初三數(shù)學中考復習：二次函數(shù)中特殊三角形的存在問題(含答案)(共19頁)

1、特殊三角形存在性問題一、等腰三角形存在性問題【例4】 如圖，拋物線yx2mxn與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A(1，0)，C(0，3) (1)求拋物線的解析式解：把A(1，0)，C(0，3)代入yx2mxn，得解得 拋物線的解析式為yx22x3.(2)判斷ACD的形狀，并說明理由 先確定點D的坐標，求出ACD的各邊長，然后判斷ACD的形狀解：ACD是等腰三角形由(1)知，拋物線的對稱軸為x1，D(1，0)A(1，0)，C(0，3)，AD2，AC，CD.ACCD.ACD是等腰三角形(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果

2、存在，求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由 先找出所有符合條件的點，然后再求線段長確定P點坐標解：由(2)知CD.CDP是以CD為腰的等腰三角形，CP1DP2DP3CD.過點C作CM垂直對稱軸于M，MP1MD3.DP16.符合條件的點P的坐標為(1，6)，(1，)，(1，)(4)點P是線段BC上的一動點，是否存在這樣的點P，使PCD是等腰三角形？如果存在，求出P點的坐標，如果不存在，請說明理由 先求出BC的解析式，分三種情況討論計算出m.解：B(3，0)，C(0，3)，直線BC的解析式為yx3.設點P(m，m3)(m0)C(0，3)，D(1，0)，CP22m2，DP2(m1)2(m3)2，C

3、D210.PCD是等腰三角形：當CPDP時，則CP2DP2.2m2 (m1)2(m3)2.m.P1.當CPCD時，則CP2CD2.2m2 10.m或m(舍去)P2(，3)當DPCD時，則DP 2 CD 2.(m1)2(m3)210.m4或m0(舍去)P3(4，1)綜上所述，符合條件的點P的坐標為，(，3)或(4，1)(5)設拋物線的頂點為E，在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得PEC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由 分“以CE為底”和“以CE為腰”兩種情況討論利用腰長相等列關系式，再結合拋物線解析式，求出點P的坐標解：由(1)知，E點坐標為(1，4)

4、，對稱軸為直線x1.若以CE為底邊，則PEPC.設點P的坐標為(x，y)，則(x1)2(y4)2x2(3y)2，即y4x.又點P(x，y)在拋物線上，4xx22x3.解得x.1，應舍去x，y4x.即點P的坐標為.若以CE為一腰，因為點P在對稱軸右側的拋物線上，由拋物線的對稱性可知，點P與點C關于直線x1對稱，此時P點坐標為(2，3)綜上所述，符合條件的點P坐標為或(2，3) 關于等腰三角形找點(作點)和求點的方法等腰三角形找點(作點)方法：以已知邊為邊長，作等腰三角形，運用“兩圓一線法”，在圖上找出存在點的個數(shù).問題找點等腰三角形已知點A，B和直線l，在l上求點P，使PAB為等腰三角形分別以點

5、A，B為圓心，以線段AB長為半徑作圓，再作線段AB的垂直平分線，兩圓和垂直平分線與l的交點即為所有要求的P點等腰三角形求點方法：以已知邊為邊長，在拋物線或坐標軸或對稱軸上找點，與已知點構成等腰三角形，先設所求點的坐標，然后求出三點間的線段長度，分不同頂點進行討論二、直角三角形的存在性問題【例5】 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yax22xc與x軸交于A(1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點(1)求拋物線的解析式和直線AC的解析式；解：把A(1，0)，B(3，0)代入yax22xc，得解得 拋物線的解析式為yx22x3.設AC的解析式為ykx3.把A(1，0)代入解

6、析式，得k3.直線AC的解析式為y3x3.(2)動點E在y軸上移動，當EAC是以AC邊為直角邊的直角三角形時，求點E的坐標解：設E的坐標為(0，t)AC2OA2OC2123210，EA2 OA2OE212t2，CE2(3t)2.在RtEAC中，AC2EA2 CE2，10(12t2)(3t)2，解得t.點E的坐標為.(3)試探究：在拋物線上是否存在點P，使以點A，P，C為頂點，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由 分直角頂點在點A處和點C處兩種情況討論解：存在直角頂點在點C處如圖，過點C作CQAC交x軸于點Q，ACQ為直角三角形又COAQ，C

7、OAQOC.A(1，0)，C(0，3)，OA1，OC3.OQ9.Q(9，0)由C(0，3)，Q(9，0)可求出直線CQ的解析式為yx3.聯(lián)立方程 解得x10(舍去)，x2.當x時，y.P1.直角頂點在點A處如圖，過點A作AP2CQ交拋物線于點P2.設直線AP2的解析式為yxb，把A(1，0)代入解析式，得×(1)b0，b.直線AP2的解析式為yx.聯(lián)立方程 解得x11(舍去)，x2，當x時，y.P2.綜上所述，符合條件的點P的坐標為或.(4)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得以B，C，P為頂點的三角形為直角三角形？若存在，試求出點P的坐標；若不存在，請說明理由 分直角頂點在點B處

8、、點C處和點P處三種情況討論解：設點P(1，m)，B(3，0)，C(0，3)BC218，PB2(13)2m2m24，PC212(m3)2 m26m10.當以點C為直角頂點時，BC2 PC2 PB2，即18 (m26m10) m24，解得m4.當以點B為直角頂點時，BC2 PB2 PC2，即18 (m24) m26m10，解得m2.當以點P為直角頂點時， PB2 PC2 BC2，即m24 (m26m10) 18，解得m1，m2.綜上，存在點P，使得以點B，C，P為頂點的三角形為直角三角形，點P的坐標為(1，4)，(1，2)，.（5）作直線MN平行于x軸，分別交線段AC，BC于點M，N.問在x軸上

9、是否存在點P，使得PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有滿足條件的P點的坐標；如果不存在，請說明理由 分三種情況進行討論：PMN90°，PMMN；PNM90°，PNMN；MPN90°，PMPN.解：存在設M，N的縱坐標為m，由B(3，0)，C(0，3)可求出直線BC的解析式為yx3.M，N(3m，m)當PMN90°，PMMN時，如圖1所示，MN，PMm， m，解得m，則P的橫坐標為.P.當PNM90°，PNMN時，同理可得P.當MPN90°，PMPN時，作MN的中點Q，連接PQ，則PQm. 又PMPN，PQMN.則MN2PQ，即2

10、m，解得m，點P的橫坐標為.P.綜上，存在點P使得PMN是等腰直角三角形，點P的坐標為，或. 關于直角三角形找點和求點的方法找點：以已知邊為邊長，作直角三角形，運用兩線一圓法，在圖上找出存在點的個數(shù)所謂的“兩線”就是指以已知邊為直角邊，過已知邊的兩個端點分別作垂線與拋物線或坐標軸或對稱軸的交點，就是所求的點；“一圓”就是以已知邊為直徑，以已知邊的中點作圓，與拋物線或坐標軸或對稱軸的交點即為所求的點求點：以兩定點為直角頂點時，兩直線互相垂直，則k1·k21；以已知線段為斜邊時，利用K型圖，構造雙垂直模型，最后利用三角形相似求解，或者三條邊分別用代數(shù)式表示之后，利用勾股定理求解1(201

11、8·濰坊)如圖1，拋物線y1ax2xc與x軸交于點A和點B(1，0)，與y軸交于點C，拋物線y1的頂點為G，GMx軸于點M.將拋物線y1平移后得到頂點為B且對稱軸為直線l的拋物線y2.(1)求拋物線y2的解析式；(2)如圖2，在直線l上是否存在點T，使TAC是等腰三角形？若存在，請求出所有點T的坐標；若不存在，請說明理由；(3)點P為拋物線y1上一動點，過點P作y軸的平行線交拋物線y2于點Q，點Q關于直線l的對稱點為R.若以P，Q，R為頂點的三角形與AMG全等，求直線PR的解析式 解：(1)根據(jù)題意，得解得a，所以，拋物線y1的解析式為y1x2x.拋物線y1平移后得到拋物線y2，且頂

12、點為B(1，0)，拋物線y2的解析式為y2(x1)2，即y2x2x. (2)拋物線y2的對稱軸l為x1，設T(1，t)，已知A(3，0)，C，過點T作TEy軸于E，連接TC，TA，則TC2TE2CE212t2t，TA2TB2AB2t2(13)2t216，AC2.當TCAC時，即t2t，解得t1，t2；當TAAC時，得t216，無解；當TATC時，得t2tt216，解得t3.綜上所述，在拋物線y2的對稱軸l上存在點T，使TAC是等腰三角形，此時T點的坐標為T1，T2，T3.(3)設P，則Q.Q，R關于x1對稱，R.情況一：當點P在直線l的左側時，PQm2m1m，QR22m.又因為以P，Q，R構成

13、的三角形與AMG全等，當PQGM且QRAM時，m0，可求得P，即點P與點C重合R.設PR的解析式為ykxb，則有解得k，即PR的解析式為yx.當PQAM且QRGM時，無解情況二：當點P在直線l右側時，PQm2mm1，QR2m2，同理可得P，R.PR的解析式為yx.綜上所述， PR的解析式為yx或yx. 2.(2018·海南)如圖1，拋物線yax2bx3交x軸于點A(1，0)和點B(3，0)(1)求該拋物線所對應的函數(shù)解析式；(2)如圖2，該拋物線與y軸交于點C，頂點為F，點D(2，3)在該拋物線上求四邊形ACFD的面積；點P是線段AB上的動點(點P不與點A，B重合)，過點P作PQx軸

14、交該拋物線于點Q，連接AQ，DQ，當AQD是直角三角形時，求出所有滿足條件的點Q的坐標 解：(1)根據(jù)題意，得 解得 拋物線的解析式為yx22x3.(2)如答圖1，連接CD，yx22x3(x1)24，F(xiàn)(1，4)C(0，3)，D(2，3)，CD2，且CDx軸S四邊形ACFDSACDSFCDCD×(yFyA)×2×44.點P在線段AB上，DAQ不可能為直角當AQD為直角三角形時，有ADQ90°或AQD90°，如答圖2所示.當ADQ90°時，則DQAD.A(1，0)，D(2，3)，直線AD的解析式為yx1.可設直線DQ的解析式為yxb.把

15、D(2，3)代入上式可求得b5，直線DQ的解析式為yx5.聯(lián)立直線DQ和拋物線的解析式可得解得 Q(1，4).當AQD90°時，設Q(t，t22t3)，設直線AQ的解析式為yk1xb1，把A，Q坐標代入上式可得 ，解得k1(t3)設直線DQ的解析式為yk2xb2，同理可求得k2t.AQDQ，k1k21，即t(t3)1，解得t.當t時，t22t3；當t時，t22t3.Q點坐標為(，)或(，)綜上可知Q點坐標為(1，4)或(，)或(，)3(2018·邵陽)如圖所示，將二次函數(shù)yx22x1的圖象沿x軸翻折，然后向右平移1個單位，再向上平移4個單位，得到二次函數(shù)yax2bxc的圖象

16、函數(shù)yx22x1的圖象的頂點為點A.函數(shù)yax2bxc的圖象的頂點為點B，并和x軸的交點為點C，D(點D位于點C的左側)(1)求函數(shù)yax2bxc的解析式；(2)從點A，C，D三個點中任取兩個點和點B構造三角形，求構造的三角形是等腰三角形的概率；(3)若點M是線段BC上的動點，點N是ABC三邊上的動點，是否存在以AM為斜邊的RtAMN，使AMN的面積為ABC面積的.若存在，求tanMAN的值；若不存在，請說明理由 解：(1)yx22x1(x1)2的圖象沿x軸翻折，得y(x1)2.把y(x1)2向右平移1個單位，再向上平移4個單位，得yx24.所求的函數(shù)yax2bxc的解析式為yx24.(2)從

17、點A，C，D三個點中任取兩個點，能和點B構造的三角形有BAC，BAD，BCD.A，B，C，D的坐標分別為(1，0)，(0，4)，(2，0)，(2，0)可求得AC3，AD1，CD4，AB，BC2，BD2，只有BCD為等腰三角形構造的三角形是等腰三角形的概率P.(3)存在SABCAC·OB×3×46.當點N在邊AC上時，點M在邊BC上在RtAMN中，MNAC.設點N的坐標為(m，0)，則ANm1，點M的橫坐標為m.由B(0，4)，C(2，0)易得線段BC的解析式為y2x4，其中0x2，點M的縱坐標為2m4，則MN2m4.SAMNAN·MN(m1)(2m4)SABC2，解得m10，m21.當m0時，M點的坐標為(0，4)，N(0，0)，則AN1，MN4，tanMAN4.當m1時，M點的坐標為(1，2)，N(1，0)，則AN2，MN2，tanMAN1；當點N在BC上，點M在BC上 在RtAMN中，MNAN.SAMNSABC，AN·MN×BC·AN.MNBC.SABCBC·AN·