高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

1、一分耕耘，一分收獲高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)第一章集合與簡易邏輯集合知識點歸納 定義：一組對象的全體形成一個集合特征：確定性、互異性、無序性表示法：列舉法1,2,3,、描述法x|p韋恩圖分類：有限集、無限集數(shù)集：自然數(shù)集n、整數(shù)集z、有理數(shù)集q、實數(shù)集r、正整數(shù)集n、空集關(guān)系：屬于、不屬于、包含于(或)、真包含于、集合相等運算：交運算abx|xa且xb；并運算abx|xa或xb;補運算x|xa且xu，u為全集性質(zhì)：aa； a； 若ab，bc，則ac；aaaaa； a；aa；abaabbab；aca； acai；c( ca)a；c(ab)(ca)(cb)方法：韋恩示意圖, 數(shù)軸分析注意： 區(qū)別與、與、a

2、與a、與、(1,2)與1,2； ab時，a有兩種情況：a與a若集合a中有n個元素，則集合a的所有不同的子集個數(shù)為，所有真子集的個數(shù)是-1, 所有非空真子集的個數(shù)是區(qū)分集合中元素的形式：如；空集是指不含任何元素的集合、和的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集條件為，在討論的時候不要遺忘了的情況符號“”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn) 點與直線（面）的關(guān)系 ；符號“”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn) 面與直線(面)的關(guān)系 絕對值不等式知識點歸納 1絕對值不等式 與型不等式與型不等式的解法與解集：不等式的解集是;不等式的解集是不等式的解集為 ;不

3、等式的解集為 2解一元一次不等式 3韋達(dá)定理：方程（）的二實根為、，則且兩個正根，則需滿足，兩個負(fù)根，則需滿足，一正根和一負(fù)根，則需滿足4一元二次不等式的解法步驟對于一元二次不等式，設(shè)相應(yīng)的一元二次方程的兩根為，則不等式的解的各種情況如下表： 二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根無實根 r 方程的根函數(shù)草圖觀察得解，對于的情況可以化為的情況解決注意：含參數(shù)的不等式axbxc>0恒成立問題含參不等式axbxc>0的解集是r；其解答分a0(驗證bxc>0是否恒成立)、a0（a<0且<0）兩種情況簡易邏輯知識點歸納 命題 可以判斷真假的語句； 邏輯聯(lián)結(jié)

4、詞 或、且、非； 簡單命題 不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題； 復(fù)合命題 由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題 三種形式 p或q、p且q、非p真假判斷 p或q，同假為假，否則為真；p且q，同真為真, 否則為假；非p，真假相反原命題 若p則q；逆命題 若q則p；否命題 若p則q；逆否命題 若q則p；互為逆否的兩個命題是等價的 反證法步驟 假設(shè)結(jié)論不成立推出矛盾假設(shè)不成立充要條件 條件p成立結(jié)論q成立，則稱條件p是結(jié)論q的充分條件，結(jié)論q成立條件p成立，則稱條件p是結(jié)論q的必要條件，條件p成立結(jié)論q成立，則稱條件p是結(jié)論q的充要條件，第二章函數(shù)函數(shù)定義知識點歸納 1函數(shù)的定義：設(shè)a、b是非空的數(shù)集，如果按某個確定

5、的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合a中的任意一個數(shù)x，在集合b中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f:ab為從集合a到集合b的一個函數(shù)，記作y=f（x），xa，其中x叫做自變量x的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f（x）|xa叫做函數(shù)的值域2兩個函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個要素，即定義域a、值域c和對應(yīng)法則f當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定因此，定義域和對應(yīng)法則為函數(shù)的兩個基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)3映射的定義：一般地，設(shè)a、b是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)關(guān)

6、系f，對于集合a中的任何一個元素，在集合b中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么，這樣的對應(yīng)（包括集合a、b，以及集合a到集合b的對應(yīng)關(guān)系f）叫做集合a到集合b的映射，記作f:ab由映射和函數(shù)的定義可知，函數(shù)是一類特殊的映射，它要求a、b非空且皆為數(shù)集4映射的概念中象、原象的理解：(1) a中每一個元素都有象;(2)b中每一個元素不一定都有原象，不一定只一個原象；(3)a中每一個元素的象唯一函數(shù)解析式知識點歸納1函數(shù)的三種表示法（1）解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡稱解析式（2）列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系（3）圖象法：就是用函數(shù)圖象

7、表示兩個變量之間的關(guān)系2求函數(shù)解析式的題型有：（1）已知函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法；（2）已知求或已知求：換元法、配湊法；（3）已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式；（4）滿足某個等式，這個等式除外還有其他未知量，需構(gòu)造另個等式解方程組法；（5）應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等題型講解 例1（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函數(shù)，且滿足，求；（4）已知滿足，求解：（1），（或）（2）令（），則，（3）設(shè)，則，（4） ，把中的換成，得 ，得，注：第（1）題用配湊法；第（2）題用換元法；第（3）題已知一次函數(shù)，可用待定系數(shù)法；第（4）題用方程組法定義域和值域知識點歸納由給定函

8、數(shù)解析式求其定義域這類問題的代表，實際上是求使給定式有意義的x的取值范圍它依賴于對各種式的認(rèn)識與解不等式技能的熟練1求函數(shù)解析式的題型有：（1）已知函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法；（2）已知求或已知求：換元法、配湊法；（3）已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式；（4）滿足某個等式，這個等式除外還有其他未知量，需構(gòu)造另個等式：解方程組法；（5）應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等2求函數(shù)定義域一般有三類問題：（1）給出函數(shù)解析式的：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合；（2）實際問題：函數(shù)的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實際問題有意義；（3）已知的定義域求的定義域或已知

9、的定義域求的定義域：掌握基本初等函數(shù)（尤其是分式函數(shù)、無理函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的定義域；若已知的定義域，其復(fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由解出3求函數(shù)值域的各種方法函數(shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的其類型依解析式的特點分可分三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運算”而得函數(shù)的值域直接法：利用常見函數(shù)的值域來求一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域為r，值域為r；反比例函數(shù)的定義域為x|x0，值域為y|y0；二次函數(shù)的定義域為r，當(dāng)a>0時，值域為；當(dāng)a<0時，值域為配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為型

10、如：的形式；分式轉(zhuǎn)化法（或改為“分離常數(shù)法”）換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域；基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如：，利用平均值不等式公式來求值域；單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域 數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域逆求法（反求法）：通過反解，用來表示，再由的取值范圍，通過解不等式，得出的取值范圍；常用來解，型如：單調(diào)性知識點歸納1函數(shù)單調(diào)性的定義：2證明函數(shù)單調(diào)性的一般方法: 定義法：設(shè)；作差（一般結(jié)果要分解為若干個因式的乘積，且每一個因式的正或負(fù)號能清楚地判斷出）；判斷正負(fù)號

11、用導(dǎo)數(shù)證明： 若在某個區(qū)間a內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則在a內(nèi)為增函數(shù)；在a內(nèi)為減函數(shù)3求單調(diào)區(qū)間的方法：定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法4復(fù)合函數(shù)在公共定義域上的單調(diào)性：若f與g的單調(diào)性相同，則為增函數(shù)；若f與g的單調(diào)性相反，則為減函數(shù)注意：先求定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集5一些有用的結(jié)論： 奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同； 偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反； 在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù) 函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上是單調(diào)遞減奇偶性知識點歸納 1函數(shù)的奇偶性的定義； 2奇偶函數(shù)的性質(zhì)：（1）定義域關(guān)于原點對稱；（2）偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，奇函

12、數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；3為偶函數(shù)4若奇函數(shù)的定義域包含，則5判斷函數(shù)的奇偶性，首先要研究函數(shù)的定義域，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響； 6牢記奇偶函數(shù)的圖象特征，有助于判斷函數(shù)的奇偶性；7判斷函數(shù)的奇偶性有時可以用定義的等價形式：，8設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇1判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價形式：f(-x)= ±f(x)óf(-x) f(x)=0；2討論函數(shù)的奇偶性的前提條件是函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，要重視這一點；3若奇函數(shù)的定義域

13、包含0，則f(0)=0,因此，“f(x)為奇函數(shù)”是"f(0)=0"的非充分非必要條件；4奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，因此根據(jù)圖象的對稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性5若存在常數(shù)t，使得f(x+t)=f(x)對f(x)定義域內(nèi)任意x恒成立，則稱t為函數(shù)f(x)的周期，（5）函數(shù)的周期性 定義：若t為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使恒成立 則f(x)叫做周期函數(shù)，t叫做這個函數(shù)的一個周期反函數(shù)知識點歸納1反函數(shù)存在的條件：從定義域到值域上的一一映射確定的函數(shù)才有反函數(shù)； 2定義域、值域：反函數(shù)的定義域、值域上分別是原函數(shù)的值域、定義域，若與互為反函數(shù)，函數(shù)的

14、定義域為、值域為，則，；3單調(diào)性、圖象：互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性，它們的圖象關(guān)于對稱4求反函數(shù)的一般方法：（1）由解出，（2）將中的互換位置，得，（3）求的值域得的定義域二次函數(shù)知識點歸納二次函數(shù)是高中最重要的函數(shù)，它與不等式、解析幾何、數(shù)列、復(fù)數(shù)等有著廣泛的聯(lián)系1二次函數(shù)的圖象及性質(zhì):二次函數(shù)的圖象的對稱軸方程是，頂點坐標(biāo)是2二次函數(shù)的解析式的三種形式：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式時，解析式的設(shè)法有三種形式，即，和（頂點式）3 根分布問題: 一般地對于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的實根分布問題，用圖象求解，有如下結(jié)論：令f(x)=ax2+bx+c (a>0

15、) (1)x1<,x2< ,則; (2)x1>,x2>,則(3)<x1<b,<x2<b,則 (4)x1<,x2>b (<b),則(5）若f(x)=0在區(qū)間(,b)內(nèi)只有一個實根，則有4 最值問題：二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c在區(qū)間,b上的最值一般分為三種情況討論，即：(1)對稱軸-b/(2a)在區(qū)間左邊，函數(shù)在此區(qū)間上具有單調(diào)性；;(2)對稱軸-b/(2a)在區(qū)間之內(nèi);(3)對稱軸在區(qū)間右邊要注意系數(shù)a的符號對拋物線開口的影響1討論二次函數(shù)的區(qū)間最值問題：注意對稱軸與區(qū)間的相對位置； 2討論二次函數(shù)的區(qū)間根的分布情況一般需

16、從三方面考慮：判別式；區(qū)間端點的函數(shù)值的符號；對稱軸與區(qū)間的相對位置5二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系：f(x)=ax2+bx+c的圖像與x軸無交點ax2+bx+c=0無實根ax2+bx+c>0(<0)的解集為或者是r;f(x)=ax2+bx+c的圖像與x軸相切ax2+bx+c=0有兩個相等的實根ax2+bx+c>0(<0)的解集為或者是r;f(x)=ax2+bx+c的圖像與x軸有兩個不同的交點ax2+bx+c=0有兩個不等的實根ax2+bx+c>0(<0)的解集為或者是指數(shù)對數(shù)函數(shù)知識點歸納1根式的運算性質(zhì)：當(dāng)n為任意正整數(shù)時，()=a當(dāng)n

17、為奇數(shù)時，=a；當(dāng)n為偶數(shù)時，=|a|=根式的基本性質(zhì)：，（a0）2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)： 3 的圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：r（2）值域：（0，+）（3）過點（0，1），即x=0時，y=1（4）在 r上是增函數(shù)（4）在r上是減函數(shù)4指數(shù)式與對數(shù)式的互化：5重要公式： ，對數(shù)恒等式6對數(shù)的運算法則如果有7對數(shù)換底公式： ( a > 0 ,a ¹ 1 ，m > 0 ,m ¹ 1,n>0) 8兩個常用的推論:， （ a, b > 0且均不為1）9對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：（0，

18、+）值域：r過點（1，0），即當(dāng)時，時 時 時 時在（0，+）上是增函數(shù)在（0，+）上是減函數(shù)10同底的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)11指數(shù)方程和對數(shù)方程主要有以下幾種類型：(1) af(x)=bÛf(x)=logab, logaf(x)=bÛf(x)=ab; （定義法）(2) af(x)=ag(x)Ûf(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)Ûf(x)=g(x)>0（轉(zhuǎn)化法）(3) af(x)=bg(x)Ûf(x)logma=g(x)logmb(取對數(shù)法)(4) logaf(x)=logbg(x)Ûlogaf(x

19、)=logag(x)/logab(換底法)函數(shù)圖象變換知識點歸納1作圖方法：描點法和利用基本函數(shù)圖象變換作圖；作函數(shù)圖象的步驟：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值（甚至變化趨勢）；描點連線，畫出函數(shù)的圖象 2三種圖象變換：平移變換、對稱變換和伸縮變換等等；3識圖：分布范圍、變化趨勢、對稱性、周期性等等方面4平移變換：（1）水平平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向左或向右平移個單位即可得到；（2）豎直平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向上或向下平移個單位即可得到 y=f(x)y=f(x+h); y=f(x) y=f(x-h);y=f(x)

20、 y=f(x)+h; y=f(x) y=f(x)-h5對稱變換：（1）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱即可得到；（2）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱即可得到；（3）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱即可得到；（4）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱得到y(tǒng)=f(x) y= -f(x); y=f(x) y=f(-x);y=f(x) y=f(2a-x); y=f(x) y=f-1(x); y=f(x) y= -f(-x)6翻折變換：（1）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像的軸下方部分沿軸翻折到軸上方，去掉原軸下方部分，并保留的軸上方部分即可得到；（2）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像右邊沿軸翻折

21、到軸左邊替代原軸左邊部分并保留在軸右邊部分即可得到 7伸縮變換：（1）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長或壓縮（）為原來的倍得到；（2）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長或壓縮（）為原來的倍得到y(tǒng)=f(x)y=f(); y=f(x)y=f(x)第三章數(shù)列數(shù)列數(shù)列定義知識點歸納 （1）一般形式：(2)通項公式：(3)前n項和：及數(shù)列的通項an 與前n項和sn 的關(guān)系：等差數(shù)列知識點歸納 1等差數(shù)列的定義: 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示2等差數(shù)列

22、的判定方法:定義法：對于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列 等差中項：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列3等差數(shù)列的通項公式:如果等差數(shù)列的首項是，公差是，則等差數(shù)列的通項為該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)4等差數(shù)列的前n項和: 對于公式2整理后是關(guān)于n的沒有常數(shù)項的二次函數(shù)5等差中項:如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項即：或在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項（有窮等差數(shù)列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項；事實上等差數(shù)列中某一項是與其等距離的前后兩項的等差中項5等差數(shù)列的性質(zhì):等差數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果是等差數(shù)列的第項，是等差數(shù)列的第項，且，公差為，則有 對于等差數(shù)列，若，則也

23、就是：若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項的和，那么，成等差數(shù)列如下圖所示：6奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的關(guān)系：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是奇數(shù)項的和，是偶數(shù)項項的和，是前n項的和，則有如下性質(zhì)：前n項的和當(dāng)n為偶數(shù)時，其中d為公差；當(dāng)n為奇數(shù)時，則，（其中是等差數(shù)列的中間一項）7前n項和與通項的關(guān)系：若等差數(shù)列的前項的和為，等差數(shù)列的前項的和為，則等比數(shù)列知識點歸納 1等比數(shù)列的概念：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（）2等比中項：如果在與之間插入一個數(shù)，使，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項也就是，如果是的等比

24、中項，那么，即3等比數(shù)列的判定方法：定義法：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列 等比中項：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列4等比數(shù)列的通項公式：如果等比數(shù)列的首項是，公比是，則等比數(shù)列的通項為或著5等比數(shù)列的前n項和： 當(dāng)時，當(dāng)時，前n項和必須具備形式6等比數(shù)列的性質(zhì)：等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項，是等差數(shù)列的第項，且，公比為，則有 對于等比數(shù)列，若，則也就是：如圖所示：若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項的和，那么，成等比數(shù)列如下圖所示：數(shù)列的求和知識點歸納 1等差數(shù)列的前n項和公式：sn= sn= sn=當(dāng)d0時，sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0；當(dāng)d=0時（a10），sn=na1是關(guān)

25、于n的正比例式2等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q=1時，sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式)；當(dāng)q1時，sn= sn=3拆項法求數(shù)列的和，如an=2n+3n 4錯位相減法求和，如an=(2n-1)2n（非常數(shù)列的等差數(shù)列與等比數(shù)列的積的形式）5分裂項法求和，如an=1/n(n+1) （分子為非零常數(shù)，分母為非常數(shù)列的等差數(shù)列的兩項積的形式）6反序相加法求和，如an=7求數(shù)列an的最大、最小項的方法：an+1-an= 如an= -2n2+29n-3 (an>0) 如an= an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的增減性 如an=數(shù)列的綜合應(yīng)用知識點歸納 1通項與前n項和的關(guān)系：2迭加累加法：， ，

26、 ， 3迭乘累乘法：，4裂項相消法：5錯位相減法：, 是公差d0等差數(shù)列，是公比q1等比數(shù)列所以有6通項分解法：7等差與等比的互變關(guān)系： 8等比、等差數(shù)列和的形式：9無窮遞縮等比數(shù)列的所有項和：第四章三角函數(shù)角的概念的推廣和弧度制知識點歸納 1角和終邊相同：2幾種終邊在特殊位置時對應(yīng)角的集合為： 角的終邊所在位置角的集合x軸正半軸y軸正半軸x軸負(fù)半軸y軸負(fù)半軸x軸y軸坐標(biāo)軸3弧度制定義：我們把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫1弧度角 角度制與弧度制的互化： 1弧度4弧長公式： （是圓心角的弧度數(shù)）5 扇形面積公式：任意角的三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式知識點歸納 1 三角函數(shù)的定義:以角的頂點為坐標(biāo)原點，

27、始邊為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，在角的終邊上任取一個異于原點的點，點p到原點的距離記為，那么； ； ； （； ； ）2 三角函數(shù)的符號：sin+cos+tan+cot+由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號，我們可以得知：正弦值對于第一、二象限為正（），對于第三、四象限為負(fù)（）；余弦值對于第一、四象限為正（），對于第二、三象限為負(fù)（）；正切值對于第一、三象限為正（同號），對于第二、四象限為負(fù)（異號）說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。3特殊角的三角函數(shù)值：0sin010cos100tan010cot1004三角函數(shù)的定義域、值域：函 數(shù)定 義 域值 域5誘導(dǎo)公式：可用十個字

28、概括為“奇變偶不變，符號看象限”。誘導(dǎo)公式一：，其中誘導(dǎo)公式二： ； 誘導(dǎo)公式三： ； 誘導(dǎo)公式四：； 誘導(dǎo)公式五：； sinsinsinsinsinsincoscoscoscoscoscoscossin（1）要化的角的形式為（為常整數(shù)）；（2）記憶方法：“函數(shù)名不變，符號看象限”。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系知識點歸納 1倒數(shù)關(guān)系：，2商數(shù)關(guān)系：，3平方關(guān)系：，兩角和與差的正弦、余弦、正切知識點歸納 1和、差角公式；2二倍角公式；3降冪公式；4半角公式；5萬能公式；6積化和差公式；7和差化積公式；8三倍角公式：sin3= cos3=9輔助角公式：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)知識點歸納 1 正弦函數(shù)、余弦函

29、數(shù)、正切函數(shù)的圖像2三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，的遞增區(qū)間是，的遞減區(qū)間是3函數(shù)最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心4由ysinx的圖象變換出ysin(x)的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將ysinx的圖象向左(0)或向右(0)平移個

30、單位，再將圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?0)，便得ysin(x)的圖象途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換先將ysinx的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?0),再沿x軸向左(0)或向右(0平移個單位，便得ysin(x)的圖象5 由yasin(x)的圖象求其函數(shù)式：給出圖象確定解析式y(tǒng)=asin（x+）的題型，有時從尋找“五點”中的第一零點（，0）作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個零點的位置6對稱軸與對稱中心：的對稱軸為，對稱中心為；的對稱軸為，對稱中心為；對于和來說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最值點聯(lián)系7 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意

31、a、的正負(fù)利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間；8 求三角函數(shù)的周期的常用方法：經(jīng)過恒等變形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法9五點法作y=asin（x+）的簡圖：五點取法是設(shè)x=x+，由x取0、2來求相應(yīng)的x值及對應(yīng)的y值，再描點作圖三角函數(shù)的最值及綜合應(yīng)用知識點歸納 1y=asinx+bcosx型函數(shù)最值的求法：常轉(zhuǎn)化為y= sin（x+）2y=asin2x+bsinx+c型 常通過換元法轉(zhuǎn)化為y=at2+bt+c型：3y=型（1）當(dāng)時，將分母與乘轉(zhuǎn)化變形為sin（x+）型（2）轉(zhuǎn)化為直線的斜率求解（特別是定義域不是r時，必須這樣作）4同角的正

32、弦余弦的和差與積的轉(zhuǎn)換：同一問題中出現(xiàn)，求它們的范圍，一般是令或或，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)來解決5已知正切值，求正弦、余弦的齊次式的值：如已知，求的值，一般是將不包括常數(shù)項的式子的分母1用代換，然后分子分母同時除以化為關(guān)于的表達(dá)式6幾個重要的三角變換：sin cos 可湊倍角公式； 1±cos 可用升次公式；1±sin 可化為，再用升次公式；或（其中 ）這一公式應(yīng)用廣泛，熟練掌握7 單位圓中的三角函數(shù)線:三角函數(shù)線是三角函數(shù)值的幾何表示，四種三角函數(shù)y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的圖象都是“平移”單位圓中的三角函數(shù)線得到的8 三

33、角函數(shù)的圖象的掌握體現(xiàn)：把握圖象的主要特征（頂點、零點、中心、對稱軸、單調(diào)性、漸近線等）；應(yīng)當(dāng)熟練掌握用“五點法”作圖的基本原理以及快速、準(zhǔn)確地作圖9三角函數(shù)的奇偶性 函數(shù)y = sin (x)是奇函數(shù) 函數(shù)y = sin (x)是偶函數(shù) 函數(shù)y =cos (x)是奇函數(shù) 函數(shù)y = cos (x)是偶函數(shù)10正切函數(shù)的單調(diào)性正切函數(shù)f (x) = tan x， ，在每一個區(qū)間上都是增函數(shù)，但不能說f (x ) = tan x在其定義域上是增函數(shù)第五章平面向量平面向量的基本運算知識點歸納 1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：幾何

34、表示法 ，；坐標(biāo)表示法 向量的大小即向量的模（長度），記作|即向量的大小，記作 向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個條件（注意與0的區(qū)別）單位向量：模為1個單位長度的向量向量為單位向量1平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量數(shù)學(xué)中研究的向量

35、是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同2向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法設(shè)，則+=（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2） 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量

36、的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點當(dāng)兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：，但這時必須“首尾相連”3向量的減法 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量關(guān)于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）4實數(shù)與向量的積：實數(shù)

37、與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（）；（）當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；當(dāng)時，方向是任意的數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律5兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=6平面向量的基本定理：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底7 特別注意:（1）向量的加法與減法是互逆運算（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況（4）向量的坐

38、標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)平面向量的坐標(biāo)運算知識點歸納 1平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo) (1)相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量(2)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)2平面向量的坐標(biāo)運算：(1) 若，則(2) 若，則(3) 若=(x,y)，則=(x, y)(4

39、) 若，則(5) 若，則若，則3向量的運算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運算的坐標(biāo)表示和性質(zhì) 運算類型幾何方法坐標(biāo)方法運算性質(zhì)向量的加法1平行四邊形法則2三角形法則向量的減法三角形法則向量的乘法是一個向量,滿足:>0時,與同向;<0時,與異向;=0時, =向量的數(shù)量積是一個數(shù)或時,=0且時,平面向量的數(shù)量積知識點歸納 1兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=·cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定2向量的投影：cos=r，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義： ·等于的長度與在方向上的投

40、影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：5乘法公式成立： ；6平面向量數(shù)量積的運算律：交換律成立：對實數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算：已知兩個向量，則·=8向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=, =,則aob= （）叫做向量與的夾角cos=當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量與同方向時，=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題9垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作10兩個非零向量垂直的充要條件：·o平面向量數(shù)量積的性質(zhì)線段的定比分點與平移知識點歸

41、納 1線段的定比分點定義：設(shè)p1,p2是直線l上的兩點，點p是l上不同于p1,p2的任意一點，則存在一個實數(shù)，使，叫做點p分有向線段所成的比當(dāng)點p在線段上時，；當(dāng)點p在線段或的延長線上時，<02定比分點的向量表達(dá)式：點p分有向線段所成的比是，則（o為平面內(nèi)任意點）3定比分點的坐標(biāo)形式: ,其中p1(x1,y1), p2(x2,y2), p (x,y)4中點坐標(biāo)公式: 當(dāng)=1時，分點p為線段的中點，即有5的重心坐標(biāo)公式：6圖形平移的定義:設(shè)f是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個圖形，將圖上的所有點按照同一方向移動同樣長度，得到圖形f，我們把這一過程叫做圖形的平移7平移公式: 設(shè)點按向量平移后得到點，則+或，

42、曲線按向量平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為： 這個公式叫做點的平移公式，它反映了圖形中的每一點在平移后的新坐標(biāo)與原坐標(biāo)間的關(guān)系解三角形及應(yīng)用舉例知識點歸納 1正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等其比值為外接圓的直徑即 （其中r表示三角形的外接圓半徑）利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）2余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍第一形式，=，第二形式，cosb=利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題

43、：（1）已知三邊，求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角3三角形的面積：abc的面積用s表示，外接圓半徑用r表示，內(nèi)切圓半徑用r表示，半周長用p表示則；（其中）4三角形內(nèi)切圓的半徑：，特別地，5三角學(xué)中的射影定理：在abc 中，6兩內(nèi)角與其正弦值：在abc 中，7三內(nèi)角與三角函數(shù)值的關(guān)系：在abc 中 解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”第六章不等式不等式的概念與性質(zhì)知識點歸納 1實數(shù)的大小順序與運算性質(zhì)之間的關(guān)系： 2不等式的性質(zhì)：（1） ， （反對稱性）（2） ， （傳遞性）（3），故 （移項法則）推論：

44、（同向不等式相加）（4），推論1：推論2：推論3：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)知識點歸納 1常用的基本不等式和重要的不等式（1） 當(dāng)且僅當(dāng)（2）（3），則（4）2最值定理:設(shè)（1）如積（2）如積即:積定和最小，和定積最大運用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等3 均值不等式:兩個正數(shù)的均值不等式：三個正數(shù)的均值不等是：n個正數(shù)的均值不等式：4四種均值的關(guān)系：兩個正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之間的關(guān)系是不等式的證明知識點歸納 不等式的證明方法（1）比較法：作差比較：作差比較的步驟：作差：對要比較大小的兩個數(shù)（或式）作差變形：對差進(jìn)行因式分解或配方成幾個數(shù)（或式）的完全平方和判斷差

45、的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小（2）綜合法：由因?qū)Ч?）分析法：執(zhí)果索因基本步驟：要證只需證，只需證“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)（4）反證法：正難則反（5）放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的放縮法的方法有：添加或舍去一些項，如：；將分子或分母放大（或縮小）利用基本不等式，如：；利用常用結(jié)論：、；、 ； （程度大）、 ； （程度?。?）換元法：換元的目的就

46、是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元如：已知，可設(shè)；已知，可設(shè)()；已知，可設(shè)；已知，可設(shè)；（7）構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點（8）數(shù)學(xué)歸納法法解不等式知識點歸納 1解不等式問題的分類(1)解一元一次不等式(2)解一元二次不等式(3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式解一元高次不等式；解分式不等式；解無理不等式；

47、解指數(shù)不等式；解對數(shù)不等式；解帶絕對值的不等式；解不等式組2解不等式時應(yīng)特別注意下列幾點：(1)正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)(2)正確應(yīng)用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增、減性(3)注意代數(shù)式中未知數(shù)的取值范圍3不等式的同解性(5)|f(x)|g(x)與g(x)f(x)g(x)同解(g(x)0)(6)|f(x)|g(x) 與f(x)g(x)或f(x)g(x)(其中g(shù)(x)0)；g(x)0同解(9)當(dāng)a1時，af(x)ag(x)與f(x)g(x)同解，當(dāng)0a1時，af(x)ag(x)與f(x)g(x)同解4 零點分段法：高次不等式與分式不等式的簡潔解法 步驟：形式：首項系數(shù)符號>0標(biāo)準(zhǔn)式，若系數(shù)

48、含參數(shù)時，須判斷或討論系數(shù)的符號，化負(fù)為正判斷或比較根的大小絕對值不等式知識點歸納 1解絕對值不等式的基本思想:解絕對值不等式的基本思想是去絕對值，常采用的方法是討論符號和平方2注意利用三角不等式證明含有絕對值的問題|a|b|£|a+b|£|a|+|b|;|a|b|£|ab|£|a|+|b|;并指出等號條件3(1)|f(x)|<g(x)Ûg(x)<f(x)<g(x); (2)|f(x)|>g(x)Ûf(x)>g(x)或f(x)<g(x)（無論g(x)是否為正）（3）含絕對值的不等式性質(zhì)（雙向不等式）

49、 左邊在時取得等號，右邊在時取得等號第七章直線和圓的方程直線方程知識點歸納1數(shù)軸上兩點間距離公式：2直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點間距離公式：3直線的傾斜角：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角當(dāng)直線和x軸平行或重合時，我們規(guī)定直線的傾斜角為0°可見，直線傾斜角的取值范圍是0°180°4直線的斜率：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用k表示，即k=tan（90°）傾斜角是90°的直線沒有斜率；傾斜角不是90°

50、的直線都有斜率，其取值范圍是（，+）5直線的方向向量：設(shè)f1（x1，y1）、f2（x2，y2）是直線上不同的兩點，則向量=（x2x1，y2y1）稱為直線的方向向量向量=（1，）=（1，k）也是該直線的方向向量，k是直線的斜率特別地，垂直于軸的直線的一個方向向量為(0,1)6求直線斜率的方法定義法：已知直線的傾斜角為，且90°，則斜率k=tan公式法：已知直線過兩點p1（x1，y1）、p2（x2，y2），且x1x2，則斜率k=方向向量法：若=（m，n）為直線的方向向量，則直線的斜率k=平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一條直線都有傾斜角，但不是每一條直線都有斜率對于直線上任意兩點p1（x1，y1）、

51、p2（x2，y2），當(dāng)x1=x2時，直線斜率k不存在，傾斜角=90°；當(dāng)x1x2時，直線斜率存在，是一實數(shù)，并且k0時，=arctank；k0時，=+arctank7直線方程的五種形式點斜式：， 斜截式：兩點式：， 截距式：一般式：兩直線的位置關(guān)系知識點歸納1特殊情況下的兩直線平行與垂直當(dāng)兩條直線中有一條直線沒有斜率時：(1)當(dāng)另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為90°，互相平行；(2)當(dāng)另一條直線的斜率為0時，一條直線的傾斜角為90°，另一條直線的傾斜角為0°，兩直線互相垂直2斜率存在時兩直線的平行與垂直：兩條直線有斜率且不重合，如果它們平行

52、，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，則它們平行，即=且 已知直線、的方程為：，：的充要條件是 兩條直線垂直的情形：如果兩條直線的斜率分別是和，則這兩條直線垂直的充要條件是已知直線和的一般式方程為：，：，則3直線到的角的定義及公式：直線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與重合時所轉(zhuǎn)的角,叫做到的角 到的角：0°180°， 如果如果， 4直線與的夾角定義及公式: 到的角是, 到的角是-,當(dāng)與相交但不垂直時, 和-僅有一個角是銳角,我們把其中的銳角叫兩條直線的夾角當(dāng)直線時,直線與的夾角是夾角：0°90°如果如果， 5兩條直線是否相交的判斷兩條直線是否有交點，就要看這兩條直線方程所組成的方程組：是否有惟一解6點到直線距離公式：點到直線的距離為：7兩平行線間的距離公式已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，：，則與的距離為 8 直線系方程:若兩條直線：，：有交點，則過與交點的直線系方程為或+ (為常