2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專項(xiàng)練五解析幾何文數(shù)含答案

1、2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專項(xiàng)練五解析幾何文數(shù)a組1.已知m為圓c:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點(diǎn),點(diǎn)q的坐標(biāo)為(-2,3).(1)若p(a,a+1)在圓c上,求線段pq的長(zhǎng)及直線pq的斜率;(2)求|mq|的最大值和最小值;(3)設(shè)m(m,n),求的最大值和最小值.2.已知橢圓c的左右頂點(diǎn)分別為a,b,a點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),p為橢圓c上不同于a,b的任意一點(diǎn),且滿足kap·kbp=-.(1)求橢圓c的方程;(2)設(shè)f為橢圓c的右焦點(diǎn),直線pf與橢圓c的另一交點(diǎn)為q,pq的中點(diǎn)為m,若|om|=|qm|,求直線pf的斜率k.3.已知拋物線c頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)f(0

2、,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為,設(shè)p為直線l上的點(diǎn),過點(diǎn)p作拋物線c的兩條切線pa,pb,其中a,b為切點(diǎn).(1)求拋物線c的方程;(2)當(dāng)點(diǎn)p(x0,y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線ab的方程;(3)當(dāng)點(diǎn)p在直線l上移動(dòng)時(shí),求|af|·|bf|的最小值.4.已知橢圓c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為,橢圓c與y軸交于a,b兩點(diǎn),且|ab|=2.(1)求橢圓c的方程;(2)設(shè)點(diǎn)p是橢圓c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)p在y軸的右側(cè).直線pa,pb與直線x=4分別交于m,n兩點(diǎn).若以mn為直徑的圓與x軸交于兩點(diǎn)e,f,求點(diǎn)p橫坐標(biāo)的取值范圍及|e

3、f|的最大值.b組1.已知橢圓c1:x2a2+y2=1(a>1)的離心率e=,左、右焦點(diǎn)分別為f1,f2,直線l1過點(diǎn)f1且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸,動(dòng)直線l2垂直l1于點(diǎn)p,線段pf2的垂直平分線交l2于點(diǎn)m.(1)求點(diǎn)m的軌跡c2的方程;(2)當(dāng)直線ab與橢圓c1相切,交c2于點(diǎn)a,b,當(dāng)aob=90°時(shí),求ab的直線方程.2.已知?jiǎng)訄Ac與圓e:x2+(y-1)2=14外切,并與直線y=-12相切.(1)求動(dòng)圓圓心c的軌跡;(2)若從點(diǎn)p(m,-4)作曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為a,b,求證:直線ab恒過定點(diǎn).a組參考答案1.解:(1)由點(diǎn)p(a,a+1)在圓c上,可得a2+(a+1

4、)2-4a-14(a+1)+45=0,所以a=4,即p(4,5).所以|pq|=(4+2)2+(5-3)2=2,kpq=.(2)由x2+y2-4x-14y+45=0可得(x-2)2+(y-7)2=8,所以圓心c的坐標(biāo)為(2,7),半徑r=22.可得|qc|=(2+2)2+(7-3)2=4,因此|mq|max=|qc|+r=42+2=62,|mq|min=|qc|-r=42-2=22.(3)分析可知,n-3m+2表示直線mq的斜率.設(shè)直線mq的方程為y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,則n-3m+3=k.由直線mq與圓c有交點(diǎn),所以|2k-7+2k+3|k2+122,可得2-3k2+

5、3,所以n-3m+2的最大值為2+3,最小值為2-3.2.解:(1)設(shè)p(x,y)(x±2),所以kap·kbp=-12,所以·=-12,整理得+y2=1(x±2),但a,b兩點(diǎn)在橢圓上,所以橢圓c的方程為+y2=1.(2)由題可知,斜率一定存在且k0,設(shè)過焦點(diǎn)f的直線方程為x=my+1,p(x1,y1),q(x2,y2),m(x0,y0),聯(lián)立x22+y2=1,x=my+1,則(m2+2)y2+2my-1=0,所以所以x0=2m2+2,y0=-mm2+2,所以|om|=,而|qm|=12|pq|=12·(1+m)24m2(m2+2)2+4(m

6、2+2)(m2+2)2=12·(m2+1)(8m2+8)(m2+2)2=2·m2+1m2+2,因?yàn)閨om|=|qm|,所以=2·m2+1m2+2,所以m2=12,所以k2=2,所以k=±2.因此,直線pf的斜率為±2.3.解:(1)因?yàn)閽佄锞€c的焦點(diǎn)f(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為322,所以=322,得c=1,所以f(0,1),即拋物線c的方程為x2=4y.(2)設(shè)切點(diǎn)a(x1,y1),b(x2,y2),由x2=4y得y=12x,所以切線pa:y-y1=12x1(x-x1),有y=12x1x-12x12+y1,而x

7、12=4y1,即切線pa:y=12x1x-y1,同理可得切線pb:y=12x2x-y2.因?yàn)閮汕芯€均過定點(diǎn)p(x0,y0),所以y0=12x1x0-y1,y0=12x2x0-y2,由此兩式知點(diǎn)a,b均在直線y0=12xx0-y上,所以直線ab的方程為y0=12xx0-y,即y=12x0x-y0.(3)設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x,y),由x-y-2=0,得x=y+2,則|af|·|bf|=x12+(y1-1)2·x22+(y2-1)2=·=·=(y1+1)·(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由得y2+(2y-x2)y+y2=0,有y1+y2=x

8、2-2y,y1y2=y2,所以|af|·|bf|=y2+x2-2y+1=y2+(y+2)2-2y+1=2(y+12)2+92,當(dāng)y=-12,x=32時(shí),即p(32,-12)時(shí),|af|·|bf|取得最小值92.4.解:(1)由題意可得,2b=2,即b=1,e=ca=,得a2-1a2=34,解得a2=4,橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)法一設(shè)p(x0,y0)(0<x02),a(0,-1),b(0,1),所以kpa=y0+1x0,直線pa的方程為y=y0+1x0x-1,同理,直線pb的方程為y=y0-1x0x+1,直線pa與直線x=4的交點(diǎn)為m(4,-1),直線pb與

9、直線x=4的交點(diǎn)為n(4,+1),線段mn的中點(diǎn)為(4,),所以圓的方程為(x-4)2+(y-)2=(1-)2,令y=0,則(x-4)2+16y02x02=(1-)2,因?yàn)?y02=1,所以y02-1x02=-14,所以(x-4)2+-5=0,設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)(x1,0),(x2,0),可得x1=4+5-8x0,x2=4-5-8x0,因?yàn)檫@個(gè)圓與x軸相交,該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,所以5->0,解得x0(85,2.則|x1-x2|=25-8x0(85<x02),所以當(dāng)x0=2時(shí),該圓被x軸截得的弦長(zhǎng)最大值為2.法二設(shè)p(x0,y0)(0<x02),a(0,-1),b(0,1),所以

10、kpa=,直線pa的方程為y=y0+1x0x-1,同理,直線pb的方程為y=y0-1x0x+1,直線pa與直線x=4的交點(diǎn)為m(4,-1),直線pb與直線x=4的交點(diǎn)為n(4,+1),若以mn為直徑的圓與x軸相交,則-1×+1<0,即16(y02-1)x02-+-1<0,即16(y02-1)x02+-1<0.因?yàn)?y02=1,所以y02-1x02=-14,代入得到5->0,解得x0(85,2.該圓的直徑為-1-+1=2-,圓心到x軸的距離為12-1+1=,該圓在x軸上截得的弦長(zhǎng)為2(1-4x0) 2-(4y0x0) 2=25-8x0(85&

11、lt;x02),所以該圓被x軸截得的弦長(zhǎng)最大值為2.b組參考答案1.解:(1)由e2=c2a2=a2-1a2=12,得a=2,c=1,故f1(-1,0),f2(1,0),依條件可知|mp|=|mf2|,所以m的軌跡是以l1為準(zhǔn)線,f2為焦點(diǎn)的拋物線,所以c2的方程為y2=4x.(2)顯然當(dāng)ab斜率不存在時(shí),不符合條件.當(dāng)ab斜率存在時(shí),設(shè)ab:y=kx+m,由y=kx+m,x22+y2=1消y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,因?yàn)閍b與c1相切,所以=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,得m2=2k2+1>1,又由消y得k2x2+(2km-4)x+m2=0,設(shè)

12、a(x1,y1),b(x2,y2),則x1+x2=4-2kmk2,x1x2=m2k2,且有得k0,km<1,因?yàn)閛aob,所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(mk)2+4·mk=0,得m=-4k,聯(lián)立,得k=±,故直線ab的方程為y=±(x-4).2.(1)解:由題意知,圓e的圓心e(0,1),半徑為12.設(shè)動(dòng)圓圓心c(x,y),半徑為r.因?yàn)閳Ac與直線y=-12相切,所以d=r,即y+12=r.因?yàn)閳Ac與圓e外切,所以|ce|=12+r,即x2+(y-1)2=12+r.聯(lián)立,消去r,可得x2=4y.所以c

13、點(diǎn)的軌跡是以e(0,1)為焦點(diǎn),y=-1為準(zhǔn)線的拋物線.(2)證明:由已知直線ab的斜率一定存在.不妨設(shè)直線ab的方程為y=kx+b.聯(lián)立x2=4y,y=kx+b,整理得x2-4kx-4b=0,其中=16(k2+b)>0,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則x1+x2=4k,x1x2=-4b.由拋物線的方程可得y=14x2,所以y=12x.所以過a(x1,y1)的拋物線的切線方程為y-y1=12x1(x-x1),又y1=14x12,代入整理得y=12x1x-14x12.因?yàn)榍芯€過p(m,-4),代入整理得x12-2mx1-16=0,同理可得x22-2mx2-16=0.所以x1,x2為

14、方程x2-2mx-16=0的兩個(gè)根,所以x1+x2=2m,x1x2=-16.由可得x1x2=-4b=-16,x1+x2=4k=2m.所以b=4,k=,ab的方程為y=x+4.當(dāng)x=0時(shí),y=4,所以直線ab恒過定點(diǎn)(0,4).3.解:(1)依題意f(,0),當(dāng)直線ab的斜率不存在時(shí),y1y2=-p2=-4,p=2,當(dāng)直線ab的斜率存在時(shí),設(shè)ab:y=k(x-),由y2=2px,y=k(x-p2),化簡(jiǎn)得y2-y-p2=0,由y1y2=-4得p2=4,p=2,所以拋物線方程y2=4x.(2)設(shè)d(x0,y0),b(,t),則e(-1,t),又由y1y2=-4,可得a(,-),因?yàn)閗ef=-,ad

15、ef,所以kad=,故直線ad:y+=(x-),即2x-ty-4-=0,由y2=4x,2x-ty-4-8t2=0,化簡(jiǎn)得y2-2ty-8-16t2=0,所以y1+y0=2t,y1y0=-8-16t2.所以|ad|=1+t24|y1-y0|=1+t24(y1+y0)2-4y1y0=,設(shè)點(diǎn)b到直線ad的距離為d,則d=,所以sabd=12|ad|·d=14(t2+16t2+8) 316,當(dāng)且僅當(dāng)t4=16,即t=±2時(shí)取等號(hào),當(dāng)t=2時(shí),ad:x-y-3=0,當(dāng)t=-2時(shí),ad:x+y-3=0.4.解:(1)因?yàn)闄E圓c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為,點(diǎn)m(2,1)在橢圓 c上.所以解得a=22,b=2,c=6,所以橢圓c的方程為+=1.(2)由直線l平行于om,得直線l的斜率k=kom=12,又l在y軸上的截距為m,所以l的方程為y=12x+m.由得x2+2mx+2m2-4=0.又直線l與橢圓交于a,b兩