立體幾何中與球有關內切外接問題分解PPT課件

1、1、若球的大圓面積擴大為原來的、若球的大圓面積擴大為原來的 2 倍，則倍，則球的體積比原來增加了球的體積比原來增加了 _ 倍；倍；2、兩個半徑為、兩個半徑為 1 的鐵球，熔化后成鑄成一的鐵球，熔化后成鑄成一個球，這個大球的半徑為個球，這個大球的半徑為 _。2 2132練習：1第1頁/共16頁二、球與多面體的接、切二、球與多面體的接、切定義定義1：若一個多面體的：若一個多面體的各頂點各頂點都在一個球的球面上都在一個球的球面上， 則稱這個多面體是這個球的則稱這個多面體是這個球的內接多面體內接多面體， 這個球是這個多面體的這個球是這個多面體的外接球外接球。定義定義2：若一個多面體的：若一個多面體的各

2、面各面都與一個球的球面相切都與一個球的球面相切， 則稱這個多面體是這個球的則稱這個多面體是這個球的外切多面體外切多面體， 這個球是這個多面體的這個球是這個多面體的內切球內切球。一、復習一、復習球體的體積與表面積球體的體積與表面積343VR 球球24SR 球球面面2第2頁/共16頁球與正方體的“接切”問題：有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側棱,一球過正方體的各頂點,求這三個球的體積之比.畫出正確的截面畫出正確的截面：(1)(1)中截面；中截面；(2)(2)對角面對角面找準數(shù)量關系找準數(shù)量關系21ar aaaa2ar222aa2ar2333第3頁/共16頁練習：練習：有三個球有三

3、個球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一球切于正一球切于正方體的各側棱方體的各側棱,一球過正方體的各頂點一球過正方體的各頂點,求這三個球的求這三個球的體積之比體積之比 .33:22:1A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O4第4頁/共16頁1. 已知長方體的長、寬、高分別是已知長方體的長、寬、高分別是 、 、1 ，求長方體的，求長方體的外接球的體積。外接球的體積。35A1AC1CO變題：變題：2. 已知球已知球O的表面上有的表面上有P、A、B、C四點，且四點，且PA、

4、PB、PC兩兩兩兩互相垂直，若互相垂直，若PA=3,PB=4,PC=5，求這個球的表面積和體積。，求這個球的表面積和體積。沿對角面截得：沿對角面截得：ACBPO O5第5頁/共16頁半球的半徑為半球的半徑為R，一正方體的四個頂點，一正方體的四個頂點在半球的底面上，另四個頂點在球面上，在半球的底面上，另四個頂點在球面上，求正方體的棱長求正方體的棱長6第6頁/共16頁四面體與球的“接切”問題：正四面體ABCD的棱長為a，求其內切球半徑r與外接球半徑R.：若正四面體變成正三棱錐，方法是否有變化？1 1、內切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球、內切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體

5、各頂點的距離均相等球心到多面體各頂點的距離均相等2 2、正多面體的內切球和外接球的球心重合、正多面體的內切球和外接球的球心重合3 3、正棱錐的內切球和外接球球心都在高線上，但、正棱錐的內切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合不一定重合4 4、基本方法：構造三角形利用相似比和勾股定理、基本方法：構造三角形利用相似比和勾股定理5 5、體積分割是求內切球半徑的通用做法、體積分割是求內切球半徑的通用做法7第7頁/共16頁練習練習:一個四面體的所有的棱都為一個四面體的所有的棱都為 ，四個頂點，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積（在同一球面上，則此球的表面積（ ）A 3B 43 3C D 62C 解：

6、設四面體為解：設四面體為ABCD， 為其外接球為其外接球心。心。1O 球半徑為球半徑為R，O為為A在平面在平面BCD上的上的射影，射影，M為為CD的中點。的中點。連結連結B1O2236().3323BOBMBC222,3AOABBO所以22211BOOBBOOO1在Rt中,由O得222223() ,43 .323RRRR球解得所以SAOBDA1OMR8第8頁/共16頁練習練習:一個四面體的所有的棱都為一個四面體的所有的棱都為 ，四個頂點在同，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積（一球面上，則此球的表面積（ ）A 3B 43 3C 2D 6D1C1B1A1DCBA234()3,2S球= 解法解法

7、2 構造棱長為構造棱長為1的正方的正方體，如圖。則體，如圖。則A1、C1、B、D是是棱長為棱長為 的正四面體的頂點。的正四面體的頂點。正方體的外接球也是正四面體正方體的外接球也是正四面體的外接球，此時球的直徑的外接球，此時球的直徑為為 ，23選選A9第9頁/共16頁例例3 3、如圖、如圖, ,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑, ,求證求證:(1):(1)球的表面積等于圓柱的側面積球的表面積等于圓柱的側面積. . (2) (2)球的表面積等于圓柱全面積的三分之二球的表面積等于圓柱全面積的三分之二. .O O證明證明: :R R(1)(1)設球的半徑為設球的半徑為R

8、,R,24RS球球得得: :則圓柱的底面半徑為則圓柱的底面半徑為R,R,高為高為2R.2R.2422RRRS圓圓柱柱側側圓圓柱柱側側球球SS(2)(2)24RS球球圓圓柱柱全全球球SS32222624RRRS圓柱全圓柱全Q10第10頁/共16頁練習練習1：（1）已知正四棱錐的底面邊長為已知正四棱錐的底面邊長為4，高與斜，高與斜高的夾角是高的夾角是30，求它的表面積和體積。，求它的表面積和體積。練習練習4：已知正四面體的頂點都在表面積為：已知正四面體的頂點都在表面積為36的球的球面上，求這個正四面體的體積。面上，求這個正四面體的體積。11第11頁/共16頁課時小結: 解決與球有關的內切與外接問題的解決與球有關的內切與外接問題的關鍵是關鍵是：通過尋找恰當?shù)倪^球心的截面通過尋找恰當?shù)倪^球心的截面, ,把立體問題轉化為平面問題把立體問題轉化為平面問題, ,通過解三角形求出球的半徑通過解三角形求出球的半徑R. R. 12第12頁/共16頁ABCDA1B1C1D1B1C1A1BOH三棱錐體積的應用求點到直線的距離13第13頁/共16頁 平行于圓錐底面的平面，把圓錐的高三等分，則圓錐被分成三部分的體積之比為（ ） （A）123 （B）149 （C）1719 （D）1827VA1A2ABB2B1O1O2OVA1A2AO1O2O錐體中的比例問題14第14