江蘇省南通市2025屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（南通一模）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁江蘇省南通市2025屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（南通一模）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|?1≤x≤2}，B={x|lnx≥0}，則A∩B=(

)A.[?1,2] B.[1,2] C.(0,2] D.(0,1]2.已知向量a，b滿足a+2b=(3,1)，2a?3b=(?1,2)，則A.π6 B.π4 C.π33.某正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱與底面的夾角為60°，則該正四棱錐的體積為(

)A.463 B.8234.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn+1，Sn，A.1 B.2 C.4 D.95.在某個時期，某湖泊中的藍藻每天以p%的增長率呈指數(shù)增長.若增長為原來的54倍經(jīng)過了4天，則增長為原來的2倍需要經(jīng)過的天數(shù)約為(????)(參考數(shù)據(jù)：lgA.6 B.12 C.16 D.206.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(4?x)，且f(x)在[?2,2]上單調(diào)遞增.設(shè)a=f(74)，b=f(72)A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a7.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A為C的左支上一點，AA.2 B.22 C.3 8.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx?π6)(ω>0)，若f(x)在(0,π2)上有且只有2個零點，且對任意實數(shù)a，f(x)A.(73,3) B.(73,3]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是(

)A.若z2為實數(shù)，則z是實數(shù) B.若z2為虛數(shù)，則z是虛數(shù)

C.若z2=z1，則z110.口袋內(nèi)裝有大小、質(zhì)地均相同，顏色分別為紅、黃、藍的3個球.從口袋內(nèi)無放回地依次抽取2個球，記“第一次抽到紅球”為事件A，“第二次抽到黃球”為事件B，則(

)A.P(A)=13 B.P(B|A)=12 C.A與B為互斥事件 D.11.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)A.C1F⊥平面DD1E

B.向量A1E，BF，B1D1不共面

C.平面CEF三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)(2x?1)5=a0+13.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，直線l的傾斜角為45°，且l過點F.若l與C相交于A，B兩點，則以AB為直徑的圓被y軸截得的弦長為14.將1，2，3，4，5，6隨機排成一行，前3個數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)a，后三個數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)b.記m=|a?b|，則m的最小值為

，m小于100的概率為

．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)某學(xué)校舉行運動會，為了解學(xué)生參加跳繩比賽與學(xué)生的性別是否有關(guān)，對學(xué)生進行簡單隨機抽樣，得到如下數(shù)據(jù)：女男未參加跳繩比賽7590參加跳繩比賽2510(1)能否有99%的把握認為學(xué)生參加跳繩比賽與學(xué)生的性別有關(guān)?(2)為了進一步了解女生的平時運動情況，利用分層抽樣的方法從這100人中抽取12人進行研究.老師甲從這12人中隨機選取3人，求至少有1人參加跳繩比賽的概率．附：χ2=n(ad?bcP(0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82816.(本小題12分)在△ABC中，已知tanA=43(1)求B;(2)若AD為∠BAC的平分線，△ABC的面積為14，求AD．17.(本小題12分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A(1)證明：三棱柱ABC?A1(2)證明：A(3)設(shè)AB1?平面α，BC1//平面α，若直線BC118.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax的圖象與x軸的三個交點為A，O，B(O(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若函數(shù)g(x)=f(x)?2ln1?x1+x有三個零點，求(3)若a≠?1，點P在y=f(x)的圖象上，且異于A，O，B，點Q滿足PA?QA=0，PB?19.(本小題12分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，且經(jīng)過點A(2,22).定義第n(n∈N?)次操作為：經(jīng)過(1)求C的方程;(2)若A1為C的左頂點，經(jīng)過3次操作后停止，求k的值(3)若k=?ba，A1是C在第一象限與A不重合的一點，證明：△參考答案1.B

2.B

3.A

4.C

5.B

6.D

7.C

8.D

9.BC

10.AB

11.AC

12.122

13.214.47；115.解：(1)假設(shè)學(xué)生參加跳繩比賽與學(xué)生的性別無關(guān)，

則χ2=200(75×10?90×25)2100×100×165×35=60077≈7.792>6.635，

所以有99%的把握認為學(xué)生參加跳繩比賽與學(xué)生的性別有關(guān)．

(2)利用分層抽樣的方法從女生這100人中抽取12人，

則未參加跳繩比賽的有9人，參加跳繩比賽的有3人．

老師甲從這12人中隨機選取3人，

記“至少有1人參加跳繩比賽”為事件A，

16.解：(1)在△ABC中，tanA=43>0，所以0<A<π2，

因為0<B<π，所以?π<A?B<π2，

因為sin(A?B)=210>0，所以0<A?B<π2，

所以cos(A?B)=1?sin2(A?B)=7210．

所以tan(A?B)=sin(A?B)cos(A?B)=17，

所以tanB=tan[A?(A?B)]=tanA?tan(A?B)1+tanA?tan(A?B)=43?171+4317.(1)證明：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1=CC1=AA1，∠ABB1=∠BCC1=∠CAA1=90°，

又因為AB1=BC1=CA1，

所以△ABB1≌△BCC1≌△CAA1，

所以AB=BC=CA，

所以三棱柱ABC?A1B1C1為正三棱柱．

(2)證明：取AC，A1C1的中點D，D1，連接BD，DD1，則BD⊥AC．

因為AA1/?/DD1，AA1⊥平面ABC，

所以DD1⊥平面ABC．

以{DB,DC,DD1}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系．

不妨設(shè)AC=2a，AA1=b，

則A(0,?a,0)，B(3a,0,0)，C(0,a,0)，A1(0,?a,b)，C1(0,a,b)，B1(3a,0,b)，

所以BC1=(?3a,a,b)，CA1=(0,?2a,b)18.解：(1)由已知得，f(x)=0有三個根，

令x3+ax=0，得x=0或x2+a=0，

所以x2+a=0有兩個不同的解，所以a<0．

令f′(x)=3x2+a>0，得x<??3a3或x>?3a3;令f′(x)<0，得??3a3<x<?3a3，

所以當a<0時，f(x)在(?∞,??3a3)和(?3a3,+∞)上單調(diào)遞增;

在(??3a3,?3a3)上單調(diào)遞減．

(2)令1?x1+x>0，得?1<x<1．

令g(x)=x3+ax?2ln1?x1+x，

因為g(?x)+g(x)=?x3?ax?2ln1+x1?x+x3+ax?2ln1?x1+x=0，

所以g(x)為奇函數(shù)．

因為g(0)=0，所以0是g(x)的一個零點，

要使g(x)=f(x)?2ln1?x1+x有三個零點，只需要g(x)在(0,1)有且僅有一個零點．

g′(x)=3x2+a+41?x2在(0,1)上單調(diào)遞增，g′(0)=a+4．

當a+4≥0，即a≥?4時，g′(x)≥0，所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

由g(0)=0，得g(x)在(0,1)上無零點，不合題意，舍去．

當a+4<0，即a<?4時，g′(1+4a)>a+41?(1+4a)=0，

所以存在x0∈(0,1)，使得g′(x0)=0．

當0<x<x0時，g′(x)<0，所以g(x)在(0,x0)上遞減;

當x019.解：(1)由條件得，a2?b2a=32，2a2+12b2=1，解得a=2，b=1，

所以橢圓C的方程為x24+y2=1．

(2)設(shè)An(xn,yn)，則直線AnBn的方程為y=k(x?xn)+yn，

與C的