哈工大力學(xué)部分上

1、力學(xué)部分習(xí)題（一）力學(xué)部分習(xí)題（一）姜桂鋮姜桂鋮2015.3.252015.3.25 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué) 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)（牛頓定律）質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)（牛頓定律） 動(dòng)量定理動(dòng)量定理 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 功能原理功能原理1、理想模型：質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、理想模型：質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系2、運(yùn)動(dòng)的描述：、運(yùn)動(dòng)的描述：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)位置矢量位置矢量)(trr ktzjtyitxtr)()()()( )()(12trttrr rxiyjzk dtrdv kdtdzjdtdyidtdxv 位移矢量位移矢量速度速度加速度加速度222222d xd yd zaijkdtdtdt矢量性、瞬時(shí)性、相對(duì)性矢量

2、性、瞬時(shí)性、相對(duì)性22dvd radtdt勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)拋體運(yùn)動(dòng)拋體運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)常見的運(yùn)動(dòng)常見的運(yùn)動(dòng) 02002200122x = xa xxatt+atv= vvv -vl以仰角以仰角 拋出拋出l初位置設(shè)為原點(diǎn)初位置設(shè)為原點(diǎn)l初速度初速度 v0l加速度加速度 ax=0,ay=-g0cosxvv201sin2 yvtgt0sinyvvgt0cosxvt22201tan2cosgxyxvl圓周半徑圓周半徑 Rl線速度線速度 v222d/,dnnrnv RtaaavaeR eRaaavvvvvv掌握掌握l沿沿 x 軸運(yùn)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)(一維一維)l初位置初位置x0 ,初速度初速度v0

3、l加速度加速度 a 恒定恒定000rrrvvvaaa00a伽利略變換式xySOPSOxyr0rr v v0v 正問題：正問題：反問題：反問題：rdrdtdvadtrvdtadta求導(dǎo)求導(dǎo)積分積分1、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、牛頓運(yùn)動(dòng)定律質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第一定律第一定律第二定律第二定律 第三定律第三定律,dpFpmvdtm當(dāng)當(dāng) 為常量時(shí)為常量時(shí)Fma1221FF 2、非慣性參考系和慣性力、非慣性參考系和慣性力(1) 非慣性系中牛頓動(dòng)力學(xué)方程非慣性系中牛頓動(dòng)力學(xué)方程(2) 幾種常見的慣性力：平動(dòng)慣性力、慣性離心力、科里奧利力幾種常見的慣性力：平動(dòng)慣性力、慣性離心力、科里奧利力FFma貫慣性、慣性系、力的概

4、念慣性、慣性系、力的概念動(dòng)量定律及動(dòng)量守恒動(dòng)量定律及動(dòng)量守恒 力的時(shí)間積累效應(yīng)力的時(shí)間積累效應(yīng)(1) 沖量沖量vmp Fdt (2) 動(dòng)量定理動(dòng)量定理:120ppdtFIt(3) 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律:0ijijFpppp外時(shí) 動(dòng)量動(dòng)量動(dòng)能定理及功能原理動(dòng)能定理及功能原理kAAE 外內(nèi)(1) 功功dAF dS(3) 動(dòng)能定理動(dòng)能定理力的空間積累效應(yīng)力的空間積累效應(yīng)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理2221211122kkkAEEEmvmv (2) 動(dòng)能動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能212kEmv2112NkiiEmv(4) 勢能勢能(1)保守力保

5、守力(2)保守力的判斷保守力的判斷(3)勢能勢能(5) 機(jī)械能守恒定律及能量守恒機(jī)械能守恒定律及能量守恒機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律:只有保守內(nèi)力做功時(shí)只有保守內(nèi)力做功時(shí),質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能保持不變質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能保持不變.能量守恒定律能量守恒定律:一個(gè)封閉系統(tǒng)經(jīng)歷任何變化時(shí)一個(gè)封閉系統(tǒng)經(jīng)歷任何變化時(shí),該系統(tǒng)的所有能量的總和不改變?cè)撓到y(tǒng)的所有能量的總和不改變.重力勢能重力勢能彈性勢能彈性勢能引力勢能引力勢能pEmgh212pEkxpMmEGr 1. 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為 0.10 m 的圓周運(yùn)動(dòng)，其角位置的圓周運(yùn)動(dòng)，其角位置 = 2 + 4t3 (SI)， 問：問：（1） t=2s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的

6、法向加速度和切向加速度各是多少？時(shí)質(zhì)點(diǎn)的法向加速度和切向加速度各是多少？（2） 當(dāng)切向加速度的大小恰是總加速度的一半時(shí)，當(dāng)切向加速度的大小恰是總加速度的一半時(shí)，值是多少？值是多少？（3） 在哪一時(shí)刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？在哪一時(shí)刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？（1）角速度）角速度212dtdt2414.42.4naRtaRt角加速度角加速度24dtdt（2）據(jù)題意）據(jù)題意12aa24212.4(2.4 )(14.4 )2ttt解得解得 31,3.152 3trad（3） 由由naa414.42.4tt解得解得 t= 0.55 (s) 2. 一艘正在沿直線行駛的汽艇，在發(fā)

7、動(dòng)機(jī)關(guān)閉后，其加速一艘正在沿直線行駛的汽艇，在發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后，其加速2ddkt vv度方向與速度方向相反，滿足度方向與速度方向相反，滿足 式中式中 k 為常數(shù)，試證明為常數(shù)，試證明汽艇在關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后又行駛汽艇在關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后又行駛 x 距離時(shí)的速度為距離時(shí)的速度為0,kxevv其中其中v0 是關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)的速度。是關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)的速度。解：解：2ddkt vv2ddkx vvv00ddxk xvvvv0.kxevv故故ddxv ddxt2k v 3. 升降機(jī)中光滑水平桌面上有一質(zhì)量為升降機(jī)中光滑水平桌面上有一質(zhì)量為 m1 =100g 的物體，它以繞過的物體，它以繞過桌角的定滑輪上的繩子與物體桌角的定

8、滑輪上的繩子與物體 B 相連，相連， B 的質(zhì)量為的質(zhì)量為 m2 =200g 。 當(dāng)升降機(jī)以當(dāng)升降機(jī)以 a=g/2 =4.9 m/s2 的加速度上升時(shí)，的加速度上升時(shí)，機(jī)內(nèi)的機(jī)內(nèi)的人看到人看到 A和和 B 兩物體的兩物體的加速度加速度是多是多大？大？機(jī)外在機(jī)外在地面上的人看到地面上的人看到 A 和和 B 兩物體對(duì)地面的兩物體對(duì)地面的加速度加速度是多大？是多大？解答提示解答提示T2gaxy1am2m11am1Ngm1amf1慣Tm2Tgm2amf2慣選向上為正（選向上為正（1）以升降機(jī)內(nèi)觀察者（非慣性系）：）以升降機(jī)內(nèi)觀察者（非慣性系）：111 1:,;A Nm gm a Tm a2221:()

9、B Tm gm ama211232()maggmm（2） 從地面上觀察者（慣性系）從地面上觀察者（慣性系）對(duì)對(duì) A: 水平方向水平方向1 1(1)Tm a豎直方向豎直方向112gNm gm對(duì)對(duì) B：豎直方向：豎直方向2222221()(2)2Tm gm amaagma對(duì)地對(duì)機(jī)機(jī)對(duì)地）（由（由（1），（），（2）可得）可得21123,2()maggmmA 的加速度的加速度225(),22Agagg B 的加速度的加速度1,22Bggaa 向下m ra0aaaramNgmxmamgsincos)(0agmNsin)(0agar解法解法1 以地面參考系以地面參考系4. 一光滑斜面固定在升降機(jī)的底板上

10、，如圖所示，當(dāng)升降機(jī)以一光滑斜面固定在升降機(jī)的底板上，如圖所示，當(dāng)升降機(jī)以勻加速度勻加速度 a 0 上升時(shí)，質(zhì)量為上升時(shí)，質(zhì)量為m 的物體從斜面頂端開始下滑的物體從斜面頂端開始下滑.yxN0a rax 方向方向y 方向方向物體對(duì)斜面的壓力物體對(duì)斜面的壓力和和物體相對(duì)斜面的加速度物體相對(duì)斜面的加速度。求：求：解：解：0a)sin(0aamrcos0macosyNmgma mg解得解得m ra0aNmg 以作加速平動(dòng)的升降機(jī)為參考系，是非慣性系。以作加速平動(dòng)的升降機(jī)為參考系，是非慣性系。物體受力：重力物體受力：重力mg,斜面對(duì)它的正壓力斜面對(duì)它的正壓力,N慣性力慣性力0ma 動(dòng)力學(xué)方程為：動(dòng)力學(xué)方

11、程為：0()rmgNmama 沿斜面向下方向和垂直斜面向上方向的分量式為：沿斜面向下方向和垂直斜面向上方向的分量式為：0sinsinrmgmama 解得解得0sinra( ga ) 所得結(jié)果與解法所得結(jié)果與解法 1 相同。相同。00coscosmgNma 0cosNm( ga ) xy0ma 5. 5. 絞盤可以使人通過繩子用很小的力絞盤可以使人通過繩子用很小的力拉住很大張力作用下的物體。拉住很大張力作用下的物體。AATBTBo繩子與圓柱間的摩擦系數(shù)為繩子與圓柱間的摩擦系數(shù)為 繩子繞圓柱的張角為繩子繞圓柱的張角為 試求人拉繩子的力試求人拉繩子的力TB設(shè)繩子承受的巨大拉力設(shè)繩子承受的巨大拉力TA

12、解：任取一質(zhì)量元解：任取一質(zhì)量元dmTTdf dNddT2d022)(NTTTdddd)1(0 NTdd0)(TTTfdd化化簡簡)2(Tfdd)3(NfddTTdd法向法向切向切向TTdd0ddBATTTTeTTAB分離變量分離變量ddTT分別積分分別積分結(jié)果結(jié)果教材第教材第2章的章的2-15習(xí)題和此題類似習(xí)題和此題類似如圖所示，兩部運(yùn)水的卡車如圖所示，兩部運(yùn)水的卡車A、B在水平面上沿同一方向運(yùn)在水平面上沿同一方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)，B的速度為的速度為u ，從，從B上以上以6kg/s的速率將水抽至的速率將水抽至A上，水上，水從管子尾部出口垂直落下，車與地面間的摩擦不計(jì)，從管子尾部出口垂直落下，車與地面

13、間的摩擦不計(jì)，時(shí)刻時(shí)刻 t 時(shí)，時(shí)，A車的質(zhì)量為車的質(zhì)量為M，速度為，速度為v 。選選A車車M和和 t時(shí)間內(nèi)抽至?xí)r間內(nèi)抽至A車的水車的水 m為研究系統(tǒng)，為研究系統(tǒng)，水平方向上動(dòng)量守恒水平方向上動(dòng)量守恒vv)(mMmuMmMmuMvvmMumvvvv解解:vvuMmvvvuMMutmtat6ddlim06.求求: t時(shí)刻時(shí)刻 ，A 的瞬時(shí)加速度的瞬時(shí)加速度ABuvA7. 質(zhì)量為質(zhì)量為m 的人手里拿一質(zhì)量為的人手里拿一質(zhì)量為 m的物體，此人用的物體，此人用與水平面成與水平面成角，速率角，速率v0 向前跳去，當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)時(shí)，向前跳去，當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)時(shí)，他將物體以相對(duì)于人為他將物體以相對(duì)于人為u 的水平

14、速率向后拋的水平速率向后拋問：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少問：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少?(假定人可視為質(zhì)點(diǎn)）假定人可視為質(zhì)點(diǎn)）ovxx xy2vu解：解：到最高點(diǎn)時(shí)，到最高點(diǎn)時(shí)， cos1ovv 設(shè)人拋出物體后速度設(shè)人拋出物體后速度為為2v水平方向動(dòng)量守恒水平方向動(dòng)量守恒221vummvvmm動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。ummmvvo cos2ummmvvvo cos2gvto sin由于拋物人增加的速度大小為由于拋物人增加的速度大小為人從最高點(diǎn)回到地面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為人從最高點(diǎn)回到地面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為gmmumvvtxo sin因此增加的距離因此增

15、加的距離221vummvvmm 1.量綱檢查量綱檢查:正確！正確！2.特例檢查特例檢查: 00 xu時(shí)時(shí)正確！正確！ 8. 如圖，如圖， 長為長為 L ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)鏈條，置于水平桌面上，鏈條與的勻質(zhì)鏈條，置于水平桌面上，鏈條與桌面之間的摩擦系數(shù)為桌面之間的摩擦系數(shù)為， 下垂部分的長度為下垂部分的長度為 a 。鏈條由靜止開始運(yùn)動(dòng)，。鏈條由靜止開始運(yùn)動(dòng)，求在鏈條滑離桌面的過程中，重力和摩擦力所作的功和鏈條離開桌面時(shí)的求在鏈條滑離桌面的過程中，重力和摩擦力所作的功和鏈條離開桌面時(shí)的速率。速率。（1）重力所作的功：）重力所作的功：aL-axoyoy重力元功重力元功mdAygdyL重力的

16、功：由位置重力的功：由位置 a 到整個(gè)鏈條下滑至到整個(gè)鏈條下滑至 L221()2LppamAygdyAmg LaLL （2）摩擦力的功）摩擦力的功20()()2L arrmgmgALax dxALaLL （3）根據(jù)動(dòng)能定理）根據(jù)動(dòng)能定理22221()()2prgAAmvvLaLaL9. 一質(zhì)量為m的物體，從質(zhì)量為M的圓弧形槽頂端由靜止滑下，設(shè)圓弧形槽的半徑為R，張角為/2（如圖所示）。如所有摩擦都可忽略，求：（1）物體剛離開槽底端時(shí)，物體和槽的速度各是多少？（2）在物體從A滑到B的過程中，物體對(duì)槽所作的功。（3）物體到達(dá)B時(shí)對(duì)槽的壓力。mRABM又由水平方向動(dòng)量守恒，有0 MVmv聯(lián)立求解得m

17、MMgRv2)(2mMMgRmV（2）對(duì)M，由動(dòng)能定理可得物體所做功mMgRmMVA22021解：解：（1）取物體m、槽M和地球?yàn)橄到y(tǒng)。對(duì)地面參考系，設(shè)小球離開槽底端時(shí)小球與槽的速度分別為v、V，由機(jī)械能守恒222121MVmvmgR（3）當(dāng)m到達(dá)B點(diǎn)瞬時(shí)，M可視為以速度V運(yùn)動(dòng)得慣性系。以M為參考系，m到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為v，則由 可得Vvv)(22mMMgRmmMMgRvMgRmMmMMgRMm)(22)1 (由牛頓定律有RvmmgN2所以mgMmMmgmMmgRvmmgN)23()(22Z求圓柱形容器以求圓柱形容器以 作勻速旋轉(zhuǎn)，液體自由表面形狀？作勻速旋轉(zhuǎn)，液體自由表面形狀？設(shè)質(zhì)元的質(zhì)量為

18、設(shè)質(zhì)元的質(zhì)量為m ，根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律有有amgmNxa22tanmxmgddzx2ddxzxg200ddzxxzxg222xgzxZNgmmgN10.11.兩根長度分別為兩根長度分別為 l1 , l2的輕繩豎直懸掛兩個(gè)的輕繩豎直懸掛兩個(gè) 質(zhì)量分別質(zhì)量分別m1 , m2 的小球，突然的小球，突然 打擊打擊 球球1，使之獲得水平速度，使之獲得水平速度v0 ,求求該瞬時(shí)該瞬時(shí) 兩繩中的張力。兩繩中的張力。v0l1l2m1m2【解解】以地面為參考系以地面為參考系： m1作半徑為作半徑為 l1 的圓周運(yùn)動(dòng)，的圓周運(yùn)動(dòng)，重力重力 m1 g 和下面繩的拉力和下面繩的拉力 T2。v0l1m11

19、Tna12Tgm1（該瞬時(shí)（該瞬時(shí)m2 靜止）。靜止）。在打擊在打擊m1的瞬時(shí)，豎直方向有的瞬時(shí)，豎直方向有法向加速度法向加速度1201lvan 法向力法向力 T1 ，)1(1201121lvmgmTT 對(duì)對(duì)m1列豎直方向的方程：列豎直方向的方程：m2作半徑為作半徑為 l2的圓周運(yùn)動(dòng)，的圓周運(yùn)動(dòng)，瞬時(shí)速率也是瞬時(shí)速率也是 v0 （但向左），（但向左），重力重力 m2 g 外，外，還受到慣性離心力還受到慣性離心力 （向下）。（向下）。nam12v0l1m11Tna12Tgm1na1l1l2m1m2v0v0gm22Tnam12na2 na1法向力法向力 T2 ，在打擊在打擊m1的瞬時(shí)，的瞬時(shí)，法向加速度為法向加速度為2202lvan 它對(duì)地面加速度為它對(duì)地面加速度為 （向上）（向上） 。na1選選m1在其中瞬時(shí)靜止的平動(dòng)非慣性系：在其中瞬時(shí)靜止的平動(dòng)非慣性系：l1l2m1m2v0v0gm22Tnam12na2 對(duì)對(duì)m2列豎直方向的方程：列豎直方向的方程：nnamamgmT221222 )2(2202120222lvml