(fā)磁場，變化的電場也可全電流定律揭示不僅傳導電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶關系。關系。第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波55tDJd2. 位移電流密度位移電流密度q 電位移矢量隨時間的變化率，能像電電位移矢量隨時間的變化率，能像電流一樣產生磁場，故稱流一樣產生磁場，故稱“位移電流位移電流”。注注：在絕緣介質中，無傳

41、導電流，但有位移電流；在絕緣介質中，無傳導電流，但有位移電流； 在理想導體中，無位移電流，但有傳導電流；在理想導體中，無位移電流，但有傳導電流； 在一般介質中，既有傳導電流，又有位移電流。在一般介質中，既有傳導電流，又有位移電流。q 位移電流只表示電場的變化率，與傳位移電流只表示電場的變化率，與傳導電流不同，它不產生熱效應。導電流不同，它不產生熱效應。q 位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關重要的一步，它位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關重要的一步，它揭示了時變電場產生磁場這一重要的物理概念。揭示了時變電場產生磁場這一重要的物理概念。dJ第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波5

42、62.4 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組d() dddd0ddCSCSSSVDHlJStBElStBSDSV 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的基本規(guī)律，是電磁場宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的基本規(guī)律，是電磁場 的基本方程的基本方程 2.6.1 2.6.1 麥克斯韋方程組的積分形式麥克斯韋方程組的積分形式第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波57DBtBEtDJH02.6.2 2.6.2 麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋第一方程，表明傳導電流麥克斯韋第一方程，表明傳導電流和位移電流都能產生時變磁場。該和位移電流都能產生時變磁場。該式揭示時變電場產生時變磁場。式

43、揭示時變電場產生時變磁場。麥克斯韋第二方程，表麥克斯韋第二方程，表明變化的磁場產生電場明變化的磁場產生電場麥克斯韋第三方程表明磁場是麥克斯韋第三方程表明磁場是無源場，磁力線總是閉合曲線無源場，磁力線總是閉合曲線麥克斯韋第四方程，麥克斯韋第四方程，表明電荷產生電場表明電荷產生電場第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波582.6.3 媒質的本構關系媒質的本構關系 EDHBEJ)(0)()()(EHHtEEtEH代入麥克斯韋方程組中，有：代入麥克斯韋方程組中，有：0/EHEtHEtHE 限定形式的麥克斯韋方程限定形式的麥克斯韋方程（均勻媒質）（均勻媒質）各向同性線性媒質的本構關系為各向同性線性

44、媒質的本構關系為第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波59q 時變電場的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場；而時變磁時變電場的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場；而時變磁場的激發(fā)源除了傳導電流以外，還有變化的電場。電場和磁場場的激發(fā)源除了傳導電流以外，還有變化的電場。電場和磁場互為激發(fā)源，相互激發(fā)互為激發(fā)源，相互激發(fā)。q 時變電磁場的電場和磁場不再時變電磁場的電場和磁場不再相互獨立，而是相互關聯(lián)，構相互獨立，而是相互關聯(lián)，構成一個整體成一個整體 電磁場。電電磁場。電場和磁場分別是電磁場的兩個場和磁場分別是電磁場的兩個分量。分量。q 在離開輻射源（如天線）的無源空間中，電荷密度和電流密度在

45、離開輻射源（如天線）的無源空間中，電荷密度和電流密度矢量為零，電場和磁場仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電矢量為零，電場和磁場仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。磁振蕩并傳播，這就是電磁波。第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波60 練習題：磁感應強度B=ex3x + ey (3y2z)ez (y + mz)，式中的m值應為( ) 第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波61SVSCSCSdVSDSBStBlEStDJlHd0dddd)(d2.7.1 邊界條件一般表達式邊界條件一般表達式SnnnSnDDeBBeEEeJHHe)(0)(0)()(2121212

46、1ne媒質媒質1 1媒質媒質2 2 分界面上的分界面上的自由自由電荷面密度電荷面密度 分界面上的分界面上的傳傳導導電流面密度電流面密度 e en n方向：方向：2 1 2 1 2.7 電磁場的邊界條件電磁場的邊界條件ne媒質媒質1 1媒質媒質2 2第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波62 兩種理想介質分界面上的邊界條件兩種理想介質分界面上的邊界條件0)(0)(0)(0)(21212121HHeEEeBBeDDennnn2.7.2 兩種常見的情況兩種常見的情況 在兩種理想介質分界面上，通常沒有電荷和電流分布，即在兩種理想介質分界面上，通常沒有電荷和電流分布，即JS0、S0，故，故 的法向

47、分量連續(xù)的法向分量連續(xù)D 的法向分量連續(xù)的法向分量連續(xù)B 的切向分量連續(xù)的切向分量連續(xù)E 的切向分量連續(xù)的切向分量連續(xù)H第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波632. 理想導體表面上的邊界條件理想導體表面上的邊界條件SnnnSnJHeEeBeDe00 理想導體表面上的邊界條件理想導體表面上的邊界條件 設媒質設媒質2為理想導體，則為理想導體，則E2、D2、H2、B2均為零，故均為零，故 理想導體理想導體：電導率為無限大的導電媒質：電導率為無限大的導電媒質 特征特征：電磁場不可能進入理想導體內：電磁場不可能進入理想導體內理想導體理想導體DSJH理想導體表面上的電荷密度等于理想導體表面上的電荷

48、密度等于 的法向分量的法向分量D理想導體表面上理想導體表面上 的法向分量為的法向分量為0 0B理想導體表面上理想導體表面上 的切向分量為的切向分量為0 0E理想導體表面上的電流密度等于理想導體表面上的電流密度等于 的切向分量的切向分量H第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波64第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波65 本章內容本章內容 3.1 靜電場分析靜電場分析 3.2 鏡像法鏡像法 3.3 分離變量法分離變量法 靜態(tài)電磁場：靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括：場量不隨時間變化，包括： 靜電場、恒定電場和恒定磁場靜電場、恒定電場和恒定磁場 時變情況下，電場和磁場相互關聯(lián)，構成統(tǒng)

49、一的電磁場時變情況下，電場和磁場相互關聯(lián)，構成統(tǒng)一的電磁場 靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立 第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波663.1 靜電場分析靜電場分析 學習內容學習內容 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數電位函數 3.1.3 導體系統(tǒng)的電容導體系統(tǒng)的電容 3.1.4 靜電場的能量靜電場的能量第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波672. 邊界條件邊界條件0ED微分形式：微分形式：ED本構關系：本構關系：1. 基本方程基本方程0)()(2121EEeDDe

50、nSn0ddlEqSDCS積分形式：積分形式：0)(0)(2121EEeDDenn02121ttSnnEEDD或或若分界面上不存在面電荷，即若分界面上不存在面電荷，即S S0 0，則，則ttnnEEDD2121或或3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波68介質介質2 2介質介質1 121212E1Ene 在靜電平衡的情況下，導體內部的電場為在靜電平衡的情況下，導體內部的電場為0，則導體表面的，則導體表面的邊界條件為邊界條件為 0EeDenSn0tSnED或或 導體表面的邊界條件導體表面的邊界條件第第2 2章章 電磁場與電磁波

51、電磁場與電磁波690E由由即即靜電場可以用一個標量函數的梯度來表示，靜電場可以用一個標量函數的梯度來表示，標量函數標量函數 稱為靜稱為靜電場的標量電位或簡稱電位。電場的標量電位或簡稱電位。1. 電位函數的定義電位函數的定義E3.1.2 電位函數電位函數第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波703. 電位差電位差兩端點乘兩端點乘 ，則有，則有l(wèi)dE將將ddddEllll 上式兩邊從點上式兩邊從點P到點到點Q沿任意路徑進行積分，得沿任意路徑進行積分，得)()(ddQPlEQPQPP、Q 兩點間的電位差兩點間的電位差電場力做電場力做的功的功( )ddQPPPEl 若選無窮遠處為參考點，則若選無

52、窮遠處為參考點，則第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波71在均勻介質中，有在均勻介質中，有5. 電位的微分方程電位的微分方程2在無源區(qū)域，在無源區(qū)域，0EED02標量泊松方程標量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波726. 靜電位的邊界條件靜電位的邊界條件 設設P1和和P2是介質分界面兩側緊貼界面的相鄰兩點，其電位分是介質分界面兩側緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為別為 1和和 2。當兩點間距離當兩點間距離l0時時 若介質分界面上無自由電荷，即若介質分界面上無自由電荷，即 導體表面上電位的邊界條件：導體表面上電位的邊界條件：0dlim21021PP

53、llESnDDe)(21D由由 和和12媒質媒質2媒質媒質121l2P1P0S2121nn常數，常數，Sn 12Snn1122第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波73 電容是導體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導體系統(tǒng)電容是導體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導體系統(tǒng) 儲存電荷儲存電荷能力的物理量。能力的物理量。 孤立導體的電容定義為所帶電量孤立導體的電容定義為所帶電量q與其電位與其電位 的比值，即的比值，即qC 3.1.3 導體的導體的電容電容 孤立導體的電容孤立導體的電容 兩個帶等量異號電荷（兩個帶等量異號電荷（ q）的導的導 體組成的電容器，其電容為體組成的電容器，其電容為12qqCU 電容

54、的大小只與導體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質電容的大小只與導體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質 的特性參數有關，而與導體的帶電量和電位無關。的特性參數有關，而與導體的帶電量和電位無關。第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波74 (1) 假定兩導體上分別帶電荷假定兩導體上分別帶電荷+q 和和 -q ； (2) 計算兩導體間的電場強度計算兩導體間的電場強度E； 計算電容的步驟：計算電容的步驟：UqC (4) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。21dlEU (3) 由由 ，求出兩導體間的電位差；，求出兩導體間的電位差；第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波75 解解

55、：設內導體的電荷為設內導體的電荷為q q，則由高斯定理可求得內外導體間，則由高斯定理可求得內外導體間的電場的電場44rr22qqDe,EerrababqbaqrEUba004)11(4d同心導體間的電壓同心導體間的電壓ababUqC04球形電容器的電容球形電容器的電容aC04當當 時，時，babo 例例3.1.4 同心球形電容器的內導體半徑為同心球形電容器的內導體半徑為a、外導體半徑為、外導體半徑為b，其間填充介電常數為其間填充介電常數為的均勻介質。的均勻介質。求此球形電容器的電容。求此球形電容器的電容。孤立導體球的電容孤立導體球的電容第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波763.1.

56、4 靜電場的能量靜電場的能量12eWq靜電場的能量密度靜電場的能量密度VWVed21SWSSed21故體分布電荷的電場能量為故體分布電荷的電場能量為對于面分布電荷，對于面分布電荷，電場能量為電場能量為第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波772. 電場能量密度電場能量密度 從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。EDwe21電場能量密度：電場能量密度：1d2eVWD E V電場的總能量：電場的總能量：積分區(qū)域為電場積分區(qū)域為電場所在的整個空間所在的整個空間2111ddd222eVVVWD E VE E VEV 對于線性、

57、各向同性介質，則有對于線性、各向同性介質，則有2111222ewD EE EE 第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波78 例例 半徑為半徑為a 的球形空間內均勻分布有電荷體密度為的球形空間內均勻分布有電荷體密度為的電荷，的電荷，試求靜電場能量。試求靜電場能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解解： 方法一方法一，利用利用 計算計算 VeVEDWd21 根據高斯定理求得電場強度根據高斯定理求得電場強度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVed21d21d2121220210第第2 2章章 電磁場與電磁

58、波電磁場與電磁波79)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二方法二：利用利用 計算計算 VeVWd21 先求出電位分布先求出電位分布 故故5202022021154d4)3(221d21arrraVWaVe第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波80練習練習2：同心導體球形電容器的內球半徑為：同心導體球形電容器的內球半徑為a，外球半徑為，外球半徑為b；內、；內、外球之間的下半球填充介電常數為外球之間的下半球填充介電常數為的電介質，上半部分為空氣；的電介質，上半部分為空氣；內球殼上帶電荷內球殼上帶電荷q，如圖所示。求：，如圖所示。求：(1)空

59、間的電場分布；空間的電場分布；(2)空空間的電位分布；間的電位分布；(3)電容器的電容；電容器的電容；(4)整個系統(tǒng)的靜電能量。整個系統(tǒng)的靜電能量。1題圖題圖練習練習1：如圖所示，一個半徑為：如圖所示，一個半徑為 a，帶電荷量為，帶電荷量為q的導體球，的導體球，其球心位于兩種介質分界面上，此兩種介質的介電常數分其球心位于兩種介質分界面上，此兩種介質的介電常數分別為別為1和和2，分界面為無限大平面。求：，分界面為無限大平面。求：(1)導體球的電容；導體球的電容；(2) 總的靜電能量?？偟撵o電能量。2題圖題圖第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波811.解：(1)由于電場沿徑向分布，根據邊界

60、條件，在兩種介質的分界面上E1t= E2t，故有E1= E2。由高斯定理得到221222rErEq2122qEr 21212122aaqqaEdrdrra 即導體球的電位為第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波82 122qCaa 212124eqWqaa故導體球的電容為（2）總的靜電能量為222212001222222200122121sin221sin224eaaqWrdrd drqrdrd drqa 或者第第2 2章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波832.解：(1)由于電場沿徑向分布，根據邊界條件，在兩種介質的分界面上E1t= E2t，故有E1= E2。由高斯定理得到221222r