第三章-傳熱學(xué)數(shù)值計算方法

1、*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)1 /38 ThermalThermal本章任務(wù)：本章任務(wù)：前兩章已闡述了獲得物理現(xiàn)象的理論預(yù)前兩章已闡述了獲得物理現(xiàn)象的理論預(yù)測有一些明顯的好處，且測有一些明顯的好處，且一些一些有趣的現(xiàn)象是受一些有趣的現(xiàn)象是受一些微分方程支配的，這些方程已用通用方程歸納了，微分方程支配的，這些方程已用通用方程歸納了，接下來的接下來的任務(wù)就是推導(dǎo)求解這個通用方程的方法任務(wù)就是推導(dǎo)求解這個通用方程的方法即所謂的離散化方法。即所謂的離散化方法。第三章第三章 離散化方法離散化方法推導(dǎo)前的假設(shè)：推導(dǎo)前的假設(shè)：設(shè)通用變量設(shè)通用變量 僅僅是一個變量的函數(shù)（一維問題）僅僅是一個變量的函數(shù)

2、（一維問題）*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)2 /38 ThermalThermal3.1 數(shù)值方法的本質(zhì)數(shù)值方法的本質(zhì)3.1-1 任務(wù)任務(wù)1. 什么是微分方程的數(shù)值解？什么是微分方程的數(shù)值解？ 它是由一組可以構(gòu)成因變量它是由一組可以構(gòu)成因變量 分布的數(shù)組成的集合，即分布的數(shù)組成的集合，即用一組數(shù)字表示待定變量在定義域內(nèi)的分布。類似于用一組數(shù)字表示待定變量在定義域內(nèi)的分布。類似于在實驗室中進(jìn)行的實驗，儀器的讀數(shù)構(gòu)成了所研究區(qū)在實驗室中進(jìn)行的實驗，儀器的讀數(shù)構(gòu)成了所研究區(qū)域內(nèi)被測物理量的分布（域內(nèi)被測物理量的分布（有限個離散點的值的集合有限個離散點的值的集合）。）。 2. 實驗數(shù)據(jù)的處理實驗

3、數(shù)據(jù)的處理擬合關(guān)系式擬合關(guān)系式 通常采用的方法是利用實驗結(jié)果，擬合出遵循的方程，通常采用的方法是利用實驗結(jié)果，擬合出遵循的方程，然后利用方程即可計算出任意位置點上因變量的值。然后利用方程即可計算出任意位置點上因變量的值。*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)3 /38 ThermalThermaleg. 設(shè)設(shè) 隨隨 x 的變化遵循高次多項式的形式的變化遵循高次多項式的形式 2012nnxaa xa xa x利用實驗數(shù)據(jù)，并采用數(shù)值方法求得有限數(shù)量的多項式中的各利用實驗數(shù)據(jù)，并采用數(shù)值方法求得有限數(shù)量的多項式中的各項系數(shù)值，進(jìn)而得到相應(yīng)的項系數(shù)值，進(jìn)而得到相應(yīng)的 與與x 遵循的方程式，由此即可求遵

4、循的方程式，由此即可求得任意點處的得任意點處的 值了。值了。若最終的興趣是得到不同位置上的若最終的興趣是得到不同位置上的 值，值，則則此方法有些不便，此方法有些不便，因為各個系數(shù)因為各個系數(shù) a 本身沒有什么特別的意義，但要求得本身沒有什么特別的意義，但要求得 還必還必須進(jìn)行代入過程。須進(jìn)行代入過程。3. 數(shù)值方法及任務(wù)數(shù)值方法及任務(wù)建立一個把一系列給定點上的建立一個把一系列給定點上的 值作為原始未知量的方程值作為原始未知量的方程，實，實際上求解微分方程的多數(shù)方法均屬此類。際上求解微分方程的多數(shù)方法均屬此類。該方法的任務(wù)該方法的任務(wù)是提供是提供一組關(guān)于這些未知量的代數(shù)方程并規(guī)定求解這組方程的算

5、法。一組關(guān)于這些未知量的代數(shù)方程并規(guī)定求解這組方程的算法。*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)4 /38 ThermalThermal 3.1-2 離散化的概念離散化的概念1. 離散化方法及基本思想離散化方法及基本思想 把注意力集中在網(wǎng)格節(jié)點處的值，把注意力集中在網(wǎng)格節(jié)點處的值，用離散的值取用離散的值取代代包含在微分方程精確解中的包含在微分方程精確解中的連續(xù)信息，連續(xù)信息，這樣就離這樣就離散了散了 的分布，這類數(shù)值方法叫的分布，這類數(shù)值方法叫離散化方法。離散化方法。 根據(jù)實際研究對象，把定義域分為若干個有限的根據(jù)實際研究對象，把定義域分為若干個有限的區(qū)域，在定義域內(nèi)連續(xù)變化的待求變量場，由有限

6、區(qū)區(qū)域，在定義域內(nèi)連續(xù)變化的待求變量場，由有限區(qū)域上的若干個點的待求變量值來表示，這就是域上的若干個點的待求變量值來表示，這就是離散化離散化的基本思想。的基本思想。*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)5 /38 ThermalThermal2. 離散化方程：離散化方程：所取網(wǎng)格節(jié)點上未知因變量所取網(wǎng)格節(jié)點上未知因變量 值的值的代數(shù)方程，代數(shù)方程，此方程由支配此方程由支配 的微分方程推導(dǎo)而得。的微分方程推導(dǎo)而得。 在推導(dǎo)過程中，需對網(wǎng)格節(jié)點之間在推導(dǎo)過程中，需對網(wǎng)格節(jié)點之間 如何變化作某如何變化作某種假設(shè)，變量種假設(shè)，變量 在節(jié)點間的分布形式不同，推導(dǎo)離散在節(jié)點間的分布形式不同，推導(dǎo)離散化方程的

7、方法也就不同；另外可以選擇在整個計算域化方程的方法也就不同；另外可以選擇在整個計算域內(nèi)滿足一個簡單表達(dá)式的分布；更為實際的方法還是內(nèi)滿足一個簡單表達(dá)式的分布；更為實際的方法還是采用分段分布，即將計算區(qū)域分布一定數(shù)量的子域或采用分段分布，即將計算區(qū)域分布一定數(shù)量的子域或單元，每個子域可以有一個獨立的分布假設(shè)。單元，每個子域可以有一個獨立的分布假設(shè)。*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)6 /38 ThermalThermal3.1-3 離散化方程的結(jié)構(gòu)離散化方程的結(jié)構(gòu)1. 離散化方程的結(jié)構(gòu)離散化方程的結(jié)構(gòu) 一個離散化方程是連接一組網(wǎng)格節(jié)點處一個離散化方程是連接一組網(wǎng)格節(jié)點處 值的代數(shù)關(guān)系式，值的代

8、數(shù)關(guān)系式，由支配由支配 的微分方程推導(dǎo)而得，并表示與該微分方程相同的物的微分方程推導(dǎo)而得，并表示與該微分方程相同的物理信息。當(dāng)節(jié)點數(shù)很多時，離散方程的解接近于相應(yīng)微分方程理信息。當(dāng)節(jié)點數(shù)很多時，離散方程的解接近于相應(yīng)微分方程的精確解，相鄰點之間的精確解，相鄰點之間 變化很小，有關(guān)變化很小，有關(guān) 分段分布的細(xì)節(jié)就不分段分布的細(xì)節(jié)就不那么重要了。那么重要了。 相應(yīng)于一個已知的微分方程，相應(yīng)于一個已知的微分方程，離散化方程的形式?jīng)Q不是唯一離散化方程的形式?jīng)Q不是唯一的，這的，這起因于分布假設(shè)以及推導(dǎo)方法的不同。起因于分布假設(shè)以及推導(dǎo)方法的不同。 網(wǎng)格節(jié)點數(shù)非常多的極限條件下，網(wǎng)格節(jié)點數(shù)非常多的極限條件

9、下，所有可能類型的離散化方所有可能類型的離散化方程將會給出相同的解。程將會給出相同的解。*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)7 /38 ThermalThermal2. 離散化方法離散化方法常見的方法主要有：常見的方法主要有：有限差分法和有限元法。有限差分法和有限元法。 兩種方法的區(qū)別來自于選擇分布和推導(dǎo)離散化方程兩種方法的區(qū)別來自于選擇分布和推導(dǎo)離散化方程的方法不同。的方法不同。 本書本書主要關(guān)注的方法主要關(guān)注的方法具有有限差分的外形，但它具有有限差分的外形，但它采用了典型的有限元方法所具有的思想，把此方法叫采用了典型的有限元方法所具有的思想，把此方法叫有限差分法有限差分法可能在于它堅持遵守

10、習(xí)慣的有限差分法做可能在于它堅持遵守習(xí)慣的有限差分法做法。法。*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)8 /38 ThermalThermal3.2 推導(dǎo)推導(dǎo)離散化方程的方法離散化方程的方法對于一個已知的微分方程，可以用許多方法推導(dǎo)出所要求的對于一個已知的微分方程，可以用許多方法推導(dǎo)出所要求的離散化方程。離散化方程。3.2-1 泰勒級數(shù)公式泰勒級數(shù)公式1. 1. 定義：定義：在在有限差分法有限差分法中，通過把控制方程中的中，通過把控制方程中的各階導(dǎo)數(shù)用各階導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的差分表達(dá)式來代替相應(yīng)的差分表達(dá)式來代替而形成離散方程。各階導(dǎo)數(shù)的差分表而形成離散方程。各階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式可由泰勒級數(shù)展開而得，把這

11、種建立離散方程的方法稱為達(dá)式可由泰勒級數(shù)展開而得，把這種建立離散方程的方法稱為泰勒級數(shù)展開法。泰勒級數(shù)展開法。2. 2. 差分方程式的建立：差分方程式的建立：i-2i-1ii+1i+2xh節(jié)點節(jié)點i 兩側(cè)分別有兩側(cè)分別有i-2, i-1, i+1, i+2，各節(jié)點間距都，各節(jié)點間距都為為h, 用泰勒級數(shù)展開有：用泰勒級數(shù)展開有：*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)9 /38 ThermalThermal2233441234ddddd2d6d24diiiiiihhhhxxxx2233441234ddddd2d6d24diiiiiihhhhxxxx取左端及右端的前三項，并進(jìn)行相加或相減，便可得中心

12、差取左端及右端的前三項，并進(jìn)行相加或相減，便可得中心差分的近似式：分的近似式：211dd2iiiO hxh2211222ddiiiiO hxh剩余項的最低階導(dǎo)數(shù)前系數(shù)的次數(shù)剩余項的最低階導(dǎo)數(shù)前系數(shù)的次數(shù)用同樣的方法可以得到略去截斷誤差用同樣的方法可以得到略去截斷誤差O(h) 的差分計算式：的差分計算式： 1ddiiiO hxh 1ddiiiO hxh*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)10 /38 ThermalThermal為了提高精度，可以得到截斷誤差更高階的差分表達(dá)式。為了提高精度，可以得到截斷誤差更高階的差分表達(dá)式。3. 3. 幾點說明幾點說明. .差分表達(dá)式分子項系數(shù)的代數(shù)和為零；差

13、分表達(dá)式分子項系數(shù)的代數(shù)和為零；. .各階導(dǎo)數(shù)差分表達(dá)式的量綱必須與導(dǎo)數(shù)的量綱一致，因各階導(dǎo)數(shù)差分表達(dá)式的量綱必須與導(dǎo)數(shù)的量綱一致，因 而，一階導(dǎo)數(shù)各個差分表達(dá)式的分母為而，一階導(dǎo)數(shù)各個差分表達(dá)式的分母為 x，二階為二階為( x )2 ;. 給出一個差分表達(dá)式時，必須指明是對哪個點建立的，同樣給出一個差分表達(dá)式時，必須指明是對哪個點建立的，同樣 的節(jié)點數(shù)，不同的建格式的點，導(dǎo)致不同的截斷誤差，如的節(jié)點數(shù)，不同的建格式的點，導(dǎo)致不同的截斷誤差，如2212xiii對對i 點只有一階截差，但對點只有一階截差，但對i+1 點則是點則是二階導(dǎo)數(shù)具有二階截差的表達(dá)式。二階導(dǎo)數(shù)具有二階截差的表達(dá)式。4. 4

14、. 優(yōu)缺點：優(yōu)缺點：推導(dǎo)比較直截了當(dāng)，但其中各項的物理意義難以推導(dǎo)比較直截了當(dāng)，但其中各項的物理意義難以 理解。理解。*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)11 /38 ThermalThermal3.2-2 用多項式擬合法建立導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式用多項式擬合法建立導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式也可以通過多項式的擬合來獲得，相當(dāng)于導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式也可以通過多項式的擬合來獲得，相當(dāng)于對未知函數(shù)的對未知函數(shù)的局部變化型線采用多項式來逼近。局部變化型線采用多項式來逼近。1. 線性擬合：線性擬合： 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)(x, ) 在節(jié)點在節(jié)點 (i, n) 附近對附近對 x 的變化關(guān)的變化關(guān)系近似為線性，則有

15、：系近似為線性，則有：bxaxx,00,00 xxnix坐坐標(biāo)標(biāo)，為為方方便便起起見見，令令的的為為點點于是有：于是有：xbaxbaiinini11xbxnixii1,的的向向前前差差分分為為：在在點點*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)12 /38 ThermalThermal2. 采用二次曲線擬合，可得到具有二階精度的空間導(dǎo)數(shù)采用二次曲線擬合，可得到具有二階精度的空間導(dǎo)數(shù)20,cxbxaxx令令0,00 xxnix坐坐標(biāo)標(biāo)，并并令令的的為為點點于是有：于是有：-112111221222nniininnnniiiininibxabxcxacxabxcxa解之得xbxninix21102112

16、2220 xcxnininix主要用來處理對流項的主要用來處理對流項的高階格式高階格式及及邊界條件邊界條件。*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)13 /38 ThermalThermaleg: eg: 如圖所示，已知區(qū)域內(nèi)部與邊界節(jié)點的溫度，物體的導(dǎo)熱如圖所示，已知區(qū)域內(nèi)部與邊界節(jié)點的溫度，物體的導(dǎo)熱系數(shù)系數(shù)=const。試用多項式擬合法確定穿過壁面的熱流密度。試用多項式擬合法確定穿過壁面的熱流密度。 y y1 , iT2, iT3, iT4, iT解：設(shè)壁面附近溫度解：設(shè)壁面附近溫度T 按線性關(guān)系按線性關(guān)系變化變化，則，則yTTyTqiiyB1 ,2,0 xy如果如果取溫度分布為二次曲線取溫

17、度分布為二次曲線200,cybyayyxT22,1 ,ycybaTaTii23 ,42ycybaTibyTy0則有：則有：*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)14 /38 ThermalThermal22,1 ,ycybaTaTii23 ,42ycybaTi由上面三式可解得：由上面三式可解得：yTTTbiii2433 ,2,1 ,23 ,2,1 ,22yTTTciii3 ,2,1 ,0432iiiyBTTTybyTq于于是是得得：*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)15 /38 ThermalThermal3.2-3 控制容積公式控制容積公式1. 1. 控制容積法的基本思想控制容積法的基本思想

18、 把計算區(qū)域分成許多互不重疊的控制容積，并使每一個網(wǎng)把計算區(qū)域分成許多互不重疊的控制容積，并使每一個網(wǎng)格節(jié)點都由一個控制容積所包圍，格節(jié)點都由一個控制容積所包圍，對每一個控制容積積分微對每一個控制容積積分微分方程，分方程，應(yīng)用表示網(wǎng)格節(jié)點之間應(yīng)用表示網(wǎng)格節(jié)點之間 變化的分段分布關(guān)系來計算變化的分段分布關(guān)系來計算所要求的積分，這樣就得到了包含一組網(wǎng)格所要求的積分，這樣就得到了包含一組網(wǎng)格節(jié)點處節(jié)點處 值值的離的離散方程散方程2. 2. 控制容積法誘人的特征控制容積法誘人的特征 所得結(jié)果將意味著任何一組的控制容積內(nèi)（也是整個容積）所得結(jié)果將意味著任何一組的控制容積內(nèi)（也是整個容積）,諸如質(zhì)量、動量

19、以及能量的積分守恒都可以精確地得到滿足。諸如質(zhì)量、動量以及能量的積分守恒都可以精確地得到滿足。也就是說，也就是說，不論網(wǎng)格劃分的疏密情況如何，它的解都能滿足控不論網(wǎng)格劃分的疏密情況如何，它的解都能滿足控制容積的積分平衡。制容積的積分平衡。這個特點提供了在不失去物理上真實性的這個特點提供了在不失去物理上真實性的條件下，選擇控制容積尺寸有更大的自由度。條件下，選擇控制容積尺寸有更大的自由度。*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)16 /38 ThermalThermal有限差分法，僅當(dāng)網(wǎng)格極其細(xì)密時，離散方程才滿足積分守恒；有限差分法，僅當(dāng)網(wǎng)格極其細(xì)密時，離散方程才滿足積分守恒；而有限體積法而有限體

20、積法, ,即使在粗網(wǎng)格情況下，也顯示出準(zhǔn)確的積分守恒。即使在粗網(wǎng)格情況下，也顯示出準(zhǔn)確的積分守恒。有限差分法有限差分法, ,只考慮網(wǎng)格點上的數(shù)值而不考慮值在網(wǎng)格點之間如只考慮網(wǎng)格點上的數(shù)值而不考慮值在網(wǎng)格點之間如何變化。何變化。有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網(wǎng)格點之間有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網(wǎng)格點之間的分布，插值函數(shù)只用于計算控制體積的積分，得出離散方程之的分布，插值函數(shù)只用于計算控制體積的積分，得出離散方程之后，便可忘掉插值函數(shù)；后，便可忘掉插值函數(shù)；上述觀點，可使得對微分方程中不同的項采取不同的插值函數(shù)有上述觀點，可使得對微分方程中不同的項采取不同的插

21、值函數(shù)有完全的自由。完全的自由。*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)17 /38 ThermalThermal3. 3. 積分法實施的步驟積分法實施的步驟 將守恒型的控制方程在任一控制容積及時間間隔內(nèi)對空間及將守恒型的控制方程在任一控制容積及時間間隔內(nèi)對空間及時間積分；時間積分； 需要積分，須先設(shè)定待求變量在區(qū)域內(nèi)的變化規(guī)律，即假定需要積分，須先設(shè)定待求變量在區(qū)域內(nèi)的變化規(guī)律，即假定變量的分布函數(shù)；變量的分布函數(shù)； 將其分布代入控制方程，在將其分布代入控制方程，在控制容積上控制容積上積分，并整理成積分，并整理成關(guān)于關(guān)于節(jié)點上未知值節(jié)點上未知值的代數(shù)方程。的代數(shù)方程。 在控制容積積分前，須設(shè)定變

22、量的分布規(guī)律，但得到離散方在控制容積積分前，須設(shè)定變量的分布規(guī)律，但得到離散方程后，節(jié)點間變量的分布規(guī)律就不再有什么意義了。因此對于程后，節(jié)點間變量的分布規(guī)律就不再有什么意義了。因此對于不同變量不同變量可以采用不同的分布，對微分方程中的可以采用不同的分布，對微分方程中的不同項不同項可以采可以采用不同的分布假設(shè)進(jìn)行積分。用不同的分布假設(shè)進(jìn)行積分。*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)18 /38 ThermalThermal3.3 一個說明性的例子一個說明性的例子一、方程的離散化（以一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例）一、方程的離散化（以一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例）: :一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的控制方程：問題的控制方程

23、：dd0ddTkSxxWwPeEx x( x)w( x)e一維問題的網(wǎng)格節(jié)點群一維問題的網(wǎng)格節(jié)點群l 給出網(wǎng)格節(jié)點群，劃定控制容積給出網(wǎng)格節(jié)點群，劃定控制容積y y、z z方向為單位長度，控制容積方向為單位長度，控制容積體積為體積為 x。l 在整個控制容積內(nèi)積分方程在整個控制容積內(nèi)積分方程ddd0ddeewwTTkkS xxxl 選定未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的局部分布函數(shù)選定未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的局部分布函數(shù)*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)19 /38 ThermalThermal分布函數(shù)：通常有分布函數(shù)：通常有階梯式分布階梯式分布和和分段線性分段線性分布兩種分布兩種WwPeEx 階梯式分布階梯式分布

24、階梯式分布階梯式分布: :一個節(jié)點處的一個節(jié)點處的 值代表它周圍整個控制容積的值代表它周圍整個控制容積的 值。它雖然簡單，但不能用來計算變量在控制容積界面處的梯值。它雖然簡單，但不能用來計算變量在控制容積界面處的梯度值。故一般度值。故一般只用于源項、物性參數(shù)和變量在時域上的分布。只用于源項、物性參數(shù)和變量在時域上的分布。 P E Wx分段線性分布分段線性分布WwPeE E P W*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)20 /38 ThermalThermal分段線性分布分段線性分布: :變量在網(wǎng)格變量在網(wǎng)格節(jié)點間節(jié)點間呈線性分布，可以呈線性分布，可以用來計用來計算變量的梯度算變量的梯度，有時也用

25、于計算，有時也用于計算變量在時域上的分布。變量在時域上的分布。l 離散化方程離散化方程 采用分段采用分段線性分布線性分布來計算積分來計算積分0PWEPewewTTTTkkS xxx SS為為在整個控制容積內(nèi)的積分平均值。在整個控制容積內(nèi)的積分平均值。上式可整理成如下形式上式可整理成如下形式bTaTaTaWWEEPP式中：式中：eEekaxwWwkaxWEPaaaxSbddd0ddeewwTTkkS xxx*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)21 /38 ThermalThermal說明：說明：. .方程的推廣：方程的推廣： 二維、三維的情況均適用；二維、三維的情況均適用；bTaTanbnbPP

26、. 在推導(dǎo)公式時，采用了能夠估算導(dǎo)數(shù)的最簡單的分在推導(dǎo)公式時，采用了能夠估算導(dǎo)數(shù)的最簡單的分布假設(shè)，當(dāng)然選用其它形式的內(nèi)插函數(shù)也可以；布假設(shè)，當(dāng)然選用其它形式的內(nèi)插函數(shù)也可以；.沒有必要對所有的量都采用同樣的分布函數(shù)；即沒沒有必要對所有的量都采用同樣的分布函數(shù)；即沒有必要用網(wǎng)格節(jié)點之間線性變化的有必要用網(wǎng)格節(jié)點之間線性變化的S來計算來計算 , 也沒有也沒有必要由必要由kP和和kE之間線性變化的之間線性變化的k計算計算ke；. 對于一個確定的變量，沒有必要對方程中所有各項對于一個確定的變量，沒有必要對方程中所有各項都采用同樣的分布函數(shù)假設(shè)。都采用同樣的分布函數(shù)假設(shè)。S*太太 原原 理理 工工 大

27、大 學(xué)學(xué)22 /38 ThermalThermal二、指導(dǎo)原則二、指導(dǎo)原則 分布函數(shù)的自由性將會導(dǎo)致不同變型的離散方程的分布函數(shù)的自由性將會導(dǎo)致不同變型的離散方程的形式。事實上，網(wǎng)格節(jié)點數(shù)的增加，所有這些不同形形式。事實上，網(wǎng)格節(jié)點數(shù)的增加，所有這些不同形式的方程都會給出相同的解。式的方程都會給出相同的解。 附加要求：附加要求： 即使是采用很粗的網(wǎng)格，即使是采用很粗的網(wǎng)格，解也應(yīng)該滿足解也應(yīng)該滿足物理上真實的性狀和總的平衡。物理上真實的性狀和總的平衡。. .物理上的真實性：物理上的真實性：一個真實的變化應(yīng)當(dāng)具有與準(zhǔn)確一個真實的變化應(yīng)當(dāng)具有與準(zhǔn)確變化相同的定向性傾向。變化相同的定向性傾向。如：無

28、內(nèi)熱源的熱傳導(dǎo)問題，如：無內(nèi)熱源的熱傳導(dǎo)問題，熱固體被繞流流體冷卻，熱固體被繞流流體冷卻，可以用此真實性來檢驗離散化方程的準(zhǔn)確性。可以用此真實性來檢驗離散化方程的準(zhǔn)確性。21BBTTTfTT *太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)23 /38 ThermalThermalx 準(zhǔn)確的準(zhǔn)確的不真實的不真實的近似的近似的但物理上真實的但物理上真實的不真實的不真實的物理上真實與不真實的性狀物理上真實與不真實的性狀*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)24 /38 ThermalThermal. .總平衡的要求總平衡的要求對整個計算域應(yīng)該滿足積分守恒，要求對整個計算域應(yīng)該滿足積分守恒，要求q、qm及動量及動

29、量通量通量 必須準(zhǔn)確地同相應(yīng)的源和匯建立平衡，這種平必須準(zhǔn)確地同相應(yīng)的源和匯建立平衡，這種平衡對任何數(shù)目的網(wǎng)格節(jié)點都應(yīng)當(dāng)?shù)玫綕M足。衡對任何數(shù)目的網(wǎng)格節(jié)點都應(yīng)當(dāng)?shù)玫綕M足。三、源項的處理三、源項的處理通常來講，源項是因變量本身的函數(shù)，構(gòu)成離散方程通常來講，源項是因變量本身的函數(shù)，構(gòu)成離散方程的過程中，需要知道這種函數(shù)關(guān)系。由于離散化方程的過程中，需要知道這種函數(shù)關(guān)系。由于離散化方程需要用需要用線性代數(shù)的技術(shù)來求解，所以，形式上只能考線性代數(shù)的技術(shù)來求解，所以，形式上只能考慮一種線性的函數(shù)關(guān)系慮一種線性的函數(shù)關(guān)系，即，即PPCTSSSSP為為TP的系數(shù)，不代表在節(jié)點的系數(shù)，不代表在節(jié)點P計計算式的結(jié)

30、果。算式的結(jié)果。 TP代表整個控制容代表整個控制容積的值，采用了階梯式分布。積的值，采用了階梯式分布。*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)25 /38 ThermalThermal應(yīng)用線性化的源項表達(dá)式，離散化方程的形式一樣，應(yīng)用線性化的源項表達(dá)式，離散化方程的形式一樣，但系數(shù)有所改變。但系數(shù)有所改變。bTaTaTaWWEEPPeeExkawwWxkaxSaaaPWEPxSbCPPCTSSS*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)26 /38 ThermalThermal四、不同離散方法的比較四、不同離散方法的比較.Taylor展開法與多項式擬合法展開法與多項式擬合法偏重于從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行推導(dǎo)，偏重

31、于從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行推導(dǎo)，把方程中的各階導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的差分式來表示；而把方程中的各階導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的差分式來表示；而控制容積法控制容積法和平衡法和平衡法則側(cè)重于從物理觀點來分析，每個離散方程都是有則側(cè)重于從物理觀點來分析，每個離散方程都是有限大小容積上某種物理量守恒的表示式。限大小容積上某種物理量守恒的表示式。.Taylor展開法與多項式擬合法展開法與多項式擬合法優(yōu)點：優(yōu)點：易于對離散方程進(jìn)行其數(shù)學(xué)特性的分析；易于對離散方程進(jìn)行其數(shù)學(xué)特性的分析；缺點：缺點：變步長網(wǎng)格的離散方程形式比較復(fù)雜，導(dǎo)出過程的物變步長網(wǎng)格的離散方程形式比較復(fù)雜，導(dǎo)出過程的物理概念也不清晰，且不能保證所得方程具有守恒特性。理概念也

32、不清晰，且不能保證所得方程具有守恒特性。*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)27 /38 ThermalThermal. .控制容積法控制容積法( (平衡法平衡法) )優(yōu)點：優(yōu)點：導(dǎo)出過程物理概念清晰，離散系數(shù)具有一定的導(dǎo)出過程物理概念清晰，離散系數(shù)具有一定的物理意義，并可以保證所得方程具有守恒特性。物理意義，并可以保證所得方程具有守恒特性。缺點：缺點：不便于對方程進(jìn)行數(shù)學(xué)特性的分析。不便于對方程進(jìn)行數(shù)學(xué)特性的分析。. .這兩種方法分別展示了這兩種方法分別展示了有限差分法有限差分法與與有限元法有限元法這這兩種數(shù)值解法的基本特點，有限容積法更具有吸引力。兩種數(shù)值解法的基本特點，有限容積法更具有吸

33、引力。Taylor展開法展開法控制容積法控制容積法*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)28 /38 ThermalThermal3.4 四項基本法則四項基本法則離散化方程應(yīng)當(dāng)服從的這些法則，可以確保所得的解離散化方程應(yīng)當(dāng)服從的這些法則，可以確保所得的解滿足物理上的真實性以及總的平衡這兩個要求。滿足物理上的真實性以及總的平衡這兩個要求。 法則法則1：在控制容積面上的連續(xù)性：在控制容積面上的連續(xù)性 在同一個界面上各物理量（在同一個界面上各物理量（ 及有關(guān)物性及有關(guān)物性）及）及其一階其一階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。所謂連續(xù)是所謂連續(xù)是指從界面兩側(cè)的兩個控制指從界面兩側(cè)的兩個控制容積寫出的該界面上的

34、值是相等的，即：容積寫出的該界面上的值是相等的，即：EwPeEwPexxeWwPEx xw*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)29 /38 ThermalThermal 如圖所示，在如圖所示，在P、E兩個控制容積兩個控制容積的的公共界面公共界面e上，上，離開離開P 控制容積穿過控制容積穿過e界面的界面的q、qm及動量通量及動量通量 應(yīng)各自應(yīng)各自等于穿過等于穿過e界面進(jìn)入界面進(jìn)入E 控制容積的相應(yīng)的量?？刂迫莘e的相應(yīng)的量。 若公共界面若公共界面e上的型線選擇不妥，可能導(dǎo)致界面上連上的型線選擇不妥，可能導(dǎo)致界面上連續(xù)性受到破壞續(xù)性受到破壞 如上圖所示，界面上采用了二次曲線，由于從如上圖所示，界面上

35、采用了二次曲線，由于從P控控制容積及制容積及E 控制容積來確定的二次曲線擬合點不完全控制容積來確定的二次曲線擬合點不完全相同，在相同，在e界面上，無論是界面上，無論是 值值還是其還是其導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)從從P、E兩側(cè)兩側(cè)控制容積確定的值均不相等，使得格式失去守恒性?？刂迫莘e確定的值均不相等，使得格式失去守恒性。*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)30 /38 ThermalThermale EE E W Px 說明界面連續(xù)性的示意說明界面連續(xù)性的示意WwPeExeewwwEE*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)31 /38 ThermalThermal若公共界面若公共界面e上的導(dǎo)熱系數(shù)選擇不妥，也可能使

36、界面上連上的導(dǎo)熱系數(shù)選擇不妥，也可能使界面上連續(xù)性被破壞續(xù)性被破壞如：在給定的控制容積的各個表面上，熱流密度完全為如：在給定的控制容積的各個表面上，熱流密度完全為控制容積中心節(jié)點的導(dǎo)數(shù)系數(shù)控制容積中心節(jié)點的導(dǎo)數(shù)系數(shù)kP或或kE所控制，這樣在考所控制，這樣在考慮慮P點周圍的控制容積時，在界面點周圍的控制容積時，在界面e處的熱流密度將表示處的熱流密度將表示成成 PEPekTTx而在把而在把E作為控制容積的中心節(jié)點時，界面作為控制容積的中心節(jié)點時，界面e處的熱流密處的熱流密度將表示成度將表示成 EEPekTTxWwPEx xwe*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)32 /38 ThermalTher

37、mal從物理意義上看，若從界面的兩側(cè)計算所得通量不從物理意義上看，若從界面的兩側(cè)計算所得通量不能相互抵消，相當(dāng)于在界面上存在一個能相互抵消，相當(dāng)于在界面上存在一個由計算而造由計算而造成的源或匯成的源或匯，使總體計算，使總體計算誤差增加。誤差增加。為避免出現(xiàn)這種不連續(xù)性，注意：為避免出現(xiàn)這種不連續(xù)性，注意：必須把界面上的熱流看成是屬于界面本身，必須把界面上的熱流看成是屬于界面本身，而不是而不是屬于一定的控制容積的屬于一定的控制容積的即物性參數(shù)用界面上的值。即物性參數(shù)用界面上的值。WwPEx xwe*太太 原原 理理 工工 大大 學(xué)學(xué)33 /38 ThermalThermal法則法則2：正系數(shù)：正系數(shù) 所有的系數(shù)（所有的系數(shù)（ap以及各相鄰節(jié)點系數(shù)以及各相鄰節(jié)點系數(shù)anb）必須總是正）必須總是正的。的。在一個網(wǎng)格節(jié)點處因變量值的增加，應(yīng)當(dāng)導(dǎo)致相鄰網(wǎng)在一個網(wǎng)格節(jié)點處因變量值的增加，應(yīng)當(dāng)導(dǎo)致相鄰網(wǎng)格節(jié)點上該值的增加，而不是減少。格節(jié)點上該