函數(shù)的極值和最值及其應(yīng)用

1、函數(shù)的極值和最值及其應(yīng)用 摘要：數(shù)學(xué)應(yīng)用是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要的任務(wù)。論文將通過函數(shù)極值和函數(shù)最值的相關(guān)理論、區(qū)別、聯(lián)系及極值最值的求解方法，系統(tǒng)的闡述函數(shù)極值最值，這一 重要而且基礎(chǔ)的函數(shù)性質(zhì)， 并讓大家意識(shí)到部分極值最值問題是與實(shí)際問題有著 密不可分的關(guān)系。然后運(yùn)用給出的函數(shù)極值和最值知識(shí)，解決生活實(shí)際中的應(yīng)用問題。函數(shù)涉及的實(shí)際應(yīng)用有： 1.極值理論在海事安全、保險(xiǎn)業(yè)、金融風(fēng)險(xiǎn)管理等領(lǐng)域的應(yīng)用。 2.最值在商業(yè)最大利潤、稅收額最大、最大期望、最優(yōu)計(jì)劃安排等問題中的 應(yīng)用。在極值和最值的理論學(xué)習(xí)后，如何運(yùn)用所學(xué)識(shí)解決實(shí)際問題應(yīng)得到我們的重視。從而認(rèn)識(shí)到極值最值在數(shù)學(xué)中的重要性及數(shù)學(xué)在生活中的

2、必不可少性！關(guān)鍵詞：極值；最值；應(yīng)用。引言：作為函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要分支和基本工具，函數(shù)極值和最值在數(shù)學(xué)與其它科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，諸如數(shù)學(xué)建模、稅收金額、優(yōu)化問題、概率統(tǒng)計(jì)等學(xué)科都有廣泛的 應(yīng)用。不僅如此，函數(shù)極值理論在航海、保險(xiǎn)、價(jià)格策劃、航空和航天等眾多領(lǐng) 域中也是最富表現(xiàn)性和靈活性，并起著不可替代的數(shù)學(xué)工具的作用。許多實(shí)際問 題最終都?xì)w結(jié)為函數(shù)極值或最值問題，生活中遇到的實(shí)際問題，可以通過數(shù)學(xué)建 模的形式，表示為函數(shù)形式。而在求解具體問題時(shí)往往需要應(yīng)用到極值和最值的 求解，來為生產(chǎn)生活做保證！由此可見，研究函數(shù)極值和最值，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與其 它學(xué)科的理論基礎(chǔ)，是生活生產(chǎn)中的必備工具。它為我們對于數(shù)學(xué)

3、的進(jìn)一步研究 起到很大幫助；同時(shí)，它對于其它相關(guān)學(xué)科的理解、學(xué)習(xí)與應(yīng)用也起著十分重要 的作用，更對其他學(xué)科領(lǐng)域的展開有很大的促進(jìn)作用。函數(shù)的極值和最值不僅是函重要的基礎(chǔ)性質(zhì),在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中也有著重要 的應(yīng)用,對于不同類型的問題，我們應(yīng)有一個(gè)系統(tǒng)而簡便的方法，巧妙地運(yùn)用進(jìn) 而達(dá)到熟練地掌握這些方法。而恰恰這些方法的終極解決，都?xì)w結(jié)于對函數(shù)極值和最值的求解。下面，就讓我們系統(tǒng)的歸納和展示，函數(shù)極值和最值的相關(guān)問題及在生活實(shí)際中的各種應(yīng)用！函數(shù)極值的相關(guān)理論函數(shù)極值的定義設(shè) 函 數(shù) f (x) 在 附 近 有 定 義 ， 如 果 對 附 近 的 所 有 的 點(diǎn) ， 都 有f ( x ) <

4、f () ，則 f ( ) 是函數(shù) f ( x ) 的一個(gè)極大值。如果附近所有的點(diǎn)，都有f ( x ) > f ( ) ，則 f ( ) 是函數(shù) f ( x ) 的一個(gè)極小值，極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。 費(fèi)馬定理：可導(dǎo)的極值點(diǎn)一定是穩(wěn)定點(diǎn)極值點(diǎn)一定是穩(wěn)定點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)。數(shù)學(xué)函數(shù)的一種穩(wěn)定值,即一個(gè)極大值或一個(gè)極小值，極值點(diǎn)只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)或?qū)?shù)為零的點(diǎn)中取得。 若函數(shù) f 在點(diǎn)處可導(dǎo)，且 為 f 的極值點(diǎn)，則 f ( ) = 0 .這就是說可導(dǎo) 函數(shù)在點(diǎn)取極值的必要條件是 f ( ) = 0 .極值的充分條件定理 1（極值的第一充分條件） 設(shè) f 在點(diǎn) 連續(xù)，在某鄰域 u 0 ( ;

5、) 內(nèi)可導(dǎo). (1）若當(dāng) x ( , x0 ) 時(shí) f ( ) 0 ，當(dāng) x ( , + ) 時(shí)， 則 f 在點(diǎn) 取得極小值. （2）若當(dāng) x ( , x0 ) 時(shí) f ( ) 0 ，當(dāng) x ( , + ) 時(shí)， 則 f 在點(diǎn) x0 取得 極大值. 定理2（極值的第二充分條件） 設(shè) f 在 的 某 鄰 域 u 0 ( ; ) 內(nèi) 一 階可導(dǎo) ，在 x = 處二 階 可 導(dǎo) ，且f ( ) = 0, f ( ) 0 .（1）若 f ( ) < 0 ，則 f 在 取得極大值. （2）若 f ( ) > 0 ，則 f 在 取得極小值. 定理 3（極值的第三充分條件）設(shè) f 在 的某個(gè)鄰域

6、內(nèi),存在直到 n1 階導(dǎo)函數(shù)，在處 n 階可導(dǎo)，且,則f(k)( ) = 0 ( k = 1, 2, n ) , f ( n ) ( ) 0 .（1） n 為偶數(shù)時(shí)，f 在取得極值，當(dāng)且當(dāng) f ( 時(shí)取極小值; （2）當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，f 在處不取極值.f( ) < 0 時(shí)取極大值，f ( n) ( ) > 0函數(shù)極值的求解方法函數(shù)極值的求解方法有很多，根據(jù)定義我們可以用導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求解，但當(dāng)函數(shù)較為復(fù)雜, 導(dǎo)數(shù)與駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)不好求或函數(shù)較為復(fù)雜時(shí)，我們可以采用以下方法：1、降元法（求多元函數(shù)極值的基本方法之一就是選擇兩個(gè)變量作為主元，而消去其他變 量，化為二元函數(shù)求解）。 2、轉(zhuǎn)

7、化法 （在函數(shù)極值法不易直接求解的情況下， 應(yīng)注意觀察題型結(jié)構(gòu)，分析題設(shè)特點(diǎn)，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟知的、易解的問題，通過其他途徑求解）。 3、換元法 （換元法是把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化的一種常用方法）。 4、判別式法 （若所給函數(shù)式（可加約束條件）如能轉(zhuǎn)化為以某個(gè)變量為主元的二次方程，則可用判別式法求函數(shù)的極值）。函數(shù)的最值最大值：在 f ( x ) 的定義域 i 上，如果存在 i ，使得對任意 x i ，有：f ( ) > f ( x ) ，則稱 是 f ( x ) 的最大值點(diǎn)， f ( ) 稱作函數(shù)的最大值。最小值：在 f ( x ) 的定義域 i 上，如果存在 i ，使得對任意 x i ，有

8、：f ( ) < f ( x ) ，則稱 是 f ( x ) 的最小值點(diǎn)， f ( ) 稱作函數(shù)的最小值。函數(shù)與日常生活的聯(lián)系極值的概念來自數(shù)學(xué)應(yīng)用中的最大最小值問題。 定義在一個(gè)有界閉區(qū)域上的 每一個(gè)連續(xù)函數(shù)都必定達(dá)到它的最大值和最小值， 問題在于要確定它在哪些點(diǎn)處 達(dá)到最大值或最小值。如果不是邊界點(diǎn)就一定是內(nèi)點(diǎn)，因而是極值點(diǎn)。這里的首 要任務(wù)是求得一個(gè)內(nèi)點(diǎn)成為一個(gè)極值點(diǎn)。 即在最值的求解中，我們可以先求得 函數(shù)在定義區(qū)間的極值和端點(diǎn)處得值，將所得數(shù)值進(jìn)行比較，最大的為最大值， 最小的為最小值。簡單說明，最大（?。┲挡灰欢ㄊ菢O大（小）值，因?yàn)槎x區(qū) 間的端點(diǎn)為最值時(shí)， 此處導(dǎo)數(shù)不一定為

9、零， 即不是極值。 同理定義區(qū)間的極大 （小） 值，也不一定是函數(shù)的最大（?。┲担畲螅ㄐ。┲悼赡茉诙它c(diǎn)處取得！但如果 區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值，那么這個(gè)極值一定是最值(最大值或最小值)。最值和極值的聯(lián)系與區(qū)別（1）極值一定是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的最值； （2）極值未必是最值； （3）如果函數(shù)的最值在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取得，那么該點(diǎn)一定是極值點(diǎn)。 根據(jù)極值最值的聯(lián)系和區(qū)別，我們了解到，函數(shù)的極值和最值有著密不可分的關(guān)系，下面就讓我們繼續(xù)展示函數(shù)極值和最值在實(shí)際生產(chǎn)生活中的具體應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在科學(xué)發(fā)展和經(jīng)濟(jì)生活中是如何占據(jù)著重要的位置。極值的應(yīng)用極值理論拯救生命發(fā)生在 1953 年2月的海水倒灌災(zāi)難奪去了 1

10、800 人的生命，毀壞了 4.7 萬間 居民住宅。 此后，荷蘭政府迫切需要修筑能保護(hù)該國數(shù)百年的新海防大堤。 而后，1600萬荷蘭居民得到了極值理論公式的保護(hù)。由于荷蘭一半以上的國土位于海 平面之下，因此該國筑起一條條海堤加以防范。這些海堤根據(jù)極值理論的數(shù)學(xué)原 理設(shè)計(jì)，用來對付大自然可能發(fā)起的最惡劣挑戰(zhàn)?？茖W(xué)家們分析了該國有關(guān)此類 極端事件的歷史數(shù)據(jù)，得出了新建堤防 5 米高的標(biāo)準(zhǔn)。這時(shí)極值理論被用來確定，在不遠(yuǎn)的將來，再次發(fā)生災(zāi)難的機(jī)會(huì)微乎其微。極值理論還是新的海事安全建議中的核心內(nèi)容。然而這些建議，旨在防止類 似 mvderbyshire 貨船沉沒的悲劇重演。1981 年，mvderbys

11、hire 在日本以南海面 遭遇臺(tái)風(fēng)而沉沒，船上 44 名船員全部遇難。2000 年，一份官方調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這艘 船的前艙艙口蓋在大浪的沖擊下塌陷，導(dǎo)致海水涌入。這一調(diào)查結(jié)論清洗了船長 和船員的冤屈，他們曾因這一悲劇的發(fā)生而遭到指責(zé)。這一結(jié)論部分基于蘭開斯特大學(xué)(lancasteruniversity) 喬納森陶恩(jonathantawn)教授和珍妮特赫弗南(janetheffernan)博士的研究結(jié)果。兩位學(xué)者利用極值理論考察了船舶艙蓋被足夠狂暴的海浪沖擊所打開的各種可能性。在與勞氏(lloyd''sregister)共同進(jìn)行的研究中，上述兩位學(xué)者還使用極值理論，說明除了在災(zāi)難發(fā)

12、生后推薦增加防護(hù)層外，對類似 derbyshire 那樣大小的船舶而言，其艙蓋強(qiáng)度應(yīng)該再提高 35%。幾個(gè)月后的 2001 年 12 月，大型散裝貨船克里斯多佛號(hào)(christopher)在亞速爾群島附近海面沉沒，27 名船員遇難。最后時(shí)刻的無線電通訊報(bào)告顯示，該船的前艙艙口蓋已經(jīng)被海浪沖垮。這是 derbyshire 命運(yùn)可怕的重復(fù)可能這也正說明，若不遵照行事，即使是最成熟的理論也起不了保護(hù)作用。最值的應(yīng)用解決實(shí)際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)。把實(shí)際問題翻譯為數(shù)學(xué)語言,找出問題的關(guān)鍵,根據(jù)題中所給條件之間的相互關(guān)系,把問題化為常規(guī)問 題。通過把主要關(guān)系近似化,形式化,拋開實(shí)際意義,

13、抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)模型,選擇合 適的數(shù)學(xué)方法求解。 最大利潤與最小成本問題利潤最大化與成本最小化是每一個(gè)生產(chǎn)企業(yè)孜孜以求的最高目標(biāo)。 要實(shí)現(xiàn)這 一最高目標(biāo)，首先要合理確定產(chǎn)品的產(chǎn)量，除了要考慮市場的需求外，還要考慮 到產(chǎn)品的市場價(jià)格因素，這就需要研究成本、收益、利潤與產(chǎn)量之間的依賴變化 關(guān)系。一般地說，總成本包括兩部分：固定成本與可變成本，其中固定成本與產(chǎn)量 無關(guān)，而可變成本與產(chǎn)量有關(guān)，它隨產(chǎn)量的增加而增加。如果設(shè)總成本為 c，固定成本為 c0，可變成本為 c1，產(chǎn)量為 q，那么，總成本函數(shù)可表示為：c（q） =c0+c1(q)。 設(shè)產(chǎn)品銷售量等于產(chǎn)量 q，產(chǎn)品價(jià)格為 p，則收益函數(shù)為： r(q)

14、=p(q) 例如：某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為 2000元，每生產(chǎn) 1 噸產(chǎn)品的成本例如為60元，市場對該產(chǎn)品的需求規(guī)律為 q = 100010 p (其中 p 為價(jià)格，q 為需求量)，求產(chǎn)量為多少時(shí)利潤最大；最大利潤時(shí)的價(jià)格又是多少？因?yàn)榭偝杀?c 是產(chǎn)量 q 的函數(shù)，即c ( q ) = 2000 + 60q ，而銷售總收益為：r ( q ) = pq = 100q= 100q于是總利潤為 l ( q ) = r ( q ) c ( q ) = + 40q2000令 l ( q ) = q + 40 = 0 , 得駐點(diǎn) q = 200, l ( q ) = -< 0 ，所以 l (

15、 200 ) = 2000 為極大值，也是最大值。即當(dāng)生產(chǎn)量q = 200 噸時(shí)總利潤最大，此時(shí)最大利潤是 2000 元。當(dāng)產(chǎn)量 q = 200 噸時(shí)，價(jià)格p = 100 =100=80時(shí)的價(jià)格是80元。稅收額最大問題問題歸結(jié)為求解使稅收收益最大的稅率 （稅率收益是稅率與實(shí)際的市場銷售 量的乘積）。假設(shè)某地區(qū)經(jīng)長時(shí)間征稅試驗(yàn)，政府能夠確定某產(chǎn)品市場的消費(fèi)量 與有關(guān)稅率之間的關(guān)系是t = （1）其中 t 表示產(chǎn)品的稅率， x 表示市場消費(fèi)的數(shù)量。由于稅率等于 t ，所以政府的收益 r 就應(yīng)等于稅率和市場消費(fèi)數(shù)量的積，即r = xt = x （2）其中 r 和 t 被假設(shè)為非負(fù)值， r 的定義域?yàn)?/p>

16、 0 x 3 ，由于 x = 0 和 x = 3 時(shí)，r 都等于零，所以 r 在 0 與 3 之間達(dá)到極大值。對（2）式求導(dǎo)數(shù)有r = =0解得駐點(diǎn) x = 4.5 = 2.12 ， 將它代人（2）式，即收益 r = 7.79 ， 再將 x = =2.12帶入（1）式，求得稅率t=3.67%。所以當(dāng)稅率為3.67%時(shí)，政府可獲得的最大收益為7.79綜上所述，提高生產(chǎn)和工作效率，使企業(yè)獲得最佳產(chǎn)出的經(jīng)濟(jì)效益，達(dá)到收 入最大、成本最低或收益最高等，這無疑是企業(yè)決策者和管理人員們十分關(guān)心的 問題。解決這類問題的思路是：第一根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式 及求出函數(shù)的定義域；第二利用求函數(shù)極值和最值的方法求解。求解函數(shù)最值的 方法去解決?？梢姡瘮?shù)最值的應(yīng)用是如此之廣，用處