分式的化簡(jiǎn)與求值

1、平陽 xx 中學(xué)競(jìng)賽講義第二講分式的化簡(jiǎn)與求值要解決有關(guān)分式的問題，就必須準(zhǔn)確掌握分式的概念，分式的基本性質(zhì)、分式的四則運(yùn)算等知識(shí)，本講主要講述分式的變形和求值的技巧。給出一定的條件，在此條件下求分式的值稱為有條件的分式求值而分式的化簡(jiǎn)與求值是緊密相連的，求值之前必須先化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)的目的是為了求值，先化筒后求值是解有條件的分式的化簡(jiǎn)與求值的基本策略一、分式的分拆例 1 若 x取整數(shù)，則使分式6x3 的值為整數(shù)的 x的值有個(gè)2x1例 2 將分式化為部分分式。例 3 化簡(jiǎn)分式：分析 直接通分計(jì)算較繁，先把每個(gè)假分式化成整式與真分式之和的形式，再化簡(jiǎn)將簡(jiǎn)便得多例 4 化簡(jiǎn)分式：分析：三個(gè)分式一齊通分運(yùn)

2、算量大，可先將每個(gè)分式的分母分解因式，然后再化簡(jiǎn)例 5 化簡(jiǎn)計(jì)算 ( 式中 a， b， c 兩兩不相等 ) ：似的，對(duì)于這個(gè)分式，顯然分母可以分解因式為(a -b)(a -c) ，而分子又恰好湊成(a -b)+(a -c) ，因此有下面的解法例 6 求能使能被 n+10 整除的正整數(shù) n 的最大值。分析：解決整除性問題的一個(gè)常用方法是把整式部分分離出來，從而只須考慮后面的分式部分的整除性，這樣有利于簡(jiǎn)化問題。二、參數(shù)法例 7、若 xyz ,且 x y z123412，求 x ,y ,z（升中題）。解：設(shè)xyzk（k 0） ,那么 x=2k、 y=3k 、 z=4k234代入x+y z=112,

3、 得： 2k 3k 4k=112, 解得：k=112，所以 :x=1 ， y= 164， z= 1 .3評(píng)注 ：引入?yún)?shù)，把三個(gè)未知數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的一元方程問題。例 8、求代數(shù)式x22x3 的最大值和最小值？2x22x1三、倒數(shù)法例10已知,求.例 11 若 ab1 ， bc1 ， ac1 求abc的值a b3 c b 4 a c 5 ab bc ac例 12 求證無論為什么整數(shù)，分式均不可約。分析： 對(duì)于某些非零代數(shù)式來說，如果從取倒數(shù)的角度來分析，有可能揭示出一些在的特征，從而找到解題的突破口。四、整體代入例 132a 2a 1a4已知 a 2a 1 0，求分式 (22a a24a 4)

4、2的值aa分析：本例是將條件式化為“ a22a1 ”代入化簡(jiǎn)后的求值式再求值，這種代入的技巧叫做整體代入例 14適當(dāng)變形，化簡(jiǎn)分式后再計(jì)算求值五、活用特殊值0和±1例15已知abc0, 求 c( 1 a1 )bb(1c1)aa(11) 的值bc例 16 已知 abc 1，求：abc的值ab a 1bc b 1ca c 1例 17 已知 ax bycz 1，求111111的值1 a 41 b 41 c 41 x41 y 41 z4六、從結(jié)論中尋找解題途徑（學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化等價(jià)命題）1111,求證： a、 b、 c中至少有一個(gè)等于 1例 18 若： a b cbca例 19 不等于 0 的三個(gè)數(shù)a、 b、 c 滿足 1111，abcabc（ 1） 求證： a、 b、 c 中至少有兩個(gè)互為相反數(shù)。（ 2）11112 n 1b 2 n 1c 2 n 1a 2 n 1b2n 1c 2n 1a例 20設(shè)： Ab2c 2a 2, Ba 2c 2b 2 , Ca2b2c22bc2ac2ab求證：（