初一上數(shù)學(xué)-整式的加減-培優(yōu)講義14頁

1、初一數(shù)學(xué)（上冊）講義整式的加減培優(yōu)能力提升1：用字母表示數(shù)能力提升2：圖形關(guān)系的代數(shù)表示 有些數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)為圖形中的數(shù)量關(guān)系，如果能將這些關(guān)系表示為代數(shù)式，這樣就初步地實現(xiàn)了數(shù)與形相結(jié)合，抽象與直觀相結(jié)合，對培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力是非常重要的。能力提升3：由代數(shù)式展開的推理能力提升4：求代數(shù)式的值 用具體的數(shù)代替代數(shù)式里的字母進(jìn)行計算，求出代數(shù)式的值，是一個由一般到特殊的過程具體求解代數(shù)式值的問題時，對于較簡單的問題，代入直接計算并不困難，但對于較復(fù)雜的代數(shù)式，往往是先化簡，然后再求值下面結(jié)合例題初步看一看代數(shù)式求值的常用技巧 【例1】 求下列代數(shù)式的值：（1），其中；（2），其中.分析 上面兩題均可直

2、接代入求值，但會很麻煩，容易出錯我們可以利用已經(jīng)學(xué)過的有關(guān)概念、法則，如合并同類項，添、去括號等，先將代數(shù)式化簡，然后再求值，這樣會大大提高運算的速度和結(jié)果的準(zhǔn)確性=0-4a3b2-a2b-5=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5=-16+2-5=-19(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2z3x2y-(xyz-5x2z) =3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z) =(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z) =2xyz-2x2z =2×(-

3、1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3) =12+6=18說明 本例中(1)的化簡是添括號，將同類項合并后，再代入求值；(2)是先去括號，然后再添括號，合并化簡后，再代入求值去、添括號時，一定要注意各項符號的變化【例2】已知，求的值分析 由已知條件a-b=-1，我們無法求出a，b的確定值，因此本題不能像例1那樣，代入a，b的值求代數(shù)式的值下面給出本題的五種解法解法1 由a-b=-1得a=b-1，代入所求代數(shù)式化簡a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3 =b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3 =-1說明 這是用代入消元法消去a化簡

4、求值的解法2 因為a-b=-1，所以 原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1說明 這種解法是利用了乘法公式，將原式化簡求值的解法3 因為a-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3 =a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3 =(-1)3=-1說明 這種解法巧妙地利用了-1=a-b，并將3ab化為-3ab(-1)=-3ab(a-b)，從而湊成了(a-b)3解法4 因為a-b=-1，所以(a-

5、b)3=(-1)3=1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，即 a3-b3+3ab=-1說明 這種解法是由a-b=-1，演繹推理出所求代數(shù)式的值解法 5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1說明 這種解法是添項，湊出(a-b)3，然后化簡求值通過這個例題可以看出，求代數(shù)式的值的方法是很靈活的，需要認(rèn)真思考，才能找到簡便的算法在本例的各種解法中，用到了幾個常用的乘法公式，現(xiàn)總結(jié)如下：(a+b)2

6、=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 ；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)【例3】已知，求代數(shù)式的值.解 由已知，xy=2(x+y)，代入所求代數(shù)式中，消去xy，然后化簡所以【例4】已知，求的值.解 因為a=3b，所以c=5a=5×(3b)=15b將a，c代入所求代數(shù)式，化簡得【例5】已知滿足條件： （1）；（2）與是同類項. 求代數(shù)式的值.解 因為(x-5)2，m都是非負(fù)數(shù)，所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2下

7、面先化簡所求代數(shù)式，然后再代入求值=x2y+5m2x+10xy2=52×2+0+10×5×22=250【例6】如果，并且，求的值分析 此題可以用方程組求出a，b的值，再分別代入14a-2b求值下面介紹一種不必求出a，b的值的解法解 14a-2b=2(7a-b) =2(4a+3a)+(-3b+2b)=2(4a-3b)+(3a+2b)=2(7+19)=52【例7】當(dāng)時，求代數(shù)式x+x-1+x-2+x-3+x-4+x-5的值 分析 所求代數(shù)式中六個絕對值的分界點，分別為：0，1，2，據(jù)絕對值的意義去掉絕對值的符號，將有3個x和3個-x，這樣將抵消掉x，使求值變得容易原式

8、=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5) =-1-2+3+4+5=9說明 實際上，本題只要x的值在2與3之間，那么這個代數(shù)式的值就是9，即它與x具體的取值無關(guān)【例8】若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7可以寫成的形式，對于等比，我們通?？梢栽O(shè)它們的比值為常數(shù)k，這樣可以給問題的解決帶來便利 x=3k，y=4k，z=7k因為2x-y+z=18，所以2×3k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8【例9】已知x=y=11，求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值 分析 本題是可直接代入求值的下面采用換元法，先將式子改寫得較簡潔，然后再求值解 設(shè)x+y=m，xy=n原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n) =(n-1)2+m2-2m-2mn+4n =n2-2n+1+4n-2m-2mn+