《彈性力學(xué)》試題參考答案與彈性力學(xué)復(fù)習(xí)題

1、彈性力學(xué)復(fù)習(xí)資料一.簡答題1.試寫出彈性力學(xué)平而問題的基本方程，它們揭示的是那些物理量之間的相互關(guān)系在應(yīng)用這些方程 時，應(yīng)注意些什么問題答：平面問題中的平衡微分方程：揭示的是應(yīng)力分量與體力分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意兩個微分方程 中包含著三個未知函數(shù)OX、oy、T xy=Tyx,因此，決定應(yīng)力分就的問題是超靜定的，還必須考慮 形變和位移，才能解決問題。平面問題的幾何方程：揭示的是形變分量與位移分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意當(dāng)物體的位移分量完全確 定時，形變量即完全確定。反之，當(dāng)形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。平面問題中的物理方程：揭示的是形變分量與應(yīng)力分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意平面應(yīng)力問題和平

2、面應(yīng) 變問題物理方程的轉(zhuǎn)換關(guān)系。滬耳竹-心+不）2.按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)問題分為那幾類邊界問題試作簡要說明。duC7K答：按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)問題分為位移邊界問題、應(yīng)力邊界問題和混合邊界問題。位移邊界問題是指物體在全部邊界上的位移分量是已知的，也就是位務(wù)的邊界值是邊界上坐標(biāo)的已知 函數(shù)。應(yīng)力邊界問題中，物體在全部邊界上所受的而力是已知的，即而力分量在邊界上所有各點都是坐標(biāo) 的已知函數(shù)。I混合邊界問題中，物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件;另一部分邊界則具有應(yīng) 力邊界條件。3.彈性體任意一點的應(yīng)力狀態(tài)由幾個應(yīng)力分量決定試將它們寫出。如何確定它們的正負(fù)號答：彈性體任

3、意一點的應(yīng)力狀態(tài)由 6 個應(yīng)力分量決泄，它們是：x、 y. z、 xy、%、zx正面上 的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸正方向為正，沿坐標(biāo)軸負(fù)方向為負(fù)。負(fù)而上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向為正，沿坐標(biāo)軸 正方向為負(fù)。4.在推導(dǎo)彈性力學(xué)基本方程時，釆用了那些基本假定什么是“理想彈性體”試舉例說明。答：答：在推導(dǎo)彈性力學(xué)基本方程時，采用了以下基本假定：（1）假定物體是連續(xù)的。（2）假左物體是完全彈性的。（3）假立物體是均勻的。（4）假立物體是各向同性的。（5）假定位務(wù)和變形是微小的。符合（1） （4）條假泄的物體稱為“理想彈性體”。一般混凝上構(gòu)件、一般上質(zhì)地基可近似視為“理想 彈性體”。5.什么叫平面應(yīng)力問題什么叫平面應(yīng)

4、變問題各舉一個工程中的實例。答：平而應(yīng)力問題是指很薄的等厚度薄板只在板邊上受有平行于板而并且不沿厚度變化的 而力，同時體力也平行于板而并且不沿厚度變化。如工程中的深梁以及平板壩的平板 支墩就屬于此類。平面應(yīng)變問題是指很長的柱型體，它的橫截而在柱面上受有平行于橫截而而且不沿長度變化的而力，同時體力也平行于橫截而而且也不沿長度變化，即內(nèi)在因素和外來作 用都不沿長度而變化。6.在彈性力學(xué)里分析問題，要從幾方面考慮各方面反映的是那些變量間的關(guān)系答：在彈性力學(xué)利分析問題，要從 3 方而來考慮：靜力學(xué)方面、幾何學(xué)方而、物理學(xué)方面。平而問題的靜力學(xué)方而主要考慮的是應(yīng)力分量和體力分量之間的關(guān)系也就是平而問 題

5、的平衡微分方程。 平而問題的幾何學(xué)方而主要考慮的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系，也就是平面問題中的幾何方程。平而問題的物理學(xué)方面主要反映的是形變分量與應(yīng)力分量之 間的關(guān)系，也就是平而問題中的物理方程。7.按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)平面問題分為那幾類試作簡要說明 答：按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)平而問題可分為兩類：（1）平而應(yīng)力問題：很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板而并且不沿厚度變化的而力。這一類 問題可以簡化為平而應(yīng)力問題。例如深梁在橫向力作用下的受力分析問題。在該種問題中只存在 CT”、by、三個應(yīng)力分量。（2）平而應(yīng)變問題：很長的柱形體，在柱而上受有平行于橫截而并且不沿長度變化的面

6、力，而且體力也平行于橫截面且不沿長度變化。這一類問題可以簡化為平而應(yīng)變問題。例如擋土墻和重力壩的受力分析。 該種問題=乙=0;ryz= ro. = 0而一般 b：并不等于零。8.什么是圣維南原理其在彈性力學(xué)的問題求解中有什么實際意義圣維南原理可表述為：如果把物體的一小部分邊界上的而力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主 矩也相同），那麼近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處所受的影響可以不計.彈性力學(xué)的問題求解中可利用圣維南原理將而力分布不明確的情況轉(zhuǎn)化為靜力等效但分布表達(dá)明確的 情況而將問題解決。還可解決邊界條件不完全滿足的問題的求解。9.什么是平面應(yīng)力問題其受力特點如何

7、，試舉例予以說明。答：平而應(yīng)力問題是指很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板而并且不沿厚度變化的面力，這 一類問題可以簡化為平而應(yīng)力問題。例如深梁在橫向力作用下的受力分析問題。在該種問題中只存在b、by、Txy= Tyx三個應(yīng)力分量。10.什么是“差分法”試寫出基本差分公式。答：所謂差分法，是把基本方程和邊界條件（一般為微分方程）近似地改用差分方程（代數(shù)方程）來表示, 把求解微分方程的問題改換成為求解代數(shù)方程的問題。基本差分公式如下：“業(yè)）_九+人一2幾二、計算題1.已知過P點的應(yīng)力分量（rx= 15Mpa, ay= 25Mpa, = 2QMpao求過P點，I= cos30(nt= cos 6

8、0斜面上的X”.Y* b,TN解：XN=lax+niTxy= cos30 X15 +cos60 x20 = 2299“yv=rnav+lTxy= cos60 x25+cos30 x20 = 29.82Mpa（rN=l2（rx+m2（rv+ 2lmTXS=cos230 x 15 +cos260 x25 + 2xcos30 xcos60 x20=34 82呦?“TN= lm（ay一 ） + （廠 一/w $ ）rxv=cos 30 Xcos 60 X （25 -15） + （cos230 - cos260） x 20=14.33Mpa2.在物體內(nèi)的任一點取一六面體，x. y. z方向的尺寸分別為d

9、& dy.dz.試依據(jù)下圖證明:davr+ +K = 0。dy衣dx證明：ZF,=0:（o心）xiZxxrZz （牛）x心X JzQy6 + （空 +dz）xdxxdy （r.v）x JxxJyoz.QT.,+ （rxy+ xydx）xdy xdz （Txy）xdy xdz+ Ydxdydz= 03.圖示三角形截面水壩，材料的比重為 ,承受比重為液體的壓力,ax=ax + by6 =+心-恁y，試寫出直邊及斜邊上的邊界條件。心=-dx-ay解：由邊界條件卩乂入+m（Tyx）s=X卜“+血/=Y左邊界：I= cospyin=-sin0cos僅“x + b以sin僅dx ay)s= 0 s

10、nfl(cx + dy pgy)s4- cospdx ay= 0右邊界：I = lni= 0f_(ax + by)s=沁(dx +“以=04.已知一點處的應(yīng)力分量= 30Mpa, ay= -25Mpa, j = SQMpa,試求主應(yīng)力 與x軸的夾角。解:化簡并整理上式，得:dy dz dx+ 丫=0已求得應(yīng)力解為b2以及 630-25 f 30+25+(50)2=59 56M“5.在物體內(nèi)的任一點取一六面體，x. * z方向的尺寸分別為dx. dy、dzM+jo。dz dx務(wù)=o：=tg 6 +乙 丹=-xy59.56-(30)50+ z二=55.06A/?6z=30.59試依據(jù)下圖證明:(c

11、r. + 一 x dxx dy (cr,) x dx x dy dzQ2*+(rxz +dx) xdyxdz-(rV2) xdyxdzox+ (ryzHdy) x d乙x dx (ryz)x dzx dx+ Zdxdydz= 0化簡并整理上式:比+ +Z = 0dx dy6.圖示懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，設(shè)應(yīng)力函數(shù) = Ax3+BX2y+CXy2+Dy3恒能滿足 雙調(diào)和方程。試求應(yīng)力分量并寫出邊界條件。解：所設(shè)應(yīng)力函數(shù)。相應(yīng)的應(yīng)力分量為:by = |r -py =6A- +pyJ 產(chǎn)-鑒=-2Bx-2Cy邊界條件為：上表而（y=0）,要求X滬=0 ,A = 0dr=b=0：(2)CT

12、I =0,T A=0fr=afbfb(3)J(J0dr = -PCQSOjrrddr = PsinOfb 尹dr = -PcosO葦匕25.試簡述拉甫(Love)位移函數(shù)法、伽遼金(Galerkin)位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思 想，并指岀各自的適用性Love. Galerkin 位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想：（1）變求多個位移函數(shù)u（x.yv（x,yw（x,y）或知（人&）,知（幾 8）為求一些特殊函數(shù)，如調(diào)和函 數(shù)、重調(diào)和函數(shù)。（2）變求多個函數(shù)為求單個函數(shù)（特殊函數(shù)）。適用性：Love 位移函數(shù)法適用于求解軸對稱的空間問題：Galerkin 位移函數(shù)法適用于

13、求解非軸對稱的空間問題。三.計算題1.圖示半無限平而體在邊界上受有兩等值反向，間距為 d 的集中力作用，單位寬度上集中力的值為 P,設(shè)間距 d 很小。試求其應(yīng)力分量，并討論所求解的適用范用。（提示：取應(yīng)力函數(shù)為解:-d很小,.M = Pd,可近似視為半平而體邊界受一集中力偶 M 的情形。將應(yīng)力函數(shù)俠人 0）代入，可求得應(yīng)力分量：=-L(2ACOS2 +B)廠邊界條件:代入應(yīng)力分量式，有（2）取一半徑為廠的半圓為脫離體，邊界上受有：心和/VPd由該脫藹體的平衡，得0 = Asin20 + B& )(1) bg ”()= 0,Trdp-0 = 0 :rxOrx+y - ndx將 6s 代入

14、并積分，有聯(lián)立式（1）. （2）求得:代入應(yīng)力分量式，得B險一巴，A= M71712冗2Pdsin2&兀r22PJsin26兀r2(12%其中，X=O,Y=O。將式（1）代入式（2）,有積分上式，得廠糾（八護）將式（4）代入式（3）,有等心一押）+罟“等一帶心-押）積分得6=-等雙罟9）+厶（對利用邊界條件:得:_決兀（_綣+/）+ /,%） =th3248J2V 7一嗎x（r -豈滬）+/，W = olh324872V 7由第二式，得將其代入第一式,自然成立。利用邊界條件：rAV/, =0,有（4）將厶（力代入 b j 勺表達(dá)式，有所求應(yīng)力分量的結(jié)果:校核梁端部的邊界條件：（1）梁左

15、端的邊界（x = 0）：可見，所有邊界條件均滿足。檢驗應(yīng)力分量是否滿足應(yīng)力相容方程:常體力下的應(yīng)力相容方程為B(6 + 6)=(號 + 辛)(6 + 6.) = 0將應(yīng)力分量 0切 0式（6）代入應(yīng)力相容方程，有d2z、12%看(6+6)=-刁嚴(yán)6 + 6)=-帶小式0代入后可見：自然滿足。（2）梁右端的邊界（x = /）：rX/顯然，應(yīng)力分量 bx，rn.,b、.不滿足應(yīng)力相容方程，因而式（6）并不是該該問題的正確解。3.一端固泄，另一端彈性支承的梁，英跨度為/,抗彎剛度 F/為常數(shù)，梁端支承彈簧的剛度系數(shù)為 梁受有均勻分布載荷q 作用，如圖所示。試：（1） 構(gòu)造兩種形式（多項式、三角函數(shù)）

16、的梁撓度試函數(shù) w（x）；（2） 用最小勢能原理或 Ritz 法求其多項式形式的撓度近似解（取 1 項待立系數(shù)）。（13 分）解：兩種形式的梁撓度試函數(shù)可取為w（x） = x2（A, + A2x + A.x2+） 多項式函數(shù)形式w（x）=工Ain（1-cos 三角函數(shù)形式W-/此時有：vv(x) =(A】+A2X+ Ax2+.)vvr(x) = 2x(+ A2X+ A3X2+.) +X2(A2+A3x +.)|g)出九(1cos手7W=1*=0.v=0即滿足梁的端部邊界條件。梁的總勢能為?。簐v(x)= Ax29有=2人，w(/) = A,/2dxA=()n = -EI202clx -1qwx)dx + kvv(/)2o2門=反（2 內(nèi)）2 厶_處 24 心+燈人/2）2=2E甘一竿尸+*加年廣由5TI= 0,有4EIlAl+kAil4-l3= 0A一 加3(4EI